Université de Jijel
Faculté des sciences et de la technologie Département d’Electrotechnique
Mémoire de fin d’études
Présenté en vue de l’obtention du diplôme de Master En électrotechnique
Option : Machines électriques
Thème
Optimisation d'une machine synchrone à aimant permanent à bobinage dentaire
Présenté par : Proposé et dirigé par :
Ayache Nadjim. Mme : Z. Boulassel_Belli.
Année universitaire : 2017/2018
Remerciements
Avant tout, je remercie notre Dieu le tout puissant de m’avoir donné le courage, la volonté, la patience et la santé durant toutes ces années d’étude.
Ainsi, je tiens à exprimer mes vifs remerciements à mon encadrant, Madame : Zoubida boulassel_belli pour avoir d’abord proposer ce thème, pour son suivi continuel tout le long de la réalisation de ce mémoire et pour ses précieux conseils.
Mes remerciements vont aussi s’adresser à touts les enseignants d’électrotechnique qui ont contribué à ma formation par ailleurs, mes remerciements à tous les membres du jury qui ont accepté d’examiner mon travail.
En fin, je tiens à exprimer ma reconnaissance à tous mes amis et collègues pour le soutien moral.
Nadjim
Dédicaces
Je dédie ce travail,
A mes très chers parents qui ont sacrifié leur vie pour ma réussite, et pour leurs encouragements. Que dieu
les garde éternellement heureux.
A toute ma famille,
A tout mes amis et mes collègues, et à tous ceux qui m’ont aidé pour réaliser ce mémoire.
Nadjim
Introduction générale ...1
Chapitre I :Enroulements des machines à courant alternatif I.1 Introduction ...3
I.2 Machine synchrone ...3
I.2.1 Définition ...3
I.2.2 Constitution ...4
I.2.3 Classification des machines synchrones ...4
I.2.3 .1 Machine synchrone à rotor bobiné ...5
I.2.3.2 Machine synchrone à aimants permanents MSAP ...6
I.2.5 Machine synchrone à réluctance variable ...6
I.3 Machine asynchrone ...7
I.3.1 Définition ...7
I.3.2 Constitution ...7
I.3.2.1 Stator ...7
I.3.2.2 Rotor ...8
I.4 Bobinage à courant alternatif ...10
I.4.1 Bobinage imbriqué (distribué) ...10
I.4.1.1 Bobinage imbriqué à simple couche (à pas diamétrale) ...10
I.4.1.2 Bobinage imbriqué à doubles couches (à pas raccourcis) ...12
I.4.2 Bobinage ondulé ...13
I.4.3 Bobinage concentrique ...14
I.4.4 Bobinage concentrique par dent :...15
I.4.4.1 Les différents modes de bobinage: ...16
I.5 Eléments complémentaires pour le calcul de bobinage ...17
I.5.1 Facteur d’enroulement (bobinage) « K1 » ...17
I.5.1.1 Facteur de distribution 𝑲𝒅 ...17
I.5.1.2 Facteur de raccourcissement𝑲𝒓 ...18
I.5.1.3 Facteur d’inclinaison 𝑲𝒊 ...19
I.6 Conclusion ...19
Chapitre II : Modélisation des machines synchrones à aimants permanents
II.1 Introduction...20
II.2 Présentation de la machine synchrone à aimants permanents(MSAP) ...20
II.2.1 Principe de fonctionnement de la MSAP ...20
II.2.1.1 Types de la MSAP ...20
II.2.3 Avantages de la MSAP ...23
II.2.4 Inconvénients de la MSAP ...23
II.3 Aimants permanents ...23
II.3.1 Alnico ...24
II.3.2 Ferrites ...24
II.3.3 Aimants en samarium cobalt ...24
II.3.4 Aimants en néodyme fer bore ...24
II.4 Modélisation des MSAP par le calcul du champ électromagnétique...24
II.4.1 Equations de Maxwell ...25
II.4.2 Relations de milieux et loi d'Ohm ...26
II.4.3 Conditions de passage ...27
II.5 Formulation du champ électromagnétique ...27
II.5.1 Formulation en potentiel vecteur magnétique ...28
II.5.1.1 Equation magnétostatique ...28
II.5.1.2 Equation magnétodynamique ...28
II.6 Méthodes de résolution ...29
II.6.1 Méthodes numériques ...29
II.6.2 Méthodes analytiques ...30
II.6.2 Méthodes semi-analytiques ...30
II.7 Conclusion ...30
Chapitre III : Optimisation en électrotechnique
III.1 Introduction ...32
III.2 Démarche de conception en électrotechnique ...32
III.2.1 Définition précise du cahier des charges ...33
III.2.2 Mise en équation mathématique ...33
III.2.3 Résolution du problème d’optimisation ...33
III.2.4 Exploitation de la solution ...34
III.3 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation ...34
III.3.1 Problèmes d'optimisation non contraints ...34
III.3.2 Optimisation continue avec contraintes ...35
III.3.3 Problèmes d'optimisation à objectifs multiples ...35
III.3.4 Classification des méthodes d’optimisation ...36
III.3.4.1 Méthodes déterministes ...36
III.3.4.2 Méthodes d'optimisation stochastiques ...38
III.3.5 Résolution des problèmes d'optimisation contraints ...40
III.3.5.1 Méthodes de transformation ...40
III.3.5.2 Méthodes directes ...40
III.4 Conclusion ...40
Chapitre IV : Application et résultats IV.1 Introduction ... 41
IV.2 Application à une machine synchrone à aimants permanents montés en surface ... 41
IV.2.1 Modèles géométrique et physique de la machine étudiée ... 41
IV.2.1.1 Modèle géométrique ... 41
IV.2.1.2 Modèle physique ... 42
IV.2.1.3 Répartition de l'enroulement dans les encoches statoriques ... 43
IV.2.2 Modèle mathématique ... 44
IV.2.4 Modèle numérique ... 44
IV.3 Résultats et discussion ... 45
IV.4 Procédure d'optimisation de forme des encoches statoriques en vue de maximiser le couple
électromagnétique ... ... 47
IV.4.1 Formulation de problème d'optimisation ... 47
IV.4.2 Résultats d'optimisation par la méthode des algorithmes génétiques ... 48
IV.5 Conclusion... 52
conclusion générale et perspectives...53 Références bibliographiques
Introduction générale
Page 1
Introduction générale
Dans ces vingt dernières années, le domaine de la conversion de l'énergie électrique a été marqué, comme de nombreux autres domaines, par la révolution de l'électronique de puissance et de la microinformatique. Historiquement, le moteur à courant continu a parfaitement assuré le fonctionnement de la plupart d'équipements industriels. Cependant, son principal défaut reste le collecteur mécanique que l'on tolère mal dans certains environnements et qui fait augmenter les coûts d'entretien. Ces contraintes ont dirigé les études vers les entraînements équipés de machines à courant alternatif.
