Séparation de l écoulement dans la région capillaire d un film liquide et laminaire

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Georg Dietze, Reinhold Kneer

To cite this version:

Georg Dietze, Reinhold Kneer. Séparation de l’écoulement dans la région capillaire d’un film liquide et laminaire. CFM 2011 - 20ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2011, Besançon, France. �hal- 03422916�

S´ eparation de l’´ ecoulement dans la r´ egion capillaire d’un film liquide et laminaire

Georg Dietze^a et Reinhold Kneer^a

a.Institute of Heat and Mass Transfer, RWTH Aachen, Eilfschornsteinstr. 18, D-52056 Aachen

R´ esum´ e :

L’article pr´esente une ´etude exp´erimentale et num´erique de la s´eparation de l’´ecoulement dans la r´egion capillaire d’un film liquide et laminaire. L’´etude ´elucide la cin´ematique et la dynamique du ph´enom`ene ainsi que son effet sur le transfert thermique pari´etal. Du cˆot´e exp´erimental, des mesures v´elocim´etriques et des mesures de l’´epaisseur du film ont ´et´e r´ealis´ees dans un montage sp´ecifique permettant l’acc`es optique `a la section du film. Du cˆot´e num´erique, la m´ethode ^≪Volume of Fluid^≫ a

´

et´e employ´ee pour tenir compte du caract`ere diphasique de l’´ecoulement.

Abstract :

The present paper reports an experimental and numerical study of flow separation in the capillary wave region of laminar falling liquid films. The study elucidates the kinematics and governing dynamics of the phenomenon as well as its effect on wall-side heat transfer. On the experimental side, optical velocity and film thickness measurements were performed in a specifically designed optical test setup allowing optical access to the cross section of the film. On the numerical side, the Volume of Fluid Method was employed to account for the multiphase character of the flow.

Mots clefs :

1 Introduction

La Figure 1 (voir [1, 2, 3]) illustre la topologie typique de la surface libre d’un film liquide et la- minaire. Celle-ci est en g´en´eral couverte d’ondes bi- et/ou tridimensionnelles dˆu `a une instabilit´e de l’interface entre liquide et gaz (ci-dessous d´enomm´e simplementinterface). En haut de la photographie centrale, montrant un film d’eau vertical, se d´eveloppent des ondes bidimensionnelles avec un espace- ment constant suite `a une perturbation monochromatique en amont. Le trac´e de l’´epaisseur du film dans cette r´egion est caract´eris´e par des ondes asym´etriques en forme de larmes, s´epar´ees par un film r´esiduel. En aval de ces ondes principales, se d´eveloppent des ondes moins prononc´ees, d´enomm´ees ondes capillairesen raison du rˆole pr´edominant qu’y jouent les forces de tension de surface. Les paquets d’ondes bidimensionnels se subdivisent par la suite en structures tridimensionnelles.

La pr´esente communication s’adresse en d´etail aux conditions d’´ecoulement dans la r´egion des ondes capillaires (ci-dessous d´enomm´ee r´egion capillaire) de films liquides verticaux bi- et tridimensionnels avec une topologie r´eguli`ere. Plus sp´ecifiquement, le ph´enom`ene de s´eparation de l’´ecoulement, qui peut se produire dans cette r´egion (voir [4, 5]), est trait´e `a l’aide d’exp´eriences et simulations num´eriques, b´en´eficiant potentiellement le d´eveloppement de mod`eles int´egraux de couche limite (voir [6]). Comme sera d´evelopp´e dans l’article (voir section 3), les forces de tension de surface (ou forces capillaires) jouent un rˆole important dans la formation de ce ph´enom`ene et c’est pour cela que celui-ci sera d´esign´e avec le terme s´eparation capillaire dans ce qui suit.

Un aspect remarquable d’une s´eparation de l’´ecoulement au sein d’un film liquide et vertical est le retour de l’´ecoulement qui y est associ´e. La possibilit´e d’une telle cin´ematique a fait l’objet d’un nombre de travaux pr´ec´edents (voir [7, 8] pour un aper¸cu bibliographique) `a commencer par celui de Kapitza [9]. Son analyse num´erique simplifi´ee a abouti `a une repr´esentation qualitative du champ

ondes capillaires

onde principale

film résiduel ondes irrégulières

ondes

bidimensionnelles

ondes

tridimensionnelles

Alekseenko et al. [2]

Park et Nosoko [3]

Nosoko et al. [1]

Figure 1 – Films liquides avec ondes bi- ou tridi- mensionnelles `a caract`ere r´egulier ou irr´egulier.

