1. Propriétés de la tension supercielle

Actions exercées par les uides

Les points du cours à connaître

I- Tension supercielle

1. Propriétés de la tension supercielle

Un trombone, plus dense que l'eau, otte : une autre force existe, exercée par l'eau. Une fois immergé, le trombone coule : la force est surfacique.

Mise en évidence de la tension supercielle

Les forces exercées par un liquide sur un solide de longueur d` à une interface li- quide/solide/air sont données par la relation

− →

df = γ d` ~ n où γ est la tension supercielle en N · m

et ~ n est un vecteur unitaire tangent à l'interface, perpendiculaire au solide orienté dans le sens solide → liquide.

Force de tension supercielle

La gure 1 représente Le travail des forces de tension supercielles pour les deux interfaces est : δW = 2 γ ` dx .

γ est donc une énergie surfacique.

Tension supercielle et énergie de surface

Figure 1 Tension supercielle et énergie de surface

La gure 2 représente schématiquement les forces entre molécules d'eau. Une asymétrie existe à la surface, qui explique la tension supercielle.

Explication microscopique des forces de tension supercielle

Figure 2 Explication microscopique des forces de tension supercielle

2. Lois relatives à la tension supercielle

La gure 3 représente l'eau monte dans un tube capillaire, c'est-à-dire de petit diamètre intérieur.

Montée capillaire

Exprimer la hauteur h de montée d'un liquide de masse volumique µ et de tension supercielle dans un tube capillaire de rayon .

1 Loi de Jurin

Figure 3 Montée capillaire

En déduire que h augmente si r diminue.

Le système est le liquide au dessus du niveau libre du liquide.

Sa masse est m = µ π r

h .

Il est soumis à son poids −m g ~ u

et à la tension exercée par le solide T ~ = +2π r γ cos θ ~ u

. L'équilibre des forces donne

2π r γ cos θ = µ π r

h g ⇒ h = 2 γ cos θ µ r g On en déduit bien que h augmente si r diminue.

Considérons une bulle de gaz contenue dans un liquide et appelons γ la tension super- cielle de l'interface gaz-liquide. Supposons qu'on fait subir à la bulle une transformation qui augmente son rayon de dR . En utilisant la conservation de l'énergie, exprimer la diérence de pression P

− P

entre l'intérieur et l'extérieur en fonction de γ et R . En déduire que plus la courbure est importante et plus la diérence de pression sera grande.

Que se passe-t-il pour une bulle de savon de rayon R ? 2 Loi de Laplace

L'aire de l'interface augmente de dS = 8 π R dR et le volume de la bulle de dV = 4 π R

dR . L'énergie ne varie pas :

−γ dS + (P

− P

) dV = 0 ⇒ −8 π R γ dR + (P

− P

) 4 π R

dR = 0

⇒ P

− P

= 2 γ R

On voit immédiatement que plus la courbure est importante ( R petit) et plus P

− P

sera grand. Pour une bulle de savon de rayon R , il y a deux interfaces, donc

P

− P

= 4 γ

R

Considérons une goutte de liquide de rayon R contenue dans un gaz et appelons γ la tension supercielle de l'interface gaz-liquide.

Exprimer la diérence de pression ∆P

due à la pesanteur dans le cadre de l'hydro- statique.

Comparer cette diérence de pression à celle, notée ∆P

, due à la tension supercielle : montrer que l'une est négligeable devant l'autre suivant la valeur de R , la limite étant appelée longueur capillaire `

.

Calculer `

dans le cadre de l'eau et en déduire la taille maximale des gouttes d'eau.

3 Longueur capillaire

∆P

= µ g h = 2 µ g R . ∆P

∆P

⇔

2 µ g R 2 γ

R ⇔ R

γ µ g La longueur capillaire est donc `

= q

µ g

. Pour l'eau `

= q

72×10⁻³

1000×9,8

= 2, 7 mm , qui est la taille maximum des gouttes d'eau (ensuite, la pesanteur donne à l'eau une forme non sphérique).

3. Tension supercielle et tensio-actifs

La gure 4 représente On trouve expérimentalement : γ = 72 mN · m

pour l'eau pure et beaucoup moins pour l'eau savonneuse.

méthode de mesure de la tension supercielle par arrachement

Figure 4 méthode de mesure de la tension supercielle par arrachement

La gure 5 représente en adaptant l'interface, les molécules amphiphiles diminuent la tension supercielle.

explication microscopique de l'eet des molécules amphiphiles

Figure 5 explication microscopique de l'eet des molécules amphiphiles

La gure 6 représente la diérence des tensions supercielles entre l'eau pure et l'eau savonneuse fait avancer le "bateau".

le bateau à savon

Figure 6 le bateau à savon

II- Forces de pression et de viscosité

1. Forces de pression statiques

La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volume V délimité par la surface fermé Σ ) est

Π = ~ {

Σ

−P −−→

d

Σ = y

V

− −−→

gradP d

τ Or, à l'équilibre statique −−→

gradP = µ ~ g , donc Π = ~ y

V

−µ ~ g d

τ = −M

~ g

⇒

Un corps de volume V plongé dans un uide subit comme résultante des forces de pression l'opposé du poids du uide déplacé (de masse M

) :

Π = ~ −M

~ g 4 Théorème d'Archimède

Déterminer la résultante des forces de pression appliquée par un gaz de pression P

uniforme sur un solide immergé dans ce gaz.