Les développements récents des convertisseurs statiques , des matériaux magnétiques à faibles pertes et des aimants permanents de forte densité d’énergie ont permis une émergence des applications industrielles et domestiques utilisant des machines électriques synchrones à aimants permanents. Parmi ces applications, nous pouvons citer par exemple les machines-outils, les compresseurs, les perceuses, etc. [1].
L’existence des harmoniques d’espace dans l’entrefer nuit considérablement au travail efficace des machines électriques alternatives. L’étude et la connaissance du bobinage de ces machines ont permis, dès le début du XXème siècle, de rendre le plus sinusoïdal possible les ondes présentes dans l’entrefer grâce, notamment, à la réduction du pas d’enroulement ou encore à la distribution des bobines d’une même phase. Le bobinage des machines alternatives n’a guère évolué depuis de nombreuses décennies. Cependant, on a vu apparaître des machines synchrones dont le bobinage est inhabituel. En effet, certaines machines à aimants présentent la particularité de posséder un bobinage dit « sur dents » : une bobine est enroulée autour de chaque dent statorique. Ce type de bobinage possède des avantages tels que la facilité de mise en œuvre, une nette séparation des phases dont les têtes de bobines et surtout des chignons beaucoup plus courts, d’où un gain de place considérable[2].
Dans ce travail on s'intéresse à l'étude d'une machine synchrone à aimants permanents montés sur la surface rotorique avec un bobinage du stator concentrique sur dent . L'objectif visé est la modélisation de cette machine avec une démarche d'optimisation automatique basée sur l'association de l'analyse numérique du champ électromagnétique par la méthode des éléments finis avec une méthode d'optimisation afin d'améliorer les caractéristiques de la machine, notamment avec un tel bobinage qui conduit à l'apparition des champs parasites dans l'entrefer dus au riche contenu harmonique qu'il génère.
Page 2 Le mémoire comporte quatre chapitres , il est organisé de la manière suivante:
Dans le premier chapitre, on présente les différents types des machines à courant alternatif avec leurs éléments constitutifs, ainsi que les différents types de bobinage et les éléments nécessaires pour son évaluation.
Dans le deuxième chapitre, on présente la machine synchrone à aimants permanents, les différents matériaux pour aimants permanents, ainsi que la modélisation de la machine en question par la méthode des éléments finis.
Le troisième chapitre est consacré à la démarche d'optimisation en électrotechnique.
La démarche de conception optimale basée sur le couplage de la modélisation par éléments finis avec la méthode d’optimisation par algorithme génétique est appliquée à une machine synchrone à aimants permanents montés en surface, à bobinage dentaire. La présentation de l’application et les résultats obtenus font l’objet du quatrième chapitre.
Enfin, nous terminons ce mémoire par une conclusion générale.
Chapitre I
Enroulements des machines
à courant alternatif
Page 3
I.1 Introduction
Les performances générales d'une machine électrique repose sur la qualité du champ tournant crée par son bobinage dans l'entrefer. L'une des manières pour obtenir la qualité ou les performances souhaitées consiste à agir sur l'enroulement ou la répartition de bobinage dans les encoches statoriques de la machine. Cette action a permis la génération de plusieurs types de bobinage à courant alternatif avec une part d'avantages et d'inconvénients partagée pour chaque type.
Dans ce chapitre, les différents enroulements à courant alternatif utilisés dans les machines électriques tournantes seront présentés où la première section du chapitre sera consacrée à la présentation de ces différentes machines.
I.2 Machine synchrone I.2.1 Définition
Le terme de machine synchrone regroupe toutes les machines dont la vitesse de rotation de l’arbre de sortie est égale à la vitesse de rotation du champ tournant. Pour obtenir un tel fonctionnement, le champ magnétique rotorique est généré soit par des aimants, soit par un circuit d’excitation. La position du champ magnétique rotorique est alors fixe par rapport au rotor, ce qui impose en fonctionnement normal une vitesse de rotation identique entre le rotor et le champ tournant statorique [3]
La machine synchrone est un système électrique permettant de convertir de l’énergie mécanique en énergie électrique « génératrice » et inversement « moteur ». Ce type de machine qui fourni l’énergie électrique appelée par le réseau de distribution dans les centrales électriques
« on parle d’alternateur ». Néanmoins, on la rencontre peu dans les applications domestiques, car elle est plus coûteuse à fabriquer et moins robuste que la machine asynchrone [4].
Figure I.1 : Machine synchrone.
Page 4
I.2.2 Constitution
Une machine synchrone comporte deux parties:
- Une partie fixe appelée stator : soumise à un champ magnétique variable, elle doit être obligatoirement feuilletée afin de limiter les pertes par courants de Foucault et par hystérésis. Les tôles, découpées à la presse, comportant des encoches où sont placés N conducteurs actifs reliés en séries pour que les f.é.m. s’ajoutent .
- Une partie mobile appelée rotor (inducteur) : elle produit un champ magnétique constant [4].
I.2.3 Classification des machines synchrones
Par principe, les machines synchrones ont la même vitesse angulaire entre le rotor et le champ tournant statorique. Les machines synchrones peuvent être classées selon la nature de leur excitation (bobinage ou aimants permanents) et par leur rapport de saillance : 𝜉=𝐿𝑞⁄ 𝐿𝑑 . Leur classement est indiqué dans la figure suivante [5]:
𝐿𝑑: inductance sur l'axe directe .
𝐿𝑞: inductance sur l'axe en quadrature.
Figure I.2 : Rotor d'une Machine synchrone. Figure I.3 : Stator d'une Machine synchrone.
Figure I.4 Classement des machines synchrones.
