Modélisation 3D d'un composite UD par la Méthode des Eléments Discrets

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Modélisation 3D d’un composite UD par la Méthode des Eléments Discrets

L. Maheo, Frédéric Dau

To cite this version:

L. Maheo, Frédéric Dau. Modélisation 3D d’un composite UD par la Méthode des Eléments Discrets.

18ème Journées Nationales Composites, 2013, Nantes, France. 10 p. �hal-01203794�

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L. MAHEO, Frédéric DAU - Modélisation 3D d'un composite UD par la Méthode des Eléments Discrets - In: 18ème Journées Nationales Composites, France, 2013 - JNC 18 - 2103

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Mod´ elisation 3D d’un composite UD par la M´ ethode des El´ ements Discrets

3D modeling of a UD composite using the Discrete Element Method

L. Maheo

, F. Dau

a

Universit´ e de Bretagne Sud, LIMATB, F-56321 Lorient, France, email : laurent.maheo@univ-ubs.fr

b

Arts et Metiers ParisTech, I2M, d´ ept. DuMAS, UMR CNRS 5295, F-33405 Talence, France, email : frederic.dau@ensam.eu

Abstract

Dans ces travaux, la M´ ethode des El´ ements Discrets (MED) est mise ` a profit pour la mod´ elisation 3D d’un mat´ eriau composite unidirectionnel. L’objectif ` a court terme est d’utiliser cette m´ ethode pour traiter localement les endommagements induits par un choc tout en l’associant, au del` a de la zone endommag´ ee ` a une mod´ elisation plus conventionnelle de type El´ ements Finis (EF)[1]. Les mod´ elisations g´ eom´ etriques de la fibre et de la matrice sont d’abord pr´ esent´ ees. La phase de calibration des param` etres intrins` eques du mod` ele par ED r´ egissant le comportement mat´ eriel des milieux fibre et matrice d’une part, et de l’interface fibre/matrice d’autre part, est ensuite d´ etaill´ ee. Le comportement de chaque constituant est ` a ce stade sup- pos´ e ´ elastique fragile. Une analyse, ` a la fois qualitative et quantitative, est finalement r´ ealis´ ee sur les cas tests de traction longitudinale et transverse, et de cisaillement dans le plan des fibres et hors plan, pour une cellule ´ el´ ementaire repr´ esentative. Les r´ esultats sont compar´ es ` a ceux connus de la litt´ erature [2].

Keywords: Composite UD, Mod´ elisation El´ ements Discrets 1. Introduction

Face au besoin de r´ eduire fortement les essais au profit de simulations num´ eriques, l’enjeu est alors de d´ evelopper des mod` eles num´ eriques toujours plus performants. Dans ce sens, la tendance est de favoriser des approches multi-´ echelles permettant de faire dialoguer des m´ ecanismes de d´ egradations locales et le comportement global de la structure consid´ er´ ee.

Dans ce cadre, l’approche d´ evelopp´ ee par les auteurs consiste ` a introduire localement la M´ ethode des El´ ements Discrets, MED (ou DEM en anglais), initialement d´ evelopp´ ee par [3]

et adapt´ ee ` a la d´ egradation d’un milieu continu par fissuration ou par fragmentation [4] et ` a

la coupler au del` a, ` a une m´ ethode continue plus conventionnelle. Ainsi, les travaux pr´ esent´ es

dans [1] dans lesquels la m´ ethode des ´ el´ ements discrets a ´ et´ e coupl´ ee ` a la Constrained Natural

Element Method, CNEM, en adaptant le technique d’Arlequin d´ evelopp´ ee par [5] prouvent la

faisabilit´ e et la pertinence de l’approche. Ce couplage a ´ et´ e mis ` a profit pour traiter le cas de l’indentation de la silice [6] et il l’est actuellement pour traiter le cas d’un impact laser sur du verre. D´ esireux de traiter le cas d’impact laser sur composite, moyen de contrˆ ole de la qualit´ e d’adh´ erence d’un mat´ eriau multicouche, ou encore celui d’impact de grˆ ele sur composite, l’originalit´ e de ce travail r´ eside dans la mod´ elisation 3D par ED d’un milieu composite UD, qui sera donc la cible composite pour les applications futures d’impacts vis´ ees.

