Effet des algorithmes de reconstruction sur la r´esolution

Au contraire d’autres algorithmes (Nagy et Strakos, 2000), l’algorithme MLEM garantit automatiquement une solution positive si l’image de d´epart est positive, grˆace `a son caract`ere multiplicatif.

Cet algorithme est facilement ´etendu au mode liste pour l’estimation d’images statiques (Parra et Barrett, 1998) : b f_i^(k+1)=fb_i^(k)s⁻_i¹ M X p=1 e H_jpi ¹ PNI i0=1He_jpi0fb_i⁽0^k)+r_cjp+dcjp , (2.51)

o`up est le num´ero de la co¨ıncidence dans une liste de tailleM, et j_p le num´ero de la ligne de r´eponse correspondante.

Une impl´ementation de type mode liste est particuli`erement efficace pour des ´etudes `a faible nombre de coups, dans lesquelles le nombre d’´ev´enements co¨ıncidents est bien plus faible que le nombre total de lignes de r´eponses. En effet, le nombre de r´etroprojections est dans ce cas inf´erieur `a celui qui serait n´ecessaire en mode sinogramme.

2.3.2. OSEM

L’algorithme MLEM peut ˆetre acc´el´er´e en sous-it´erant sur des sous-ensembles de donn´ees, comme propos´e originalement par Hudson et Larkin (1994) avec l’algorithmeOrdrered Subsets Expectation Maximisation (OSEM) :

b f_i^(k,q+1) =fb_i^(k,q)s⁻_i ^{1 X} j∈J_q e H_ji ^gj PNI i0=1He_ji0fb_i⁽0^k,q)+r_bj+cd_j^, (2.52) avec q ∈ [1..N_Q]le num´ero du sous-ensemble de lignes de r´eponses, J_q les co¨ıncidences correspondant au sous-ensembleq, et la convention (k, NQ+ 1)^def= (k+ 1,1), de telle sorte queJ =SNQ

q=1J_q. Cet algorithme peut ´egalement ˆetre adapt´e simplement au mode liste (Nakayama et Kudo, 2005).

Il existe deux grandes cat´egories de sous-ensembles : les sous-ensembles spatiaux et les

sous-ensembles temporels. Dans le premier cas, les sous-ensembles pr´esentent la plus grande s´eparation angulaire possible entre eux. Le second cas est plus adapt´e au mode liste, car dans ce mode, il est impossible de d´efinir des sous-ensembles angulaires. On pr´ef`ere alors attribuer des ´ev´enements cons´ecutifs du fichier liste `a diff´erents sous-ensembles. Le caract`ere al´eatoire de la distribution des ´ev´enements assurede facto la s´eparation voulue.

2.3.3. Effet des algorithmes de reconstruction sur la r´esolution

Comme nous l’avons vu au chapitre pr´ec´edent, diff´erents effets physiques affectent la r´esolution de l’image obtenue. En pratique, la fonction de coˆut minimis´ee et les choix de

l’utilisateur – tels que le nombre d’it´erations, les param`etres de r´egularisation et l’image initiale – influencent ´egalement la r´esolution.

Comme les algorithmes it´eratifs de reconstruction sont non lin´eaires, la r´esolution varie dans le champ de vue et diff`ere d’objet `a objet (Fessler et Rogers, 1996).

Cette r´esolution est caract´eris´ee par la r´eponse de l’algorithme `a la variation d’un param`etre, appel´eer´eponse impulsionnelle locale (Fessler et Rogers, 1996) :

∂EⁿΘb^o ∂Θ_j def = lim ε→0 E{ϕ(g)| Θ+εe_j} −E{ϕ(g)| Θ} ε ^, (2.53)

o`uϕ(g) d´esigne l’estimateur utilisant les donn´eesg, E{ϕ(g)| Θ} d´esigne l’esp´erance de l’estimateur ϕsi les donn´ees sont issues de l’objet Θ et e_j est un vecteur unit´e dans la directionj.

Le vecteur ^∂E

b Θ

∂Θj d´ecrit donc la variation de la moyenne de l’image lorsque le param`etrej

de l’objet non bruit´e est incr´ement´e d’une valeurε→0. Dans la limite o`u l’op´erateur de reconstruction est lin´eaire, ^∂E

b Θ

∂Θj tend vers la r´eponse impulsionnelle classique. Dans ce cas en effet, reconstruction et esp´erance commutent, et (2.53) devient

∂EⁿΘb^o

∂Θ_j ⁼ϕ(E{g| e_j}), (2.54)

o`u ϕ(E{g| e_j}) d´esigne la reconstruction des donn´ees de l’image e_j. Si par ailleurs, l’op´erateur de reconstruction est non biais´e, ^∂E

b Θ

∂Θj se r´eduit `ae_j. Nous verrons au chapitre 5 comment estimer en pratique cette r´eponse impulsionnelle.

R´eponse impulsionnelle locale

Donn´ees

Simulation Reconstruction

e

Figure2.7.: La r´eponse impulsionnelle locale repr´esente la r´eponse d’un algorithme `a la variation d’un param`etre de l’objet.

