Une centrale est alimentée par une conduite d'eau cylindrique, dite conduite forcée, issue d'un barrage (cf.
gure suivante). L'eau est considérée comme un uide parfait, incompressible et de masse volumiqueµ; elle sort de l'injecteur à l'air libre, sous la pression atmosphérique P0, supposée indépendante de l'altitude. Le jet est cylindrique d'axe horizontal et de section circulaire de diamètre Ddans la conduite puisddans l'injecteur. Ce jet frappe la turbine et l'anime d'un mouvement de rotation. On considère les écoulements comme permanents et irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l'altitude de l'accélération de la pesanteurg.
La turbine Pelton est constituée par une roue munie d'augets. Un auget Pelton est une sorte de double godet avec une cloison au milieu (penser à deux coquilles de noix contiguës), qui dédouble le jet en deux parties identiques (cf. gure suivante). Les deux parties s'écoulent latéralement. L'eau, en provenance d'un injecteur est propulsée sur ces augets et met la roue en mouvement. La vitesse du jet d'eau, de sections= π.d42, est notée
~c=c.~ux. La section de chacun des deux demi-jets ests0= s2. On néglige l'eet de la pesanteur sur les jets.
1) Quel intérêt y a-t-il à dédoubler le jet qui heurte l'auget ?
Le référentiel du laboratoire, {L}, est galiléen ; on note {L0} le référentiel lié à l'auget frappé par le jet.
La gure suivante présente schématiquement les paramètres de fonctionnement d'une turbine Pelton. Le rayon R du rotor est susamment grand pour que l'on puisse assimiler le déplacement des augets, dans {L}, à une translation suivant l'axe Ox dans la zone d'action du jet. Sous l'action du jet, de l'air et de la force du bâti, l'auget se déplace donc à la vitesse uniforme~u=u.~ux.
2) Justier que l'écoulement est permanent dans {L}. Exprimer, dans {L0}, d'une part la vitesse du jet
incident, notée~cinc, d'autre part celle des jets déviés dans la direction opposée à celle du jet incident, notée
~cd. On suppose bien entendu que la puissance du jet est conservée. Quel est le sens physique de la quantité Dm0 =µ.s.(c−u)?
3) En considérant un système fermé Σde uide, évaluer dans{L0}, la variation de quantité de mouvement
−
→dp0 du uide entre les instantstett+dt, en fonction deµ,s,c,uetdt. En déduire la composante selonOxde la forceF~b du bâti sur l'auget en fonction dec,u,µet du débit volumiqueQ0 du jet dans{L0}.
4) Et maintenant, une subtilité : si l'auget était unique, une partie de la puissance du jet serait perdue en raison de l'éloignement de l'injecteur et du volume croissant du jet ; en réalité, placé sur le bâti en rotation, l'auget en question est remplacé par l'auget suivant et tout se passe comme si les augets étaient placés à distance xe de l'injecteur... tout en se déplaçant à la vitesse~u. Pour exprimer le coupleΓdu jet sur le rotor, il est donc acceptable de remplacerQ0 parQ. Exprimer Γdans ces conditions.
5) Déterminer la puissance mécaniquePreçue par le rotor dans{L}. Le jet apporte une puissance cinétique
1
2µ.Q.c2; dénir et calculer le rendement η de la turbine en fonction de c et u. Pour quelle valeur de uc le rendement est-il maximum ? Calculer ce rendement maximum.
6) Quelle est alors, pour ce rendement maximal, la vitesse~cs de sortie de l'eau dans le référentiel{L}? En déduire la puissance cinétique de l'eau sortant de la turbine. Commenter le résultat obtenu d'un point de vue énergétique.
7) Le rotor tourne à la vitesse angulaire de 750 tours par minute et la vitesse de sortie du jet vaut c = 74m.s−1. Calculer le rayon R du rotor pour atteindre le rendement maximum. Le résultat est-il réaliste ? Pour un débit de 1500 litres par seconde, calculer la puissance maximalePmax.
8) Le rendement réel de la turbine est égal à 0,87. Calculer la puissance réelle de la turbine. Quelles sont les raisons permettant d'expliquer pourquoi on n'atteint pas le rendement maximum ?
