Optimiser l’utilisation des donn´ees en reconstruction TEP : mod´elisation de r´esolution dans l’espace image et contribution `a l’´evaluation de la correction de mouvement.

Universit´ e Libre de Bruxelles

Facult´e des Sciences appliqu´ees

Optimiser l’utilisation des donn´ ees en reconstruction TEP :

mod´ elisation de r´ esolution dans l’espace image et contribution ` a l’´ evaluation

de la correction de mouvement.

Dissertation pr´esent´ee par Christophe Cloquet en vue de l’obtention du grade de docteur en Sciences de l’ing´enieur

Membres du jury :

Promoteur : Serge Goldman Co-promoteur : Michel Defrise

Pr´esidente : Christine Decaestecker Secr´etaire : Jean-Pierre Hermand Membres : Claude Comtat

Christine Demol Ga¨etan Van Simaeys

Bruxelles, le 11 juillet 2011

Table des mati` eres

Remerciements iv

Notations viii

Introduction 1

Th´eorie 5

1. La tomographie par ´emission de positrons (TEP) 7

1.1. Un peu d’histoire . . . 7

1.2. Description g´en´erale de la TEP . . . 11

1.3. Ph´enom`enes physiques affectant la mesure quantitative . . . 13

1.3.1. Libre parcours du positron . . . 14

1.3.2. Non-colin´earit´e des deux photons ´emis . . . 18

1.3.3. Interactions du flux de photons . . . 19

1.3.4. Enregistrement de co¨ıncidences fortuites . . . 21

1.3.5. Taille finie des d´etecteurs . . . 21

1.3.6. Efficacit´e des d´etecteurs . . . 22

1.3.7. Facteurs affectant la lin´earit´e temporelle . . . 24

1.4. Enregistrement des donn´ees - fichiers . . . 24

2. Estimation des images 27 2.1. Variables al´eatoires . . . 27

2.1.1. Esp´erance, variance et covariance d’un vecteur al´eatoire . . . 28

2.1.2. Estimateur . . . 28

2.1.3. Variable al´eatoire de Poisson . . . 29

2.1.4. Variable al´eatoire gaussienne . . . 30

2.1.5. Distribution multivari´ee . . . 30

2.2. Estimation de la distribution de radiotraceur . . . 30

2.2.1. Mod`eles d’image . . . 30

2.2.2. Mod`ele des donn´ees . . . 34

2.2.3. Reconstruction d’image . . . 44

2.3. Exemples d’algorithmes de reconstruction tomographique . . . 48

2.3.1. MLEM . . . 48

2.3.2. OSEM . . . 49

2.3.3. Effet des algorithmes de reconstruction sur la r´esolution . . . 49

R´esolution 53

3. Mod´elisation de r´esolution 55

3.1. ´Etat de l’art de la correction de volume partiel . . . 56

3.1.1. Mod´elisation dans l’espace sinogramme . . . 59

3.1.2. Mod´elisation dans l’espace image . . . 60

3.2. Instrumentation et infrastructures de calcul . . . 63

3.2.1. PET scan Philips . . . 63

3.2.2. Infrastructures de calcul utilis´ees . . . 63

3.2.3. Fantˆome Jaszczak . . . 65

3.3. Algorithmes . . . 65

3.3.1. ´Etude de diff´erents projecteurs et de leur influence sur la matrice de sensibilit´e et sur la reconstruction. . . 65

3.3.2. Algorithmes impl´ement´es . . . 70

3.4. Acquisition, reconstruction et analyse des sources ponctuelles . . . 71

3.4.1. Acquisition . . . 71

3.4.2. Reconstruction . . . 73

3.4.3. Analyse . . . 73

3.5. Acquisition, reconstruction, d´econvolution et analyse du fantˆome. . . 78

3.5.1. Att´enuation, diffus´es et fortuits . . . 80

3.5.2. Normalisation . . . 81

3.5.3. D´efinition des r´egions d’int´erˆet et coefficients de r´ecup´eration . . . . 81

3.5.4. ´Evaluation du bruit . . . 81

3.5.5. ´Evaluation sur fantˆome de la mod´elisation de r´esolution . . . 82

3.5.6. ´Evaluation sur fantˆome de la d´econvolution post-reconstruction . . . 88

3.6. Images de patient . . . 89

3.7. Discussion . . . 89

3.8. R´esum´e . . . 93

Mouvement 95 4. Correction de mouvement en imagerie cardiaque 97 4.1. Position du probl`eme . . . 97

4.1.1. ´El´ements d’anatomie, de physiologie et de pathologie cardiaque . . . 97

4.1.2. Indications de l’imagerie TEP cardiaque . . . 101

4.1.3. Le probl`eme du mouvement . . . 101

4.2. Correction de mouvement . . . 102

4.2.1. Reconstruction d’images statiques ind´ependantes . . . 102

4.2.2. Reconstruction quadridimensionnelle«3D+G » . . . 104

4.3. Estimation du d´eplacement – recalage d’image . . . 109

4.3.1. Estimation non rigide du d´eplacement . . . 109

4.3.2. Un autre algorithme : ajustement et suivi d’ellipso¨ıdes . . . 117

4.4. Impl´ementation d’un algorithme d’estimation du d´eplacement . . . 117

4.5. Discussion . . . 121

5. Cramer-Rao 125

5.1. Des bornes minimales sur la variance . . . 127

5.1.1. Rappels sur les matrices d´efinies positives . . . 127

5.1.2. Fonction score et matrice d’information de Fisher . . . 128

5.1.3. Borne de Cramer-Rao . . . 130

5.1.4. Borne de Cramer-Rao Uniforme . . . 131

5.1.5. Borne de Cramer-Rao en reconstruction TEP . . . 132

5.2. Bornes de Cramer-Rao pour un estimateur biais´e : diff´erents estimateurs de la r´eponse impulsionnelle locale . . . 132

5.2.1. ´Etude de diff´erents estimateurs de la borne de Cramer-Rao en fonction du nombre d’´ev´enements . . . 135

5.2.2. Discussion . . . 142

5.3. Calcul pratique de la borne de Cramer-Rao pour des probl`emes r´ealistes . . 143

5.3.1. Th´eorie . . . 144

5.3.2. ´Evaluation . . . 145

5.3.3. Discussion . . . 147

5.4. Cramer-Rao pour une estimation conjointe intensit´e-mouvement . . . 148

5.4.1. Matrice d’information de Fisher pour une estimation conjointe intensit´e- mouvement . . . 148

5.4.2. Fantˆome avec mouvement . . . 150

5.4.3. R´esultats . . . 151

5.4.4. Discussion . . . 152

5.5. Discussion g´en´erale . . . 153

Conclusion et annexes 155 Conclusion 155 Annexes 157 A. Preuve des lemmes et propositions . . . 157

