Un algorithme mémétique pour le TOP

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Submitted on 14 Mar 2011

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Un algorithme mémétique pour le TOP

Hermann Bouly, Duc-Cuong Dang, Aziz Moukrim

To cite this version:

Hermann Bouly, Duc-Cuong Dang, Aziz Moukrim. Un algorithme mémétique pour le TOP. ROADEF

2008, Feb 2008, Clermont-Ferrand, France. �hal-00576527�

Un Algorithme Mémétique pour le TOP

H. Bouly

, D-C. Dang

, et A. Moukrim

1

Heudiasyc UMR CNRS 6599, Université de Technologie de Compiègne, BP 20529, 60205, Compiègne

2

VEOLIA Environnement, Direction de la Recherche, 17/19 rue La Pérouse, 75016 Paris, France {hermann.bouly, duc-cuong.dang, aziz.moukrim}@hds.utc.fr

Mots clefs : tournées de véhicules sélectives, construction/destruction, découpage optimal.

1 Présentation du Problème

Nous nous intéressons ici au Problème Tournées de Véhicules Sélectives, plus connu sous la dénomination Team Orienteering Problem (TOP). Il s'agit d'un Problème de Tournées de Véhicules (PTV) sélectif où il n'est pas possible a priori de servir tous les clients. On considère pour ce problème une otte de m véhicules, partant tous du point d et arrivant tous au point a , et un ensemble V de clients potentiels. Un client i de V peut être servi une fois au plus par un seul véhicule. A chaque client i de V est associé un prot P

. Le problème est représenté par un graphe G = (V ∪ {d} ∪ {a}, E) où chaque arc (i, j) dans E correspond à un trajet réalisable dont le temps de trajet est noté c

. La résolution du problème vise à construire une solution comportant au plus m routes telle que la somme des temps de trajet sur chaque route r n'excède pas une longueur limite L et telle que la somme des prots collectés chez les clients visités soit maximale.

Nous présentons nos travaux réalisés sur le TOP dans le cadre d'une étude sur une application réelle pour VEOLIA Environnement. Nous proposons un Algorithme Mémétique (MA) [4] s'ap- puyant sur une méthode de découpage optimal d'un tour géant [2,9,5] adaptée à la composante sélective du TOP ainsi que sur une heuristique de Destruction/Construction Itérative (IDCH) [6].

2 L'Algorithme Mémétique

Les Algorithmes Mémétiques [4] sont des Algorithmes Evolutionaires (AE) faisant un usage intensif de recherches locales en lieu et place de la mutation. L'Algorithme Mémétique que nous proposons pour le TOP repose principalement sur une méthode de découpage optimal dédiée au TOP et une heuristique originale, que nous baptisons IDCH.

2.1 Découpage Optimal

Nous proposons une adaptation de la méthode PERT/CPM permettant d'eectuer le découpage optimal d'un tour géant dans le cas où certains clients ne peuvent être servis, comme dans le TOP.

Considérant une séquence π = (1, 2, . . . , n) représentant un tour géant, il s'agit de trouver le

sous ensemble d'au plus m sous-séquences tel que chaque sous-séquence corresponde à une tournée

réalisable et que le prot associé à ces tournées soit maximal pour la séquence π donnée. Nous

avons établi qu'il était optimal de ne s'intéresser qu'aux solutions saturées, i.e. les solutions où

pour toute sous-séquence commençant en π[x] tous les clients suivant x dans π sont considérés

dans la tournée tant que sa logueur n'excède pas L et qu'elle n'atteind pas la n de la séquence

π . L'adaptation de la méthode PERT/CMP que nous proposons repose sur la construction d'un

graphe acyclique H = (X, U) où X = {1, 1

, 2, 2

, . . . , n, n

, d, a} est tel que chaque sommet x

représente le point de départ d'une tournée et chaque sommet x

représente la n de la tournée

saturée commençant en x . Un arc (x, x

) de U est pondéré par le prot de la tournée commençant

en π[x] . Les arcs (x

, y) avec y > x

représentent la possibilité que les deux sous-séquences [x, x

] et

[y, y

] soient considérées dans la même solution. Ces arcs sont pondérés par 0 . Les sommets d et a

sont connectés respectivement aux débuts et ns de tournées par un arc valué par 0 . Considérant

ce graphe pour un tour géant donné, le découpage optimal consiste à rechercher le chemin le plus

long entre d et a ayant un nombre d'arcs limité.

