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TRI 34

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 34

EXTRI340-EXTRI349

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet Steve Tumson Jan Frans Broeckx Nicole Berckmans

Fabienne Zoetard

Novembre 2012

(2)

EXTRI340 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.

 

 

Pour quelles valeurs de comprises dans l'intervalle 0, 2 , la fonction suivante est-elle strictement négative?

cos 3 cos 2 cos 1

x f x

f x x x x

Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François

 



2

2

3 2 2

Simpson: cos 3 cos 2 cos 2 cos

Autre: cos 2 2 cos 1

2 cos 2 cos cos 2 1 cos 2 2 cos 1 1 2 cos 1 2 cos 1 1 4 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 1 2 cos cos 1 2 cos 1

2 4 3

0 2

2 3 3 2

2 cos 0 0

cos 1 0

x x x x

x x

f x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x

      

 

   

 

0

2 cos 1 0 0

0 0 0 0 0 0

2 4 3

0, , , 2

2 3 3 2

x f x

S

 

     

 

   

     

Le 12 novembre 2012

(3)

EXTRI341 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.

Soit la fonction   sin . Pour 0 , 0, 0 et :

a) Représentez en fonction de .

b) Donnez l'expression de tel que la somme de et soit maximale.

Calculez cette valeur de pour

x b

y f x a x b a b

b a

y x

x x y

x a

   

  2 et .

c) Tracez sur votre schéma une demi droite partant de 0, formant un angle avec l'axe des abscisses et ayant une intersection avec dans l'intervalle 0 . Donnez, en fonction de , une ex

b

x f x

x b x

 

  pression de et correspondant à

cette intersection. Calculez et pour 2, 1 et

9 3

y

y a b x b

Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François

 

0

0

0

b) sin 1 cos 0

cos arccos

0 1 0 1 0

Si 2 et , arccos 2

2 3

sin arcsin ta

c)

tan .

x dg a x

x y x a g x

b dx b b

x b b b

b a x a

dg a dg a

x x b

dx b dx b

a b x

y a x

b b

y x

    

 

   

 

 

  

 

sin

n . arctan

tan .

sin

2 3

Si , 1 et alors et

9 3 6 9

a x x b

x

y x x

y a b

a b x b y

 

 

Le 12 novembre 2012

(4)

EXTRI342 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.

Pour les affirmations suivantes, cochez laquelle de ces affirmations est la vraie.

a) Pour tout quadrilatère convexe inscriptible (un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent sur un même cercle), on a que

un angle est égal à 90 degrés

La somme de deux angles opposés est égale à 180 degrés.

la somme des quatre angles est égale à 180 degrés.

b) Dans l'intervalle    x 2 , l'

2 2

équation cos 3 sin 1 admet exactement 0 solution 1 solution 2 solutions

c) L'expression 1 8cos sin est identiquement égale à

cos 2 cos 4 cos8

d) Si dans un triangle l'angle est strictement supérieur

x x

a a

a a a

ABC A

à 90° et les côtés , et (opposés aux angles respectifs , et ) satisfont 3 , alors

60 60 60

a b c

A B C b c

B B B

Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François

 

2 2 2

a) Les deux angles soutendent ensembles tout le cercle donc leur somme est 180°.

b) cos 3 sin 1 admet pour solutions 120 360 et 360 . Donc 0 solutions pour , 2 .

c) 1 8cos sin 1 2 sin 2 cos 4 . d) Si

x x k k

a a a a

 

 

 

90 alors 90 .

sin 3

sin

Si 60 , sin 3 2

sin 1

sin et donc 30 .

2 2 Réponse : 60

b c

     

 

   

   

 

Le 12 novembre 2012

(5)

EXTRI343 – EPL, UCL, LLN, Septembre 2012.

Le croquis ci-dessous schématise une petite pelle mécanique simplifiée. Le rectangle ainsi que les traits pointillés sont alignés avec les axes verticaux et horizontaux. Les points

sont coliné

ABCD

EGHI aires, ainsi que les poinst . Le point ', respectivement ', se trouve sur la droite à la verticale du point , respectivement . On donne les longueurs ,

, , , , . L'opérate

JIK I K

AB I K EF a

EG b GH c HI d IJ e IK f

ur de la pelle contrôle les longueurs

et . On désignera par l'angle , par l'angle et l'angle

FG x

HJ y E FEG H IHJ I HIJ

Vous veillerez à ce que les expressions demandées aux points 1 à 4 ci-dessous ne contiennent pas d'approximation et soient simplifiées autant que possible. Les paramètres mentionnés ne doivent pas nécessairement tous apparaître dans les expressions.

1) Donnez une expression de en fonction des paramètres , , , , , , et . 2) Donnez une expression de la distance ' en fonction des paramètres , , ,

E a b c d e f x y

EI a b c d, , ,

et .

3) Donnez une expression de en fonction des paramètres , , , , , , et . 4) Donnez une expression de la distance ' ' en fonction des paramètres , , , , ,

, , , et . 5) Calculez ', '

e f x y

I a b c d e f x y

I K a b c d e

f x y E I

EI I ' et ' au cm près pour les données suivantes : 0.4 m, 1 m, 1 m, 0.5 m, 2 m, 0.9 m, 0.7 m.