lement dans la r´egion du creux d’une onde in- terfaciale. Plus r´ecemment ces r´esultats ont ´et´e confirm´es par des simulations num´eriques `a base des ´equations compl`etes de Navier-Stokes (voir [10, 11]). De plus, Kunugi et Kino [12] ont con- stat´e un retour de l’´ecoulement au sein d’un film tridimensionnel et conjectur´e que le ph´enom`ene soit responsable pour l’instabilit´e d’ondes bidi- mensionnelles vis `a vis de perturbations tridi- mensionnelles. Cependant, l’obtention de preuves exp´erimentales est plus difficile. Al-Sibai et Ado- meit [13] ont r´ealis´e une photographie d’une tra- jectoire de particule d’encensement au sein d’un film liquide en forme deboucle(voir Figure 6(c)) et Tihon et al. [14] ont mesur´e la contrainte pari-

´etale dans un film bidimensionnel montrant que celle-ci change de signe dans la r´egion capillaire.

2 M´ ethodes exp´ erimentales et num´ eriques

Une br`eve description des m´ethodes exp´erimentales et num´eriques employ´ees est pr´esent´ee dans ce qui suit (voir [7, 4, 5] pour plus de d´etails). Du cˆot´e exp´erimental, le montage repr´esent´e dans la Figure 2 a ´et´e employ´e pour des mesures optiques de vitesse (`a l’aide des m´ethodes Laser Doppler Velocimetry, LDV et Particle Image Velocimetry, PIV) et de l’´epaisseur du film (`a l’aide de la m´ethode Confocal Chromatic Imaging, CCI). Il consiste principalement d’un corps de verre cubo¨ıde contenant un per¸cage cylindrique le long de la surface interne duquel s’´ecoule un film liquide bidimensionnel.

Pour permettre un acc`es optique sans distorsions `a la section du film, les indices de r´efraction du liquide et du verre ont ´et´e ajust´es. Ceci a ´et´e r´ealis´e par le choix du liquide (une solution aqueuse de dim´ethylsulfoxyde avec ν=2.85·10⁻⁶ m²/s, ρ=1098.3 kg/m³,σ=0.0484 N/m) et un r´eglage pr´ecis de la temp´erature. Le dessin sur la droite de la figure illustre l’acc`es optique pour les diff´erentes m´ethodes v´elocim´etriques. En particulier, celui-ci permet l’orientation azimutale de l’´elipso¨ıde de mesure LDV, permettant ainsi une bonne r´esolution spatiale en direction des variations principales de vitesse.

Du cˆot´e num´erique, les m´ethodes Volume of Fluid (VOF) et Continuum Surface Force (CSF) ont ´et´e employ´ees pour deux types de simulations de films liquides verticaux `a base des ´equations de Navier- Stokes. Premi`erement, une simulation bidimensionnelle repr´esentant l’´evolution spatio-temporelle enti`ere d’un film liquide soumis `a un for¸cage monochromatique (voir Figure 3). Deuxi`emement, deux simu- lations tridimensionnelles d’un segment p´eriodique d’un film liquide tridimensionnel (voir Figure 7) pour des conditions d’´ecoulement plus ou moins proches `a celles r´ealis´ees exp´erimentalement par Park et Nosoko [3]. Pour cela, des conditions p´eriodiques ont ´et´e impos´ees aux limites verticales ainsi que des conditions sym´etriques aux limites horizontales du domaine de calcul.

3 Analyse bidimensionnelle

La Figure 3 repr´esente l’´evolution spatio-temporelle simul´ee des lignes de courant au premier creux d’onde de la r´egion capillaire (ci-dessous d´enomm´e premierminimum capillaire) d’un film liquide bi- dimensionnel (Re=15, Ka=509) soumis `a un for¸cage de fr´equence f=16 Hz. Chacun des diagrammes contient ´egalement un pictogramme situant la position actuelle du minimum capillaire en question dans une vue d’ensemble. L’´evolution des lignes de courant se r´epartit en trois ´etapes. Premi`erement, pen- dant la formation du minimum capillaire, celles-ci se d´eforment, mettant en ´evidence une d´ec´el´eration du fluide suivie par une r´e-acc´el´eration (voir 3(a)). Cette d´ec´el´eration devient plus importante au fur et `a mesure que le minimum capillaire devient plus prononc´e jusqu’`a ce que l’´ecoulement se d´etache de la paroi (et se r´e-attache plus en aval) cr´eant une zone de s´eparation (voir 3(b)). Dans la troisi`eme

1 2

3

4

5 6

7

Eclairage PIV

Ellipsoïde

LDV x

y z

Film liquide

Corps de verre

Figure2 – Montage exp´erimental. 1 : optique LDV ; 2 : cam´era CMOS et objectif microscopique ; 3 : eclairage PIV ; 4 : optique CCI ; 5 : corps de verre cubo¨ıde (voir d´etail ci-contre) ; 6, 7 : r´eservoires.