Page 5 I.2.3 .1 Machine synchrone à rotor bobiné
Elles sont caractérisées par une excitation bobinée. Le bobinage au rotor est alimenté en courant continu, alors que les bobinages au stator conduisent du courant alternatif. Dans ce type de machine synchrone il existe deux sous-types : la machine synchrone à rotor bobiné et à pôles lisses, Figure I.5-a, et la machine synchrone à rotor bobiné à pôles saillants, Figure I.5-b. La première présente un rapport de saillance unitaire, par contre la seconde a un rapport de saillance inférieur à l’unité (Ld > Lq). La caractéristique de ces deux machines est qu’elles sont réglables au rotor, cependant il faut avoir un régulateur de courant continu [5].
-
Figure I.5 : Machine synchrone à rotor bobiné.
Figure I.6 : Rotor à pôles lisses.
Figure I.7 : Rotor à pôles saillants.
Page 6 I.2.3.2 Machine synchrone à aimants permanents MSAP
Le champ magnétique généré par le rotor est constant grâce aux aimants permanents. Ce type de machines est classé selon la valeur du rapport de saillance (ξ). La Figure I.8 présente différentes structures rotoriques, selon la position de l’aimant [5].
La caractéristique principale de la machine à aimants permanents est que son couple électromagnétique est produit principalement par l’aimant. Ainsi, l’utilisation d’aimants à forte énergie est primordiale pour avoir de bonnes performances [5].
I.2.5 Machine synchrone à réluctance variable
Le principe de fonctionnement de cette machine est différent des autres machines.
Chaque phase est alimentée de façon indépendante. Le couple est produit par la différence de réluctances [5].
Figure I.8 : Différentes structures rotoriques pour une MSAP.
Figure I.9 : Machine synchrone à réluctance variable.
Page 7 L’avantage de cette machine est son coût réduit. En plus elle ne présente ni pertes Joule au rotor ni risques de démagnétisation des aimants permanents.
I.3 Machine asynchrone I.3.1 Définition
Le moteur asynchrone est le moteur le plus utilisé dans l’ensemble des applications industrielles, du fait de sa facilité de mise en œuvre, de son faible encombrement, son bon rendement et de son excellente fiabilité. Son seul point noir est l’énergie réactive, toujours consommée pour magnétiser l’entrefer.
I.3.2 Constitution
La machine à induction comprend un stator et un rotor constitués de tôles d'acier au silicium et comportant des encoches dans lesquelles on place les enroulements. Le stator est fixe; on y trouve les enroulements reliés à la source. Le rotor est monté sur un axe de rotation sur lequel sont placés les enroulements qui seront accessibles de l'extérieur [6].
I.3.2.1 Stator
Le circuit magnétique est un empilement de tôles d’acier découpées, faisant apparaître les différentes encoches statoriques, on isole habituellement les tôles d’une mince couche de vernis ou de silicate de soude (figure I.11). Le bobinage statorique est constitué de deux parties :
les conducteurs d’encoches et les têtes de bobines. Les conducteurs d’encoches permettent de créer dans l’entrefer le champ magnétique à l’origine de la conversion
Figure I.10 : Machine asynchrone
Page 8 électromagnétique. Quant aux têtes de bobines elles permettent la fermeture des courants en organisant leur circulation, l’objectif étant d’obtenir une répartition des forces magnétomotrices et du flux la plus sinusoïdale possible dans l’entrefer, pour limiter les oscillations du couple électromagnétique [6].
I.3.2.2 Rotor
Le circuit magnétique du rotor est constitué d’un assemblage de tôles ferromagnétiques rainurées. Dans les petits moteurs, les tôles sont découpées dans une seule pièce et assemblées sur un arbre. Dans les plus gros moteurs, chaque lamination est constituée de plusieurs sections montées sur un noyau. On trouve deux types de rotor : bobiné ou à bagues et à cage d’écureuil ou en court-circuit [6].
1. Rotor Bobiné
Les enroulements rotoriques sont localisés dans les encoches situées à la périphérie du rotor. Ces enroulements sont bobinés de manière à obtenir un enroulement triphasé à « p » paires de pôle. Les bobinages rotoriques sont toujours couplés en étoile, et les trois bornes accessibles sont reliées à la carcasse du stator à l’aide d’un système constitué de trois bagues tournantes et de trois balais fixes [6].
Figure I.11 : Stator d’une machine asynchrone.
Page 9 2. Rotor à cage
Les gros moteurs sont à cages. Dans chaque encoche rotorique est placée une barre. Ces barres sont en cuivre pour la majorité des moteurs de forte puissance, et en alliage d’aluminium pour les moteurs de faible et moyenne puissance. Elles sont réunies à chaque extrémité du rotor par des anneaux réalisant le court-circuit. L’enroulement rotorique ainsi réalisé n’est pas accessible à partir du stator [6].
Figure I.12 : Rotor bobiné.
Figure I.13 : Rotor à cage.
Page 10
I.4 Bobinage à courant alternatif
De façon générale, la fonction première du bobinage consiste à créer un champ tournant dont la forme peut être adaptée grâce à la répartition des conducteurs le long du stator. Une des autres fonctions du bobinage est de filtrer certains rangs d’harmoniques du flux à vide de façon à obtenir une FEM, soit sinusoïdale, soit trapézoïdale, en fonction du type de courant d’alimentation et ainsi permettre la création d’un couple de bonne qualité. Il existe une multitude de possibilités de bobiner une machine tournante. Les choix du bobinage sont lourds de conséquences sur les performances d’une machine et une analyse qualitative des bobinages conduit à une bonne évaluation des performances de la machine, ainsi qu’à l’observation des effets néfastes (couples parasites, augmentation des pertes) résultant de la création d’harmoniques d’espace par certains types de bobinage. Nous distinguons plusieurs familles et plusieurs sous-familles qui permettent de classifier les différents types de bobinage rencontrés dans les machines tournantes alternatives [7]:
- Distribué ou imbriqué à pôles conséquents ou non, raccourcis ou diamétral.
- Ondulé.
- Concentrique.
I.4.1 Bobinage imbriqué (distribué)
I.4.1.1 Bobinage imbriqué à simple couche (à pas diamétrale)
Dans ce type de bobinage, chaque bobine qui forme l’enroulement occupe deux encoches. Alors le nombre d’encoches doit être multiple de deux fois le nombre de phases.