B. Grille d’acquisition des sources ponctuelles . . . 160

Bibliographie 160

Publications et conf´erences 177

ii

Remerciements

Au terme de ces quatre ann´ees et demi, j’aimerais remercier celles et ceux sans qui je n’aurais pas pu accomplir ce travail. En 1621 jours, j’ai eu la chance de croiser de nombreuses personnes. Chacune a, `a sa mani`ere, contribu´e `a cette th`ese, et il m’est impossible de les citer toutes. Au del`a des informations concr`etes et de l’aide apport´ees, chacune m’a surtout transmis un petit quelque chose d’elle-mˆeme qui m’a aid´e `a grandir : un autre regard sur les choses, un avis diff´erent du mien, un sourire ou des larmes, de l’enthousiasme ou du d´ecouragement, de l’amiti´e, . . .

J’aimerais avant tout remercier Serge Goldman de m’avoir ouvert sans r´eserve les portes du service de m´edecine nucl´eaire de l’hˆopital ´Erasme, de m’avoir propos´e ce sujet de th`ese et d’avoir obtenu ces quatre ann´ees de financement. Son int´erˆet pour mon travail et ses nombreux encouragements m’ont aid´e `a progresser sur la voie aride mais ensoleill´ee de la recherche.

Un immense merci `a Michel Defrise qui fut pendant cette p´eriode tout `a la fois un co- promoteur comp´etent et une oreille indulgente lorsqu’il m’arrivait – rarement, je vous assure – de prononcer quelque parole scientifiquement h´er´etique. Merci pour sa confiance mˆeme aux moments les plus creux : il fut l’un de mes moteurs les plus puissants au cours de ces derni`eres ann´ees.

Toute ma gratitude, et plus encore, vont `a Ga¨etan Van Simaeys, qui a support´e mes angoisses au quotidien, et a ´et´e pour moi un v´eritable mentor. Sa philosophie de vie et ses conseils m’ont permis d’explorer l’inconnu avec s´er´enit´e. Merci mille fois pour ces conversations qui d´eg´en´eraient presque toujours en discussions philosophiques !

Merci `a tous les trois, et aux autres membres du jury, d’avoir relu cette th`ese avec attention, et de m’avoir aid´e `a l’am´eliorer.

Merci `a Florent Sureau pour l’aide consid´erable qu’il m’a apport´ee pour la partie «mo- d´elisation de r´esolution », pour ses encouragements et son support lors de la r´edaction de l’article. Un immense merci ´egalement `a Nicola Trotta pour les heures pass´ees `a faire fonctionner la cam´era Gemini et pour son aide dans certains aspects techniques de cette th`ese.

D`es le d´ebut, je me suis retrouv´e isol´e devant un ordinateur qui avait toujours raison.

Merci `a St´ephane Swillens de m’avoir autoris´e `a donner une guidance hebdomadaire en physique aux ´etudiants de premier baccalaur´eat en m´edecine, et merci aux ´etudiants d’avoir stimul´e et entretenu mon envie d’enseigner. Au quotidien, merci `a Didier Blocklet, F´elicie Sherer et Marc Thirion, qui se sont int´eress´es de pr`es `a mon travail et en ont partag´e les interrogations et les moments forts. Merci `a Thierry Melchior, psychologue au service PsyCampus de l’ULB, qui, dans les moments les plus stressants, m’a aid´e `a continuer.

iv

As you will discover in the text, this thesis has been achieved inside a real world, using data acquired on a real machine, produced by a real manufacturer. I am grateful to the company Philips, for the unselfish and disinterested initial funding of this work. All my thanks go to Michel Guerchaft and his Belgian team, among others : Serge Rassel and Patrick Georges, for their sound and invaluable support. I also thank Ralph Brinks, from Philips Research in Aachen, for having done everything that was possible to get me some intelligence I needed at the beginning of my thesis. Finally, I acknowledge the support of Philips Medical Systems Cleveland, and in particular Bin Zhang, Chi-Hua Tung, Daniel Gagnon, Parmeshwar Khurd and Patrick Olivier, and I would like to emphasize that Patrick spent a lot of hours for me working on the normalization.

Cette th`ese a ´egalement b´en´efici´e du support technique direct de nombreuses personnes.

Un immense merci `a Georges Destr´ee et `a son ´equipe du centre de calcul de l’Universit´e Libre de Bruxelles. L’aide extrˆemement professionnelle dont j’ai b´en´efici´e de leur part n’est pas sans lien avec la r´eussite de ce projet. Merci aux chimistes, infirmi`eres, infirmiers, ing´enieurs, secr´etaires, techniciens, et technologues du service de m´edecine nucl´eaire de l’hˆopital ´Erasme pour leur aide technique, leurs conseils et leur patience. Een hartelijk bedankt aan Rosette Vandenbroucke, leader van hetBegridproject, voor haar onthaal en haar steun, et `a Lydia Maigne pour ses explications `a propos de l’impl´ementation deGate sur la grilleEgee. Bedankt ook aan Stefaan Tavernier voor de lening van een radioactieve bron, die door een bestuurder van de Vrije Universiteit Brussel werd vervoerd. Een hartelijk bedankt aan Jeroen Verhaeghe voor het doorgeven van enkeleGatesimulatie macros. I would also like to thank Graeme ’O Keefe for his help.

La recherche est ´egalement nourrie par des discussions informelles et des ´echanges d’id´ees.

Een vriendelijk bedankt aan Johan Nuyts en Stefaan Vandenberghe voor de gesprekken die wij hebben gehad, en voor de ide¨een dat wij hebben uitgewisseld. Thanks also to Fr´ed´eric Noo who designed an equation reprinted in this work. Thanks to people who viewed my posters, and to the referees of my paper, who provided me with invaluable advice and thoughts. In particular, I would like to thank Moritz Blume for sharing thoughts about combined intensity and motion reconstruction. I apologize for having let him without news of my project for a long time. Thanks also to Samuel Matej and Lonzhang Zhang, who both made remarks on the results I had with the point sources, and to Jeff Fessler for sharing his thoughts about the Cramer-Rao lower bound. I am also grateful to Kris Thielemans and Mathew Jacobson for the e-mail exchanges we have had about the normalization. And finally, many thanks to Richard Leahy and his team from the University of South California and, among others, Quanzheng Li, for their warm welcome and their collaboration during one week in the fall of 2007. This stay has been both useful for my research and an important source of motivation.