Selon les auteurs, la mod´ elisation DEM s’av` ere ˆ etre un outil prometteur pour retrouver qual- itativement et quantitativement l’amor¸cage et la propagation de la rupture de l’interface fibre matrice, de la matrice et d´ eterminer alors quantitativement la chute des propri´ et´ es m´ ecaniques;

la d´ egradation du module d’Young pouvant ˆ etre par exemple ´ evalu´ ee en appr´ eciant la densit´ e de fissuration ` a l’int´ erieur du mat´ eriau.

La mod´ elisation g´ eom´ etrique de la fibre et de la matrice, incluant les op´ erations dites de rem- plissage et de secouage, est d’abord pr´ esent´ ee dans ce travail. La mod´ elisation m´ ecanique des milieux continus fibre et matrice est ensuite trait´ ee. Elle consiste en l’introduction et la calibra- tion de liens ’m´ ecaniques’ destin´ es ici ` a rendre compte d’un comportement ´ elastique fragile. La phase de calibration de ces liens, param` etres intrins` eques du mod` ele par ED r´ egissant le com- portement observable des milieux consid´ er´ es, est pr´ esent´ ee pour chacun des milieux. Des cas tests ´ el´ ementaires destin´ es ` a valider le comportement, suppos´ e ´ elastique fragile, du milieu com- posite UD sont ensuite pr´ esent´ es, permettant d’appr´ ecier qualitativement et quantitativement la pertinence du mod` ele ED propos´ e, avant de conclure ce travail.

2. Mod´ elisation g´ eom´ etrique

2.1. Consid´ erations g´ en´ erales

La construction g´ eom´ etrique de la fibre et de la matrice est guid´ ee par les exigences suivantes : i) utiliser une forme d’ED la plus simple possible ii) adopter une taille d’ED compatible avec l’´ echelle d’observation des m´ ecanismes iii) utiliser un nombre d’ED suffisant permettant d’aboutir ` a un taux de compaction suffisant pour mod´ eliser correctement le milieu continu consid´ er´ e.

Dans la m´ ethode des ED d´ evelopp´ ee au laboratoire, naturellement formul´ ee en dynamique explicite, la g´ eom´ etrie des ED, associ´ ee ` a la masse volumique, porte l’information cin´ etique tandis que les liens reliant les centres de chaque ED pilotent le comportement, voir section 3. Des ED de forme sph´ erique sont alors retenus. Leur taille, variant selon une distribution gaussienne du rayon, est choisie de telle sorte ` a pouvoir instancier des liens m´ ecaniques capables de rendre compte des m´ ecanismes de d´ egradation ´ etudi´ es ; en l’occurence ici, la microfissuration matricielle, la d´ ecoh´ esion fibre/matrice et la rupture de fibres. Leur nombre et leur taille doit permettre d’avoir une bonne repr´ esentation g´ eom´ etrique de l’enveloppe ext´ erieure constituant la fibre ainsi celle int´ erieure de la matrice ` a l’interface fibre/matrice. C’est au niveau de cette interface fibre/matrice que seront install´ es les liens capables de rendre compte de la d´ ecoh´ esion fibre/matrice.

Pratiquement, la technique de construction du milieu continu (fibre ou matrice) consiste ` a placer en une seule fois un ensemble d’ED de rayons pr´ ealablement choisis al´ eatoirement selon la distribution adopt´ ee. Cette technique est compl´ et´ ee par une op´ eration dite de secouage pour organiser au mieux les ED entre eux et obtenir la meilleure coh´ esion possible du milieu continu.

Mˆ eme si l’objectif ` a ce stade n’est pas d’´ etudier la d´ egradation de la fibre, sa mod´ elisation

utilise la mˆ eme distribution d’ED que la matrice. Ce choix permet i) d’´ eviter des temps de

remplissage prohibitifs dus ` a des diff´ erences de taille significatives d’ED propre ` a des milieux bi-disperses [7], ii) d’installer le plus justement possible les liens d’interface.

2.2. Volume El´ ementaire Repr´ esentatif (VER)

Le domaine ´ etudi´ e ici est celui d’une cellule ´ el´ ementaire constitu´ ee d’une fibre et de sa matrice autour, figure 1, de forme cubique pour lequel de nombreux r´ esultats sont disponibles dans la litt´ erature [2]. Ce choix correspond aussi ` a un souhait d’´ eviter des temps de mise en oeuvre du mod` ele et de simulations trop prohibitifs, prouver l’int´ erˆ et d’utiliser des ´ el´ ements discrets pour la mod´ elisation des m´ ecanismes de d´ egradation d’un composite ´ etant le principal objectif ` a ce stade des travaux.