5 Force de pression si la pression est homogène

La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volume V délimité par la surface fermé Σ ) est

Π = ~ {

Σ

−P −−→

d

Σ = y

V

− −−→

gradP d

τ Or −−→

gradP = ~ 0 , donc Π = ~ ~ 0 .

Déterminer la résultante des forces de pression appliquée sur un barrage parallélépipé- dique si la hauteur d'eau est h , la largeur du barrage L , la masse volumique de l'eau µ et la pression atmosphérique P

.

6 Force de pression appliquée sur un barrage parallélépipédique

La résultante des forces de pression est

x

Or −−→

gradP = µ ~ g , donc P (z) = P

− µ g z . F ~

= −L

Z

z=−h

(P

− µ g z) ~ u

+ L Z

z=−h

P

~ u

= −L

− µ g z

2

z=−h

~ u

= − µ g L h

2 ~ u

2. Portance

on s'intéresse à un écoulement parfait, incompressible, irrotationnel et stationnaire, que l'on suppose uniforme à l'inni. L'écoulement du uide est perturbé par un obstacle solide. Bien entendu, on peut comprendre l'écoulement du uide par le fait que le solide lui-même se déplace : il sut alors de se placer dans le référentiel où le centre du solide est xe.

La déformation des lignes de courant au voisinage du solide se caractérise par une zone où la vitesse est plus forte (et donc où la pression est plus faible), alors qu'à d'autres endroits, la vitesse est plus faible (et c'est alors la pression qui est plus forte).

La diérence de pression de part et d'autre du solide donne alors une force qui tend à déplacer le solide vers les zones de dépression, donc de fortes vitesses. ⇒

l'écoulement d'un uide au voisinage d'un solide exerce une force qui tend à déplacer le solide vers les zones de dépression, donc de fortes vitesses.

7 Eet Magnus

une voiture voit les lignes de courant de l'air se resserrer sous son bas de caisse. La vitesse de l'air est plus importante sous la voiture qu'au dessus. Aussi, il règne une basse pression sous la voiture, ce qui a pour eet de faire subir au véhicule une force de haut en bas qui le "colle" au sol. Cet "eet de sol", loin d'être nuisible, permet une bonne adhérence des pneus sur la chaussée.

Eet de sol

La circulation de l'air autour d'une aile d'avion n'est pas symétrique. Au dessus de l'aile ("extrados"), la vitesse est importante, alors qu'en dessous ("intrados"), la vitesse est plus faible. Aussi, l'aile ressent une force dirigée vers le haut qui assure la sustentation de l'avion.

Portance d'un avion

De la même façon, le sèche-cheveux permet la lévitation d'une balle de ping-pong.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

L'eet Coanda

si le solide est un cylindre sans rotation, il y a symétrie du problème.

Par contre, si le cylindre tourne autour de son axe, le caractère réel (c'est à dire visqueux) du uide entraîne sa rotation au contact du cylindre. Le cylindre ressent alors une force qui tend à le déplacer vers les zones de fortes vitesses.

Un tel dispositif a été utilisé pour mouvoir un bateau grâce au vent... sans voile ! C'est le cas du bateau "Alcylone" du Commandant Cousteau.

Déviation d'un cylindre en rotation :

La gure 7 représente une illustration de l'eet Magnus : une sphère ou un cylindre qui tourne en se déplaçant dans un uide. Ainsi, on peut expliquer les eets (brossés, coupés, liftés, etc.) donnés aux balles de ping-pong, de tennis ou encore aux ballons de football.

Déviation d'une balle : lift, coupé, smash

vers le bas.

Figure 7 Déviation d'une balle : lift, coupé, smash

3. Traînée

l'écoulement du uide crée sur un solide deux force : la portance (perpendiculairement à l'écoulement) et la traînée (parallèlement à l'écoulement).

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

La portance et la traînée

on s'intéresse à un obstacle xe plongé dans un uide d'écoulement uniforme à l'inni

~ v

= v

~ u

La projection de l'obstacle sur un plan x = cste perpendiculaire à l'écoulement présente une surface d'aire S : c'est le maître-couple.

Maître-couple

la force de trainée est la composante parallèle à l'écoulement de la force ressentie par l'obstacle à cause de l'écoulement. Elle est de la forme :

F ~

= C

µ v

S 2 ~ u

Le coecient de traînée C

est sans dimension. Il ne dépend que de la forme de l'obstacle et du nombre de Reynolds.

Force de traînée

La gure 8 représente l'écoulement du uide qui n'est homogène qu'à l'inni. On se place dans le référentiel où le solide est xe.

Traînée et maître couple

Figure 8 Traînée et maître couple

la traînée dépend de la forme de l'objet : un objet prolé présente un Cx plus faible qu'une surface plane.

Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Inuence de la forme de l'objet sur le coecient de traînée

La gure 9 représente l'inuence de la forme de l'obstacle et du coecient de Reynolds Re sur le coecient de traînée C

.

C

= f (Re) pour diérentes formes d'obstacles.

La gure 10 représente l'inuence de la rugosité d'un obstacle et du coecient de Reynolds Re sur le coecient de traînée C

.

Variation de la courbe C

= f (Re) pour des rugosités diérentes.

• A forte vitesse (nombre de Reynolds grand), le coecient de traînée C

est à peu près constant, donc F ~

= −βv

~ u

si Re 1 .