Cette th`ese n’aurait jamais pu voir le jour sans Virginie Kinnard qui, au hasard d’une discussion lors d’un anniversaire, m’a souffl´e que le service de m´edecine nucl´eaire de l’hˆopital Erasme cherchait un doctorant. Merci `a elle et `a sa perspicacit´e ! Merci ´egalement `a Jean-´ No¨el H´erin et Yves Cabo, professeurs de math´ematiques au Sacr´e-Cœur de Jette, qui, par leur vision enthousiasmante de l’enseignement des math´ematiques, ont donn´e l’impulsion initiale `a mes ´etudes de physique, et `a Jean-Pierre Antoine, promoteur de mon m´emoire de licence, qui m’a enseign´e les premiers rudiments de la recherche.

C’est bien connu, l’argent est le nerf de la recherche. Un merci particulier au Fonds pour la recherche dans l’industrie et l’agriculture pour le financement g´en´ereux dont il m’a dot´e afin de poursuivre ces recherches.

Merci `a mes amis de la Croix-Rouge, et en particulier aux volontaires des sections locales de Berchem, Ganshoren et Jette, et plus r´ecemment aux volontaires et permanents du service ambulance de Bruxelles-Capitale. Tous, vous m’avez aid´e `a rester sur terre et `a garder la tˆete froide.

Merci `a toute ma famille de m’avoir support´e durant toute cette p´eriode. Rassurez-vous, ce n’est pas termin´e !

Mes derniers remerciements vont `a H´elo¨ıse, pour sa patience, sa compr´ehension, sa franchise, ses encouragements, son sens du dialogue et des r´ealit´es !

vi

Notations

Symboles

Hb estimateur

~x vecteur `a 3 composantes spatiales

y vecteur `a un nombre arbitraire de composantes

+ inverse g´en´eralis´e

† adjoint

h...i moyenne empirique Objet, image et d´eplacement

f(~x) = PNI

i=1fiΦi(~x) =f⁰Φ(~x) objet

~d(~x, t) = PNK

k=1d~kΨk(~x) =

(dx(~x, t),dy(~x, t),dz(~x, t))⁰

d´eplacement

~v(~x, t) = PNK

k=1d~kΨ⁰_k(~x)~vk vitesse

~d = (dx, dy,dz)⁰ coefficients des fonctions-test du d´eplacement

Θ = {Θi}_i∈[1..NI] vecteur de param`etres g´en´erique

$ param`etres autres quef

Donn´ees

g = {gj}_j∈[1..NJ] nombre de coups observ´es dans les LDR1..N_J

g = {gj}_j∈[1..NJ] nombre de coups moyens dans les LDR1..N_J

Probabilit´e, variables al´eatoires, vraisemblance

E{Y} esp´erance deY

Var{Y} matrice de variance-covariance deY

S,K coefficient d’asym´etrie, d’aplatissement

Pr[x| y] probabilit´e conditionnelle dexsachanty

p(x|y) densit´e de probabilit´e conditionnelle dexsachanty L[g|Θ], C log-vraisemblance, fonction coˆut

Fonctions-test

{Γ_γ(t)}_{γ∈[1..NΓ]} fonctions-test temporelles le long d’un battement cardiaque {Λ_τ(ς)}_τ∈[1..NT] fonctions-test temporelles le long de la dur´ee d’acquisition Matrice syst`eme

Kj(~x) sensibilit´e de la LDRj

Hji

def= R

d~x Kj(~x)Φi(~x) coefficients de la matrice syst`eme id´eale

H^positron parcours du positron

H^geom matrice de projection g´eom´etrique

H^attn, H^sens att´enuation, efficacit´e des d´etecteurs

H^sino m´elange des rayons

H^data,H^reso r´eponse impulsionnelle dans l’espace sinogramme, dans l’espace image Un macronHrepr´esente une matrice id´eale.

Un tildeHe repr´esente une matrice approch´ee.

Cramer-Rao

ג(Θ) ^def= ∇~ΘEn Θbo

r´eponse impulsionnelle locale de l’algorithme

∆(g,Θ) fonction score

F(Θ) matrice de Fisher

χ(Θ) matrice de Cramer-Rao

χbnb,χbb matrice de Cramer-Rao pour un estimateur non biais´e, biais´e fb,l,h,noo force brute, r´eponse impulsionnelle locale, Hero, Noo.

viii

Divers

s = {si}_i∈[1..NI] matrice de sensibilit´e

r,d sinogramme de co¨ıncidences al´eatoires, diffus´ees ε = {εd}_d∈[1..ND] efficacit´e des d´etecteursd∈[1..N_D]

γ = {γ_kl}_{k∈[1..ND],l∈[1..ND]}facteur g´eom´etrique pour les LDRkl

K_ρ filtre de largeurρ

k figure de m´erite pour l’estimation du d´eplacement

C(~x, ~x⁰) autocorr´elation spatiale

{Jq}_q∈[1..NQ] liste des ´ev´enements des sous-ensemblesq∈[1..NQ] t ^def= n

{tjm}_{m∈[1..M

j]}

o

j∈[1..Nensemble des co¨ıncidences en mode liste (J] Mj ´ev´enements dans la LDRj)

S = R^N+^J espace des sinogrammes

I = R^NI espace des coefficients reconstruits

ς ∈ R temps de l’acquisition

t ∈ R temps mesur´e le long de l’intervalle d’un battement cardiaque

T dur´ee de l’acquisition

µ(~x) coefficient d’att´enuation lin´eaire [cm⁻¹]

δt,∆t fenˆetre de co¨ıncidence, d´elai pour l’estimation des retard´es r, ϕ, z, θ coordonn´ees radiale, polaire, axiale, azimutale

Abr´ eviations

fran¸cais anglais

AMP mod`ele de Pearson asym´etrique modifi´e AMP Asymmetric modified Pearson model CAT courbe d’activit´e temporelle TAC Time activity curve

CR Cramer-Rao CR Cramer-Rao

CRLB borne de Cramer-Rao CRLB Cramer-Rao lower bound

CDV champ de vue FOV Field of view

ECG ´electro-cardiogramme EKG Electrocardiogram

EVP effet de volume partiel PVE Partial volume effect

FDG fluorodeoxyglucose FDG Fluorodeoxyglucose

IRM imagerie par r´esonance magn´etique MRI Magnetic resonance imaging LDH largeur au dixi`eme de la hauteur FWTM Full width at tenth maximum