Pour la cellule ´ el´ ementaire consid´ er´ ee, la fibre est suppos´ ee de forme cylindrique. Son diam` etre est tel que, pour une taille donn´ ee de la cellule cubique, le taux volumique de fi- bres soit de l’ordre de 51.3%, valeur fix´ ee arbitrairement. La longueur de la cellule, dans le sens de la fibre, d´ ecoule d’une analyse de sensibilit´ e et des r´ esultats obtenus dans [8]. La figure 1a pr´ esente le volume ´ el´ ementaire en distinguant le volume cylindrique de la fibre de celui cubique de la matrice .

(a) (b)

Figure 1: D´ efinition du VER. (a) G´ eom´ etrie : cube d’arˆ ete 8.66 µm, fibre de diam` etre 7 µm.

(b) Discr´ etisation utilisant 41731 ED pour la fibre, 38749 ED pour la matrice, soit au total 80480 ED.

2.3. Technique de remplissage du VER avec des ED

Le remplissage du VER par les ´ el´ ements discrets doit permettre d’aboutir ` a une repr´ esentation correcte des continuums constitu´ es par la fibre et la matrice. La technique de remplissage suppose de relever trois challenges : i) aboutir ` a un taux de compaction, d´ efini dans [9], suffisant pour mod´ eliser correctement les continuums, ii) assurer l’isotropie de chacun des continuums [9], iii) conserver, dans le cas du VER h´ et´ erog` ene ´ etudi´ e, une d´ efinition aussi pr´ ecise que possible de la g´ eom´ etrie ` a l’interface fibre/matrice.

Pour cela, plusieurs techniques ont ´ et´ e investigu´ ees conduisant pour la plupart d’entre elles

`

a des temps de r´ ealisation du milieu tr` es ´ elev´ es. Celle la plus efficace finalement retenue se d´ ecompose en deux ´ etapes. La premi` ere ´ etape consiste ` a remplir le volume entier de la cellule cubique, sans distinction des volumes de la fibre et de la matrice, en visant le taux de compaction de r´ ef´ erence de 6.3 [9]. Ce remplissage lui mˆ eme s’effectue en deux op´ erations :

◦ une premi` ere op´ eration de tirage al´ eatoire dans l’espace des positions possibles est r´ ealis´ ee assurant la condition g´ eom´ etrique de non chevauchement stricte des ED.

◦ une fois la limite de remplissage atteinte, la seconde op´ eration, dite de ‘bourrage’, consiste

`

a introduire un certain nombre d’ED en for¸cant le chevauchement d’ED dans le volume

3

de mati` ere. Un calcul de stabilisation du volume, appel´ e ‘secouage’, est alors r´ ealis´ e en installant un contact entre les ED. Cette derni` ere op´ eration est r´ ealis´ ee autant de fois que n´ ecessaire pour parvenir ` a un volume stabilis´ e avec le taux de compaction d´ esir´ e.

La deuxi` eme ´ etape consiste ` a diff´ erencier les ED appartenant ` a la fibre de ceux appartenant

`

a la matrice, de mani` ere ` a obtenir le taux volumique de fibre d´ esir´ e. La distinction des ED de la fibre de ceux de la matrice se fait simplement en situant la position des centres des ED proches de l’interface par rapport ` a une enveloppe cylindrique de r´ ef´ erence mat´ erialisant une interface parfaite.