• A faible vitesse (nombre de Reynolds petit), le coecient de traînée C

est inversement proportionnel à la vitesse, donc F ~

= −λ~ v si Re 1 .

Force de traînée et force de frottement uide

Figure 9 Cx=f(Re)pour diérentes formes d'obstacles.

Figure 10 Variation de la courbeCx=f(Re)pour des rugosités diérentes.

On s'intéresse à une sphère de rayon R qui se déplace dans un uide de viscosité η avec la vitesse v . On suppose que le nombre de Reynolds est susamment petit pour pouvoir considérer le coecient de traînée comme C

=

.

Déterminer la force de traînée exercée par le uide sur la sphère.

8 Force de traînée exercée sur une sphère

F

= C

µ.v

.s 2 = 1

2 24

Re µ.v

.π.R

= 1 2

24.η

µ.2.R.v µ.v

.π.R

= 6.π.R.η.v

III- Systèmes ouverts

1. Bilan de masse

le système ouvert est déni comme le volume V délimité par une surface fermée Σ . Σ est xe dans le référentiel d'étude au cours du temps.

Pour le système ouvert correspondant au volume V : M

=

y

V

d

m = y

V

µ d

τ où µ est la masse volumique du uide.

Système ouvert :

La gure 11 représente un système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Passer d'un système ouvert à un système fermé

Figure 11 Passer d'un système ouvert à un système fermé

le débit massique à travers une surface non fermée S orientée est : D

= x

S

µ − → v · − − → d

S

Il s'exprime en kg · s

. La masse δm qui passe à travers la surface pendant dt est telle que D

=

.

On aurait tout aussi bien pu dénir le débit volumique à travers la surface orientée S : D

= x

S

−

→ v · − − → d

S qui s'exprime en m

· s

.

Débits massique et volumique

La variation temporelle de M pour le système fermé est : DM

Dt = ∂M

∂t + δm

dt − δm

dt = 0 où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :

=

= 0 ;

• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert :

=

=

∂

∂t

t

V

µ d

τ

= 0 , car µ = cste ;

• les ux entrant (

) et sortant (

) de masse qui ne sont rien d'autre que les débits massiques.

⇒

Dans le cas d'un uide incompressible (liquide),

• le débit massique se conserve entre l'entrée et la sortie :

=

= D

• ainsi que le débit volumique :

=

= D

. 9 Débits pour un uide incompressible

La variation temporelle de M pour le système fermé est : DM

Dt = ∂M

∂t + δm

dt − δm

dt = 0 où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :

=

= 0 ;

• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert :

=

=

∂

∂t

t

V

µ d

τ

= 0 , car

= 0 ;

• les ux entrant (

) et sortant (

) de masse qui ne sont rien d'autre que les débits massiques.

⇒

Dans le cas d'un écoulement permanent, quel que soit le uide (liquide ou gaz), le débit

10 Débits en régime permanent

massique se conserve entre l'entrée et la sortie :

=

= D

.

Une pompe injecte un débit massique D

constant d'air (considéré comme un gaz parfait de masse molaire M à la température T ) dans une chambre à air.

Déterminer l'équation diérentielle à laquelle obéit la pression P dans la chambre à air.

11 Non conservation du débit d'un gaz en régime non permanent :

La variation temporelle de M pour le système fermé est : DM

Dt = dM

dt + δm

dt − δm

dt où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :

= 0 ;

• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert :

=

t

V

µ d

τ

= V

;

• les ux entrant (

= D

) et sortant (

= 0 ) de masse.

Comme µ =

=

=

, on trouve V

= D

=

. 2. Bilans de quantité de mouvement

la quantité de mouvement du système ouvert de volume V est : P ~ = y

V

~ v d

m = y

V

µ ~ v d

τ Quantité de mouvement d'un système ouvert :

la variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est : D P ~

Dt =

P ~

(t + dt) − P ~

(t) dt = d P ~

dt + δm

dt ~ v

− δm

dt ~ v

où

est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert et δm

(respectivement δm

) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt à la vitesse ~ v

(respectivement ~ v

).

Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs : D P ~

Dt = Σ F ~

où Σ F ~

est la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé coïncident. ⇒

Σ F ~

= ∂ ~ P

∂t + δm

dt ~ v

− δm

dt ~ v

12 Bilan de quantité de mouvement :

un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de la part de son environnement. Sur l'élément innitésimal −−→

d

Σ (orienté vers l'extérieur) s'exerce −−→

d

F = −P −−→

d

Σ . Π = ~ − {

M∈Σ

P (M ) −−→

d

Σ = − y

M∈V

−−→ gradP (M ) d

τ

Dans le cas statique, −−→

gradP = µ ~ g . Donc ⇒

un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de résultante

Π = ~ − {

M∈Σ

P (M ) −−→

d

Σ = − y

M∈V

µ(M ) ~ g d

τ

Dans le cas statique, la poussée d'Archimède est égale à l'opposé du poids du uide déplacé.