LDR ligne de r´eponse LOR Line of response

LMH largeur `a mi-hauteur FWHM Full width at half maximum

MSTD d´eviation standard minimale MSTD Minimal standard deviation noRM sans mod´elisation de r´esolution noRM No resolution modelling

PDI profondeur d’interaction DOI Depth of interaction

RDI r´egion d’int´erˆet ROI Region of interest

RI r´eponse impulsionnelle PSF Point spread function

RIL r´eponse impulsionnelle locale LIR Local impulse response

RILL r´eponse impulsionnelle locale lin´earis´ee LLIR Linearized local impulse response

RI-IM RI dans l’espace image IM-PSF Image space PSF

RM mod´elisation de r´esolution RM Resolution modelling

RI-SI RI dans l’espace des sinogrammes SI-RSF Sinogram space Ray Spread Function SPD simulation du premier diffus´e SSS Single Scatter Simulation

SVG mod`ele gaussien spatialement variable SVG Shift-variant Gaussian model SVGA mod`ele gaussien asym´etrique SVGA Shift-variant asymmetrical Gaussian

spatialement variable model

TDM tomodensitom´etrie `a rayons X CT X-ray Computerized Tomography

TDV temps de vol TOF Time of flight

TEMP tomographie par ´emission monophotonique SPECT Single photon emission tomography TEP tomographie par ´emission de positrons PET Positron emission tomography

Algorithmes de reconstruction

EM-AMP reconstruction OSEM avec RM AMP

EM-GA reconstruction OSEM avec RM gaussienne stationnaire

EM-GA-SV reconstruction OSEM avec RM gaussienne spatialement variable

EM-GA-SV-A reconstruction OSEM avec RM gaussienne asym´etrique spatialement variable EM-noRM reconstruction OSEM sans RM

EM-noRM-PS reconstruction OSEM sans RM, suivie d’un filtre gaussien MLEM Maximum likelihood - expectation maximization

OSEM Ordered subsets - expectation maximization

x

Introduction

Cancers et maladies cardio-vasculaires sont responsables de plus de 40 % des d´ec`es dans le monde. De nombreuses personnes souffrent par ailleurs quotidiennement de ces maladies. En r´eduire la fr´equence dans le futur passe avant tout par une adaptation de notre mode de vie et une pr´evention accrue, ´eclair´ees par une connaissance plus approfondie des m´ecanismes de ces maladies. Il est ´egalement crucial d’am´eliorer les diagnostics et les traitements actuels afin de mieux prendre en charge les malades d’aujourd’hui et de demain.

Lorsque le tableau clinique pr´esent´e par un patient n’est pas clair, de nombreuses techniques d’imagerie m´edicale permettent d’affiner le diagnostic, de pr´eciser le pronostic et de suivre l’´evolution des maladies au cours du temps. Ces mˆemes techniques sont ´egalement utilis´ees en recherche fondamentale pour faire progresser la connaissance du fonctionnement normal et pathologique du corps humain. Il s’agit par exemple de l’´echographie, de l’imagerie par r´esonance magn´etique, de la tomodensitom´etrie `a rayons X ou encore de la tomographie par ´emission de positrons (TEP).

Certaines de ces techniques mettent en ´evidence le m´etabolisme de mol´ecules, comme le glucose et certains acides amin´es. C’est le cas de la tomographie par ´emission de positrons, dans laquelle une petite quantit´e de mol´ecules marqu´ees avec un ´el´ement radioactif est inject´ee au patient. Ces mol´ecules se concentrent de pr´ef´erence dans les endroits du corps humain o`u elles sont utilis´ees. Instables, les noyaux radioactifs se d´esint`egrent en ´emettant un anti-´electron, encore appel´e positron. Chaque positron s’annihile ensuite `a proximit´e du lieu d’´emission avec un ´electron du corps du patient, provoquant l’´emission simultan´ee de deux photons de haute ´energie dans deux directions oppos´ees. Apr`es avoir travers´e les tissus, ces photons sont capt´es par un anneau de d´etecteurs entourant le patient. Sur base de l’ensemble des ´ev´enements collect´es, un algorithme de reconstruction produit enfin une image de la distribution du traceur radioactif.

La tomographie par ´emission de positrons permet notamment d’´evaluer l’efficacit´e du traitement des tumeurs avant que la taille de celles-ci n’ait chang´e, ce qui permet d’aider `a d´ecider de poursuivre ou non le traitement en cours. En cardiologie, cette technique permet de quantifier la viabilit´e du muscle cardiaque apr`es un infarctus et aide ainsi `a ´evaluer la pertinence d’une intervention chirurgicale.

Plusieurs facteurs limitent la pr´ecision des images TEP. Parmi ceux-ci, on trouve l’effet de volume partiel et le mouvement du cœur.

L’effet de volume partiel m`ene `a des images floues, de la mˆeme mani`ere qu’un objectif d’appareil photo incorrectement mis au point produit des photographies floues. Deux possibilit´es s’offrent aux photographes pour ´eviter cela : soit am´eliorer la mise au point de leur objectif, soit retoucher les images apr`es les avoir r´ealis´ees ; am´eliorer la mise au point de l’objectif peut s’effectuer dans l’espace des donn´ees (ajouter une lentille correctrice avant l’objectif) ou dans l’espace des images (ajouter une lentille correctrice apr`es l’objectif).

1

Le mouvement cardiaque provoque ´egalement une perte de nettet´e des images, analogue `a l’effet de flou sur une photographie d’une voiture de course r´ealis´ee avec un grand temps de pose. Classiquement, on peut augmenter la nettet´e d’une image en diminuant le temps de pose. Cependant, dans ce cas, moins de photons traversent l’objectif et l’image obtenue est plus bruit´ee. On pourrait alors imaginer obtenir de meilleurs images en suivant la voiture au moyen de l’appareil photo. De cette mani`ere, la voiture serait `a la fois nette et peu corrompue par du bruit, car beaucoup de photons pourraient ˆetre d´etect´es.

En imagerie TEP, l’effet de volume partiel est dˆu `a de nombreux facteurs dont le fait que le positron ne s’annihile pas exactement `a l’endroit de son ´emission et que le d´etecteur frapp´e par un photon n’est pas toujours correctement identifi´e. La solution passe par une meilleure mod´elisation de la physique de l’acquisition au cours de la reconstruction, qui, en pratique est complexe et n´ecessite d’effectuer des approximations.