3. Mod´ elisation m´ ecanique

3.1. Consid´ erations g´ en´ erales

Une fois la g´ eom´ etrie r´ ealis´ ee, il est alors n´ ecessaire de placer les liens entre les ED fibre et matrice d’une part, et les liens ` a l’interface fibre/matrice d’autre part. Pour le VER de la figure 1b, 130516 liens fibre, 115096 liens matrice et 8282 liens fibre-matrice ont ´ et´ e install´ es entre les ED. Ces liens vont permettre de rendre compte du comportement m´ ecanique du continuum mod´ elis´ e. A ce stade des travaux, le comportement m´ ecanique est d´ efini comme ´ elastique fragile. Des liens de type “poutre coh´ esive” identiques ` a ceux mis en oeuvre dans les travaux de Andr´ e [9] sont retenus. Ces liens ` a l’´ echelle microscopique sont ensuite calibr´ es de telle fa¸con ` a retrouver les propri´ et´ es, ´ elastiques et ` a rupture, de chaque continumm fibre et matrice d’une part, et les propri´ et´ es ` a rupture de l’interface d’autre part. A ce stade, les liens install´ es sont identiques pour un milieu donn´ e. L’introduction d’une variabilit´ e naturelle via ces liens est envisag´ ee par la suite. Les propri´ et´ es de la fibre et de la matrice du composite UD ´ etudi´ e sont fournies dans la table 1. D d´ esigne le diam` etre de la fibre. E

, ρ

, ν

, σ

d´ esignent respectivement le module d’Young, la masse volumique, le coefficient de poisson et la contrainte

`

a rupture. Les exposant f et m font r´ ef´ erence ` a la fibre et ` a la matrice. L’indice M pr´ ecise qu’il s’agit de grandeurs macroscopiques, ` a diff´ erencier de celles microscopiques indic´ ees µ qui suivent. On rappelle qu’` a ce stade, la fibre de carbone est suppos´ ee isotrope, son caract` ere isotrope transverse n’´ etant pas pris en compte.

E

[GPa] ρ

[kg.m

] ν

σ

[MPa] D [µm]

Fibre de carbone

260 1750 0.3 2500 7.0

Matrice ´ epoxy

3.45 1200 0.3 70 -

Table 1: Propri´ et´ es m´ ecaniques fibre et matrice [10].

3.2. Proc´ edure de calibration

Les liens poutre sont d´ efinis par 5 param` etres : 2 param` etres g´ eom´ etriques, la longueur du lien l

et son rayon R

et 3 param` etres m´ ecaniques, le module d’Young E

, le coefficient de Poisson ν

et la contrainte ` a rupture σ

.

Au lieu d’utiliser le rayon R

, le rayon adimensionn´ e r

= R

/R

, o` u R

d´ esigne le rayon moyen des El´ ements Discrets (ED), est pr´ ef´ er´ e. La longueur des liens l

, entre les centres de 2 ED adjacents, est d´ efinie par le mod` ele g´ eom´ etrique. Les 4 autres param` etres sont d´ etermin´ es par une proc´ edure de calibration conform´ ement ` a la m´ ethodologie mise en oeuvre dans [9].

Cette proc´ edure s’appuie sur un test num´ erique de traction. L’´ eprouvette num´ erique est une

poutre cylindrique constitu´ ee d’environ 10000 ED, de longueur L

= 100mm et de rayon R

= 10mm. Une rampe de force, de direction oppos´ ee, est appliqu´ e sur chacune des faces oppos´ ees de l’´ eprouvette, figures 2a et 2b. Le module d’Young E

et le coefficient de poisson ν

peuvent ˆ etre facilement extraits de ce test num´ erique.

(a)

0 20000 40000 60000 80000

Iterations [.]

0 5 10 15 20 25 30

Normal Stress [MPa]

(b)

Figure 2: Eprouvette num´ erique pour la calibration . (a) Mod` ele discret ` a 10 000 ED pour la calibration de la matrice et de la fibre. (b) Consigne en force.

Dans ses travaux [9], Andr´ e a montr´ e que chacun des param` etres microscopiques ´ etait ind´ ependant. Il a montr´ e par ailleurs que i) d’une part, le module d’Young E

d´ ependait essentiellement de r

et de E

, et qu’une fois r

fix´ e, il d´ ependait lin´ eairement de E

ii) d’autre part, le coefficient de poisson ν

ne d´ ependait que du rayon r

, cette d´ ependance pouvant ˆ etre correctement approch´ ee par un polynˆ ome du second ordre du type r

= a

+ a

ν

+ a

ν

. iii) le coefficient de poisson ν

avait peu d’influence sur le comportement macroscopique.

Ainsi, la proc´ edure de calibration se d´ ecompose de la fa¸con suivante :

• compte tenu de iii), le coefficient de poisson ν

est fix´ e ` a la valeur de ν

• la courbe de calibration ν

en fonction de r

est ´ etablie num´ eriquement. Elle permet de d´ eterminer la valeur de r

correspondant ` a la valeur de ν

impos´ ee par le mat´ eriau.

