Exercices résolus de mathématiques.
TRI 34
EXTRI340-EXTRI349
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans
Fabienne Zoetard
Novembre 2012
EXTRI340 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.
Pour quelles valeurs de comprises dans l'intervalle 0, 2 , la fonction suivante est-elle strictement négative?
cos 3 cos 2 cos 1
x f x
f x x x x
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
2
2
3 2 2
Simpson: cos 3 cos 2 cos 2 cos
Autre: cos 2 2 cos 1
2 cos 2 cos cos 2 1 cos 2 2 cos 1 1 2 cos 1 2 cos 1 1 4 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 1 2 cos cos 1 2 cos 1
2 4 3
0 2
2 3 3 2
2 cos 0 0
cos 1 0
x x x x
x x
f x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
0
2 cos 1 0 0
0 0 0 0 0 0
2 4 3
0, , , 2
2 3 3 2
x f x
S
Le 12 novembre 2012
EXTRI341 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.
Soit la fonction sin . Pour 0 , 0, 0 et :
a) Représentez en fonction de .
b) Donnez l'expression de tel que la somme de et soit maximale.
Calculez cette valeur de pour
x b
y f x a x b a b
b a
y x
x x y
x a
2 et .
c) Tracez sur votre schéma une demi droite partant de 0, formant un angle avec l'axe des abscisses et ayant une intersection avec dans l'intervalle 0 . Donnez, en fonction de , une ex
b
x f x
x b x
pression de et correspondant à
cette intersection. Calculez et pour 2, 1 et
9 3
y
y a b x b
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
0
0
0
b) sin 1 cos 0
cos arccos
0 1 0 1 0
Si 2 et , arccos 2
2 3
sin arcsin ta
c)
tan .
x dg a x
x y x a g x
b dx b b
x b b b
b a x a
dg a dg a
x x b
dx b dx b
a b x
y a x
b b
y x
sin
n . arctan
tan .
sin
2 3
Si , 1 et alors et
9 3 6 9
a x x b
x
y x x
y a b
a b x b y
Le 12 novembre 2012
EXTRI342 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.
Pour les affirmations suivantes, cochez laquelle de ces affirmations est la vraie.
a) Pour tout quadrilatère convexe inscriptible (un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent sur un même cercle), on a que
un angle est égal à 90 degrés
La somme de deux angles opposés est égale à 180 degrés.
la somme des quatre angles est égale à 180 degrés.
b) Dans l'intervalle x 2 , l'
2 2
équation cos 3 sin 1 admet exactement 0 solution 1 solution 2 solutions
c) L'expression 1 8cos sin est identiquement égale à
cos 2 cos 4 cos8
d) Si dans un triangle l'angle est strictement supérieur
x x
a a
a a a
ABC A
à 90° et les côtés , et (opposés aux angles respectifs , et ) satisfont 3 , alors
60 60 60
a b c
A B C b c
B B B
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
2 2 2
a) Les deux angles soutendent ensembles tout le cercle donc leur somme est 180°.
b) cos 3 sin 1 admet pour solutions 120 360 et 360 . Donc 0 solutions pour , 2 .
c) 1 8cos sin 1 2 sin 2 cos 4 . d) Si
x x k k
a a a a
90 alors 90 .
sin 3
sin
Si 60 , sin 3 2
sin 1
sin et donc 30 .
2 2 Réponse : 60
b c
Le 12 novembre 2012
EXTRI343 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.
Le croquis ci-dessous schématise une petite pelle mécanique simplifiée. Le rectangle ainsi que les traits pointillés sont alignés avec les axes verticaux et horizontaux. Les points
sont coliné
ABCD
EGHI aires, ainsi que les poinst . Le point ', respectivement ', se trouve sur la droite à la verticale du point , respectivement . On donne les longueurs ,
, , , , . L'opérate
JIK I K
AB I K EF a
EG b GH c HI d IJ e IK f
ur de la pelle contrôle les longueurs
et . On désignera par l'angle , par l'angle et l'angle
FG x
HJ y E FEG H IHJ I HIJ
Vous veillerez à ce que les expressions demandées aux points 1 à 4 ci-dessous ne contiennent pas d'approximation et soient simplifiées autant que possible. Les paramètres mentionnés ne doivent pas nécessairement tous apparaître dans les expressions.
1) Donnez une expression de en fonction des paramètres , , , , , , et . 2) Donnez une expression de la distance ' en fonction des paramètres , , ,
E a b c d e f x y
EI a b c d, , ,
et .