13 Résultante des forces de pression

Montrer qu'en régime permanent apparaît une grandeur qui a la dimension d'une force et qui est due au débit massique D

14 Force de poussée en régime permanent

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve ( D

=

=

) et

= ~ 0 , aussi D

(~ v

− ~ v

) = Σ F ~

Cette dernière grandeur a la dimension d'une force. On peut la nommer force de poussée : F ~

= D

(~ v

− ~ v

)

La "force" de poussée n'est pas à prendre en compte dans le bilan des forces car elle apparaît naturellement dans le bilan de quantité de mouvement.

remarque

3. Bilan d'énergie

l'énergie cinétique du système ouvert est :

E

= y

V

v

2 d

m = y

V

µ v

2 d

τ

Energie cinétique d'un système ouvert :

la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé est : DE

Dt = E

(t + dt) − E

(t)

dt = dE

dt + δm

dt

v

2 − δm

dt

v

2

où

est la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert et δm

(respectivement δm

) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt à la vitesse ~ v

(respectivement ~ v

).

Le théorème de l'énergie cinétique donne : DE

Dt = ΣP

+ ΣP

= dE

dt + δm

dt

v

2 − δm

dt

v

2

où ΣP

est la somme des puissances des actions extérieures et ΣP

est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système.

On admet que ΣP

= 0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible. ⇒ ΣP

+ ΣP

= ∂E

∂t + δm

dt v

2 − δm

dt v

2 où :

• la masse δm

à l'entrée a une vitesse v

,

• la masse δm

à la sortie a une vitesse v

,

• ΣP

est la somme des puissances des actions extérieures,

• et ΣP

est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système ( ΣP

= 0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible).

15 Bilan d'énergie cinétique :

Que devient le bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompres- sible et permanent ?

16 Bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompres- sible et permanent

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve ( D

=

=

) et

= 0 , aussi D

v

2 − v

2

= ΣP

Exercice traité en n de cours

exo 14.1) Modélisation de l'eet d'un jet d'eau sur une plaque mobile

On s'intéresse à un jet d'eau de sectionS qui arrive, dans le référentiel du sol, avec une vitesse~vj= +vj~ux

sur une plaque qui se déplace à la vitesse~vp.

1) On considérera que l'eau repart dans un sens opposé (−~ux) en conservant la sectionS du jet. En faisant un bilan de masse, déterminer

1.a) la vitesse de l'eau~veincidente sur la plaque dans le référentiel de la plaque, 1.b) la vitesse de l'eau~v⁰_saprès choc sur la plaque dans le référentiel du sol.

2) On suppose que la pesanteur est négligeable et que la pression de l'eau est partout égale à la pression atmosphérique.

2.a) Calculer la résultante des forces de pressionΠ~.

2.b) En appliquant un bilan de quantité de mouvement, déterminer la forceF~_j→p qu'applique le jet sur la plaque.

3) Etude énergétique

3.a) Faire un bilan d'énergie cinétique dans le référentiel de la plaque.

3.b) Calculer, dans le référentiel du sol, la puissancePj→p de la force qu'applique le jet sur la plaque.

3.c) On posevp=x vj. Déterminer le maximum dePj→p.

1) Bilan de masse.

1.a) Dans le référentielRde la plaque, en déplacement à la vitesse~vp, par rapport au référentielR⁰ du sol,

~v⁰_e=~ve+~vp= (ve+vp)~ux=vj~ux⇒ve=vj−vp

1.b) On se place dans le référentielRde la plaque, en déplacement à la vitesse~vp. Dans ce référentiel, DM

Dt =dM dt +δms

dt −δme

dt = 0 Le débit massique se conserve (uide incompressible), aussi :

δm_s dt = δm_e

dt Si on considère que la section du jet est constante,

δms

dt =µ v_eS= δme

dt =µ v_sS⇒v_e=v_s⇒~v_e= +v_e~u_x=−~v_s=−v_s~u_x Donc la vitesse de l'eau après choc avec la plaque est

~

v_s⁰ =~vs+~vp= (−ve+vp)~ux= (−vj+ 2vp)~ux

2) Forces :

2.a) Un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de résultante

~Π =− {

M∈Σ

P(M)−−→

d²Σ =−y

M∈V

−−→gradP(M) d³τ=~0

qui est cohérent avec la poussée d'Archimède nulle car égale à l'opposé du poids du uide déplacé (on néglige la pesanteur !).

2.b) On se place dans le référentiel R de la plaque : la variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est :

DP~ Dt =

P~f(t+dt)−P~f(t) dt =dP~

dt +δms

dt ~vs−δme

dt ~ve

où ^d_dt^P~ =~0 est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert etδm_s=D_mdt= µ v_eS dt (respectivement δm_e = D_mdt = µ v_eS dt) est la masse qui est sortie (respectivement entrée)

pendant dtà la vitesse~vs (respectivement~ve).

Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs : DP~

Dt = ΣF~ext=Π +~ F~p→j =−F~j→p

oùΣF~extest la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé coïncident.

Donc

−F~j→p=Dm~vs−Dmdt~ve=µ veS(~vs−~ve) Reste à revenir dans le référentielR⁰ du sol, où

~

v_e⁰ =~v_e+~v_p=~v_j⇒v_e=v_j−v_p et

~

v_s⁰ =~v_s+~v_p= (−v_j+ 2v_p)~u_x⇒~v_s= (−v_j+v_p)~u_x aussi

F~_j→p=µ veS(~ve−~vs) =µ(vj−vp)S(vj−vp−(−vj+vp))~ux= 2µ S(vj−vp)²~ux

3) Etude énergétique

3.a) Dans le référentiel de la plaque, la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé est :

DEc

Dt =Ec_f(t+dt)−Ec_f(t)

dt =dEc

dt +δms

dt v_s²

2 −δme

dt v²_e

2

où ^dE_dt^c est la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert et δms = Dmdt = µ veS dt (respectivement δme=Dm dt=µ veS dt) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dtà la vitesse~vs (respectivement~ve).