T S

T S

V N S

V N S

T M H CGW P OP

M A

∆Z

2370 1178 1430 421 2398 4334 2928 428

∆Z

975 393 346 78 N/A N/A 1351 74

∆Z 1395 785 1084 343 N/A N/A 1577 354 Tab. 1. Résultats sur les instances de Chao et al..

2.2 Heuristique de Destruction/Construction Itérative

Il s'agit d'une heuristique inspirée du principe de Destruction/Construction présenté dans [6]

et sur une version parallèle de la Meilleure Insertion [7] où tous les véhicules et tous les clients sont considérés simultanément et où une priorité est associée à chaque client. Il s'agit d'itérer des phases de destruction où un nombre aléatoire entre 1 et n/m de clients est retiré de la solution courante, et des phases de reconstruction employant la Meilleure Insertion. Si tous les clients sont insérés, la solution est optimale puisque le prot est maximum. Sinon, les clients non routés voient leur priorité augmenter de la valeur du prot qui leur est associé. L'ensemble des clients à router est divisé en sous-ensembles de clients ayant la même priorité. Les clients de priorité maximale sont considérés en premier. Le sous-ensemble de priorité maximale suivant n'est considéré qu'une fois que tous les clients du premier sous-ensemble sont routés ou bien que plus aucune insertion n'est possible. L'idée sous-jacent de cette heuristique est que plus un client est dicile à insérer dans la solution, plus on essaie de l'insérer dans des solutions peu contraintes.

3 Résultats et Conclusions

Le découpage optimal est employé pour l'évaluation de chaque chromosome durant l'Algorithme Mémétique. L'heuristique IDCH est quant à elle employée pour l'initialisation de cinq individus sur quarante dans la population initiale, les autres étant initialisés aléatoirement. Les résultats sur les instances de Chao et al. [3] présentés en Tableau 1 donnent la somme des diérences entre le meilleur prot connu et le prot obtenu par chaque méthode : ∆Z

dans le pire des cas et ∆Z

dans le meilleur des cas sur 3 exécutions. Seul ∆Z

est indiqué si une seule exécution est reportée.

On se compare aux résultats de Chao et al. [3] ( CGW ), Tang et al. [8] ( T M H ) et Arhcetti et al.

[1] ( T S

, T S

, V N S

et V N S

). P OP

désigne la meilleure solution de notre population initiale. Ces résultats démontrent clairement l'ecacité de l'Algorithme Mémétique par rapport à la littérature, mais également la bonne qualité de l'heuristique IDCH au regard de la proximité de ses résultats par rapport à certaines métaheuristiques. Le développement de ces travaux devrait conduire à l'introduction de prétraitements visant à améliorer les performances d'IDCH et la restriction du découpage optimal à un espace de recherche plus pertinent.

Références

1. C. Archetti, A. Hertz, and M.G. Speranza. Metaheuristics for the team orienteering problem. Journal of Heuristics, 13(1), February 2006.

2. J.E. Beasley. Route-rst cluster-second methods for vehicle routing. Omega, 11 :403408, 1983.

3. I-M. Chao, B. Golden, and E.A. Wasil. The team orienteering problem. European Journal of Operational Research, 88, 1996.

4. P. Moscato. New Ideas in Optimization, chapter Memetic Algorithms : a short introduction, pages 219234. 1999.

5. C. Prins. A simple and eective evolutionary algorithm for the vehicule routing problem. Computer &

Operations Research, 31, 2004.

6. R. Ruiz and T. Stutzle. A simple and eective iterated greedy algorithm for the permutation owshop scheduling problem -. European Journal of Operational Research, 177, 2007.

7. M. Solomon. Algorithms for the vehicle routing and scheduling problems with time window constraints.

Operations Research, 35 :254265, 1987.

8. H. Tang and E. Miller-Hooks. A tabu search heuristic for the team orienteering problem. Computer &

Operations Research, 32, 2005.

9. G. Ulusoy. The eet size and mixed problem for capacitated arc routing. European Journal of Opera-

tional Research, 22 :329337, 1985.