Le nombre d’enroulements par phase est égal au nombre de paires de pôles. La figure I.14, présente l'exemple d'un moteur à une paire de pôles à bobinage imbriqué [8].
Page 11
Une paire de pôles indique qu’il doit y avoir un seul enroulement par phase. Dans le moteur précédent, le nombre d’encoches étant 12, on trouve qu’il doit y avoir quatre encoches par phase donc deux bobines par enroulement, deux encoche par pôle et par phase selon l'équation I.1 . Pour que le pas d’encoche (distance entre deux côtés d’une même bobine) soit « normal » ou « entier », il faut que si le premier côté de la première bobine de la phase A est dans l’encoche 1, le deuxième côté soit dans l’encoche 7. La seconde bobine de cette phase occupera donc les encoches 2 et 8, et ainsi de suite [8].
𝑚𝑒 = 2𝑝𝑞𝑚 (I.1)
avec :
𝑚𝑒:le nombre d'encoche par pôles est par phase.
𝑚 est le nombre d'encoches, p le nombre de paires de pôles et q le nombre de phases.
Figure I.14 : Moteur triphasé à une paire de pôles avec enroulement imbriqué à simple couche.
Figure I.15 : Enroulement imbriqué à une couche, une paire de pôles, 12 encoches.
Page 12 En réalité, chaque bobine qui occupe une paire d’encoches se compose de plusieurs conducteurs ou tours de fil. Ces schémas sont des modèles simplifiés avec un seul tour de fil par bobine. Le nombre de tours de fil est déterminé en fonction de la tension d’alimentation et les Ampères-tours nécessaires pour produire le flux souhaité dans le circuit magnétique. La figure suivante représente deux tours de fil par bobine en plus de la connexion en triangle (les précédentes étant en étoile) [8].
I.4.1.2 Bobinage imbriqué à doubles couches (à pas raccourcis)
L’enroulement imbriqué est le plus utilisé pour les stators des moteurs à grande puissance.
Le plus souvent un enroulement à doubles couches est employé, de manière que chaque bobine est composée de la moitié des conducteurs qui passent par une encoche, et les conducteurs sont placés dans l’encoche de manière qu’une bobine occupe la partie supérieure et l’autre la partie inférieure [8].
Figure I.16 : Enroulement imbriqué pour deux tours de fil et connexion en triangle.
Figure I.17 : : Schéma simplifié de répartition de bobinages dans les encoches.
Page 13 Dans ce type, le pas d’encoche peut être modifié : on parle du pas raccourci ou fractionnaire. Si on reprend le cas du moteur 2 pôles-12 encoches mais cette fois avec un pas raccourci de 5 encoches au lieu de 6, pour la phase A [8].
I.4.2 Bobinage ondulé
Comme le bobinage imbriqué, il s’agit d’un type d’enroulement habituellement fait à doubles couches. Dans ce type d’enroulement, les conducteurs qui occupent les encoches sous deux pôles consécutifs sont connectés en série. Le circuit fait le tour du stator une ou plusieurs fois, sans revenir en arrière, en allant d’un pôle à l’autre.
On nomme tronçon le circuit formé lorsque toutes les encoches d’une même phase contiennent un conducteur. Comme il s’agit d’un circuit à double couches, il est possible de superposer un deuxième tronçon au premier, mais ceci doit se faire en sens inverse.
Figure I.18 : Enroulement imbriqué à doubles couches pour un moteur triphasés, 4 pôles, 36 encoches.
Figure I.15 : Enroulement ondulé pour un moteur à 4 pôles et 36 encoches.
Page 14 La figure précédente montre deux tronçons qui forment une phase complète. Les lignes complètes représentent les conducteurs supérieurs et les lignes pointillées représentent les conducteurs inférieurs. Le nombre de tronçons est deux fois le nombre de phases. Dans un tronçon, un conducteur supérieur est connecté à un conducteur inférieur et vice-versa. Entre le début et la fin de chaque tronçon il y a un nombre de pas raccourcis égal au nombre d’encoches par pôle et par phase moins un.
Pour le bobinage des autres phases, le même principe s’applique avec un décalage de 120º électriques [8].
I.4.3 Bobinage concentrique
C’est le type de bobinage à simple couche le plus connu, chaque bobine occupe et remplit deux encoches. La différence réside dans le fait que, pour une phase, les bobines sont de dimensions différentes et placées les unes autour des autres. Pour un moteur à une paire de pôles et douze encoches, plutôt que 1 et 7 pour la première bobine et 2 et 8 pour la seconde, la première bobine est agrandie et occupe les encoches 1 et 8, alors que la seconde est réduite et occupe les encoches 2 et 7. Aucune des deux n’est à pas normal (6), au contraire que dans le bobinage imbriqué, car l’une est à pas 5 et l’autre à pas 7. Cependant, la moyenne correspond au pas normal. Considérant un moteur à une paire de pôles et 24 encoches, les bobines pour la phase occupent les encoches 1 et 16, 2 et 15. Le même raisonnement s’applique aux autres phases. Ce type d’enroulement est à simple couche [8].
Les bobinages concentriques offrent plusieurs avantages , par rapport aux bobinages distribués:
- Simplicité d’insertion et diminution du coût de fabrication.
Figure I.18 : Enroulement concentrique pour un moteur à une paire de pôles, 12encoches.
Page 15 - Augmentation du couple volumique et diminution des pertes joules par la réduction des
têtes de bobines.
- Réduction de rangs d’harmoniques spécifiques.
I.4.4 Bobinage concentrique par dent :
Dans le bobinage concentrique autour des dents, toutes les bobines sont installées entre deux encoches adjacentes, ce qui mène vers une structure simple sans croisement. Grâce aux nombreux avantages offerts par ce type du bobinage, il a fait l’objet de beaucoup d’intérêt au cours des dernières années . Un des avantages les plus remarquables dans le bobinage concentré autour des dents est le fait que les têtes des bobines sont courtes, comme le montrent les exemples dans la Figure I.19. Cette propriété permet aux machines fournies avec un tel bobinage d’obtenir:
• Un couple volumique plus élevé, grâce à la structure plus compacte .