Le théorème de l'énergie cinétique donne : DEc

Dt = ΣP_ext+ ΣP_int= dEc

dt +δms

dt v_s²

2 −δme

dt v_e²

2

oùΣP_int= 0est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système.

etΣPext=−F~_j→p·~0est la somme des puissances des actions extérieures car la vitesse de la plaque est nulle dans le référentiel de la plaque.

Comme ^dE_dt^c = 0et vs=ve, on trouve0 = 0!

3.b) La puissance de la forceF~_j→p qu'applique le jet sur la plaque est P_j→p=F~_j→p·~v_p= 2µ S(v_j−v_p)²v_p

3.c)

P_j→p=F~_j→p·~vp= 2µ S v_j³(1−x)²x On dérivef(x) =x(1−x)² :

df

dx = (1−x)²−2 (1−x)x= (1−x) (1−x−2x) = (1−x) (1−3x) qui s'annule pour x= 1(minimum :P_j→p= 0), oux= ¹₃, qui est un maximum :

P_max= 2 3µ S v_j³

1−1

3 2

= 2

3 3

µ S v_j³

Techniques à maîtriser

I- Bilans de masse et calculs de débits

Établir un bilan de masse en raisonnant sur un système ouvert et xe ou sur un système fermé et mobile.

Utiliser un bilan de masse.

ce qu'il faut savoir faire

Il faut bien dénir la surface et son orientation.

Il faut discerner débit massique (D_m=s

Sµ−→v ·−−→

d²S) et débit volumique (D_v=s

S

−

→v ·−−→

d²S).

A) calculs de débits

Il faut faire un schéma avec :

• à l'instantt le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;

• à l'instantt+ dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Seule la masse d'un système fermé est toujours constante (pas celle d'un système ouvert en régime non permanent) : ^DM_Dt = 0.

B) faire un bilan de masse

14.1.1) Débit d'un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µet de viscosité dynamiqueη s'écoule sur un plan incliné d'un angleαsur l'horizontale sur une hauteurδconstante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :

~

v= µ.g.sinα

2.η (2.δ−z).z.~ux

où~u_z est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.

1) En déduire le débit volumiqueD_v par unité de largeur de l'écoulement.

1) Le débit volumiqueDv par unité de largeur de l'écoulement est

Dv= Z z=δ

z=0

µ.g.sinα

2.η (2.δ−z).z.dz= µ.g.sinα 2.η

Z z=δ z=0

(2.δ−z).z.dz=µ.g.sinα 2.η

δ³−δ³

3

soit

Dv= µ.g.sinα 3.η δ³

14.1.2) Débit à travers une paroi poreuse (loi de Darcy)

Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques horizontaux, de rayonaet de longueur`(a`), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence de pression∆pentre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.

On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est ca- ractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~u_z tel que :

v(r) = ∆p

4.η.` a²−r² oùrdésigne la distance à l'axe du tube.

1) Exprimer le débit volumique Dv du uide à travers la paroi sous la forme

D_v=KS.∆p η.`

oùK est la perméabilité de la paroi etS représente la section totale de la paroi.

2) En déduire la vitesse moyenne V du uide - vitesse de Darcy - à travers la paroi.

1) Le débit volumique dans chaque tube est D₀= 2π

Z r=a r=0

v(r).dr= 2π ∆p 4.η.`

Z r=a r=0

a²−r²

.r.dr= 2π ∆p 4.η.`

a⁴ 2 −a⁴

4

soit

D0= ∆p.π.a⁴ 8.η.`

(c'est la loi de Poiseuille pour un tube). Pour tous les N tubes :

Dv=N.∆p.π.a⁴ 8.η.`

On a bien

Dv=KS.∆p η.`

avec

K= N.π.a⁴ 8.S 2) La vitesse est telle queD_v=S.V, soit

V =K∆p η.`

II- Bilans de quantité de mouvement

Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan. Utiliser la loi de la quantité de mouvement pour exploiter un bilan.

ce qu'il faut savoir faire

Il faut faire un schéma avec :

• à l'instantt le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;

• à l'instantt+ dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Seule la quantité d'un système fermé suit le théorème de la résultante cinétique : ^D_Dt^P~ = ΣF~ext.

C) Faire un bilan de quantité de mouvement

Ne pas oublier la résultante des forces de pression.

14.2.1) Jet sur une plaque xe

On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à~ux, immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arrive un jet d'eau à la pression atmosphérique (de masse volumiqueµ, de vitesse ~v0 =v0.~ux, de section S et donc de débit massiqueDm=µ.S.v0). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angleα, il garde la même sectionS, et la même pression. On néglige tous phénomènes de viscosité.

1) Déterminer la forceF~_jetexercée par le jet sur la plaque en régime permanent.