´etape, la taille de cette zone de s´eparation accroˆıt (voir 3(c)) jusqu’`a ce qu’elle atteint l’´epaisseur minimale du film et adopte une forme ouverte (voir 3(d)). Le dernier diagramme 3(e), repr´esentant des lignes de courant ´evalu´ees `a base de mesures PIV, confirme ces r´esultats num´eriques.

Une repr´esentation plus d´etaill´ee du champ de vitesse dans la zone de s´eparation d´evelopp´ee est fournie dans la Figure 4. On peut y constater (voir 4(b)) que les profils de la composante principale de vitesse uexhibent un changement de courbure pr`es de la paroi (typiquement associ´e aux ´ecoulements s´epar´es) ainsi que des valeurs n´egatives importantes. Le diagramme 4(c) montre l’´evolution temporelle deuet met en ´evidence une forte corr´elation entre les variations de l’´epaisseur du film δ et les variations de vitesse. Finalement, ce diagramme compare les donn´ees num´eriques avec des mesures de vitesse LDV et des mesures d’´epaisseur CCI, accusant une bonne correspondance.

Le m´ecanisme de formation de cette s´eparation capillaire s’explique `a l’aide de la Figure 5. Comme le montre le diagramme 5(a), une augmentation importante de la pression pari´etale pw a lieu dans la r´egion capillaire entre le premier minimum et maximum capillaire, produisant une force r´esultante qui agit `a l’encontre de la gravit´e. Cette augmentation r´esulte d’une variation correspondante de la courbure interfaciale qui influence le saut de pression interfacial impos´e par le biais des forces de tension de surface (voir cˆot´e droit de 5(a)).

y (mm)

0.00 0.35

16.95 17.05 17.15 17.25 17.35 17.45 17.55 17.65

(a)t=2.96375 s

y (mm)

0.00 0.35

18.00 18.10 18.20 18.30 18.40 18.50 18.60 18.70

(b)t=2.96750 s

y (mm)

0.00 0.35

26.30 26.40 26.50 26.60 26.70 26.80 26.90 27.00

(c)t=2.99500 s

y (mm)

0.00 0.35

55.67 55.77 55.87 55.97 56.07 56.17 56.27 56.37

(d)t=3.08350 s

00.70

y (mm)

0.00 0.35

0.70 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

x (mm)

(e) donn´ees PIV

Figure 3 – Evolution simul´ee des lignes de courant au premier minimum capillaire d’un film liquide bidimensionnel (Re=15, Ka=509, f=16 Hz). Diagramme (e) : lignes de courant obtenues par PIV.

y (mm)

x (mm)

55.67 55.77 55.87 55.97 56.07 56.17

56.37

0 0.06 0.12 0.30

(a) Lignes de courant

0.20

0.120 -0.080

u (m/s) ^{x=55.72 mm}_{x=55.83 mm} x=55.98 mm x=56.15 mm x=56.32 mm -0.060

-0.040 -0.020 0 0.020 0.040 0.060 0.080

0.05 0.10 y (mm) 0

(b) Profils de vitesse

δ (mm)

t (s)

u (mm)

0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 0.00 -0.04 -0.08

0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.80

0.30

(c) Points : mesures LDV (y= 120µm) et CCI ; lignes : simulation

Figure 4 – Cin´ematique de la zone de s´eparation (a, b) et validation des donn´ees num´eriques (c).

En simplifiant l´eg`erement la condition normale de couplage `a la surface libre du film, cette relation entre la pression pari´etale et la courbure interfaciale κ peut s’exprimer comme suit :

∂pw

∂x ≈ ∂pl

∂x ≈ −σ∂κ

∂x, κ= ∂²δ/∂x² 1 + (∂δ/∂x)²

3/2, (1)

expliquant le profil de pression dans le diagramme 5(a). Afin d’´evaluer si la force de pression pari´etale r´esultante (par unit´e de volume) −∂pw/∂x surmonte la force de gravit´e par unit´e de volume ρ g_x oppos´ee, le trac´e du rapport de forces Ψ =−(∂p^w/∂x)/ρ gx est repr´esent´e dans le diagramme 5(c). En effet, celui-ci laisse constater, que le rapport de forces remplit largement la condition n´ecessaire pour une s´eparation de l’´ecoulement dans la r´egion capillaire : Ψ<−1.

