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Sur la théorie de la résonance ferromagnétique dans les métaux
Gilbert Munschy
To cite this version:
Gilbert Munschy. Sur la théorie de la résonance ferromagnétique dans les métaux. Journal de Physique, 1966, 27 (11-12), pp.760-768. �10.1051/jphys:019660027011-12076000�. �jpa-00206470�
760.
SUR LA THÉORIE DE LA RÉSONANCE FERROMAGNÉTIQUE DANS LES MÉTAUX
Par GILBERT MUNSCHY,
Laboratoire Pierre-Weiss, Institut de Physique, Strasbourg.
Résumé. 2014 On précise les expressions de la perméabilité isotrope équivalente et de la condi-
tion de résonance ferromagnétique dans le cas d’un petit coefficient d’échange et d’un effet de
peau normal. On montre que les ondes absorbées dans l’épaisseur de peau du métal ne sont pas toutes rentrantes : à la résonance, il y a essentiellement une onde rentrante et une onde réfléchie par le métal massif sous-jacent.
Abstract. 2014 Explicit expressions are given for the equivalent isotropic permeability and
for the condition of ferromagnetic resonance in the case of a small exchange coefficient and of a normal skin effect. It is shown that the waves absorbed in the skin depth of the metal
are not all re-entrant waves : near the resonance field, there is mainly one re-entrant wave and
one wave reflected by the underlying bulk metal.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE 27, 1966,
Introduction. - Dans leur étude de 1’effet des interactions d’echange des porteurs de moments sur la resonance f erromagnetique dans les m6taux,
Ament et Rado [1] aboutissent a 1’expression d’une perméabilité isotrope 6quivalente {Léqu = P-1 - ’P-2
a partir de laquelle ils calculent le champ de réso-
nance par la condition u1 = 0. Cependant, les hypo-
th6ses faites limitent la validite de leurs resultats
th6oriques 4 certaines experiences de resonance dites d’ondes de spin (spin wave resonance) pour les-
quelles 1’effet d’echange observe est relativement
important. C’est le cas des experiences de Rado et
Weertman [2], qui sont caractérisées par une fr6- quence de 3 000 a 4 000 MHz et par des 6chantillons de fer-nickel de tres faible anisotropie magn6to-
cristalline. Le champ statique applique est de
l’ordre de 100 Oe. En résonance ferromagnétique ordinaire, par contre, les frequence sont en gros dix fois plus 6lev6es et les champs appliques sont de
l’ordre de 10 000 Oe. L’effet d’6change est alors rela- tivement moins important et il est parfois n6gli- geable devant 1’effet de relaxation de Landau [2, 3].
L’objet de ce travail est d’etablir des expressions plus g6n6rales de la perméabilité et du champ de
resonance en supposant que le facteur d’echange e
est petit devant l’unit6 et que 1’effet de peau est
normal. La situation physique a laquelle se rappor-
tent ces approximations peut etre caract6ris6e
comme suit : le terme d’6change du second ordre
(2A/M2) AM dans l’induction effective agissant sur
les porteurs de moments est petit devant 4nMs,
c’est-a-dire petit devant l’induction statique Ho + 47tMs ; la temperature n’est pas trop basse,
la loi d’Ohm s’applique et la conductivite est donn6e par sa valeur statique ; en outre, l’échantillon m6tal-
lique est massif et il n’y a pas d’effets parasites de
surface ou d’impuret6.
Dans la premiere partie du travail, le probl6me de
1’interaction de l’onde radiofréquence incidente et
du milieu ferromagnétique est d’abord defini (les equations differentielles, les conditions aux limites).
La géométrie adoptee est celle d’une onde normale
au plan d’incidence et d’un champ statique paral-
16le a ce plan. Dans la deuxi6me partie, la solution du probleme est pr6cis6e dans les divers cas a envi- sager (effet d’6change predominant, effet d’6change faible). Les resultats sont resumes dans la conclu- sion. Pour plus de clart6, le detail des calculs est
donne en fin de texte (appendices I et II).
Symboles utilises.