3) Donnez une expression de en fonction des paramètres , , , , , , et . 4) Donnez une expression de la distance ' ' en fonction des paramètres , , , , ,
, , , et . 5) Calculez ', '
e f x y
I a b c d e f x y
I K a b c d e
f x y E I
EI I ' et ' au cm près pour les données suivantes : 0.4 m, 1 m, 1 m, 0.5 m, 2 m, 0.9 m, 0.7 m.
K EK a b
d e f x y
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1) Dans le triangle : 2 cos
0.4 1 0.9
cos 0.4375 64.0555
2 0.8
2) Dans le triangle rectangle ' : cos '
' cos .
2
' 0.4375 1 1 1 1.3125 m 3) Dans le triang
EFG x a b ab E
a b x
E E
ab
EI I E EI EI
a b x
EI E EI b c d
ab EI
2 2 2
2 2 2
le
2 cos cos 0.76 40.5358
2 IJK
d e y
y d e ed E I I
ed
2 1
2
4) 23.5197
' ' ' '' cos 2 cos 23.5197 1.8338 m 5) ' ' ' ' 1.3125 1.8338 3.1463 315 cm
I E I
I K I K f I
EK EI I K
Le 12 novembre 2012
EXTRI344 – Compléments.
1 2 3 4 5 6
Trouver les valeurs des expressions suivantes sans utiliser la calculatrice : sin 6sin 42sin 66sin 78
cos 6 cos 42 cos 66cos 78 tan 6 tan 42 tan 66 tan 78 sin 9 cos 27 cos 63sin 81 cos 20cos 40cos 60cos80 sin 20sin 4
E E E E E E
0sin 60sin 80
1
sin12 sin 6sin 42 sin 66sin 78
E
2 cos 6
sin 84 2 cos 42
sin132 2 cos 66
sin156 2 cos 78
2
s
1 16
cos 6 cos 42 cos 66 cos 78 cos 6 cos 42 sin 24 sin12
cos 24 cos 6 1 sin 30 sin18
1 2
sin 30 sin18 sin 54 sin 30 car
1
4 sin12 cos 42 sin 54 sin 30
2
1 1
1 2 sin18 2 sin 54 1 2 sin 54 4 sin18sin 54 1 2 sin18
16 16
1 2 sin 54 2 cos 36 16
E
in 54 sin18
2 cos 72 1 2 sin18 car 4 sin18sin 54 2 cos 36 2 cos 72
1 1
4 sin 54 sin18 1 8cos 36sin18 1 car sin 54 sin18 2 cos 36sin18
16 16
1 sin 36 1 2 sin 72
8cos 36
16 2 cos18 16
cos18
1 3
2
4
1 1 16
1
sin18 sin 9 cos 27 cos 63sin 81
2 cos 9 E E
E
E
sin 54
2 sin 27 cos 63 sin 81 1
sin18sin 54 4
1 1 sin 36 1 sin 72
sin18cos 36 cos 36
4 4 2 cos18 16
cos18
5
1 16
sin 40 cos 20 cos 40 cos 60 cos80
E
2 sin 20
sin 80 2 sin 40
1 sin160 2 2 sin 80
6
1 16
sin 20sin 40sin 60sin 80 Voir EXTRI287 E
sin(20 ) sin(40 ) sin(60 ) sin(80 ) 3sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) 2
sin(80 ) cos(10 )
1 1 1
sin(20 ) sin(40 ) cos(20 ) cos(60 ) cos(20 )
2 2 2
3 3 1
sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) cos(20 ) cos(10 )
2 4 2
3 2 cos(
8
20 ) cos(10 ) cos(10 )
3
cos(30 ) cos(10 ) cos(10 )
8
3 3
cos(30 )
8 16
Le 15 novembre 2012
EXTRI345 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.
Prouvez que, dans tout parallélogramme, la somme des carrés de longueurs des 4 côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des 2 diagonales.
Solution proposée par JAN FRANS BROECKX
30 mars 2013
EXTRI346 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.
3
Résoudre dans l'équation
2sin xsin 3x
Solution proposée par JAN FRANS BROECKX
30 mars 2013
EXTRI347 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.
Résoudre dans l'équation
cosxcos 3xcos5xcos 7x0 Solution proposée par JAN FRANS BROECKX
30 mars 2013
EXTRI348 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.
Démontrez que
sin10 sin 50 sin 70 1
8
Solution proposée par JAN FRANS BROECKX
Solution proposée par DOMINIQUE DRUEZ
30 mars 2013. Modifié le 10 jan 2014 (Dominique Druez)
EXTRI349 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.
Si et sont les longueurs des côtés des 2 diagonales d'un quadrilatère plan convexe et si est l'angle entre ces diagonales, prouver que l'aire du quadrilatère vaut 1 sin .
2 a b
ab
Solution proposée par JAN FRANS BROECKX
30 mars 2013