La Figure 6 illustre l’influence de la s´eparation capillaire sur le transfert thermique pari´etal (dans la r´egion thermiquement d´evelopp´ee du film) `a base de donn´ees num´eriques (P r=30.6, Tw=350 K, T0=300 K). Le diagramme 6(a) met en ´evidence une compression des isothermes dans la zone de s´eparation, qui se traduit par une augmentation correspondante du nombre de Nusselt (voir 6(b)).

Ceci s’explique par une distorsion des trajectoires de parcelles fluides (voir 6(c)) induite par le passage de la zone de s´eparation (se propageant avec la vitesse des ondes qui surmonte celle du fluide dans la r´egion capillaire) et qui repr´esente une intensification du transport convectif normal `a la paroi.

x

p^l p^g Surface libre y

σ

σ τ|_y+dy/2 τ|_y-dy/2

p|_x+dx/2 p|_x-dx/2

gx

Forces agissant sur une parcelle fluide

Forces interfaciales

Région capillaire Surface libre Pression pariétale

x

(a) Relation topologie interfaciale↔pression statique

0.33 0.28 0.22 0.17 0.12 0.06 0.01 -0.04 u (m/s) 50.50

52.50 54.50 56.50 58.50

62.50

0 0.15 0.30 48.50

0.75 δ (mm)

y (mm)

x (mm)

(b) Champ de vitesse

50.50 52.50 54.50 56.50 58.50

48.500 0.15 0.30

x (mm)

δ (mm)

Ψ (-) 4 -4 -12

-20 20

0.75

62.50 Ψ

δ

(c) Rapport de forces Ψ

Figure5 – Dynamique de la s´eparation capillaire. Rapport de forces : Ψ =−∂p/∂x|_y=0/(ρ g_x).

345.0 337.5 330.0 322.5 315.0 307.5 300.0 350.0

64.50.00

y (mm)

x (mm)

62.5 60.5 58.5 56.5 54.5 52.5 50.5 48.5 46.5

0.15 0.30 0.45 0.60 44.5

0.75 T (K)

(a) Isothermes

3.744

τ_w (N/m2)

δ Nu

t (s)

Nu (-) 0.60 0.68 0.76 0.84 0.92

0

δ (mm)

0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 1.00

3.680 3.736

3.688 3.728

3.696 3.720

3.704 3.712

(b) Nombre de Nusselt

Al-Sibai [12]

57.680

y (mm)

x (mm)

55.18

56.18

56.68

57.18 55.68

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 54.68

0.30

(c) Trajectoires

Figure 6 – Influence de la s´eparation capillaire sur le transfert thermique pari´etal (simulation).

4 Analyse tridimensionnelle

Afin d’analyser la s´eparation capillaire au sein de films liquides tridimensionnels, deux simulations (voir 7(a) et 7(b)) pour des conditions d’´ecoulement plus ou moins proches `a celles r´ealis´ees exp´erimenta- lement par Park et Nosoko (dans [3] voir image 7(d) et partie droite du dernier front d’ondes dans l’image 7(e)) ont ´et´e r´ealis´ees. Ces simulations ne sont pas parfaitement r´esolues, mais permettent une premi`ere appr´eciation de la s´eparation capillaire tridimensionnelle. En effet, les diagrammes 7(d) et 7(c), qui repr´esentent la composante verticale de la contrainte pari´etale (que des valeurs n´egatives sont repr´esent´ees), accusent des zones de s´eparation dans plusieurs r´egions du film. Premi`erement, en aval des ondes principales et deuxi`emement, en aval de la crˆete d’onde interm´ediaire produite par l’interac- tion des ondes principales. Cette r´egion est caract´eris´ee par des ondes capillaires prononc´ees soumises

`

a une interf´erence tridimensionnelle. Celle-ci produit des courants transversaux mis en ´evidence par les diagrammes 7(f) et 7(e), qui repr´esentent la composante horizontale de la contrainte pari´etale.

5 Conclusions

Il a ´et´e d´emontr´e sur la base d’exp´eriences et simulations num´eriques qu’une s´eparation de l’´ecoulement peut avoir lieu dans la r´egion capillaire d’un film liquide bidimensionnel et laminaire. Le ph´enom`ene se produit suite `a une augmentation importante de la pression pari´etale, elle-mˆeme occasionn´ee par un changement de courbure de la surface libre du film et l’action des forces de tension de surface.