Ho : champ magnetique statique assurant la satu- ration, corrig6 des effets demagnetisants et d’anisotropie,
Ms : aimantation a saturation, e(ex, ev,
ez)
vecteurs 6lectrique et magn6tique de h(hx, hy, hz) l’onde radiof requence appliqu6e, m(mx, my, mz) : aimantation rf,u : permeabilite magn6tique définissant l’induc- tion b == uh,
cr : conductivite statique du metal,
y : rapport gyromagnétique ge,’2mc (e, m char ge
et masse de 1’electron, c vitesse de la lumi6re,
g facteur assez voisin de 2),
co, k : pulsation et constante de propagation de
l’onde rf,
À : coefficient de relaxation,
A : coefficient d’echange,
Z : impedance de surface,
8 . epaisseur de peau classique pour une permea- bilité u = 1,
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019660027011-12076000
761
du meme ordre de grandeur,
# approximativement 6gal,
* : conjugaison complexe.
N. B. : Ho, Ms, C71 (ù, À, A, 8, e sont des cons-
tantes r6elles positives. Sauf indication contraire,
les unites utills6es sont les unites cgs du syst6me de
Gauss.
Les equations diferentielles. - Lorsqu’une onde électromagnétique radiof requence p6n6tre dans un
milieu f erromagnetique sature par un champ sta- tique, le milieu absorbe de 1’energie et 1’absorption
est maximale a la resonance. L’interaction de l’onde
et du milieu est regie par les equations de Maxwell :
et par 1’6quation de mouvement du vecteur ainlan-
tation :
Le courant de deplacement est n6glig6 devant le
courant de conduction metallique, qui est suppose
donne par la loi d’Ohm j = ae et caractérisé par
une grande conductivite statique a (a sw 1017 ues).
Le champ magnetique H est la somme du champ statique Ho et du champ rf h. De meme, l’aiman- tation M est la somme de la composante statique Ms
colin6aire a Ho et d’une composante rf m. Ordinai- rement, Ho et 4T!:Afs ~ 104 uem, mais Ho peut se r6duire considérablement dans le cas de la reso-
nance d’ondes de spin [2]. L’induction effective est
écrite sous la forme :
Elle comprend, outre le champ H, un terme d’echange d6crivant le couplage des spins voisins [4, 5] et un terme phenomenologique de relaxation
du type Landau [6]. L’apparition du terme d’échange est due au fait que l’aimantation cesse d’etre uniforme en presence du champ rf. Si
[a2 p1[ « 7j, 1’effet d’échange ne repr6seilte qu’une
faible correction du champ H (Hech ~ 1 %). Par exemple, a temperature ambiante et aux fréquences
ordinaires de 30 000 MHz, 8 10-4 cm, A . 10 -s erg/cm, Ho et 4,7M, _- 104 uem, c sw 10-3, "I) ~ 1, u sw 10 a 100 et 1’effet d’6change est faible [3, 7J.
Par contre, en resonance d’ondes de spin, E 10-3,
q sw 10-3, ! 103 et E2 , N 7j. L’eflet d’echange repr6sente alors une fraction notable du champ de
resonance (H éch ~ 20 a 30 0;0). Dans ce dernier cas,
le terme dc relaxation ne jouerait d’ailleurs aucun
role pour 1’interpretation des resultats experimen
taux [1, 2].
L’echantillon de metal ferromagnetique est limit6
par le plan Oxz (y 0 milieu air, y > 0 milieu
metal). Son epaisseur est suppos6e grande devant 1’epaisseur de peau effective aeff = ð/If.L11/2 dans laquelle sont absorbees les ondes rf. Ainsi sont
exclus les effets géométriques de Kittel [8], qui se
manifestent lorsque 1’epaisseur de 1’echantillon est
d6terminante. Le champ statiquc Ho est suppose place suivant I’axe Oz, 1’onde plane 6tant norma-
lement incidente suivant I’axe Oy. La composante
tangentielle du vecteur magnetique rf a la limite
air-metal se place suivant 1’axe Ox. En outre, con-
formement aux hypotheses d’Ament et Rado, les
vecteurs e, h et m sont supposes proportionnels à 1’exponentielle exp (imt - ky) dans le metal, leurs
modules 6tant petits devant Ho et Mg. Cette suppo- sition est justifi6e lorsque la loi d’Ohm s’applique,
c’est-a-dire lorsque l’ épaisseur de peau 3eff est grande devant le libre parcours moyen l des 6lee-
trons de conduction. Ainsi, a temperature ambiante,
l ~ 10-6 cm et S eff ~ 10-4 a 10-5 cm. Par centre, a basse temperature, le libre parcours l croit dans
des proportions tres notables (de 10 -6 a 10 -2 cm),
la loi d’Uhm ne s’applique plus ct 1’effet de peau devient anormal. Rado [9] indique la correction qu’il convient d’appliquer au calcul de la permea-
bilit6 isotrope 6quivalente, dans le cas d’un effet de peau faiblcment anormal. En outre, I’hypothese de
continuite faiLe en relnplaçant le reseau de spins
du modèle de Heisenberg par un continuum pour le calcul du champ d’6change peut être consideree
comme justifiee tant que 1’epaisseur ðeff est grande
devant les parametres du reseau [1].