• Un rendement plus élevé lié aux pertes Joule moins importantes dans les têtes des bobines ;
• Un coût de fabrication moins élevé, dû à la suppression d’une quantité inutile de cuivre et une aptitude à la réparation et au recyclage plus élevée [9].
Deux configurations principales se trouvent pour les structures avec bobinage concentré autour des dents :
• Bobinage à simple couche : lorsqu’une seule bobine se trouve dans une encoche, ou autrement dit lorsque les dents sont bobinées en alternance (une dent sur deux), comme on peut le constater dans la Figure I.20 (a);
Figure I.19 : Exemples d’un bobinage concentré autour des dents.
Page 16
• Bobinage à doubles couches : lorsque deux bobines différentes se trouvent dans une même encoche. Dans ce cas, toutes les dents sont bobinées comme le montre la Figure I.20 (b) [9].
Remarque:
• chaque bobine est alors installée dans deux encoches adjacentes ce qui réduit radicalement le pas de bobine. Ainsi, un arrangement efficace de bobinage concentré autour des dents (où l’ ouverture d’une spire n’est pas très inférieur à l’ouverture d’un pôle rotorique) impose une structure à pas fractionnaire avec 𝑚𝑒<1. Le bobinage concentré autour des dents est donc un bobinage à pas fractionnaire.
• Les machines à aimants permanents, équipées d'un bobinage dentaire sont caractérisées par une force magnétomotrice (FMM) riche en harmonique pouvant conduire à des pertes rotoriques, vibrations et des nuisances sonores non négligeables [10].
I.4.4.1 Les différents modes de bobinage:
Quatre structures de base se dégagent. Elles sont représentées dans la Figure I.21. Les encoches de la structure à deux faisceaux (Figure I.21.a) sont remplies par des conducteurs de bobines de phases différentes : les conducteurs sont côte à côte sur le schéma, l’espace qui les sépare étant le plot magnétique (dent statorique). Celles de la structure à un faisceau (Figure I.21.b) sont entièrement remplies par les conducteurs de la même phase. La troisième structure, structure concentrique, tient son nom du fait que quelque soit le nombre de bobines par phase (qui commence forcément à 2), les bobines sont concentriques. D’un coté, il y a les structures concentriques mixtes : leurs encoches sont à une ou deux faisceaux (Figure I.21.c). De l’autre, il
(a) Bobinage à simple couche (b) Bobinage à doubles couches Figure I.20 : Configurations principales du bobinage concentriqueautour des dents
Page 17 y a les structures concentriques à un seul faisceau (Figure I.21.d). La phase a est en trait plein, la phase b en trait mixte et la phase c en trait pointillé [9].
I.5 Eléments complémentaires pour le calcul de bobinage I.5.1 Facteur d’enroulement (bobinage) « K1 »
Dans la pratique, pour différentes raisons (facilité de construction, réduction des harmoniques, ….), on ne dispose pas la totalité de l’enroulement d’une même phase du stator dans 2 encoches diamétralement opposés. Ce qui entraine une réduction de la f.é.m. par rapport à la valeur théorique, donc elle doit être corrigée par un facteur d’enroulement qui dépend de la distribution (répartition), de raccourcissement et d’inclinaison des encoches. Le facteur d’enroulement K1 peut être calculé par la formule suivante [11] :
𝑘1 = 𝑘𝑑. 𝑘𝑟. 𝑘𝑖 (I.2) Où 𝐾𝑑 : le facteur de distribution
𝐾𝑟: le facteur de raccourcissement 𝐾𝑖: le facteur d’inclinaison
I.5.1.1 Facteur de distribution 𝑲𝒅
Les spires d’une même phase sont décalées d’un angle électrique αe , par exemple les f.é.m. engendrées par le champ tournant dans les brins actifs qui occupent les encoches (2-2’) sonten retard de αe par rapport à celles engendrées dans les brins actifs des encoches (1-1’) Si me est le nombre d’encoche par pôle et par phase, le facteur de distribution est calculé par [11]:
𝑘𝑑 = 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑚 𝑒𝛼𝑒2
𝑒𝑠𝑖𝑛𝛼𝑒2 (I.3) Figure I.21 :Les différents modes de bobinage sur dents :
(a) structure bobinée sur dents à deux faisceaux (b) structure bobinée sur dents à un faisceau
(c) structure concentrique mixte (d) structure concentrique à un faisceau.
Page 18
Où l’angle électrique 𝛼𝑒est donné par :
𝛼𝑒= p.α= p.360𝑚 (I.4)
I.5.1.2 Facteur de raccourcissement Kr
Dans ce cas l’ouverture de différentes spires est inférieure au pas polaire 𝜏, si l’angle électrique d’ouverture d’une spire est (π −βe ) les f.é.m. induites dans les brins actifs disposés dans les encoches 1-1’ seront diminuées, donc la f.é.m. est corrigée par le facteur de raccourcissement calculé par [11]:
𝑘𝑟 = cos.β𝑒2 (I.5)
où
𝑘𝑟 = sin.𝑦
τ.π2 (I.6)
avec :
𝛽𝑒est l'angle de raccourcissement;
Figure I.22 : Facteur de distribution.
Figure I.23 : Facteur de raccourcissement.
Page 19 y est l'ouverture de spire;
Le pas polaire : τ= π/2.p
si (y =τ ) ; Kr=1
I.5.1.3 Facteur d’inclinaison 𝑲𝒊
Pour les encoches inclinées, le facteur d’inclinaison se calcule par :
𝑘𝑖 =sin p
γ𝑒 2
𝑝.γ𝑒2 (I .7) où : γe est l’angle d’inclinaison.
I.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les différentes types des machines électriques à courant alternatif, avec les éléments constitutifs de chaque machine, ainsi que les différents types de bobinage utilisés pour réaliser l'enroulement. Les éléments nécessaires pour le calcul et l'évaluation de la qualité d'un bobinage à courant alternatif sont aussi présentés.
La modélisation des machines synchrones à aimants permanents fera l'objet de prochain chapitre.