La perte de nettet´e due au mouvement du cœur est classiquement trait´ee en figeant le mouvement dans plusieurs images successives au cours d’un battement cardiaque. Cepen- dant, une telle solution r´esulte en une diminution du nombre de photons, et donc en une augmentation du bruit dans les images. Tenir compte du mouvement de l’objet pendant la reconstruction TEP permettrait d’augmenter la nettet´e en gardant un bruit acceptable . On peut ´egalement penser `a superposer diff´erentes images recal´ees au moyen du mouvement.

Au cours de ce travail, nous avons ´etudi´e des m´ethodes qui tirent le meilleur parti possible des informations fournies par les ´ev´enements d´etect´es. Pour ce faire, nous avons choisi de baser nos reconstructions sur une liste d’´ev´enements contenant la position exacte des d´etecteurs et le temps exact d’arriv´ee des photons, au lieu de l’histogramme classiquement utilis´e.

L’am´elioration de r´esolution passe par la connaissance de l’image d’une source ponctuelle radioactive produite par la cam´era. `A la suite d’autres travaux, nous avons mesur´e cette image et nous l’avons mod´elis´ee, pour la premi`ere fois, au moyen d’une fonction spatialement variable, non-gaussienne et asym´etrique. Nous avons ensuite int´egr´e cette fonction dans un algorithme de reconstruction, dans l’espace image. C’est la seule possibilit´e pratique dans le cas d’acquisitions en mode liste. Nous avons ensuite compar´e les r´esultats obtenus avec un traitement de l’image apr`es la reconstruction.

Dans le cadre de la correction de mouvement cardiaque, nous avons opt´e pour l’´etude de la reconstruction simultan´ee de l’image et du d´eplacement, sans autres informations externes que les donn´ees TEP et le signal d’un ´electrocardiogramme. Nous avons ensuite choisi d’´etudier la qualit´e de ces estimateurs conjoints intensit´e-d´eplacement au moyen de leur variance. Nous avons ´etudi´e la variance minimale que peut atteindre un estimateur conjoint intensit´e-mouvement, sur base des donn´ees TEP uniquement, au moyen d’un outil appel´eborne de Cramer-Rao. Dans ce cadre, nous avons ´etudi´e diff´erentes mani`eres existantes d’estimer la borne de Cramer-Rao et nous avons propos´e une nouvelle m´ethode d’estimation de la borne de Cramer-Rao adapt´ee `a des images de grande dimension. Nous avons enfin mis en ´evidence que la variance de l’algorithme classique OSEM ´etait sup´erieure

`

a celle pr´edite par la borne de Cramer-Rao. En ce qui concerne les estimateurs combin´es intensit´e-d´eplacement, nous avons observ´e la diminution de la variance minimale possible sur les intensit´es lorsque le d´eplacement ´etait param´etris´e sur des fonctions spatiales lisses.

Ce travail est organis´e comme suit. Le chapitre th´eorique commence par brosser bri`evement le contexte historique de la tomographie par ´emission de positrons. Nous avons souhait´e insister sur le fait que l’´evolution des id´ees n’est romantique et lin´eaire qu’`a grande ´echelle.

Nous abordons ensuite la description physique de l’acquisition TEP. Dans un deuxi`eme chapitre, nous rappelons quelques ´el´ements de la th´eorie de l’estimation et de l’approximation et nous traitons des probl`emes inverses en g´en´eral et de la reconstruction TEP en particulier.

La seconde partie aborde le probl`eme du manque de nettet´e des images et la solution que nous avons choisi d’y apporter : une mod´elisation dans l’espace image de la r´eponse impulsionnelle de la cam´era, en tenant compte de ses caract´eristiques non gaussienne, asy- m´etrique et spatialement variable. Nous pr´esentons ´egalement le r´esultat de la comparaison avec une d´econvolution post-reconstruction. Les r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre ont fait l’objet d’une publication dans la revuePhysics in Medicine and Biology.

Dans un troisi`eme volet, nous abordons la correction de mouvement. Une premier chapitre brosse le contexte de la correction de mouvement en TEP et remet en perspective les diff´erentes m´ethodes existantes, dans un cadre bay´esien unificateur. Un second chapitre aborde ensuite l’estimation de la qualit´e des images TEP et ´etudie en particulier la borne de Cramer-Rao.

Les r´esultats obtenus sont enfin r´esum´es et replac´es dans leur contexte dans une conclusion g´en´erale.

3

Premi` ere partie

Th´ eorie

5

1. La tomographie par ´ emission de positrons (TEP)

La tomographie par ´emission de positron (TEP) est une technique d’imagerie m´edicale n´ee dans le sillage des grandes d´ecouvertes de la physique atomique et nucl´eaire, dont elle utilise de nombreux ingr´edients : noyaux radioactifs, antimati`ere, annihilation, photons, cristaux scintillants, d´etection en co¨ıncidence. Elle interagit ´egalement avec les math´ematiques et en particulier les statistiques et la th´eorie de l’optimisation afin de mod´eliser les donn´ees et de reconstruire les images. Dans ce premier chapitre, nous passons bri`evement en revue l’histoire de la TEP (section 1.1), puis nous d´ecrivons pas-`a-pas le d´eroulement d’une acquisition d’un point de vue physique (section 1.2), pour aborder enfin les nombreux ph´enom`enes qui compliquent la reconstruction des images (section 1.3). Nous recommandons au lecteur d’approfondir ce chapitre en consultant les travaux de Cherry et coll. (2003), Martin (2003), Tarantola et coll. (2003), de Dreuille et coll. (2004), Wernick et Aarsvold (2004), Bailey et coll. (2005) et Seret et Hoebeke (2008).

1.1. Un peu d’histoire

Les paragraphes qui suivent introduisent le contexte historique de la naissance de la tomographie par ´emission de positrons. Les ´etapes de la d´ecouverte du positron sont particuli`erement d´evelopp´ees, afin de battre en br`eche la croyance populaire `a la simpli- cit´e historique des d´ecouvertes scientifiques. La place nous manque pour d´etailler aussi profond´ement la suite des d´eveloppements, masquant de ce fait les nombreuses p´erip´eties qui ont entour´e chaque nouveau d´eveloppement. Le lecteur int´eress´e par les ´ev´enements passionnants accompagnant la d´ecouverte du positron pourra se r´ef´erer entre autres aux ouvrages de Mehra et Rechenberg (2001, p. 772 et suivantes) et de Baudet (2008) ; il lira

´egalement avec int´erˆet les articles de Brownell (1999) , Nutt (2002) et Wagner (2006) concernant l’histoire des techniques d’imagerie par ´emission de positrons.