En n6gligeant les termes quadratiques en m, e, h
et en 61iminant une solution qui n’est pas excit6e par l’onde incidente, le systeme d’6quations (1), (2)
se ramene a un systeme homogene de trois equa-
tions linéaires en mx, mv, hx dont 1’equation sécu-
laire est cubique en K2 :
Les trois racines Kn (n = 1, 2, 3) d’interet phy- sique correspondent aux trois ondes absorbees par le metal (fle (kg) > 0). Finalement, les compo-
santes cart6siennes des vecteurs e,,, hn, mn sont
762
données comme suit en fonction des composantes
:
Les conditions aux limites. - Les propri6t6s 6lee- tromagnétiques du metal sont enti6rement deter- min6es par la donn6e de 1’impedance de surface Z = (e,,Ih,,),-O, quotient des composantes tangen- tielles des vecteurs e et h a la limite air-metal (en
omettant le facteur 47/c). Aux deux conditions de continuite usuelles :
Ament et Rado [1] ajoutent la condition :
pour exprimer que le couple d’6change total est nul.
Le couple exerc6 par le spin i sur le spin / est en
effet 6gal et oppose au couple exerce par le spin j
sur le spin i [4, 5]. D’ou les deux conditions :
L’existence à la surface du ferromagnétique d’une
surface d’anisotropie de N6el ou d’une couche anti-
ferromagnétique modifierait cependant ce deu-
xi6me groupe de conditions, du fait de l’apparition
d’un couple supplémentaire a la limite air-metal.
Rado et Weertman [2] d6duisent dans ce cas les
conditions plus generales :
Ksurf repr6sente une densite d’energie d’anisotropie superficielle. Toutefois, les ordres de grandeur
A ~ 10-6 erg/cm, k ~ 105 cm-1, Ksurf ~ 10-2 erg/cm2 indiqu6s par ces auteurs montrent que Ku,f peut souvent etre n6glig6 en premiere approximation,
ce qui sera fait par la suite.
En superposant les ondes (3) absorbées par le
métal, les conditions (4) determinent les compo-
santes hnx (n = 1, 2, 3) en fonction de la valeur hox
dans 1’air. La condition de compatibilite fournit l’imp6dance :
expression obtenue apres simplification par un poly-
nome antisymetrique de degr6 trois en K1, K2, K3.
En vue de la comparaison avec les résultats expéri-
mentaux, Ament et Rado définissent la permeabilite isotrope 6quivalente plequ = lL1 - ilL2, qui est telle
que l’imp6dance (P.-eq,,/Ceff) 1/2 d6duite de la rela-
tion b = lLequ h et des equations de Maxwell soit
6gale a 1’impedance Z. La constante di6lectrique
effective Eeff est trouv6e 6gale a
d’ou la permeabilite isotrope 6quivalente :
La
permeabilite 6quivalente est une donn6e exp6- rimentale, fonction du champ statique pour une frequence donn6e de l’onde rf appliqu6e. Le calcul qui vient d’être décrit est ad6quat si 1’expres-sion (5b) permet de retrouver la meme permeabilite
en ajustant convenablement les param6tres A, g et X.
Rado et Weertman [2] ont trouv6 qu’il s’applique
bien pour l’interprétation de leurs mesures a temp6-
rature ambiante, m8me au voisinage du champ de
resonance. Cependant, ainsi que 1’ont soulign6 Hirst
et Prange [10] dans un travail plus r6cent, la valeur optimale A = 3 a 4 X 10-6 erg/cm attribuée au
coefficient d’echange parait trop forte.