Figure I.24 : Facteur d’inclinaison
Chapitre II
Modélisation des machines synchrones à aimants
permanents
Page 20
II.1 Introduction
Pendant les années récentes, le moteur à courant continu est remplacé par le moteur synchrone à aimants permanents dans le milieu industriel. Le moteur à aimants permanents reste le bon choix dû à leurs excellentes caractéristiques dynamiques, à ses faibles pertes ainsi qu’à son important couple massique, qui le rend mieux adapté aux applications industrielles et donc faciliter les commandes en position ou en vitesse.
Ce chapitre est consacré à la présentation des machines synchrones à aimants permanents et leur modélisation par le calcul du champ électromagnétique.
II.2 Présentation de la machine synchrone à aimants permanents (MSAP)
II.2.1 Principe de fonctionnement de la MSAP
Toute machine électrique dans laquelle la vitesse de rotation du rotor est égale à la vitesse de rotation du champ tournant est appelée machine synchrone. Pour l’obtention d’un tel fonctionnement, le champ magnétique rotorique doit être généré soit par des aimants, soit par un circuit d’excitation. Cela dit, qu’en mode permanent la position du champ magnétique rotorique est alors fixe par rapport au rotor, ceci impose une vitesse de rotation identique entre le rotor et le champ tournant statorique [12].
• Le stator : ou l’induit est la partie fixe de la machine, il se compose de trois enroulements parcourus par des courants alternatifs décalés de 120° dans l’espace et dans le temps, logés dans les encoches du circuit magnétique fixe .
• Le rotor : ou inducteur est la partie mobile de la machine se compose d’aimants permanents. Ce dernier présente l’avantage d’éliminer les balais et les pertes rotoriques, ainsi que la nécessité d’une source pour fournir le courant d’excitation. Cependant, on ne peut pas contrôler l’amplitude du flux rotorique .
Il existe deux types de rotor, ayant pour rôle de générer le champ d’induction rotorique. Les rotors à pôles lisses et les rotors à pôles saillants [13].
II.2.1.1 Types de la MSAP
Il existe quatre catégories de machines synchrones à aimants permanents du point de vue construction mécanique :
• Machines synchrones à aimants permanents montés en surface (MSAPS) : Cette structure est la plus simple à construire parce que des aimants permanents sont disposés
Page 21 directement sur la périphérie du rotor. Les aimants ont généralement une forme de tuile et sont collés sur une culasse cylindrique. Cette structure de machine rentre dans la catégorie des machines à pôles lisses.
• Machine synchrones à aimants permanents insérés (MSAPI) : A partir de la structure précédente, on entaille des logements pour insérer les aimants permanents dans le rotor afin de faciliter l’assemblage mécanique. Les parties de fer entre les aimants permanents sont des espaces inter polaires qui rajoutent de la saillance. Toutefois, les caractéristiques de cette structure restent fondamentalement proches de la MSAPS.
• Machines synchrones à aimants permanents chapeautés (MSAPC) : Cette structure est déduite de celles avec des aimants permanents montés en surface. On place sur les aimants des pièces polaires généralement en acier doux. La combinaison des aimants et
Figure II.1: Machine synchrone à aimants permanents montés en surface.
Figure II. 2: Machine synchrone à aimants permanents insérés.
Page 22 des pièces polaires crée une anisotropie du rotor et rajoute une saillance. Les pièces polaires permettent de contrôler la forme de la f.é.m. au stator en agissant sur le profil de la pièce.
• Machines synchrones à aimants permanents enterrés (MSAPE) : Le principe de cette structure est d’augmenter l’induction magnétique dans l’entrefer par rapport à l’induction rémanente des aimants permanents. En fait, les pièces polaires canalisent le flux généré par les aimants permanents à aimantation tangentielle dont la surface latérale est supérieure à la demi-surface de la pièce polaire prise au niveau de l’entrefer [14].
Figure II. 3 : Machine synchrone à aimants permanents chapeautés.
Figure II.4 :Machines synchrones à aimants permanents enterrés.
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II.2.3 Avantages de la MSAP
Les machines synchrones à aimants permanents présentent plusieurs avantages par rapport aux autres types de machines :
• Puissances massiques élevées.
• Absence de contacts glissants.
• Un bon rendement
• Absence des balais et d’alimentation continue.
• Possibilité de supporter des surcharges transitoires importantes et un bon comportement dynamique en accélération et en freinage.
• Fonctionnement en survitesse.
Cette machine est donc bien indiquée pour les systèmes embarqués et peut être employée pour des systèmes de faible puissance (petits moteurs) ou de puissance plus importante (jusqu’à quelques dizaines de MW en fonctionnement moteur) [15].
II.2.4 Inconvénients de la MSAP
Comme inconvénients de la MSAP on cite :
• Technologie coûteuse liée au coût des aimants.
• Interaction magnétique due au changement de structure.
• Ondulations de couple.
II.3 Aimants permanents
Les aimants permanents sont une matière première pour diverses applications dans le monde industriel . Ils ont donc un rôle important dans la fabrication des machines électriques.
Les aimants permanents sont des matériaux magnétiques durs, c’est-à-dire, qu’ils gardent leurs propriétés magnétiques même en absence d’un champ magnétique extérieur.
Les aimants utilisés dans les machines électriques sont classés en quatre catégories définies par les matériaux qui les constituent. Nous distinguons les Alnico, les ferrites, les aimants en samarium cobalt et les aimants en néodyme fer bore. La référence établie un historique et un comparatif des performances de chaque famille d’aimants [16].
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II.3.1 Alnico
En aluminium nickel cobalt d’où leur nom, ces aimants sont peu employés en raison de la présence du cobalt qui les rend chers, ils présentent des performances magnétiques très modestes au niveau du champ coercitif.
II.3.2 Ferrites
Les ferrites ou ferrites dures sont le type d’aimants le plus utilisé. Ils ont comme caractéristiques d’être très abordables en raison de leur faible coût de production, mais ils ont l’inconvénient de présenter des performances magnétiques limitées.
II.3.3 Aimants en samarium cobalt
Comparés aux deux familles d’aimants précédentes, les aimants de type terres rares en samarium cobalt (SmCo) ont des performances magnétiques biens supérieures. Chers en raison du cobalt, ces aimants sont toutefois stables en températures et résistants à la corrosion, on les retrouve principalement dans des applications où le coût n’est pas un critère majeur et/ou la température est un facteur important.