En 1928, Paul Dirac(nobel ’33) publie une ´equation caract´erisant le mouvement relativiste de l’´electron (Dirac, 1928). Il remarque que cette ´equation admet ´egalement une solution d’´energie n´egative, qu’il compare dans un premier temps `a un trou dans une mer d’´elec- trons emplissant l’espace, et qu’il identifie au proton. Il pr´edit cependant la possibilit´e de l’annihilation de ce trou par ´emission de deux photons (Dirac, 1930). Peu apr`es, Dirac revient sur son interpr´etation et admet que la particule concern´ee puisse ˆetre«une nouvelle sorte de particule [... que] l’on peut appeler un anti-´electron» (Dirac, 1931), mais pr´ecise qu’elle ne pourrait pas ˆetre observ´ee dans la nature.

En 1932, Robert Millikan(nobel ’23)charge Carl Anderson(nobel ’36)d’aller ´etudier les rayons cosmiques en altitude. R´esultat ? Ce dernier observe dans une chambre `a brouillard des

7

trajectoires de particules positives, de mˆeme rapport charge sur masse que l’´electron (figure 1.1) (Anderson, 1932, 1933). Le r´esultat est publi´e sans r´ef´erence aux travaux de Dirac.

Anderson d´eclarera plus tard :

«It has often been stated in the literature that the discovery of the positron was a consequence of the theoretical prediction of Paul A. M. Dirac, but this is not true. The discovery of the positron was wholly accidental. Despite the fact that Dirac’s relativity theory of the electron was an excellent theory of the positron, and despite the fact that the existence of this theory was well known to nearly all physicists, including myself, it played no role watsoever in the discovery of the positron. »

(cit´e par Mehra et Rechenberg, 2001, p. 772-773)

De telles trajectoires avaient d´ej`a ´et´e remarqu´ees par d’autres observateurs comme Ir`ene(nobel ’35)

et Fr´ed´eric Joliot-Curie(nobel ’35) (Mehra et Rechenberg, 2001, p. 796), mais leur impor- tance avait ´et´e sous-estim´ee. Patrick Blackett(nobel ’48) et Giueseppe Occhialini, observent

´egalement de telles trajectoires et font finalement le lien entre les observations d’Anderson et la th´eorie de Dirac (Blackett et Occhialini, 1933) . Anderson lui aussi met du temps

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a se convaincre de la connection entre ses observations et la th´eorie de Dirac (Mehra et Rechenberg, 2001, p. 798).

La d´ecouverte de la particule«positron » et la clarification de ses bases th´eoriques ouvre la voie `a son ´etude, notamment par Ir`ene et Fr´ed´eric Joliot-Curie. Fin 1933, Fr´ederic Joliot-Curie montre exp´erimentalement que les ´electrons positifs s’annihilent en formant un nombre moyen de photons de2,3±0,7 (Joliot, 1934), confirmant ainsi la pr´ediction de Dirac.

Pendant longtemps, les photons issus de l’annihilation ´electron-positron ont ´et´e observ´es au moyen de compteurs Geiger-Muller, `a faible rendement. C’est finalement l’association de cristaux scintillateurs, dont le cristal d’iodure de sodium d´ecouvert en 1948 (Flakus, 1982), et des photo-multiplicateurs (Iams et Salzberg, 1935) qui ouvre la voie `a une d´etection plus efficace de ces photons de haute ´energie, ourayons γ. Les id´ees de d´etection en co¨ıncidence et l’´electronique associ´ee sont connues depuis les travaux de Bothe (1930)(nobel ’54)et Rossi (1930). Des radio-isotopes ont ´et´e utilis´es en imagerie m´edicale depuis 1925 (Patton, 2003),

tandis que le cyclotron qui permet d´esormais de les produire en grande quantit´e a ´et´e mis au point par Ernest O. Lawrence et M. Stanley Livingston au d´ebut des ann´ees 1930 (Lawrence et Livingston, 1932).

Tous les ingr´edients n´ecessaires pour l’innovation suivante ´etaient donc en place en 1951.

Cette ann´ee-l`a, deux groupes ind´ependants publient les premiers r´esultats de d´etection en co¨ıncidence du rayonnement d’annihilation de positrons dans le corps humain (Wrenn Jr.

et coll., 1951; Sweet, 1951). Il ne s’agit encore que d’appareils rudimentaires, ne compor- tant qu’une paire de d´etecteurs, et ne permettant que la repr´esentation de l’int´egrale de l’activit´e le long des lignes de mesure. Suit alors une s´erie de perfectionnements (Brow- nell et Sweet, 1953; Phelps et coll., 1975) , jusqu’au premier appareil commercialisable, l’ECAT II en 1979 (Williams et coll., 1979). Depuis lors, de nombreuses am´eliorations ont encore ´et´e effectu´ees. Citons notamment le d´eveloppement de nouveaux cristaux comme le germanate de bismuth (BGO) et l’orthosilicate de lutetium (LSO) (van Eijk, 2002) , menant finalement `a une exploitation viable du temps de vol (TDV) du photon (Moses, 2007; Conti, 2009), le d´eveloppement d’algorithmes de reconstruction efficaces (Defrise et coll., 2005) et la mise au point de mol´ecules radio-pharmaceutiques performantes dont le2−deoxy−2−(¹⁸F)fluoroglucose, plus couramment appel´efluoro-deoxy-glucose (FDG)

Figure1.1.:«Un positron de 63 millions de volts traversant une plaque de plomb de 6 mm d’´epais- seur et ´emergeant comme un positron de 23 millions de volts.»[Figure reproduite et l´egende extraite de Anderson (1933). Traduction de l’auteur].

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(a)

(b)

Figure1.2.: Les d´ebuts de la tomographie par ´emission de positrons. (a) Premier appareil d’imagerie par ´emission de positrons (1953). Les deux d´etecteurs de part et d’autre de la tˆete du patient balayent une zone bi-dimensionnelle. [Figure reproduite de (Brownell, 1999)].

(b) Premi`ere image d’´emission de positrons. La figure de droite montre les co¨ıncidences.