En 1’absence d’6change, le calcul de la permea-
bilit6 est imm6diat du fait qu’il ne subsiste qu’une
seule onde donn6e par 1’equation
d’ou la permeabilite uequ = u1 - 1plz = k2 1 a2 /21
et la condition de resonance fle (lLequ) = u1 = 0,
soit :
La frequence de resonance est donn6e par Q2 = n(n + 1) si Ie facteur L de relaxation est
négligé. C’est ce qu’6nonce la condition de Kittel [11]
m2 = y2 HO(HO + 47tMs). Plus généralement,
1’existence des racines du trinome (6a) implique l’inégalité :
qui sera suppos6e v6rifi6e par la suite. Dans les conditions usuelles, À ~ 108 4 109 s-1,
Ma = 103 uem, y ~ - 107 ues,
ILl = - X/M. y -- 10-1 4 10-2 et L2 est alors n6gligeable devant l’unit6.
Si 1’echange devient appreciable, l’ équation s6cu-
laire (3a) fournit trois ondes k1, k2, k3 physiquement acceptables et le calcul de l’imp6dance Z se com- plique. Dans la condition de resonance, il apparaît
un terme d’6cbange en c2l QL concurremment au
763
terme de relaxation en Q2 L2. Deux cas sont alors à
distinguer [12] :
Le premier cas est relatif a la predominance de
1’effet d’6change, le deuxieme 4 l’entrée en comp6-
tition de 1’effet de relaxation.
ler Cas : Effet d’echeance predominant. - Si e2/QL > Q2 L2 et si le champ statique est assez
voisin du champ de r6sonance, les racines de 1’6qua-
tion s6culaire (3a) se réduisent aux expressions de
MacDonald [13] (pour le detail des calculs, voir Fappendice I). Les trois constantes de propa-
gation kl, k2, k3 se disposent dans le plan complexe
comme le montre la figure 1 et jqe (k2) » fle (k1),
FIG.1. - Constantes de propagation h,., k2, k3.
Re (k3) > 0. En premiere approximation, il y a deux ondes dans le metal a la resonance, l’une entrante, l’ autre réfléchie :
a 6tant le nombre positif :
et z la racine r6elle de 1’equation :
Lorsque oc croit de zero a l’infini, la racine z
décroît monotonement jusqu’a zero (fig. 2). Voici quelques valeurs numeriques :
FIG. 2. - Variations de z en fonction de cx.
En d6finissant par --
les modules et arguments des radicaux qui rentrent
dans 1’expression de kl, k3, il est aise de dresser le tableau de variation ci-apres.
Les deux ondes sont completement absorbees
dans 1’epaisseur de peau classique, car
L’epaisseur de peau effective est approchée par Seff
sw 8 ,nxax ( yla, VOL L
soit Seff ~ 0,1 a envi-ron.
La frequence de resonance est donnée par la rela- tion :
ou Q2 0 d6signe la racine de 1’6quation (6a) en
l’absence d’echange. En resonance ordinaire, le
terme QÕ predomine largement au second membre.
En resonances d’ondes de spin, par contre,
Qg sm5 q __ - e , ~ 10-3 et le nombre a est petit. C’est
ce dernier cas qu’ont 6tudl6 Ament et Rado, qui
mentionnent la valeur z = 0,7044 pour oc = 0 et
remarquent que 1’accord avec leurs experiences est
le meilleur possible en n6gligeant la relaxation. La
permeabilite s’ecrit :
C’est l’ordre de grandeur qu’on observe en reso-
nance d’ondes de spin. En resonance ordinaire, on
observe generalement !Lequ " 10 a 100, c’est-a-dire
une valeur qui semble plut6t en accord avec un effet
de relaxation predominant [3]. Remarquons cepen- dant que ll-equ ~ 10 reste compatible avec c: 2/QL Q2L 2 en supposant e sw 10-2, Q2 sr q sw 1
et ILI ~ 1/20.
L’expression (9a) de la permeabilite et les expres- sions (7a) des constantes de propagation restent
valables dans le voisinage du champ de resonance
en définissant a et z par les relations (7b), (8).
L’équation (7c) est obtenue en 6crivant la condition de resonance fle (!Lequ) == 0. En particulier, lorsque
1) « 1, Q2 0 est approché par 1) et la permeabilite (9a)
se réduit à 1’expression d’Ament et Rado :
Connaissant les constantes kn et l’imp6dance de
surface Z, il est possible de calculer sans grande
difliculte (appendice I) les composantes hnx, puis
les autres composantes cart6siennes des vecteurs
radiofréquence 6lectrique et magnetique.