• connaissant d´ esormais r

, la courbe de calibration de E

en fonction de E

permet alors de d´ eterminer la valeur de E

correspondant au E

du mat´ eriau souhait´ e.

Les r´ esultats de cette calibration pour la fibre, sont visibles sur les figures 3. Des courbes ana- logues (non pr´ esent´ ees) sont obtenues pour la matrice. Les valeurs obtenues pour les param` etres microscopiques sont r´ esum´ ees dans la table 2. Comme chaque domaine est compos´ e d’ED aux positions al´ eatoires (cf. § 2), plusieurs domaines contenant approximativement le mˆ eme nombre d’ED, ` a savoir 10 000, ont ´ et´ e g´ en´ er´ es et la proc´ edure de calibration reconduite sur chacun de ces domaines. Les r´ esultats obtenus pour chacun d’entre eux se sont r´ ev´ el´ es peu dispers´ es.

Pour la calibration de σ

, la courbe σ

en fonction de σ

est ´ etablie; la valeur de la contrainte ` a rupture σ

est d´ eduite en fonction de σ

attendue. Pour le moment, le crit` ere de rupture microscopique est simplement bas´ e sur un crit` ere de contrainte maximale : le lien est rompu lorsque cette contrainte d´ epasse la contrainte seuil de limite d’´ elasticit´ e du

5

0.2 0.3 0.4 0.5 Microscopic radius ratio [.]

0.20 0.25 0.30 0.35

MacroscopicPoisson’sratio[.]

0.307

(a)

7000 7500 8000 8500 9000

Microscopic elastic modulus [GPa]

200 220 240 260 280 300

Macroscopicelasticmodulus[GPa]

8272

(b)

0 20 40 60 80 100

Microscopic failure stress [GPa]

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Macroscopicfailurestress[GPa]

86.2

(c)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 Strain [.]

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Stress[GPa]

Sample #1 Sample #2 Sample #3

E=262±2 GPa

=2.42±0.01 GPa failure stress

(d)

Figure 3: Courbes de calibration pour la fibre. (a) D´ etermination du rayon r

. (b) D´ etermination du module E

. (c) D´ etermination de la contrainte σ

. (d) Validation.

Fibre E

[GPa] ν

σ

[GPa] r

Propri´ et´ es macroscopiques (milieu continu)

260 0.3 2.5 - Propri´ et´ es microscopiques (liens)

8272 0.3 86.2 0.307

Matrice E

[GPa] ν

σ

[MPa] r

Propri´ et´ es macroscopiques (milieu continu)

3.45 0.3 70 - Propri´ et´ es microscopiques (liens)

89 0.3 2000 0.33

Table 2: Calibration des liens poutres pour la fibre et la matrice.

milieu consid´ er´ e. Des d´ eveloppements sont actuellement en cours pour am´ eliorer ce crit` ere; un crit` ere bas´ e sur le tenseur virial est en particulier ´ etudi´ e.

A ce stade de mise en oeuvre du mod` ele, et en premi` ere approximation, les liens fibre-matrice sont aussi des poutres coh´ esives. Les valeurs des param` etres intrins` eques de ces poutres, ` a savoir r

, l

, E

, ν

, sont choisies identiques ` a celles des liens matrice.

4. Tests ´ el´ ementaires sur le VER

Ces tests ´ el´ ementaires visent ` a valider le comportement du milieu composite constitu´ e d’une

fibre et de sa matrice, apr` es calibration des liens respectivement entre les ED fibre, les ED

matrice et ` a l’interface fibre-matrice. Il s’agit l` a de retrouver le comportement ´ elastique d’un

pli UD jusqu’` a rupture en adoptant un comportement de type ´ elastique fragile au niveau des

liens mis en oeuvre dans le mod` ele ED. Une cellule cubique, figure 4a, de taille a = l = 8.66µm avec une fibre de diam` etre φ = 7µm est utilis´ ee pour ces tests ´ el´ ementaires.

L

T’

T l

a

a

(a)

0 10000 20000 30000 40000

Iterations [-]

0 2 4 6 8 10

Displacement [10 mm]-6

(b)

Figure 4: Essais sur ´ echantillon num´ erique. (a) Echantillon DEM et CL. (b) Chargement en d´ eplacement.