La figure de gauche montre la diff´erence entre le nombre de photons d´etect´es `a gauche et `a droite de la tˆete du patient. [Figure reproduite de (Brownell et Sweet, 1953)].

d´evelopp´ee. `A cˆot´e de la d´esormais classique combinaison entre une cam´era TEP et un tomodensitom`etre `a rayons X (TDM) (Townsend et Beyer, 2002), on trouve ´egalement depuis peu des machines combinant un scanner TEP et un scanner `a r´esonance magn´etique (IRM) (Catana et coll., 2008; Pichler et coll., 2008). Cette association TEP/IRM s’appuie sur le d´eveloppement de photo-d´etecteurs `a semi-conducteurs, et pose de multiples questions scientifiques et techniques ; de nombreux travaux sont encore en cours `a ce sujet.

1.2. Description g´ en´ erale de la TEP

Les techniques d’imagerie m´edicale se divisent en deux groupes, en fonction du type d’information qu’elles fournissent. On trouve d’une part les techniques anatomiques – comme la radiologie traditionnelle, la tomodensitom´etrie `a rayons X (TDM) ou l’´echographie – et d’autre part les techniques m´etaboliques et fonctionnelles. Avec l’imagerie par r´esonance magn´etique fonctionnelle (IRMf) – qui ´etudie les flux de d´esoxyh´emoglobine paramagn´etique dans le cerveau –, et la tomographie par ´emission monophotonique (TEMP), la tomographie par ´emission de positrons entre dans cette derni`ere cat´egorie. L’imagerie m´etabolique et fonctionnelle donne des informations sur les processus `a l’œuvre dans un ˆetre vivant et le fonctionnement des organes, de mani`ere non invasive, c’est-`a-dire sans devoir le diss´equer ou y introduire des sondes. En routine clinique, les images obtenues par les techniques m´etaboliques et fonctionnelles servent entre autres `a d´eterminer si des l´esions suspect´ees sont ou non pathologiques, en identifiant les processus et les fonctionnements anormaux des organes.

En tomographie par ´emission de positrons, les processus sont observ´es en d´eterminant la localisation et la concentration d’une mol´ecule biologiquement significative appel´ee biotraceur. Il s’agit par exemple de l’ammoniaque – biotraceur de la perfusion du muscle cardiaque –, de la m´ethionine – biotraceur du m´etabolisme c´er´ebral des acides amin´es –, ou encore du deoxyglucose, analogue au glucose – biotraceur du m´etabolisme du sucre. Le biotraceur est li´e `a un atome radioactif (lemarqueur radioactif) pour former leradiotraceur. Dans certains cas, le radiotraceur est indissociable du biotraceur. L’ensemble, dilu´e, est ensuite inject´e au patient.

Le radiotraceur circule dans l’organisme ´etudi´e et est capt´e pr´ef´erentiellement dans les r´egions poss´edant une affinit´e particuli`ere pour le biotraceur. Le noyau de l’atome radioactif contient un proton exc´edentaire par rapport `a celui qu’un noyau stable poss`ederait. Apr`es un temps al´eatoire, ce proton est converti en un neutron, ´emettant conjointement un neutrino et un anti-´electron, ou positron (e⁺). C’est le processus de d´esint´egration β⁺. Le positron s’annihile ensuite avec un ´electron (e⁻) de la mati`ere et produit, dans deux directions oppos´ees, deux photons (ou rayons γ) de haute ´energie E<sub>γ</sub> ' 511 keV, dont l’´energie totale correspond `a la somme des ´energies de masse de l’´electron et du positron.

Entourant le patient, une s´erie de cristaux scintillateurs dispos´es en couronne d´efinissent destubes de r´eponse, constitu´es de l’ensemble des points situ´es sur les segments de droite joignant les surfaces de deux d´etecteurs. Ces cristaux convertissent les photons de haute

´energie en photons visibles, voire ultra-violets. Chacun de ces derniers photons est ensuite converti en ´electrons par effet photo´electrique (Einstein, 1905)(nobel ’21) dans des photo- multiplicateurs coupl´es aux cristaux. Ce courant d’´electrons produit enfin une impulsion

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(a) (b)

(c) (d) (e)

Figure1.3.: Diff´erentes techniques d’imagerie. (a) Imagerie par r´esonance magn´etique. [Figure reproduite de melissamemorial.org/CMS/Show?id=18.] (b) ´Echographie. [Figure reproduite de erasme.ulb.ac.be/page.asp?id=13768.] (c) Tomodensitom´etrie `a rayons X. (d) Tomographie par ´emission monophotonique (´emission deγ `a 140 keV).

(e) Tomographie par ´emission de positrons (´emission deγ `a 511 keV).

´electrique qui est interpr´et´ee par l’´electronique de d´etection comme un ´ev´enement dans le cristalk.

Pour une cam´era TEP humaine, lorsque la diff´erence entre les temps d’arriv´ee de deux photons est inf´erieure `aδt'5 `a 10 ns, le syst`eme consid`ere qu’ils proviennent de la mˆeme d´esint´egration ; on dit qu’il y aco¨ıncidence. La paire de cristaux activ´ee d´efinit ainsi une ligne de r´eponse (LDR). Les num´eros de cristaux, de mˆeme que l’instant d’arriv´ee et l’´energie des photons sont enregistr´es (figure 1.5).

Le syst`eme peut ´egalement enregistrer la diff´erence entre le temps d’arriv´ee des deux photons. C’est le principe de la d´etectiontemps de vol (TDV). Plusieurs cam´eras de ce type sont actuellement disponibles (Conti et coll., 2005; Surti et coll., 2007; Kemp et coll., 2009).

Grˆace au d´eveloppement de nouveaux cristaux et aux progr`es r´ealis´es dans l’´electronique de d´etection, la diff´erence des temps d’arriv´ee des photons co¨ıncidents peut ˆetre mesur´ee avec une tr`es bonne pr´ecision, qui correspond `a une incertitude spatiale de moins de 9 cm (Conti, 2009). Cette technique doit permettre d’accroˆıtre le rapport signal sur bruit de l’image en augmentant la quantit´e d’information disponible par co¨ıncidence enregistr´ee.

Les images TEP peuvent ´egalement b´en´eficier d’une acquisition par une autre modalit´e d’imagerie. Les cam´eras TEP actuelles sont g´en´eralement accompagn´ees d’une cam´era de tomodensitom´etrie `a rayons X (TDM). Celle-ci produit des images tridimensionnelles de l’att´enuation lin´eaire d’un faisceau de rayons X. Elle est utilis´ee non seulement `a des fins diagnostiques, mais ´egalement afin d’estimer l’att´enuation des photons de 511 keV et contribue de ce fait `a l’estimation des co¨ıncidences diffus´ees, abord´ee `a la section suivante.

