Structure de variété de Hilbert et masse sur l'ensemble des données initiales relativistes faiblement asymptotiquement hyperboliques

(1)

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Submitted on 15 Jan 2018

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Structure de variété de Hilbert et masse sur l’ensemble des données initiales relativistes faiblement

asymptotiquement hyperboliques

Jérémie Fougeirol

To cite this version:

Jérémie Fougeirol. Structure de variété de Hilbert et masse sur l’ensemble des données initiales rela-

tivistes faiblement asymptotiquement hyperboliques. Mathématiques générales [math.GM]. Université

d’Avignon, 2017. Français. �NNT : 2017AVIG0417�. �tel-01621640v2�

(2)

��

(3)

(4)

� ��

��

� ��

��

� ��

��

�� 3 + 1 ��

��

� ��

��

� ��

��

� ��

��

�� T ˚ � ��

��

� ��

��

�� S ˚ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

�� U ˚ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

(5)

��

� ��

��

� ��

��

� ��

��

(6)

��

�� 3 + 1 ��

�� N ��

��

�� (M, g, K) �� M ��

�� g �� K �� M ��

�� N �� g �� K � ��

��

(7)

��

�� W

^k,p

�� W

_δ^k,p

��

�� δ � ��

��

�� p = 2 � �� H

^s

:= W

^s,2

��

�� (g, K)

�� (g, π)�� g �� K ��

�� π �� K � �� F ��

�� C �� F

��

�� W

_δ^2,2

�� W

_δ^1,2

�� δ ��

��

�� L

²_δ

� ��

�� L

²

��

�� (g, π) ∈ H

²

(M) × H

¹

(M) ��

��

�� g �� K �� π � ��

��

�� g �� π �

�� L

²

��

�� (g, π) ��

��

(8)

�� L

²

��

�� δγ ��

�� γ

₀

��

�� D Φ (g, π)(h, p) = 0 ��

�� Φ (g, π) = 0 � �� C ��

F � ��

��

�� D Φ (g, π)D Φ (g, π)

^∗

�

��

(9)

��

�� (g, π) ∈ W

⁴

× W

³

��

�� H

²

× H

²

�

��

�� 3 + 1 ��

��

� ��

��

(10)

��

�� Φ ��

�� D Φ ��

D Φ

^∗

��

(11)

��

�� C � ��

��

C = Φ

⁻¹

({0}) �� Φ ��

�� F � ��

��

�� f : X → Y �� C

¹

�� c ∈ Y �

�� x ∈ K = f

⁻¹

({c}), �� Df(x) : X → Y ��

�� K �� X�

�� f = Φ �� x = (g, π) ∈ Φ

⁻¹

({c}) �

�� Φ ��

Φ : F → L

^∗

(g, π) �→ Φ(g, π)

�� F �� L

^∗

��

�� DΦ(g, π) ��

��

�� Φ

⁻¹

({c}) �� F � ��

• Φ �� C

¹

�

•• ker D Φ (g, π) ��

• D Φ (g, π) ��

�� Φ �� C

^∞

��

DΦ(g, π) �� F � ��

�� F � ��

�� D Φ (g, π)� �� D Φ (g, π)

^∗

��

L

^∗

= Im D Φ (g, π) ⊕ ker D Φ (g, π)

^∗

,

�� D Φ (g, π) ��

• ker D Φ (g, π)

^∗

��

•• Im D Φ ��

��

�� D Φ (g, π)

^∗

��

Structure de variété de Hilbert et masse sur l'ensemble des données initiales relativistes faiblement asymptotiquement hyperboliques

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