2e Cas ; Effet d’echange faible. - Si 2/ QL Q2 L 2 ou si le champ statique est assez
loin du champ de resonance, les racines de 1’equa-
tion s6culaire se r6duisent aux expressions donn6es
dans l’appendice II. Dans le voisinage du champ de r6sonance, les constantes de propagation satisfont
aux in6galit6s jqe (k2), Re (k3) » Re (k1). En pre-
miere approximation, il n’y a qu’une seule onde dans le metal :
L’argument 61, petit devant 1’unite, est 6gal 4
F( Q2) 6tant le trinome (6a). Cette onde est absorbée dans 1’epaisseur de peau classique, car
i-te (k1) # I/a,ff ~ I/a
VOL
et KIL -- flo L 1 (en vertu de la condition (6b))
La condition de resonance s’6crit :
Dans le premier cas, on retrouve simplement l’équation (6a) valable en l’absence d’6change. Dans
le second cas, OL « 1 et la frequence de resonance
est donn6e par la relation :
Q2 d6signant la valeur correspondante en k’absence d’ echange :
Le terme d’6change obtenu est dans ce cas de la
forme pr6vue par Herring et Kittel [3]. Deux 6ven-
tualit6s se presentent : en resonance ordinaire,
n » e2fQL et alors L2 « 1 ; en resonance d’ondes
de spin, n ~ e 2/ QL et alors le terme d’echange repr6sente une fraction notable du champ de reso-
nance, ainsi d’ailleurs que le terme de relaxation. Le
cas e2/ 0 L -- Q2 L2 peut Atre considere aussi comme un cas limite de 1’effet d’6change preponderant (voir l’appendice I).
La permeabilite se met sous la forme :
avec l/i2L ;:.-& 10 a 102 pres de la resonance. Le
terme en e2/Q2 L 2, qui est a negliger si
est du a un petit effet de l’onde extraordinaire de
constante k3.
Loin de la resonance, c’est-h-dire dans le domaine des hautes frequence Q2 > L22 a = (YJ + 1)2 (1 + L2)
et 6galement pour Q2 U2 r = q(q + 1) (1 + L2) si n ~ 1, les conclusions sont un peu diff6rentes
(voir l’appendice II). Les constantes de propagation
satisfont encore aux in6galit6s ae (k2) » fle (k1),
Re (k3) et lk3l » Ik1/. Dans la region des basses fr6- quences (ou des grands champs si Q est fixé), seule
intervient l’onde :
car Re (k3) >>Re (k1). Elle est absorbée dans
765
1’epaisseur de peau classique 8. La perméabilité est
donn6e simplement par
Dans la region des fréquences élevées, la permea-
bilit6 reste donn6e par cette meme expression, mais
la constante k3 devient presque purement imagi-
naire et 9te (k3) « fle (k1). L’onde correspondante
n’est pratiquement pas amortie. La situation la
plus simple se pr6sente dans la region limite Q2 » Q2
ou les constantes s’6crivent :
L’onde ordinaire, non magn6tique, fournit la per- m6abilit6 yequ = 1. L’onde extraordinaire de cons- tante k3 = ik fournit la relation de
dispersion
des ondes de spin thermiques, kB d6signant la cons-
tante de Boltzmann, T la temperature absolue et h
la constante de Planck divisee par 2m [1].
Conclusion. - L’interaction de l’onde radio-
frequence incidente et du milieu ferromagnétique se
manifeste essentiellement par l’apparition de deux
ondes dans le metal, dont les propri6t6s se r6sument
comme suit dans le cas d’un effet de peau normal :
1) Si l’effet d’6change est plus important que
1’effet de relaxation, les constantes k1 et k3 des
deux ondes, le champ de resonance et la perméa-
bilit6 6quivalente sont donn6s par les expressions (7), (8), (9). Les résultats sont valables pour un champ statique assez voisin du champ de resonance. L’une des ondes est rentrante, I’autre est réfléchie par le metal sous-jacent. L’6paisseur de peau effective est
petite devant l’ épaisseur classique 8 et, corr6la-
tivement, la perméabilité atteint des valeurs 6lev6es.
2) Si 1’effet d’echange est plus faible, l’ épaisseur
de peau est determinee par l’onde ordinaire de cons-
tante kl, l’onde extraordinaire de constante k3 ayant
une amplitude beaucoup plus faible. Les valeurs
correspondantes de k1, du champ de resonance et
de la permeabilite sont donn6es par les expressions (10), (11), (12).