2) Montrer en particulier que si α= 0(le uide repart dans la direction d'incidence), F~jet= 2.Dm.~v0

1) On prend comme système la plaque et le uide compris entre deux surfaces :S_ela surface d'entrée et S_s, la surface de sortie. Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé coïncident donne :

D ~P

Dt = ΣF~ext=d ~P dt +δms

dt ~vs−δme

dt ~ve

oùΣF~_extest la somme des résultantes des actions extérieures, qui prend en compte les forces de pression (de résultante nulle) et la forceF~support due au support de la plaque. En régime permanent,

F~support=Dm.(~vs−~ve)

où ~ve =~v0 = v0.~ux et~vs = v0.(−cosα.~ux+ sinα.~uy). Aussi, la force due au jet d'eau sur la plaque peut apparaître comme :

F~jet=−F~support=Dm.(~ve−~vs) =Dm.v0((1 + cosα).~ux−sinα.~uy)

2) Dans le cas oùα= 0 (le uide part dans la direction d'incidence), F~_jet= 2.D_m.~v₀

14.2.2) Jet sur une plaque mobile

Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante~v=v.~ex. Elle est poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est~vi0 =v0.~exet le débit massiqueDm.

Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est αdans le référentiel de la plaque. Le jet garde une section uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.

1) Calculer le débit D⁰_mdu jet dans le référentiel de la plaque.

2) Calculer la force exercée sur la plaque.

1) Le débit dans le référentiel du sol estD_m=µ.v₀.S.

La vitesse du jet incident dans le référentiel de la plaque est V~i = (v0−v).~ex. Aussi le débit dans le référentiel de la plaque est D_m⁰ =µ.V⁰.S=µ.(v0−v).S, soit :

D⁰_m=Dm.

1− v v0

2) Le référentiel de la plaque est galiléen. La conservation de l'énergie dans celui-ci implique que la norme de la vitesse de l'eau est constante (on ne tient pas compte de la pesanteur). La vitesse du jet émergent dans le référentiel de la plaque est V~_f = (v₀−v).[−cosα~e_x+ sinα~e_y]. Le système plaque + eau en contact avec le déecteur est soumis à la pression atmosphérique de résultante nulle et à une force du supportF~s.

Un bilan de quantité de mouvement pour ce système donne :F~s=D⁰_m. V~f−V~i

.

On voit donc apparaître la force exercée par le jet :F~s=−F~j, soit F~_j=D_m.

1− v

v0

(v₀−v).[(1 + cosα)~e_x−sinα~e_y]

14.2.3) Force sur une lance d'incendie

Un tuyau souple, de sectionS se termine par un embout dont la section terminale s= 1cm² est très petite devantS.

La pression dans le tuyau est P₁= 10baret le jet sort dans l'atmosphère à la pressionP₀= 1bar. L'embout fait un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.

La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.

1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm

2) Calculer Fy, la composante parallèle au jet de la force F~ exercée par la personne qui tient la lance.

1) D_m=µ.s.v_jet=µ.S.v_tuyau. CommeSs,v_jetv_tuyau.

Le uide étant parfait, on peut calculer le débit en utilisant ta relation de Bernouilli :

v²_jet 2 +^P_µ^0v

2 tuyau

2 +^P_µ¹ ≈^P_µ¹. Aussi,vjet≈q

2^P1−P_µ ⁰, d'où :

D_m=s.p

2.µ(P₁−P₀) = 4,2kg.s⁻¹

2) Les forces appliquées sur le système formé par l'embout, le coude du tuyau et le uide sont :

• F~ la force à exercer sur l'extrémité du tuyau,

• F~⁰ les forces de cohésion du tuyau en amont (suivant~e_x),

• (P₁−P₀).S~e_xles forces de pression suivant l'axe du tuyau,

• (P₀−P₀).s~e_y les forces de pression suivant le jet,

Le bilan de quantité de mouvement appliqué à ce système donne : F~ +F~⁰+ (P₁−P₀).S~e_x=D_m.(~v_jet−~v_tuyau)≈D_m.~v_jet.

En projetant suivant~e_y, on trouveF_y=D_m.v_jet=µ.s.v²_jet. On en déduit : F_y = 2 (P₁−P₀).s= 180N

14.2.4) Force de poussée subie par une fusée

Une fusée, dont la masse à l'instantt estméjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburant et du comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse~v par rapport au référentiel d'étude, galiléen, et que la vitesse~udes gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante.Dm

représente leur débit massique.

1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la forceF~pqu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis aux mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.

1) On se place dans le référentiel non galiléen de la fusée. Soit le système ouvert constitué par la fusée, le carburant et les gaz qu'elle contient, et le système fermé coïncident. Ce système est soumis à une force d'interactionF~ (pesanteur, frottements, etc.) Sa quantité de mouvement est constante, le bilan de quantité de mouvement donne : F~ +F~i=Dm.~u(il n'y a pas de ux entrant). Aussi :

F~_p=−D_m.~u

14.2.5) Evolution de la vitesse d'une fusée

Une fusée, de masse totale au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par

un débit massique constant a= 120kg.s⁻¹, à la vitesse relative ~upar rapport à la fusée (u= 2400m.s⁻¹). Le mélange combustible a une massem_c(0) = 0,8.m(0)au départ.

1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesseV~ de la fusée à l'instanttdans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, en fonction de~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée,u, et m(t)masse de la fusée à l'instantt.

2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver V~(t), la vitesse de la fusée à l'instantt.

3) On prendrag= 10m.s⁻². Calculer la vitesse maximaleV_max acquise par la fusée.

1) ^{d ~}_dt^V =~g+_m.dt^dm .~u. 2) V~(t) =~g.t+ ln _m(t)

m(t=0)

.~u. 3) Vmax= 3,1.10³m.s⁻¹.

III- Bilans d'énergie

Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan.