II.3.4 Aimants en néodyme fer bore
Ces aimants en terres rares ont le grand avantage d’avoir d’excellentes propriétés magnétiques. Ils sont de loin le type d’aimants le plus performant. Avec une induction rémanente et un champ coercitif élevés, l’application automobile qui nécessite un maximum de flux rotorique et qui présente des rapports de défluxage élevés, est donc promise à ce type d’aimants.
Cependant, deux inconvénients viennent ternir cette évidence. Tout d’abord, ils sont très sensibles à la corrosion, il faut donc les protéger avec une couche protectrice. De plus, ils présentent une température de Curie assez faible (entre 310 et 370°C) et des températures de fonctionnement maximales comprises entre 80 et 220°C qui tend à limiter leurs domaines d’application [16].
II.4 Modélisation des MSAP par le calcul du champ électromagnétique
Le fonctionnement des dispositifs électromagnétiques est basé essentiellement sur les phénomènes de distribution spatio-temporelle du champ magnétique et du champ électrique.
Bien que l’aspect électrostatique intervienne (les isolants par exemple), il ne présente pas le
Page 25 même degré d’acuité que les aspects magnétiques pour le fonctionnement. Le champ magnétique dans les dispositifs électromagnétiques a un rôle très important, car son calcul affecte directement la taille et les performances de la machine. Il existe deux types de sources communes du champ magnétique, celui crée par le courant de l'enroulement statorique et celui des aimants permanents.
Nous pouvons considérer un système électromagnétique composé d’air, de matériaux ferromagnétiques et/ou conducteurs et de sources de champ magnétique (inducteurs ou aimants permanents) [17].
II.4.1 Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell , utilisées pour lier les différentes grandeurs électriques et magnétiques, s’écrivent sous forme différentielle :
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝐽 + 𝐽 𝐷 (loi d'Ampère) (II.1) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 (loi de Faraday) (II.2) 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 (loi de conservation du flux) (II.3) 𝑑𝑖𝑣𝐷⃗⃗ = 𝜌 (loi de Gausse) (II.4) avec:
𝑗 : Exprime la densité de courant de conduction électrique, donnée par :
𝐽 = 𝐽 𝑠+ 𝐽 𝑖𝑛𝑑 (II.5) 𝐽 𝑠: Densité de courant source (courant d’excitation)
𝐽 𝑖𝑛𝑑: Densité de courant résultant du phénomène induit
𝐽 𝐷: Représente la densité de courant de déplacement dont l'expression est la suivante:
Figure II 5: Domaine d’étude d’un dispositif électromagnétique type.
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𝐽 𝐷 = ∂𝐷∂t⃗⃗ (II.6) Dans le cas d'un système quasi-statique, justifié par les dimensions des dispositifs étudiés
et les fréquences usuelles du travail, les courants de déplacement sont négligeables devant ceux de conduction et l'équation (II.1) devient :
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝐽 (II.7) 𝐸⃗ , 𝐷⃗⃗ , 𝐻⃗⃗ ,𝐵⃗ , 𝐽 correspondent respectivement au champ électrique [V.m-1] , à l’induction électrique [C.m-2], au champ magnétique [A.m-1] , à l’induction magnétique [ T] et à la densité de courant [A.m-2]. ρ représente la densité de charge électrique.
Dans l’étude de la machine synchrone à aimants permanents, l’équation (II.4) n’est pas utilisée. Les lois précédentes font abstraction des matériaux qui les composent.
II.4.2 Relations de milieux et loi d'Ohm
Les propriétés de la matière sont exprimées par les lois de comportement ou relation de milieux, qui lient les champs magnétique et électrique à leurs sources dans le milieu là où ils existent.
• Relation magnétique ;
𝐵⃗ = 𝜇 ∙ 𝐻⃗⃗ + 𝐵⃗ 𝑟ou H = υ(B − Br) (II.8)
• Relation diélectrique
𝐷⃗⃗ = 𝜀 ∙ 𝐸⃗ (II.9)
• Loi d'Ohm locale
Dans un conducteur stationnaire (immobile) :
𝐽 𝑖𝑛𝑑 = 𝜎 ∙ 𝐸⃗ (II. 10) où
𝐸⃗ = 𝜌𝐽 Si le conducteur est en mouvement, la loi d'Ohm prend la forme ci-dessous :
𝐽 𝑖𝑛𝑑 = 𝜎(𝐸⃗ + 𝜈 ∧ 𝐵⃗ ) (II.11) avec
ε (F/m) représente la permittivité électrique, 𝜇𝑟 [H/m] la perméabilité magnétique du matériau magnétique considéré, σ[S/m] la conductivité électrique, ρ la résistivité électrique [Ω.m], 𝐵⃗ 𝑟[T]
est le vecteur aimantation caractérisé par l’induction rémanente en présence d’aimants, 𝑣 [m/ s] la vitesse du déplacement, 𝐽 𝑠[A/m2] la densité de courant source. Le terme 𝜎𝐸⃗ exprime le courant résultant du champ électrique et le terme 𝜎(𝑣 ∧ 𝐵⃗ ) exprime le courant résultant du mouvement [17].
Page 27 𝜇 = 𝜇0∙ 𝜇𝑟 (II.12) où 𝜇0 est la perméabilité du vide elle vaut 4.π.10-7 [H/m] et 𝜇𝑟 la perméabilité relative.
υ = 1
μ la réluctivité magnétique [𝐻−1.m].
𝜀 = 𝜀0∙ 𝜀𝑟 (II.13) 𝜀0 : Permittivité du vide elle vaut 10-9/36.π [F/m].
𝜀𝑟 : Permittivité relative.
II.4.3 Conditions de passage
Jusqu’ici, toutes les relations sources champ électrique et magnétique caractérisant un milieu quelconque, ont été définies. Il reste à déterminer les relations entre les grandeurs de deux milieux magnétiquement et électriquement différents . On intègre les équations de Maxwell entre deux points très voisins de part et d’autre d’une surface séparant ces deux milieux, le résultat nous permet de déduire les constatations suivantes [18]:
• pour les grandeurs magnétiques
➢ Conservation de la composante normale de l’induction magnétique𝐵⃗ .
(𝐵⃗ 2− 𝐵⃗ 1) ∙ 𝑛⃗ = 0 (II.14)
➢ Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique 𝐻⃗⃗ due aux courants surfaciques𝐽 𝑠.
