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Submitted on 1 Jan 1971
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LOIS D’ÉCHELLE DANS UN FERROMAGNÉTIQUE ANISOTROPE
J. Villain
To cite this version:
J. Villain. LOIS D’ÉCHELLE DANS UN FERROMAGNÉTIQUE ANISOTROPE. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C1), pp.C1-646-C1-647. �10.1051/jphyscol:19711222�. �jpa-00214049�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 2-3, Tome 32, Février-Mars 1971, page C 1 - 646
LOIS D'ECHELLE DANS UN FERROMAGNETIQUE ANISOTROPE
J. VILLAIN 1. L. L., Grenoble, France
Résumé. - Les lois d'échelle sont généralisées au cas d'un ferromagnétique anisotrope, au voisinage immédiat du point de Curie et en champ très faible. A cause des interactions dipolaires, il faut introduire, à la place de l'exposant habituel
q, 2 exposants ali et al, qui décrivent la décroissance de la fonction de corrélation de paire parallèlement et perpendicu- lairement à la direction de facile aimantation. Les valeurs des exposants critiques fournies par l'approximation du champ de Weiss sont compatibles avec les lois d'échelle.
Abstract. - The scaling theory is generalized to anisotropic ferromagnets in very weak field at the close vicinity of Tc. Due to dipole interactions, 2 exponents and 71 must be introduced instead of the conventional exponent 7. They describe the behaviour of the spin pair correlation function parallel and perpendicular to the magnetization axis. Values of the critical exponents in the mean field approximation are consistent with scaling laws.
1. Introduction. - Dans un ferromagnétique, même si les interactions dipolaires sont relativement faibles, elles affectent les phénomènes critiques macroscopi- ques au voisinage immédiat de Tc. Tous les raisonne- ments que nous ferons supposerons qu'on est effecti- vement au voisinage immédiat de Tc.
De plus, nous ne considérerons que le cas d'un ferromagnétique anisotrope, assez anisotrope pour qu'on puisse ne considérer que la composante x:,
du tenseur susceptibilité inhomogène (susceptibilité en présence d'un champ Heis..). La différence essen- tielle avec la situation en l'absence d'interactions dipolaires est que Lim xL, n'est infinie que si la direc-
T-T, 9-0-
tion de q est perpendiculaire à l'axe de facile aimarita- tion Oz : cette propriété refléte évidemment le fait qu'il faut beaucoup d'énergie pour créer des parois non parallèles à Oz. Dans le cas d'un ferromagnétique isotrope, il y a, quelle que soit la direction de q, 2 valeurs propres du tenseur susceptibilité X , qui tendent vers co pour T + Tc et q -+ O, et le rôle des interactions dipolaires est moins facile à mettre en évidence. - -
D'autre part, nous considérerons toujours le cas d'un échantillon cylindrique injiniment long taillé selon l'axe de facile aimantation. Dans les autres cas, des domaines apparaissent à Tc en champ nul (pour un échantillon non infiniment long), et la susceptibilité sera surtout une question de déplacement de domaines.
La présente théorie pourrait en particulier, dans le cas de certains ferroélectriques, expliquer que les exposants critiques aient la valeur prévue par la théorie de Landau.
II. Fonction de corrélation spatiale A Tc. - En l'absence d'interactions dipolaires, les surfaces
@(TI = Cte sont des sphères (éventuellement un peu
aplaties) qui sont donc caractérisées par un seul paramètre : leur rayon r ; à Tc, on admet [2] :
@(r) - r - ' - " (II. 1) pour r grand, de sorte que @(r) est caractérisé par un seul paramètre q.
Comment généraliser ces idées en présence d'inter- actions dipolaires ? La seule propriété évidente des surfaces @(r) = Cte = @ est qu'elles sont inscrites dans un cylindre de révolution d'axe Oz. de hauteurs et de rayon p. A Tc on admettra (en champ nul)
@ - z-l->lll -1->1L
" P (z, p grands) . (II. 2)
C'est unc généralisation naturelle de (II. 1). Elle repose sur l'hypothèse que les propriétés importantes du système ne dépendent pas de la forme détaillée des surfaces @(r) = Cte, mais seulement du cylindre circonscrit.
A une température un peu supérieure à Tc, on suppo- sera (c'est la classique hypothèse de « scaling ») que
@(r) est peu différente de sa valeur critique @,(r) pour r intérieur à un certain volume que nous appe- lerons le volume critique. Hors de ce volume, @(r) sera donné par son expression paramagnétique qui, comme on peut s'en rendre compte par un dévelop- pement à haute température [Il est de la forme :
@(r) = r - 3 F(u) (II .3) où cr est l'angle r et la direction de fagile aimantation Oz.
