exo 14.4) Eet Magnus pour un cylindre qui tourne
D'après l'article wikipédia sur l'eet magnus, ce dernier a été utilisé avec de gros cylindres verticaux en rotation sur des bateaux an de produire une poussée par le vent.
Ainsi, l'Allemand Anton Flettner t transformer le schoo-ner trois mâts Buckau et acquit avec lui une première ex-périence avec ce principe de propulsion. Après plusieurs essais par diérentes conditions de vent, le Buckau rebap-tisé Baden-Baden traversa l'Atlantique et rallia New York le 9 mai 1926.
L'océanographe Jacques-Yves Cousteau t construire l'Al-cyone au début des années 1980. Ses deux cylindres four-nissaient environ 25 à 30 % de l'énergie propulsive qui venait assister la propulsion par hélice. Le navire t son premier voyage en 1985.
Un écoulement permanent et incompressible, au voisinage d'un cylindre d'axe(Oz)et de rayona, en rotation autour de son axe xe avec la pulsationω a pour champ de vitesse :
~
1) Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du uide le long d'un cercle quelconque entourant le cylindre.
2) Déterminer la pressionP(a, θ)en tout point du cylindre
3) En déduire la force exercée par le uide sur le cylindre de longueurh.
4) Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du uide le long d'un cercle quelconque entourant le cylindre et exprimer la force précédente en fonction deΓ.
1) La circulation de~vsur un cercle de rayon R > aest égale à :
2) L'application de la relation de Bernoulli entre un point très éloigné du cylindre et un point de la surface du cylindre donne :
P0
3) La force élémentaire de pression est :
−−→
d2F =−P.d2S.~er
Cette distribution de pression engendre sur le cylindre des forces de pression dont la résultante est dirigée suivant l'axe(Oy), vers lesy décroissants. Il s'agit uniquement de déterminer cette composante.
dFy=−P.dh.a.dθ.sinθ
Les termes uniformes deP donnent une contribution nulle à cette résultante, il reste :
Fy =−h.a.µ
On obtient donc une force :
F~ =−2.π.h.ω.a2.µ.v0.~ey
4) Seul le champ de vortex présente une circulation non nulle, (les autres étant par construction irrotationnels), on trouve :
Γ = Z θ=2π
θ=0
a2.ω
R .R.dθ= 2π.ω.a2
L'existence d'une force orthogonale à l'écoulement (force de portance) est directement liée à celle d'une circulation non nulle du champ de vitesses du uide autour de l'obstacle :
F~ =−Γ.h.µ.v0.~ey
exo 14.5) Jetlev
Un "jetlev" est un dispositif xé au dos d'un pilote lui permettant de s'élever au-dessus d'une étendue d'eau (lac, mer...).
Une poussée susante est permise grâce à l'expulsion d'eau à grande vitesse par deux tuyères orientées vers le bas et alimentées grâce à un tuyau exible d'une dizaine de mètres de long.
An de limiter le poids de l'engin, la pompe et le carburant sont disposés dans un bateau auxiliaire.
1) Eectuer une analyse qualitative des phénomènes physiques permettant d'expliquer le vol stationnaire de l'utilisateur d'un jetlev.
2) Faire, dans un référentiel adapté, un bilan entre deux instants successifs 2.a) de quantité de mouvement,
2.b) d'énergie.
3) Quelle puissance doit fournir la pompe permettant au pilote de rester à une hauteur de quelques mètres au dessus de la surface de l'eau ?
Un "jetlev" est un dispositif xé au dos d'un pilote lui permettant de s'élever au-dessus d'une étendue d'eau (lac, mer...).
Une poussée susante est permise grâce à l'expulsion d'eau à grande vitesse par deux tuyères orientées vers le bas et alimentées grâce à un tuyau exible d'une dizaine de mètres de long.
An de limiter le poids de l'engin, la pompe et le carburant sont disposés dans un bateau auxiliaire.
1) Eectuer une analyse qualitative des phénomènes physiques permettant d'expliquer le vol stationnaire de l'utilisateur d'un jetlev.