Une fois les lignes de r´eponses acquises et stock´ees, il reste `a produire l’image de la distribution de biotraceur. Pour ce faire, les donn´ees sont trait´ees par un algorithme de reconstruction – g´en´eralement it´eratif, c’est-`a-dire utilisant plusieurs fois les mˆemes donn´ees pour raffiner successivement la mˆeme image –, et l’image est ensuite affich´ee `a l’utilisateur .

1.3. Ph´ enom` enes physiques affectant la mesure quantitative

En d´epit de son apparente complexit´e, l’image d’´Epinal que nous venons de brosser n’est encore qu’une grossi`ere approximation de la r´ealit´e. De nombreux effets physiques concourent en effet `a attribuer erron´ement une paire de photons `a une ligne de r´eponse. Certains de ces effets sont li´es aux propri´et´es du positron et de son annihilation, d’autres aux effets subis par les photons, d’autres enfin sont dus aux propri´et´es des d´etecteurs et des circuits de traitement ´electroniques. Lorsqu’ils sont n´eglig´es dans le processus de formation de l’image, tous ces effets contribuent au biais dans les images reconstruites, qui se manifeste par une r´eponse impulsionnelle large et non gaussienne et entraˆıne du bruit et des distorsions g´eom´etriques dans l’image reconstruite (figure 1.7). Un des objectifs de cette th`ese est de tenir compte de ces effets au cours de la reconstruction afin d’obtenir des images de meilleure qualit´e.

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ϕ r

θ

z anneau de d´etecteurs

ligne de r´eponse

(a) (b) (c)

Figure1.4.: Vue simplifi´ee d’une cam´era de tomographie par ´emission de positron. (a) Vue en 3D.

La sph`ere jaune d´esigne le point d’annihilation d’une paire ´electron-positron. Le tube orange repr´esente le parcours des deux photons. Le cylindre repr´esente l’anneau de d´etecteurs. (b) Coupe transaxiale. (c) Coupe axiale.

1.3.1. Libre parcours du positron

Parmi les processus menant `a la disparition du positron aux ´energies utilis´ees en m´edecine nucl´eaire, l’annihilation avec un ´electron en ´emettant deux photons est le plus probable<sup>1</sup> (Bailey et coll., 2005; Gillard, 2008). La section efficace de ce processus croˆıt quand l’´energie cin´etique du positron diminue, ce qui explique que celui-ci doit en pratique d’abord perdre l’´energie qu’il a re¸cue lors de son ´emission (figure 1.6 (a)). La table 1.1 r´esume les ´energies maximales et moyennes des positrons ´emis par diff´erents isotopes. `A de telles ´energies, le processus le plus probable subi par le positron est la collision in´elastique avec des ´electrons des atomes (Bailey et coll., 2005, p. 21). De ce fait, le positron perdra graduellement son

´energie cin´etique en effectuant une promenade al´eatoire au sein de la mati`ere.

La table 1.2 rend compte des parcours moyen et maximal du positron – correspondant respectivement `a la distance moyenne entre le point d’´emission et d’annihilation des positrons ayant une ´energie Emax et Emoy – calcul´es par Champion et Loirec (2007) au moyen d’une simulation de Monte-Carlo, en mod´elisant l’eau comme un gaz de densit´e 1.

Comme l’a not´e Derenzo (1979), des valeurs de ce genre sont cependant insuffisantes pour caract´eriser la dispersion non gaussienne des points d’annihilation (voir figure 1.8). Une caract´erisation optimale comprendra la sp´ecification d’une forme fonctionnelle, comme la biexponentielle (Derenzo, 1979; Haber et coll., 1990), et de ses coefficients. `A cause des difficult´es de mesure et des ambigu¨ıt´es de d´efinition, la litt´erature concernant le parcours du positron donne de nombreuses valeurs parfois discordantes. Champion et Loirec (2007)

1. Il faut noter que la physique du positron dans la mati`ere est bien plus complexe que celle d´ecrite ici, impliquant notamment la formation depositronium, et autorisant l’annihilation en ´emettant un ou trois photons. Le lecteur int´eress´e pourra se r´ef´erer `a la th`ese de Gillard (2008) et `a l’ouvrage de Bailey et coll.

(2005) pour un aper¸cu plus complet.

β⁺

β⁺ β⁻

γ

γ

temps d´etA d´etB

00 : 01 1 17

00 : 03 7 23

00 : 04 12 23

00 : 07 2 9

00 : 09 4 7

temps d´etA d´etB

00 : 01 1 17

00 : 03 7 23

00 : 04 12 23

00 : 07 2 9

00 : 09 4 7

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g)

Figure1.5.: Chaˆıne d’´ev´enements menant `a l’image. (a) Injection du traceur. (b) ´Emission du positron. (c) Parcours du positron et rencontre d’un ´electron. (d) Annihilation ´electron- positron et ´emission de deux photons γ. (e) D´etection de la paire de photons en co¨ıncidence. (f) Enregistrement. (g) Reconstruction.

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(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g)

point d’´emission du positron

point d’annihilation ´electron-positron trajectoire des photons

ligne de r´eponse correcte

ligne de r´eponse erron´ement attribu´ee

Figure1.6.: Ph´enom`enes d´egradant la r´esolution. (a) Parcours du positron. (b) Non-colin´earit´e des photons ´emis. (c) Att´enuation. (d) Diffusion. (e) Co¨ıncidences fortuites. (f) Taille finie des d´etecteurs. (g) Passage vers un cristal voisin (parallaxe).

objet r´eel image mesur´ee

Figure1.7.:« Une source circulaire de 10 mm de diam`etre, d’activit´e uniforme (100 unit´es arbitraires) dans un fond non radioactif produit une image mesur´ee dans laquelle une partie du signal ´emanant de la source est vue en dehors de la source r´eelle. L’activit´e maximum dans l’image mesur´ee est r´eduite `a 85.»[Figure et l´egende reproduite de (Soret et coll., 2007). Traduction de l’auteur].

Table1.1.: ´Energie cin´etique maximale et moyenne du positron ´emis par diff´erents isotopes (BNM, a,c,d,b), ainsi que le temps de demi-vie de ces isotopes, d’apr`es le consensus duDecay Data Evaluation Project. Voir par exemple la note de Chist´e et B´e (2002) pour une discussion d´etaill´ee des constantes du¹⁸F.

isotope Emax Emoy T_1/2 [keV] [keV] [min.]

11C 960,5 385,7 20,370

13N 1198,45 493,0 9,967

15O 1735,0 736,7 2,041

18F 633,5 249,3 109,728

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