Le volume critique est inscrit dans un cylindre de hauteur tI1 et de rayon tl, et on postule :
511 - & - v l i tL .v (II .4)
où
E = ( T - T,)/T, .
Les exposants vl1 et v L généralisent l'exposant habi- tuel v.
A une température un peu inférieure à Tc, ou encore à Tc en présence d'un champ magnétique, on peut encore définir un volume critique (et par conséquent
C i l et t L ) à l'intérieur duquel O(r) x @,(r). A l'exté- rieur, on a :
@(r) = @(CD) + q ( r ) (II .5)
où q(r) s'annule vite ; dans l'approximation dii champ moléculaire, q(r) a la forme (II. 3) (Fig. 1).
III. Lois d'échelle. - Dans (II. S), on a @(CO) = m2, ou m est l'intensité moyenne d'aimantation ; or on a [2] :
m - H l 1 * pour T = Tc (III. 1 )
m - \ E lu pour T < Tc (III. 2)
et un champ magnétique H = 0.
La surface .Z d'équation @,(r) = @(CO) = m2 doit,
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19711222
LOIS D'ÉCHELLE DANS UN FERROMAGNÉTIQUE ANISOTROPE c 1 - 647
en vertu de l'hypothèse de « scaling » du II, s'iden- tifier qualitativement avec la frontière du volume critique. Donc :
n,2 = q 1 - s l l = ,s;1-q1 . (111.3) Pour T < Tc, H = O, (III. 4) est remplacé par
(11 N 1 E I - ~ ; 5 ' - I ~ l - ' i (III. 4) qui, porté dans (IV.3), donne avec (IV.2) les lois d'échelle :
2 p = ~ ; ~ ( l + ?II) = v;(l + q') . (111.5)
SUSCEPTIBILIT~. - La susceptibilité est à un facteur près l'intégrale de q(r) définie par (111.4) [2] :
x = 1 a(.) d 3 r . (III. 6)
On admettra qu'il suffit d'intégrer à l'intérieur du volume critique. Cette hypothèse est moins triviale que dans le cas isotrope ; elle est en tout cas correcte au-dessus de Tc et aussi dans l'approximation du champ moléculaire : on peut en effet montrer que I'intégrale de @(r) le long d'une droite parallèle à Oz à distance
d >> K-' et ne coupant pas le volume critique est
proportionnelle à d - 4 et donc intégrable. En ordre de grandeur l'intégrale (III. 6) est le produit :
- du volume critique, soit t1I ri,
- par la valeur de @,(r) à la surface du volume critique, soit m2. Donc, en utilisant (III. 3) :
x - t,""? (III. 7)
Pour T < Tc, H = O, on a [2]
X N 18 ( - ? ' (III. 8)
d'où en utilisant (111.7, 4 et 5) :
Pour T = Tc, on a d'après (IV. 1) :
x = a m / a ~ - H - ~ + ' / ~ , d'où d'après (111.7, 3 et 1) :
Pour T > Tc, H = O, on montre, d'une façon analogue à (IV. 3), la relation :
(1+911 - <:+sL
II - (III. 11)
d'où, en utilisant (III. 3) :
(III. 12) et, d'après (IV. 7), x - E - ? , avec :
y = 3 [ ~ ~ ( 2 - r ] ~ ) + 2 ~ 1 ( 2 - r ] ~ ) ] . (111.13) D'autres égalités peuvent être déduites des précé- dentes. Par exemple, de l'égalité connue [2]
on déduit a' = 2 - vil - 2 v; .
En l'absence d'interactions dipolaires, 1111 = = r ] ,
, , I I = ~ ~ = v, v , , ' = v; = v'et (IV.5, 9, 10. 12 et 13) se réduisent à des égalités connues. Certaines de ces égalités sont alors en contradiction avec la théorie de Landau ou du champ moléculaire : ce sont (111.9, 10).
En est-il de même en présence d'interactions dipo- laires ? Nous allons voir que non. Dans ces approxima- tions, on a pour r grand :
avec --
41 = dq: + q; .
L'intégration est élémentaire bien que fastidieuse.
Les résultats sont donnés par la figure. En particulier
r]" = 0 4 1 = 1 .
Les valeurs des autres exposants dans l'approxima- tion du champ moléculaire sont bien connues [2] :
a = y ' = O p = 1 / 2 y = y " = l a = 3 . Ces diverses égalités sont cohérentes avec (III. 9,lO).
FIG. 1. - Valeur de la fonction de corrélation pour r grand dans l'approximation du champ moléculaire. 4 régions différentes
sont 2 distinguer.
Bibliographie
[ l ] STANLEY (H. E.), Phys. Rev., 1967, 158, 537.
[2] KADANOFF (L. P.) et col]., Rev. Mod. Phys., 1967, 39, 395.