2) Faire, dans un référentiel adapté, un bilan entre deux instants successifs 2.a) de quantité de mouvement,
2.b) d'énergie.
3) Quelle puissance doit fournir la pompe permettant au pilote de rester à une hauteur de quelques mètres au dessus de la surface de l'eau ?
exo 14.6) Une serre sous la tempête
Soit un repère cartésien, Oy étant vertical, vers le haut, et Ox étant l'origine des angles θ dans un repère cylindrique d'axeOz.
Une serre est protégée par une sorte de toiture en forme de demi-cylindre horizontal d'axe Oz, de longueur Lgrande devant son rayonR.
Une violente tempête engendre un vent qui, loin de la serre est horizontal, de vitesse V∞~ux. On admettra que la pression loin de la serre est uniforme et on la notep∞ ainsi que la vitesse :V∞~ux. On note aussi µla masse volumique de l'air, que l'on supposera parfait. On néglige l'inuence de la pesanteur.
1) L'écoulement est pratiquement incompressible, permanent et irrotationnel, de sorte que le champ de vitesse soit le gradient d'une fonction φqui, en coordonnées cylindriques, est cherchée sous la forme suivante, indépendante dez :
oùAetB sont des constantes.
1.a) En déduire l'expression du champ de vitesse dans le repère cylindrique.
1.b) DéterminerAet B grâce aux conditions aux limites.
2) On admet qu'un manque (nécessaire) d'étanchéité impose que la pression intérieure à la serre est celle du point au pied de la serre du côté "au vent" (à l'opposé du vent).
2.a) Déterminer la pressionpen tout point de l'espace extérieur à la serre.
2.b) Déterminer les pressions intérieure et extérieure (au niveau de la paroi de la serre).
3) Force résultante
3.a) Sans aucun calcul, déterminer la direction de la force résultanteF~ exercée par l'air sur la serre.
3.b) Par le calcul, déterminer l'expression deF~.
3.c) Eectuer une application numérique de kF~k avec p∞ = 105 Pa, µ = 1,3 kg·m−3, V∞ = 144 km·h−1,R= 2 metL= 10 m. Conclure.
1)
1.a) Au potentielφcorrespond le champ de vitesses~v=−−→
gradφ, d'où : 1.b) Les conditions aux limites imposent :
~v(r→ ∞, θ) =V∞.~ur
2) 2.a) L'écoulement est considéré comme parfait et incompressible, il est permanent, on peut donc appliquer le théorème de Bernoulli entre deux points d'une même ligne de courant dont l'un est à l'inni où la vitesse est de module V∞et la pressionp∞, soit, en négligeant le terme eng.z (pesanteur négligée),
v2 2 +p
µ = V∞2 2 +p∞
µ
Il ne reste qu'à reporter la vitesse calculée plus haut, ce qui conduit à :
2.b) La pression intérieure est
pint=p(R, θ= 0) =p∞+µ.V∞2 2 et la pression extérieure est
pext=p(R, θ) =p∞+µ.V∞2 2
1−4.sin2(θ)
3) Force résultante.
3.a) F~ est la somme de la force de traînée (nulle car le uide est parfait !) et de la force de portance (verticale, vers le haut).
3.b) Une bande de longueur Lde largeurR.dθ découpée sur la paroi de la serre est soumise à une force élémentaire −−→
d2F = (pint−pext)−−→
d2S= 2.µ.V∞2.sin2(θ)L.R.dθ.~ur
Pour obtenir la force totale, il sut d'intégrer, sans tomber dans le piège classique, à savoir que~ur n'est pas un vecteur constant mais dépend deθ :~ur= cosθ.~ux+ sinθ.~uy. On a donc capable donc de soulever une toiture de 5, 5 tonnes !
Remarquons que cette étude conduit à une force de traînée (force horizontale) nulle ce qui est invraisem-blable : c'est que l'étude suppose l'écoulement laminaire et néglige toute force de viscosité. Néanmoins pour la composante verticale de la force, le résultat est une bonne approximation des mesures expérimentales.