TS (spécialité) TEST 2 2011-2012
EXERCICE 1 :
Dans un repère orthonormal direct (O;−→u;−→v) du plan complexe,hest l’homothétie de centreO, de rapport 2, et rla rotation de centre Ω(−2; 1), d’angle π
2. 1. Écritures complexes deh, derpuis dehor.
Sans explication supplémentaire, les écritures complexes sont h:z′= 2z et r : z′+ 2−i = i(z+ 2−i) ⇔ z′= iz+ 3i−1
2. A-t-onhor=roh?
On considère le schéma de composition suivant :M(z)7−→r M1(z1)7−→h M′(z′). Grâce à la question précédente, on peut écrire que :
z1= iz+ 3i−1
z′= 2z1 ⇔ z′ = 2iz+ 6i−2
Avec l’autre schéma de composition :M(z)7−→h M1(z1)7−→r M′(z′), on parvient à l’écriture complexe de roh: z′= 2iz+ 3i−1
Comme l’écriture complexe identifie la transformation, de toute évidence : hor6=roh
Remarque 1 Considérer un point quelconqueA, et prouver quehor(A)6=roh(A) suffisait.
EXERCICE 2 :
Dans le plan complexe, S est la similitude d’écriture complexez′= 2iz+ 1−i.
(d) est la droite d’équationy= 2x−3.
1. Affixes de deux points de (d).
l’équation cartésienne de (d) permet de trouver les coordonnées cartésiennes de deux points de (d) et par la suite on exprime les affixes :A(2; 1)⇒zA= 2 + i etB(3; 3)⇒zB= 3 + 3i
2. Équation de la droite (d′) image de (d) parS.
L’image de la droite (AB) par la similitudeS est la droite (A′B′) oùA′=S(A) etB′=S(B).
zA′ = 2izA+ 1−i⇔zA′= 2i(2 + i) + 1−i⇔zA′ =−1 + 3i etA′ a pour coordonnées cartésiennes (−1; 3).
On trouvezB′ =−5 + 5i ainsiB(−5; 5).
On trouve donc l’équation de (d′) :y=−1 2x+5
2
EXERCICE 3 :
On considère le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O;−→u;−→v). f est une application du plan dans lui- même qui à tout pointM d’affixezassocie le pointM′ d’affixez′. L’écriture complexe def est :z′= (2−2i)z+ 4 + i.
1. f est une transformation ?
On prouve que s’il existez1etz2tels quef(z1) =f(z2) alorsz1=z2.f est donc une application bijective : c’est une transformation.
2. Ad’affixea= i et B d’affixe 1.b′=zB′ = (2−2i)×1 + 4 + i = 6−i eta′=zA′ = 6 + 3i (−−→AB;−−−→
A′B′)=arg
b′−a′ b−a
=arg
6−i−6−3i 1−i
=arg −4i
1−i
=arg(2−2i) =−π 4 (2π)
3. (a) f est-elle une similitude ? L’écriture complexe def est de la formez′=az+b donc c’est une similitude et son rapport vaut |a|=|2−2i|= 2√2 .
(b) Écriture complexe de la similitude réciproque def : Il faut exprimer, en utilisant l’écriture complexe def, z en fonction dez′ :
z′= (2−2i)z+ 4 + i⇔ · · · ⇔z= 1 + i
4
z′−3 + 5i 4
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Ainsi l’écriture complexe def−1 est : z′= 1 + i
4
z−3 + 5i 4 Le rapport def−1est l’inverse du rapport def soit 1
2√ 2 =
√2 4 .
EXERCICE 4 :
∆ Z A
B C
A′
B′
C′ A′′
B′′
C′′
ZABC, ZA′B′C′ et ZA′′B′′C′′ sont des carrés de sens direct et les pointsA,A′ et A′′ sont alignés sur une droite ∆.
1. Image du pointAdans la rotation de centre Z et d’angle π 2 ? Comme ABCZ est un carré de sens direct, on a
(−→ZA;−→ZC) =π
2 (2π) et ZA=ZC. Ceci n’est autre que la traduction du fait que C est l’image deA par la rotation de centreZ et d’angle π
2.
2. C,C′ etC′′ sont alignés et (CC′) est perpendiculaire à ∆ ? Pour les mêmes raisons que précédemment, C′ et C′′ sont les images respectives de A′ et A′′ par la rotation de centre A et d’angle π
2. Une rotation conserve l’alignement comme toutes les similitudes donc A, A′ et A′′ étant alignés sur ∆, les images C, C′ et C′′ sont alignés sur une droite que l’on peut appeler
∆′. Compte-tenu de l’angle de la rotation, ∆ et ∆′ sont perpen- diculaires.
3. On admet que B est l’image deA par une similitudef.
(a) f =hor; Caractéristiques de l’homothétiehde centreZ et de la rotationrde centreZ qui décomposentf?
f(Z) = hor(Z) = h[r(Z)] = h(Z) = Z donc Z est invariant parf et donc le rapport ZB
ZA est le rapport de la similitude. CommeABCZ est un carré, il vaut√
2.rétant une isométrie (similitude de rapport 1), le rapport de h n’est autre que celui de f (propriété du cours). hest donc
l’homothétie de centreZ et de rapport√ 2 .
hor(A) =B⇔h[r(A)] =B doncr(A)∈[BZ) (rapport de hpositif) ainsi (−→ZA;−−→ZB) est l’angle de la rotation et il vaut
π
4 carABCZ est un carré.
rest la rotation de centreZ et d’angle π 4 .
(b) Désormais, f(A′) = B′ et f(A′′) = B′′. Les points B, B′ etB′′ sont alignés par conservation de l’alignement par une similitude. (A,A′ etA′′ étant alignés : vu plus haut)
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