Le d´ eveloppement et l’impl´ ementation de routines particuli` eres (ou plugins) au sein de la plateforme GranOO (Granulaire Orient´ e Objet) du laboratoire [11] permettent de rendre compte des liens rompus, dans la matrice, dans les fibres ainsi qu’` a l’interface fibre/matrice, au fur et ` a mesure du chargement 5. Pour chacun des tests pr´ esent´ es dans cette section, des conditions aux limites de type cin´ ematiques sont adopt´ ees par commodit´ e d’impl´ ementation;

des conditions de type force, mixte ou de p´ eriodicit´ e, plus lourde de mise en oeuvre, restent n´ eanmoins tout ` a fait envisageables.

Les simulations propos´ ees, conduites par une analyse param´ etrique, permettent d’appr´ ecier qualitativement et quantitativement la pertinence du mod` ele et sa capacit´ e ` a rendre compte des m´ ecanismes de d´ egradation, observables ` a l’´ echelle du VER, par la rupture des liens.

Les essais r´ ealis´ es sur la cellule ´ el´ ementaire sont pr´ esent´ es, figure 5. Ils concernent i) un essai de traction dans le sens fibre visant la d´ etermination du module longitudinal E

ii) un essai de traction dans le sens transversal aux fibres visant la d´ etermination du module transverse E

iii) un essai de cisaillement dans le plan (L,T) pour d´ eterminer le module de cisaillement G

iv) un essai de cisaillement dans le plan transverse (T,T’) pour d´ eterminer le module de cisaillement transverse G

. Les conditions aux limites sont illustr´ ees sur les figures 5a, 5b, 5c et 5d. Les d´ eplacements impos´ es suivent une rampe de type sinus avec palier, figure 4b.

Trois ´ echantillons num´ eriques ont ´ et´ e test´ es. Le nombre d’ED utilis´ es pour ces ´ echantillons est pr´ ecis´ e dans la table 3. Les propri´ et´ es du VER de r´ ef´ erence, obtenues ` a partir de consid´ erations analytiques et avec un taux de fibre fix´ e arbitrairement ` a 51,3%, sont issues de la litt´ erature [10]. Les r´ esultats num´ eriques sont compar´ es ` a ces r´ esultats de r´ ef´ erence dans la table 4.

Les r´ esultats de chaque test ´ el´ ementaire est affich´ es en terme de module (E

, E

, G

ou G

) en fonction du nombre d’it´ erations aux figures 6. On constate qu’hormis pour le module d’Young longitudinal E

, les r´ eponses num´ eriques oscillent de mani` ere relativement impor- tante. Ces oscillations proviennent de la r´ eflexion d’ondes dans l’´ echantillon num´ erique in- troduit lors du chargement. Pour obtenir une r´ eponse stabilis´ ee, de nombreuses it´ erations

7

L

T’

T x

y z

(a)

L

T’

T x

y z

(b)

L

T’

T x

y z

(c)

L

T’

T x

y z

(d)

Figure 5: Conditions aux limites sur l’´ echantillon num´ erique - a) La face x = 0 est priv´ ee de tout d´ eplacement suivant ~ x. Un d´ eplacement suivant ~ x est impos´ e sur la face oppos´ ee. b) La face y = 0 est priv´ ee de tout d´ eplacement suivant ~ y. Un d´ eplacement suivant ~ y est impos´ e sur la face oppos´ ee. c) La face z = 0 est priv´ ee de tout d´ eplacement suivant ~ x, ~ y, ~ z. Un d´ eplacement suivant ~ x est impos´ e sur la face oppos´ ee. d) La face z = 0 est priv´ ee de tout d´ eplacement suivant ~ x, ~ y, ~ z. Un d´ eplacement suivant ~ y est impos´ e ` a la face oppos´ ee.

Echantillons Nb d’ED Nb de liens

Total Fibre Matrice Total Fibre Matrice Fibre-Matrice

#1 - 40000 40730 21149 19581 131375 67504 58468 5403

#2 - 60000 60297 31292 29005 189578 97561 85288 6729

#3 - 80000 80480 41731 38749 253894 130516 115096 8282

Table 3: VER num´ eriques test´ es.