K EK a b

d e f x y

Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François

(6)

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1) Dans le triangle : 2 cos

0.4 1 0.9

cos 0.4375 64.0555

2 0.8

2) Dans le triangle rectangle ' : cos '

' cos .

2

' 0.4375 1 1 1 1.3125 m 3) Dans le triang

EFG x a b ab E

a b x

E E

ab

EI I E EI EI

a b x

EI E EI b c d

ab EI

 

 

 

   

2 2 2

2 2 2

le

2 cos cos 0.76 40.5358

2 IJK

d e y

y d e ed E I I

ed

 

2 1

2

4) 23.5197

' ' ' '' cos 2 cos 23.5197 1.8338 m 5) ' ' ' ' 1.3125 1.8338 3.1463 315 cm

I E I

I K I K f I

EK EI I K

  

 

Le 12 novembre 2012

(7)

EXTRI344 – Compléments.

1 2 3 4 5 6

Trouver les valeurs des expressions suivantes sans utiliser la calculatrice : sin 6sin 42sin 66sin 78

cos 6 cos 42 cos 66cos 78 tan 6 tan 42 tan 66 tan 78 sin 9 cos 27 cos 63sin 81 cos 20cos 40cos 60cos80 sin 20sin 4

E E E E E E

0sin 60sin 80

1

sin12 sin 6sin 42 sin 66sin 78

E

2 cos 6

sin 84 2 cos 42

sin132 2 cos 66

sin156 2 cos 78





2

s

1 16

cos 6 cos 42 cos 66 cos 78 cos 6 cos 42 sin 24 sin12

cos 24 cos 6 1 sin 30 sin18

1 2

sin 30 sin18 sin 54 sin 30 car

1

4 sin12 cos 42 sin 54 sin 30

2

1 1

1 2 sin18 2 sin 54 1 2 sin 54 4 sin18sin 54 1 2 sin18

16 16

1 2 sin 54 2 cos 36 16

E





   

in 54 sin18

2 cos 72 1 2 sin18 car 4 sin18sin 54 2 cos 36 2 cos 72

1 1

4 sin 54 sin18 1 8cos 36sin18 1 car sin 54 sin18 2 cos 36sin18

16 16

1 sin 36 1 2 sin 72

8cos 36

16 2 cos18 16

 

 

cos18

1 3

2

4

1 1 16

1

sin18 sin 9 cos 27 cos 63sin 81

2 cos 9 E E

E

E

sin 54

2 sin 27 cos 63 sin 81 1

sin18sin 54 4

1 1 sin 36 1 sin 72

sin18cos 36 cos 36

4 4 2 cos18 16

cos18

5

1 16

sin 40 cos 20 cos 40 cos 60 cos80

E

2 sin 20

sin 80 2 sin 40

1 sin160 2 2 sin 80

6

1 16

sin 20sin 40sin 60sin 80 Voir EXTRI287 E

(8)

 

sin(20 ) sin(40 ) sin(60 ) sin(80 ) 3sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) 2

sin(80 ) cos(10 )

1 1 1

sin(20 ) sin(40 ) cos(20 ) cos(60 ) cos(20 )

2 2 2

3 3 1

sin(20 ) sin(40 ) sin(80 ) cos(20 ) cos(10 )

2 4 2

3 2 cos(

8

20 ) cos(10 ) cos(10 )

3

cos(30 ) cos(10 ) cos(10 )

8

3 3

cos(30 )

8 16

Le 15 novembre 2012

(9)

EXTRI345 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.

Prouvez que, dans tout parallélogramme, la somme des carrés de longueurs des 4 côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des 2 diagonales.

Solution proposée par JAN FRANS BROECKX

30 mars 2013

(10)

EXTRI346 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.

3

Résoudre dans l'équation

2sin xsin 3x

Solution proposée par JAN FRANS BROECKX

30 mars 2013

(11)

EXTRI347 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.

Résoudre dans l'équation

cosxcos 3xcos5xcos 7x0 Solution proposée par JAN FRANS BROECKX

30 mars 2013

(12)

EXTRI348 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.

Démontrez que

sin10 sin 50 sin 70 1

 8

Solution proposée par JAN FRANS BROECKX

Solution proposée par DOMINIQUE DRUEZ

30 mars 2013. Modifié le 10 jan 2014 (Dominique Druez)

(13)

EXTRI349 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.

Si et sont les longueurs des côtés des 2 diagonales d'un quadrilatère plan convexe et si est l'angle entre ces diagonales, prouver que l'aire du quadrilatère vaut 1 sin .

2 a b

ab

Solution proposée par JAN FRANS BROECKX

30 mars 2013

Références

Documents relatifs

Les résultats précédents peuvent être ainsi résumés : Étant donné un quadrilatère variable inscrit dans une circonférence et dont les diagonales rectangulaires se coupent

PAR M. Par le milieu d'une diagonale d'un quadrila- tère plan, on mène une parallèle à la seconde diagonale, et par le milieu de celle-ci une parallèle à la première diagonale.

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Construire dans chaque cas le 4 ème sommet afin d’obtenir un parallélogramme.. Reproduire en vraie grandeur la figure

dont les diagonales sont perpendiculaires Preuve

1) Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. 2) Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. 3) Si

Un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et de même longueur est un rectangle.. Un quadrilatère qui a un angle droit et ses côtés opposés 2 à 2 de