Utiliser la loi de l'énergie cinétique pour exploiter un bilan. Exploiter la nullité (admise) de la puissance des forces intérieures dans un écoulement parfait et incompressible.

ce qu'il faut savoir faire

Il faut faire un schéma avec :

• à l'instantt le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;

• à l'instantt+ dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Seule l'énergie cinétique d'un système fermé suit le théorème de la puissance cinétique : ^DE_Dt^c = ΣPext+ ΣPint= ΣPext dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.

D) Faire un bilan d'énergie cinétique

14.3.1) Puissance d'une pompe

Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massiqueDm

constant. Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude hau-dessus de celui du puits, et la pression y est égale à P1, supérieure à la pression atmosphériqueP0. On néglige toute viscosité.

1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.

1) On eectue un bilan d'énergie mécanique pour le système constitué par l'eau comprise à l'instantt, dans un tube de courant qui relie la surface supérieure du puits à celle du réservoir.

Les énergies cinétiques entrante et sortante sont négligeables.

L'énergie potentielle massique entrante est nulle en prenant l'origine des énergies potentielles au niveau de la surface du puits. L'énergie potentielle massique sortante est égale àg.h.

Le régime étant permanent l'énergie mécanique du système ouvert ne varie pas.

La puissance des force de pression estPp= (P0−P1)^D_µ^m. Conclusion :

P_u=D_m.

g.h+P1−P0

µ

14.3.2) Réfrigérant

De l'air chaud (Pi= 6bar,Ti = 500K, de chaleur massique à pression constanteca= 1,0kJ.kg⁻¹.K⁻¹.) est refroidi de façon isobare jusqu'à la températureTf = 300K, dans un échangeur parfaitement calorifugé.

Le uide réfrigérant est constitué par de l'eau (de chaleur massique ce = 4,18.kJ.kg⁻¹.K⁻¹) qui entre à la température θe = 12^◦C et qui sort à θs. Le débit massique d'eau est De = 100g.s⁻¹ et celui de l'air D_a = 6,5g.s⁻¹.

1) Calculer θ_s.

1) Bilan enthalpique pour l'air :P_tha=D_a.c_a.(T_s−T_e). Bilan enthalpique pour l'eau :Pth_e =De.ce.(θs−θe). Le système est calorifugé, aussi :Pth_a+Pth_e= 0. Donc :

θs=θe−Da.ca

De.ce

(Ts−Te) = 15^◦C

14.3.3) Mélangeur

Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (températureTf, débit massiqueDf) et de l'eau chaude (tem- pératureTc, débit massiqueDc).

1) Déterminer la températureT de l'eau sortant du robinet.

1) On peut supposer le robinet adiabatique en régime permanent. La capacité thermique massique à pression constante c de l'eau ne dépend pas de la température. En régime permanent, l'enthalpie entrant dans le robinet pendant dtest égale à l'enthalpie sortant pendant la même durée :

µ.c.D_c.T_c.dt+µ.c.D_f.T_f.dt=µ.c.(D_c+D_f).T.dt, donc : T =Dc.Tc+Df.Tf

D_c+D_f

IV- Forces exercées par un uide parfait

Utiliser les relations −→

dF =−p−→ dS et−→

dF =−−−→

gradp dτ.

ce qu'il faut savoir faire

Il faut appliquer le théorème de Bernoulli (bien vérier auparavant les conditions d'application !) entre deux points le long d'une ligne de courant (vérier qu'une ligne de courant existe bien entre ces deux points !).

E) Applications de la relation de Bernoulli

14.4.1) Force exercée sur une seringue

Une seringue est formée d'un corps de section constante S1 et d'une aiguille dont l'extrémité a une section S2 S1. Cette seringue contient un liquide de masse volumique µ qui est éjecté en appuyant sur un piston mobile sans frottements.

1) Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pour assurer un débit volumiqueD d'éjection ?

1) Le débit volumique estD=S1.v1=S2.v2, oùv1 est la vitesse du uide au contact du piston etv2à l'orice de l'aiguille.

L'écoulement entre A et B peut être considéré comme stationnaire. On peut appliquer la formule de Bernouilli le long de la ligne de courant entre AetB : ^v₂¹² +g.z1+^P_µ¹ = ^v₂²² +g.z2+^P_µ².

Orz1=z2,P2=PatmetP1=Patm+ ∆P. Aussi, _2.S^D22

1

+^∆P_µ = _2.S^D22

2. soit∆P =µ.D².

1

2.S₂² −_2.S¹2 1

. La force exercée estF = ∆P.S1, d'où :

F = µ.D² 2.S1

. S₁

S2

2

−1

!

V- Forces de viscosité

Utiliser l'expression fournie −→

dF =η^∂v_∂y^xdS~ux

ce qu'il faut savoir faire

La force de viscosité exercée par la veine lente (poury < y0) sur la surfaceS de cotey0qui la sépare de la veine rapide (poury > y0) estFx=−η S^∂v_∂y^x. La contrainte tangentielle σexercée sur le plan solide de cotez=z0est σ=η_dv(y)

dy

y=y₀.

F) Forces de cisaillement

La force de trainée est de la forme :F~trainee=Cx µ v²_∞S

2 ~ux. Suivant la valeur du nombre de Reynolds, on discerne trois comportements : siRe <1,Cx=_Re²⁴, siRe∈

10³; 10⁵,Cx≈cst, autour deRe= 5.10⁵, Cx chute brusquement.