3) Loin de la resonance, la permeabilite basse frequence est 6gale a Bo jHo et la permeabilite haute frequence est 6gale a l’unit6. L’onde ordinaire devient alors non magn6tique et l’onde extraordi-
naire, qui n’est presque pas amortie, vérifie la rela-
tion de dispersion des ondes de spin thermiques.
Quant aux constantes de propagation et N la per- m6abilit6, elles sont pr6cis6es par les relations (13), (14).
. Ce travail a 6t6 entrepris en liaison avec le travail experimental de M. G. Fischer, au Laboratoire Pierre Weiss 4 Strasbourg.
Appendice I. - Les expressions de MacDonald [13J :
sont les racines de 1’equation cubique
ayant pour coefficients :
Elles sont de bonnes approximations des racines
de 1’equation s6culaire (3a) si c° # ci pour i = 1, 2,
3. En fait, avec y = X jcl, le nombre de coefficients
se ram6ne 4 deux :
et
en considérant s et p comme des quantités petites
du premier ordre :
En se reportant a la definition des coefficients ci, il est ais6 de v6rifier ces deux in6galit6s moyennant :
Remarquons que cette dernitre condition est peu diflerente de la condition de resonance de Kittel si L2 « 1. Sachant que e N 10-3 environ dans les
cas d’intérêt physique, l’inégalité e:2f QL > Q2 L2
caractéristique d’un effet d’echange predominant
entraine D.L 10-2. 11 suffit, dans ces conditions,
que le champ statique soit assez proche du champ
de resonance pour que les trois in6galit6s (1.2) soient
satisfaites et que Isl ~ 10-2, lpi ~ 10-3.
Dans le domaine de validite ainsi precise, P, Q, R
se r6dulsent a leurs parties principales :
et la permeabilite (5) s’6crit :
en négligeant au second membre un facteur commun 1+ordre (s, p). La condition de r6sonance est
obtenue en annulant sa partie r6elle :
Le deuxieme membre serait nul en l’absence
d’echange (équation 6a). Posons :
D6signons par 00 et zo les valeurs de Q et z en
l’absence d’echange et soit oco la valeur correspon- dante de a (remplacer Q par Qo dans (l). En substi-
tuant les expressions :
dans la condition de resonance, il vient :
avec
Cette equation admet une seule racine réelle , comprise entre zero et un. Les ordres de grandeur compatibles avec ce qui precede sont oc 10,
zo 10-1 (plus generalement oc e:-13, Zo e1/3).
Les termes en zo dans 1’equation (1.6) sont n6gli- geables devant oc2 et p # 2L2/(1 + L2) car qL2 Q2 L2 « 1. En outre, si a2 10, zo 20-2
et 8 -- L 2 -- L2 ( n2 L 2/ e _- ea2 10-2. La
condition de resonance s’ecrit alors simplement sous
la forme (7c) avec z # (.
Si oc « 1, la racine ( admet le d6veloppement à l’origine :
((a) est une fonction monotonement d6croissante
(fig. 2). Notons la valeur interm6diaire ((t) - 0,5390
Si oc ~
10,
la racine se calcule par le d6veloppement asymptotique :Le facteur en L2 est gener.alement voisin de
l’unit6.
La frequence de resonance est donn6e par la rela- tion (8), sauf si oc -- 10, auquel cas :
En supposant a2 10 pour simplifier la suite
de 1’expos6, la permeabilite (1.3) se met sous la
forme (9). Le calcul des constantes de propaga- tion (7a) se fait ais6ment a partir des expressions de MacDonald. La constante k2 est trouv6e 6gale à
alors que, d’apres la relation (7a), l’ordre de gran-
deur des constantes k1, k3 et de leurs parties r6elles
est donne par 1/8eff = lte,ul 1/2/4 ~ 1018 environ.
En premiere approximation, il n’y a donc que deux ondes dans le metal.
Quant aux composantes cart6siennes des vecteurs
radiofréquences (3b), elles sont donn6es comme suit
4 la surface du metal :
avec
Les composantes hnz, e.., enx, mnz sont nulles,
ainsi que toutes les composantes des vecteurs n = 2.
Le rapport moxilhox s’ecrit de fagon 6quivalente (1 + n) (k1
- . k 3) /4 = E: 2
a2(1 + 2n) (kg - k33).Pour terminer, remarquons que les constantes de
propagation (7a), la permeabilite (9) et la permea-
bilit6 uo = 4ï:mox/hox sont a multiplier par