Ce ph´enom`ene intensifie le transport convectif normal `a la paroi, occasionnant une augmentation correspondante du coefficient de transfert thermique pari´etal. Il se produit ´egalement au sein de films tridimensionnels exhibant une cin´ematique complexe.

R´ ef´ erences

[1] Nosoko, T., Yoshimura, P. N., Nagata, T., and Oyakawa, K., 1996. “Characteristics of two- dimensional waves on a falling liquid film”. Chemical Engineering Science, 51(5), pp. 725–732.

[2] Alekseenko, S. V., Nakoryakov, V. E., and Pokusaev, B. G., 1994. Wave Flow of Liquid Films.

Begell House.

[3] Park, C. D., and Nosoko, T., 2003. “Three-dimensional wave dynamics on a falling film and associated mass transfer”. AIChE Journal, 49(11), pp. 2715–2727.

[4] Dietze, G. F., Al-Sibai, F., and Kneer, R., 2009. “Experimental study of flow separation in laminar falling liquid films”. Journal of Fluid Mechanics, 637, pp. 73–104.

[5] Dietze, G. F., Leefken, A., and Kneer, R., 2008. “Investigation of the backflow phenomenon in falling liquid films”. Journal of Fluid Mechanics, 595, pp. 435–459.

0.75 0.60 0.45 0.30 0.15 0

y (mm)

10

-10 5

0 z (mm) -5

x (mm) 0 5 10 15 20 25

(a)Re=59,Ka=3940

0.75 0.60 0.45 0.30 0.15 0

y (mm)

10

-10 5

0 z (mm) -5

x (mm) 0 5 10 15 20 25

(b)Re=72,Ka=3940

z (mm)

x (mm)

-10 -20

20 10 0

5 10 15 20 2530

0

-30

0.00 -0.65 -1.30 -1.95 -2.60 -3.25 -3.90 -4.55 -5.20 -5.85 -6.50 -7.15 -7.80 τ_wx (N/m²)

(c) Contrainte pari´etale :τwx=µ ∂u/∂y|

y=0

z (mm)

x (mm)

-10 -20

20 10 0

0 5 10 15 20

2530 -30

τ_wx (N/m²)

-5.50 -5.00 -4.50 -4.00 -3.50 -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.500.00

-6.00

(d) Contrainte pari´etale :τwx=µ ∂u/∂y|

y=0

z (mm)

x (mm)

-10 -20

20 10 0

5 10 15 20 2530

0

-30

1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00 τwz (N/m²)

(e) Contrainte pari´etale :τwz =µ ∂w/∂y|

y=0

z (mm)

x (mm)

-10 -20

20 10 0

0 5 10 15 20

2530 -30

1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00 τwz (N/m²)

(f) Contrainte pari´etale :τwz =µ ∂w/∂y|

y=0

Figure7 – R´esultats de simulations num´eriques pour deux films d’eau verticaux et tridimensionnels.

[6] Ruyer-Quil, C., and Manneville, P., 2000. “Improved modeling of flows down inclined planes”.

The European Physical Journal B, 15(2), pp. 357–369.

[7] Dietze, G. F., 2010. “Flow Separation in Falling Liquid Films”. PhD thesis, RWTH Aachen.

[8] Dietze, G. F., and Kneer, R., 2010. “Capillary flow separation in 2- and 3-dimensional laminar falling liquid films”. In Proceedings of the 14th International Heat Transfer Conference, p. 22064.

[9] Kapitza, P. L., 1948. “Wave flow of thin layer of viscous fluid”. Zhurn. Eksper. Teor. Fiz., 18(1), pp. 3–28.

[10] Malamataris, N. A., and Balakotaiah, V., 2008. “Flow structure underneath the large amplitude waves of a vertically falling film”. AIChE Journal, 54(7), pp. 1725–1740.

[11] Malamataris, N. A., Vlachogiannis, M., and Bontozoglou, V., 2002. “Solitary waves on inclined films : Flow structure and binary interactions”. Physics of Fluids, 14(3), pp. 1082–1094.

[12] Kunugi, T., and Kino, C., 2005. “DNS of falling film structure and heat transfer via MARS method”. Computers & Structures, 83(6-7), pp. 455–462.

[13] Al-Sibai, F., 1998. “Simultane Messung der Str¨omungs- und Oberfl¨achenstruktur von Rieselfilmen mit zwei- und dreidimensionaler Welligkeit”. Master’s thesis, RWTH-Aachen University.

[14] Tihon, J., Serifi, K., Argyriadi, K., and Bontozoglou, V., 2006. “Solitary waves on inclined films : their characteristics and the effects on wall shear stress”. Experiments in Fluids, 41, pp. 79–89.