(𝐻⃗⃗ 2− 𝐻⃗⃗ 1) ∧ 𝑛⃗ = 𝐽 𝑠 (II.15)
• Pour les grandeurs électriques
➢ Conservation de la composante tangentielle du champ électrique 𝐸⃗
(𝐸⃗ 2− 𝐸⃗ 1) ∧ 𝑛⃗ = 0 (II.16)
➢ Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique 𝐷⃗⃗ due aux charges surfaciques 𝜌𝑠
( 𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐷2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝑛⃗ = 𝜌1 𝑠 (II.17) où
𝜌𝑠 : Densité de charge surfacique.
𝐽𝑠 : Densité de courant surfacique.
𝑛⃗ : Normale à l’interface dirigée du milieu 1 vers le milieu 2.
II.5 Formulation du champ électromagnétique
Les méthodes utilisées pour traiter le système d’équations suscitées sont généralement celles qui utilisent l’une des grandeurs locales comme variables d’état le champ magnétique 𝐻⃗⃗ , le champ électrique 𝐸⃗ et le potentiel vecteur magnétique 𝐴 [Tm]. Dans la plupart des cas, suivant
Page 28 la géométrie des dispositifs que l’on étudie, un choix approprié de variables nous permet de réduire le nombre d’inconnues. Généralement l’utilisation du potentiel vecteur magnétique est la plus appropriée, et largement utilisé dans le calcul du champ électromagnétique [17].
II.5.1 Formulation en potentiel vecteur magnétique
II.5.1.1 Equation magnétostatique
Dans le cas magnétostatique, le champ est produit par des courants indépendants du temps. A partir de l’équation (II-3), on définit le potentiel vecteur magnétique. Les équations aux qu'elles nous intéressons dans ce cas sont les suivantes [17]:
𝐵⃗ = 𝑟𝑜 𝑡 𝐴⃗⃗⃗ (II.18) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝐽 𝑠 (II.19) 𝐵⃗ = 𝜇 ∙ 𝐻⃗⃗ (II.20) La combinaison des équations (II-18), (II-19), et (II-20) nous donne l’équation électromagnétique magnétostatique suivante :
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗ )= 𝐽 𝑠 (II.21) Le système admet dans ce cas une infinité de solutions de la forme 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑓) d’où la nécessité d’imposer une condition de jauge afin d’assurer l’unicité de la solution. Dans le cadre des systèmes à deux dimensions ceci n’est pas nécessaire. La jauge de Coulomb définie par 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = 0 (II.22) est vérifiée.
Dans le cas de la présence d’aimants permanents, l'équation (II-21) devient :
𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗ )= 𝐽 𝑠+(υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ 𝑟) (II.23)
II.5.1.2 Equation magnétodynamique
Dans le cas des systèmes alimentés par des sources variables dans le temps et dans lesquels il y’ a présence de courants induits produits par la variation du champ, La combinaison des équations (II-2) et (II-18) donne :
𝑟𝑜 𝑡 ( 𝐸⃗⃗⃗ −𝜕𝐴 𝜕𝑡 ) = 0 (II.24) A partir de la relation (II-24), on peut définir un potentiel scalaire électrique V tel que :
𝐸⃗⃗⃗ −𝜕𝐴 𝜕𝑡 − 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 (II.25) La combinaison des équations (II-25) et (II-11), donne :
𝐽 = −𝜎 (𝜕 𝐴𝜕𝑡⃗⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎⃗⃗⃗⃗ 𝑑 𝑣) (II.26)
Page 29 En remplaçant par la relation (II-26) dans l'équation (II.7), on aboutit à l’équation magnétodynamique suivante :
𝑟𝑜 𝑡 υ 𝑟𝑜 𝑡 𝐴⃗⃗⃗ + 𝜎 (𝜕 𝐴𝜕𝑡⃗⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎⃗⃗⃗⃗ 𝑑 𝑣) = 𝐽 𝑠 (II.27) Dans le cas de la présence des aimants permanents, la relation (II-27) devient :
𝑟𝑜 𝑡 υ 𝑟𝑜 𝑡 𝐴⃗⃗⃗ + 𝜎 (𝜕 𝐴𝜕𝑡⃗⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎⃗⃗⃗⃗ 𝑑 𝑣) = 𝐽 𝑠+ 𝑟𝑜 𝑡 υ 𝐵⃗⃗⃗⃗ 𝑟 (II.28)
II.6 Méthodes de résolution
Nous distinguerons trois familles de méthodes pour la résolution des équations différentielles aux dérivée partielles issues de la formulation du champ électromagnétique : les méthodes analytiques, les méthodes semi-numériques ou semi-analytiques et les méthodes numériques.
II.6.1 Méthodes numériques
Les méthodes numériques sont nombreuses : éléments finis ( FEM ), différences finies ( FDM), intégrales aux frontières (BEM ), éléments discrets (DEM ), technique d’intégration finie (FIT ), etc. Toutes ces méthodes peuvent modéliser de très nombreuses structures avec une bonne précision. Le temps de calcul qui peut être assez long est constamment réduit du fait de la rapidité toujours plus grande des ordinateurs. Ces méthodes résolvent directement un système d’équations, par exemple les équations de Maxwell qui constituent les postulats de base de l'électromagnétisme. Ce système d’équations décrit le comportement physique du système et repose sur un faible niveau d'hypothèses. La résolution du système d’équations repose sur des méthodes numériques et fournit par exemple la valeur des potentiels en tout point de la structure, et ce dans des domaines physiques aussi divers que la mécanique, la thermique, le magnétisme, etc. [19].
Permis toutes ces méthodes numériques, la méthode des éléments finis est la plus utilisée.
De notre part, nous la considérons dans ce travail de master pour la résolution du problème électromagnétique posé. Elles est basée sur la transformation des équations aux dérivées partielles en un système d’équations algébriques. D’une façon générale, la résolution par la MEF inclut les étapes suivantes [20] :
• Réalisation d’un maillage, correspondant à la discrétisation du domaine d’étude en éléments (triangles, tétraèdres, hexaèdres . . .) sur lesquels les champs sont écrits en termes d’un nombre fini de degrés de liberté et de fonctions de base à support local