G) Forces de traînée

14.5.1) Contrainte exercée par un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µet de viscosité dynamiqueη s'écoule sur un plan incliné d'un angleαsur l'horizontale sur une hauteurδconstante. On étudie l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :

~

v= µ.g.sinα

2.η (2.δ−z).z.~ux

où~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.

1) Quelle est la contrainte tangentielle σexercée sur le plan incliné ?

1) La contrainte tangentielleσexercée sur le plan incliné estσ=η_dv(z)

dz

z=0 or dv(z)

dz

=µ.g.sinα

2.η (2.δ−2.z) soit

σ=µ.g.sinα.δ

qui ne dépend pas de la viscosité du uide, mais uniquement de la pesanteur qui met en mouvement le uide.

14.5.2) Contrainte exercée par le déplacement d'une plaque dans un uide

Soient deux grandes plaques parallèles, l'espace entre les plaques étant rempli d'un uide donné. La plaque inférieure (eny= 0) est xe, tandis que la plaque supérieure (eny= ∆y) est entraînée par une force constante F~0=F0.~ux, et on constate qu'elle est animée d'une vitesse constanteV~ =V.~ux.

Il s'exerce donc sur la plaque une force, dirigée parallèlement à la plaque et opposée àF~0 : c'est la force de viscosité, notéeF~.

Le uide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va donc être animé de la vitesse V~ =V.~ux, tandis que le uide en contact avec la plaque xe aura une vitesse nulle. La vitesse d'écoulement au sein du uide est en tout point parallèle à l'axeOx, mais son module dépend de la cote y:~v=v_x(y).~u_x.

Si la distanceyet la vitesseV ne sont pas trop grandes, on constate que le prol des vitesses est une droite.

1) Exprimer ^∂v_∂y^x.

Les expériences ont d'autre part montré que la forceF₀à exercer sur la plaque supérieure pour l'entraîner à la vitesse constanteV, varie proportionnellement avec la surface de la plaque, avec la vitesseV et inversement avec∆y.

2) Déterminer la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0) sur la surface S de cotey0 qui la sépare de la veine rapide (poury > y0).

1)

∂v_x

∂y = V

∆y 2)

F_x=−η.S∂vx

∂y =−η.S V

∆y

14.5.3) Contrainte exercée par un écoulement de Poiseuille cylindrique

On considère un écoulement de Poiseuille permanent dans un tube cylindrique d'axeOz, de section circulaire et de rayon R:

v(r) =−R² 4η

dp dz

1− r²

R²

Déterminer la projection des forces de cisaillement.

La projection des forces de cisaillement est :

σ(r) = r 2

dp dz

14.5.4) Forces de viscosité dans un amortisseur hydraulique

On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un piston de longueur ` et de rayon R<sup>0</sup> = R−a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de masse volumiqueµ et de viscosité dynamiqueη, qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitessevz(r)du uide entre le piston et la paroi est assimilable à un champvz(x)puisqueaR. On admet quevz= <sub>2η.`.π.R</sub>^−F 2(x−a).x−^v_a^px, où vp est la vitesse du piston etF la force exercée par l'opérateur.

1) Exprimer le débit volumique Dv : 1.a) à partir du champ de vitessevz(x) 1.b) grâce à une autre relation.

2) En déduire la relation qui lie la vitessev_p etF.

1) Débit volumiqueDv :

1.a) à partir du champ de vitesse vz(x):

1.b) grâce à une autre relation : on déplace un volumeV =vp.π.R².dt, donc D_v=v_p.π.R²

2) Conclusion :

vp= a R

F.a²

6η.`.π.R² −vp

soit

F ≈6.π.η.`.vp

R³ a³

Les techniques mathématiques à connaître

Utilisation de formules d'analyse vectorielle

Formules locales de dérivation d'une somme

O~(U+V) =O~U+~OV

~O A~+B~

=O~A~+O~B~

~O∧

A~+B~

=~O∧A~+~O∧B~ Formules locales de dérivation d'un produit

~O(U.V) = ~OU

.V +U. ~OV

~O U. ~A

= O~U

. ~A+U.

O~A~ O~ ∧

U. ~A

= ~OU

∧A~+U.

O~ ∧A~

~O. A~∧B~

=

~O∧A~

. ~B−A.~

~O∧B~ O~ ∧

A~∧B~

= O~. ~B

. ~A− O~. ~A

. ~B+ B.~~ O

. ~A− A.~~O

. ~B

~O. A. ~~ B

=A~∧ O~ ∧B~

+B~ ∧

~O∧A~ +

A.~~ O . ~B+

B.~~ O . ~A Formules locales de double dérivation

~O∧ O~U

=~0 ~O. O~ ∧A~

= 0 O~. ~OU

=O²U ~O∧

~O∧A~

=O~. O~. ~A

−O². ~A Formules intégrales pour une surface S délimitée par un contour fermé C Formule de Stokes :

I

C

−

→A·−→ d`=x

S

−→rot−→ A

·−−→

d²S

Formule de Kelvin : I

C

f−→ d`=x

S

−−→

d²S∧−−→

grad(f)

Formules intégrales pour un volume V délimité par la surface fermée Σ Formule d'Ostrogradsky :

{

Σ

A~·−−→

d²Σ =y

V

div A~

d³τ Formule du gradient :

{

Σ

f−−→

d²Σ =y

V

−−→grad(f) d³τ

Formule du rotationnel : {

Σ

−−→d²Σ∧A~=y

V

−→rot A~

d³τ