1) Dédoubler le jet permet de rendre l'eort symétrique par rapport au milieu de l'auget, et évite ainsi une usure au niveau de l'axe de rotation de la turbine.
2) {L0}est en translation rectiligne uniforme dans{L}, donc la vitesse d'arrivée de l'eau sur l'auget est constante. Comme l'auget est immobile dans{L0}, l'écoulement y est bien permanent.
La loi de composition des vitesses permet d'écrire :~v{L}=~v{L0}+~v{L0}/{L} soit~c=~cinc+~u, donc
~cinc=~c−~u= (c−u).~ux
On peut alors appliquer la relation de Bernoulli dans le référentiel{L0}, car l'écoulement y est permanent, le uide est incompressible. Comme la pression et l'altitude sont identiques aux points où on applique Bernoulli, on en déduit que 12c2d= 12c2inc, soit
~cd=−~cinc= (u−c).~ux
Dm0 est le débit massique du uide à travers une section droite du tube de courant dans le référentiel {L0}.
3) On dénit un système fermé comme sur la gure suivante :
Le bilan de quantité de mouvement pour le système ouvert coïncident avec le système fermé àtest :
−
→dp0 = 2.µ.(s0.cd.dt).~cd−µ.(s.cinc.dt).~cinc=µ.(s.(c−u).dt).(~cd−~cinc) donc−→
dp0=µ.(s.(c−u).dt).(−(c−u).~ux−(c−u).~ux)soit
−
→dp0=−2.µ.s.(c−u)2.~ux.dt Bilan des forces pour le système auget∪système fermé de uide :
• F~bati>auget;
• F~pression.
Le théorème de la résultante cinétique pour ce système donne dans{L0} : −→dpdt0 =F~bati>auget+F~pression, car la quantité de mouvement de l'auget est constante.
Puisque la force de pression est nulle (la pression est constante et s'exerce sur une surface fermée), F~bati>auget=
−→ dp0
dt =−2.µ.s.(c−u)2.~ux
Dans{L0}, le débit volumique estQ0 =s.cinc=s.(c−u), aussi, F~bati>auget=−2.µ.Q0.(c−u).~ux
4) Le couple est~Γ =−−→
OM ∧F~auget>bati, soit, en considérant que la distance de l'auget à l'axe est égale à R,
Γ = 2.R.µ.Q0.(c−u) = 2.R.µ.Q.(c−u) Ici, on tenu compte de la "subtilité" suggérée par l'énoncé.
5) La puissance mécanique reçue par le rotor estP =F .~~ vI+~Ω. ~MI = Γ.Ω, avecΩ = Ru. D'où : P = 2.Q.µ.(c−u).u
Le rendementη de la turbine est donc :η= PP
c = 2.Q.µ.(c−u).u
1
2µ.Q.c2 , donc η= 4.(c−u).u
c2 En posant,x= uc, alorsη= 4.x.(1−x).
On dérive dη = 4 (1−2.x), donc dη = 0 pourx= 1/2,
Le rendement est donc maximum pouru= c2 et vautηmax= 1.
6) La vitesse de sortie de l'eau dans le référentiel{L} est, d'après la loi de composition des vitesses :
~ceau/{L}=~ceau/{L0}+~c{L0}/{L}, soit~cs=~cd+~u= (u−c).~ux+u.~ux= (2.u−c).~ux et puisqueu= c2,
~cs=~0
La puissance cinétique de l'eau en sortie de la turbine est nulle ce qui est cohérent avec la valeur 1 du rendement toute la puissance cinétique disponible à l'entrée est transmise à la turbine.
7) Pour atteindre le rendement maximum il faut queu= c2 orΩ =Ru, soit R= c
2.Ω = 47cm Le résultat est réaliste si on en juge d'après la photo fournie.
La puissance maximale est alors :
Pmax= 2.Q.µ.
c−c 2
.c
2 =Q.µ.c2
2 = 4,0M W 8) Si le rendement réel de la turbine vautη= 0,87,
P=η.Pc= 3,6M W
Les raisons pour lesquelles on n'atteint pas le rendement maximal sont essentiellement les pertes par frottement dans le uide et au contact des augets.