() CALCUL INTÉGRAL TYPES BAC

CALCUL INTÉGRAL TYPES BAC

I. ANTILLES GUYANE JUIN 2019.

Partie A

Soit a et b des nombres réels. On considère une fonction f définie sur [0 ∞[ par f( x) a

1 e

. La courbe C

représentant la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-contre. La courbe C

passe par le point A (0 0,5).

La tangente à la courbe C

au point A passe par le point B(10 1).

1. Justifier que a 1. On obtient alors, pour tout réel x 0, f (x ) 1 1 e

.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0 ∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.

Vérifier que, pour tout réel x 0, f (x) be

( ^{1 e}

)

^.

3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer b.

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction p définie sur [0 ∞[ par p (x ) 1

1 e

.

Le réel x représente le temps écoulé, en année, depuis le 1

janvier 2000.

Le nombre p(x) modélise la proportion d’individus équipés après x années.

Ainsi, pour ce modèle, p(0) est la proportion d’individus équipés au 1

janvier 2000 et p(3,5) est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.

2.

a. Déterminer le sens de variation de la fonction p sur [0 ∞[.

b. Calculer la limite de la fonction p en +∞. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.

3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse 95%, le marché est saturé.

Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.

4. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre 2008 et 2010 par m 1 2  

8

10

p( x)dx.

a. Vérifier que, pour tout réel x 0, p( x) e

1 e

. b. En déduire une primitive de la fonction p sur [0 ; +∞[.

c. Déterminer la valeur exacte de m et son arrondi au centième.

II. ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2019.

Soit g la fonction définie sur ]0 [ par g (x ) 4 x− xln( x).

On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 [ et on note g sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-contre représente une partie de la courbe représentative de la fonction g obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

• il semble que la fonction g soit positive;

• il semble que la fonction g soit strictement croissante.

1

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

1. Résoudre l’équation g( x) 0 sur l’intervalle ]0 [.

2. Déterminer le signe de g(x) sur l’intervalle ]0 [.

3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées?

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction g.

1.

a. On rappelle que lim

t

ln( t)

t 0. En déduire que lim

x 0

xln( x) 0.

b. Calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0.

2.

a. Démontrer que, pour tout réel x strictement positi f, g ( x) 3−ln( x).

b. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

3. On désigne par G la fonction définie sur ]0 [ par G (x ) 1

4 x²(9 2ln( x)) On admet que la fonction G est dérivable sur ]0 [.

a. Démontrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur ]0 [.

b. L’affirmation suivante est-elle vraie? « Il n’existe aucun réel a strictement supérieur à 1 tel que  

1

a

g (x )dx 0.

III. ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2016.

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O i j ) .

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par f

(x ) e

1+ e

On désigne par C

la courbe représentative de f

dans le repère

( ^{O i j} ) . On a représenté ci-contre les courbes C

pour différentes valeurs de n.

Soit la suite ( ) ^u

définie pour tout entier naturel n par : u

 

0

1

f

( x)dx.

Partie A - Étude graphique

1. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite ( ) ^{un ?}

2. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u

d’amplitude 0,05.

Partie B - Étude théorique 1. Montrer que u

ln

 

  1+e

2 .

2. Montrer que u

u

1 puis en déduire u

. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, u

0.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, d

( x) f

(x)− fn ( x).

a. Montrer que, pour tout nombre réel x, d

(x ) e

1−e

1+e

b. Étudier le signe de la fonction d

sur l’intervalle [0;1].

5. En dédire que la suite ( ) ^u

est convergente.

6. On note ℓ la limite de la suite ( ) ^u

^.

a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :u

u

1−e

n .

b. En déduire la valeur de ℓ.

IV. AMERIQUE DU SUD NOVEMBRE 2017.

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.

Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ∞[ par : f( x) x² 2x 2 3ln(x )

x

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

1. Soit la fonction définie sur ]0 ∞[ par : (x) x ² 1 3ln(x ).

a. Calculer (1) et la limite de en 0.

b. Étudier les variations de sur ]0 ; +∞[.

c. En déduire le signe de ( x) selon les valeurs de x.

2.

a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b. Montrer que sur ]0 [, f (x ) φ( x)

x ² et en déduire le tableau de variation de f . c. Prouver que l’équation f ( x) 0 admet une unique solution α dans ]0; 1] et déterminer à la calculatrice une valeur approchée de à 10

près.

On admettra que l’équation f (x) 0 a également une unique solution β sur [1 ; +∞[ avec β ≈ 3,61 à 10

près.

d. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : F( x) 1

2 x ² 2 x 2ln( x ) 3

2 (ln( x))

. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10−

près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses.

Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait- elle respectée ?

0

− 1

− 2

− 3 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

V. D APRÈS MÉTROPOLE SEPTEMBRE 2019.

On donne ci-contre la représentation graphique C

dans un repère orthogonal d’une fonction g définie et continue sur . La courbe C

est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan y 0.

Pour tout t ∈ on pose : G( t)  

0

t

g(u )du . Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s’appuyer sur des considérations graphiques.

1. La fonction G est-elle croissante sur [0 ∞[ ? Justifier.

2. Justifier graphiquement l’inégalité G (1) 0,9.

3. La fonction G est-elle positive sur ? Justifier.

Dans la suite du problème, la fonction g est définie sur par g (u) e

. Partie B

1. Étude de g

a. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de définition.

b. Calculer la fonction dérivée de g et en déduire le tableau de variations de g sur . c. Préciser le maximum de g sur . En déduire que g(1) 1.

2. On se propose de déterminer une majoration de G(t) pour t > 1.

a. On admet que, pour tout réel u 1, on a g( u) 1 u² . En déduire que, pour tout réel t > 1, on a :  

1

t

g (u )du 1 1

t . b. Montrer que, pour tout réel t > 1, G( t) 2 1

t . Que peut-on dire de la limite éventuelle de G(t) lorsque t tend vers ∞ ?

VI. POLYNÉSIE JUIN 2019 ex II

L écoulement de l eau d un robinet a un débit constant et modéré.

VII. POLYNÉSIE JUIN 2019 ex III On considère la suite (I

) définie par I

 



0 1

2

1

1 x dx et, pour tout entier naturel n non nul, I

 



0 1 2

x

1 x dx.

1. Montrer que I

ln(2).

2.

a. Calculer I

I

. b. En déduire I

. 3.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, I

I

 

  1 2

n 1

n 1 .

b. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel n donné, la valeur de I

.

4. Soit n un entier naturel non nul.

On admet que si x appartient à l’intervalle

 

  0 1

2 , alors 0 x

1 x

1 2

. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 I

1

2

. b. En déduire la limite de la suite (I

) lorsque n tend vers ∞.

5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose S

1 2

 

  1 2

2

2

 

  1 2

3

3 …  

  1 2

n

n a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, S

I

I

.

b. Déterminer la limite de S

lorsque n tend vers ∞.