E

[GPa] E

[GPa] ν

G

[GPa] G

[GPa]

r´ ef´ erence analytique [10] 135.06 9.52 0.3 3.98 3.41 r´ esultats num´ eriques #3 ≈ 140 ≈ 11.4 - ≈ 2.9 ≈ 3

Table 4: Propri´ et´ es homog` enes ´ equivalentes du VER.

seraient n´ ecessaires au calcul explicite, le caract` ere explicite ´ etant choisi pour traiter des ph´ enom` enes d’impacts dans de prochaines ´ etudes. Cependant, on peut noter la capacit´ e de cette mod´ elisation ` a approcher correctement les niveaux des modules (cf. table 4) qui ont ´ et´ e calcul´ es en moyennant les ‘overshoots’ des oscillations.

Enfin, dans le but de montrer l’aptitude de la m´ ethode des ´ el´ ements discrets ` a repr´ esenter

les ph´ enom` enes de fissuration dans ce composite UD, un test de traction longitudinale a ´ et´ e

r´ ealis´ e jusqu’` a rupture pour visualiser qualitativement la rupture du VER. Les figures 7b et 7c

montrent, pour une d´ eformation ε=0.0102, que les liens cass´ es (en bleu) apparaissent dans un

premier temps au niveau de l’interface fibre/matrice puis se localisent par la suite ` a travers la

fibre. Cette observation est corrobor´ ee par la lecture du graphe 7a qui montre une augmentation

importante de la rupture de liens ‘fibre-matrice’ d` es la chute de la contrainte. Le crit` ere de

rupture est en voie d’am´ elioration par l’introduction du tenseur viriel, d´ ej` a ´ eprouv´ e dans [6] .

Il montre de r´ eelles capacit´ es ` a mod´ eliser quantitativement la fissuration.

0 10000 20000 30000 40000 Iterations [-]

140 160 180 200

Young modulus EL [GPa]

Theory in [4]

40 000 DE 60 000 DE 80 000 DE

(a)

0 10000 20000 30000 40000

Iterations [-]

5 10 15 20

Young modulus ET [GPa]

Theory in [4]

40 000 DE 60 000 DE 80 000 DE

(b)

0 10000 20000 30000 40000

Iterations [-]

0 2 4 6 8

Shear modulus GLT [GPa]

Theory in [4]

40 000 DE 60 000 DE 80 000 DE

(c)

0 10000 20000 30000 40000

Iterations [-]

0 2 4 6 8

Shear modulus GTT' [GPa]

Theory in [4]

40 000 DE 60 000 DE 80 000 DE

(d)

Figure 6: R´ esultats num´ eriques. (a) E

. (b) E

. (c) G

. (d) G

.

-2e+08 0 2e+08 4e+08 6e+08 8e+08 1e+09 1.2e+09 1.4e+09

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 100

Stress [Pa] Broken beams [%]

Strain [.]

Longitudinal tensile test - 80000 discrete elements

Stress-strain curve Ratio of broken fiber beams Ratio of broken matrix beams Ratio of broken fiber-matrix beams

(a) (b) (c)

Figure 7: R´ esultats num´ eriques pour une traction longitudinale. (a) Evolution de la contrainte et de la rupture des liens en fonction de la d´ eformation. (b,c) Visualisation des liens cass´ es (en bleu) pour une d´ eformation ε=0.0102 ; les liens affich´ es en rouge repr´ esentent les liens fibres/matrice pour faciliter la localisation des liens cass´ es.

5. Conclusion

Les travaux pr´ esent´ es dans ce papier montrent la faisabilit´ e de mod´ eliser un mat´ eriau com- posite UD par la M´ ethode des El´ ements Discrets. Ils montrent ´ egalement l’aptitude de cette m´ ethode ` a pouvoir repr´ esenter les m´ ecanismes de d´ egradation par fissuration. Les auteurs

9

continuent ` a travailler sur la calibration des param` etres intrins` eques du mod` ele ` a partir des bases physiques fournies par l’exp´ erimentation. L’objectif ` a court terme est d’ˆ etre en mesure de mettre en oeuvre le couplage, d´ evelopp´ e dans [1], pour traiter le cas d’impact sur composite.

Des travaux de mod´ elisation d’impacteur mou (de type caoutchouc) et fragmentable (de type grˆ ele) sont aussi engag´ es en parall` ele.

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