Deuxi`eme partie

R´esolution

3. Mod´elisation de r´esolution

Les algorithmes de reconstruction it´erative bas´es sur une mod´elisation statistique de l’acquisition, tels que MLEM ou OSEM, permettent d’utiliser un mod`ele pr´ecis de la physique au moyen de la matrice syst`eme. Plusieurs syst`emes cliniques ne mod´elisent cependant pas la r´eponse impulsionnelle (RI) du scanner, encore appel´ee point spread function (PSF), au cours de la reconstruction, g´en´erant un effet de volume partiel (EVP) (Hoffman et coll., 1979). En fonction de l’application, en particulier la segmentation de petites structures et la quantification, ce biais peut ˆetre aussi important que le biais caus´e par l’att´enuation (Soret et coll., 2007). Bien que la diminution de la taille des cristaux ou des technologies r´ecentes de d´etecteurs permettant la mesure de la profondeur d’interaction dans les cristaux (PDI) (Schmand et coll., 1997) puissent r´eduire l’effet de volume partiel, une mod´elisation pr´ecise de la RI du syst`eme est n´ecessaire pour exploiter au mieux les performances de la cam´era.

Comme les composantes les plus importantes de cet EVP proviennent de l’espace des donn´ees, la plupart des efforts pour r´esoudre ce probl`eme ont consist´e jusqu’`a pr´esent `a mod´eliser la distorsion des donn´ees, soit avant, soit pendant la reconstruction. Cependant, on peut ´egalement comprendre l’image reconstruite comme la convolution non stationnaire de l’objet par une RI non gaussienne et spatialement variable, sugg´erant une approche alternative `a la correction d’EVP : mod´eliser la RI dans l’espace image au cours de la reconstruction.

Cette approche alternative pr´esente deux avantages int´eressants. Le premier est une r´eduction de la complexit´e num´erique par rapport `a une mod´elisation dans l’espace des donn´ees n’introduisant aucune simplification, car l’image est tri-dimensionnelle alors que les donn´ees sont quadri-dimensionelles. Les mod´elisations dans l’espace des donn´ees introduisent en effet toujours des simplifications qui r´eduisent leur port´ee. Le second avantage de la mod´elisation de RI dans l’espace image est qu’elle peut ˆetre combin´ee efficacement avec un algorithme it´eratif de reconstruction en mode liste de type MLEM, ce qui est particuli`erement int´eressant en termes de temps de calcul pour les ´etudes TEP `a faible taux de comptage, comme les ´etudes dynamiques ou synchronis´ees `a l’ECG.

Peu d’´etudes ont investigu´e la mod´elisation de la RI dans l’espace image au cours de la reconstruction et, `a notre connaissance, aucune comparaison n’a jamais ´et´e effectu´ee entre la mod´elisation gaussienne et la mod´elisation non gaussienne. Ces ´etudes sont revues en d´etail `

a la section 3.1. Par ailleurs, pour les scanners cliniques qui ne tiennent pas compte de la PDI, les mesures de Surti et Karp (2004) sugg`erent qu’un mod`ele non stationnaire pourrait ˆetre pertinent. Le but de ce chapitre est d’analyser la performance de cette technique pour des reconstructions en mode liste de donn´ees acquises avec un scanner TEP clinique `a large champ de vue, comme le Philips Gemini 16 Power (section 3.2). En particulier, cette ´etude a pour but d’´evaluer l’impact d’un mod`ele complexe non stationnaire et non gaussien de la RI, par contraste avec les mod`eles gaussiens stationnaires de la plupart des travaux

pr´ec´edents. De plus, la m´ethode sera compar´ee `a une approche alternative dans laquelle une image initialement reconstruite sans mod´elisation de r´esolution est d´econvolu´ee en utilisant le mˆeme mod`ele de RI non stationnaire. Dans tous les cas, la RI sera estim´ee en mesurant des points-sources en de nombreux points dans le champ de vue (CDV) (sections 3.3-3.6).

3.1. ´Etat de l’art de la correction de volume partiel

En g´en´eral, les algorithmes statistiques de reconstruction it´erative approximent la matrice de probabilit´e r´eelleHpar une matrice simplifi´eeHe qui mod´elise de mani`ere plus ou moins exacte les divers effets physiques de la chaˆıne de d´etection. Dans beaucoup de cas pratiques,

e

H ne tient compte que des effets g´eom´etriques, de l’att´enuation et de la sensibilit´e des d´etecteurs. Cette mani`ere de proc´eder m`ene `a une image reconstruite floue. Soient en effetS=RNJ

+ l’espace des sinogrammes etI =RNI l’espace des coefficients reconstruits, avecN_J le nombre de LDR dans le scanner et N_I le nombre de fonctions-test spatiales, et l’algorithme de reconstruction

e

H+:S → I,g7→fb^def=He+g, (3.1) avec He+ d´esignant par exemple l’inverse g´en´eralis´e. Si la fonction He+ est lin´eaire – la majeure partie de la discussion suivante ne repose cependant pas sur la lin´earit´e deHe –, l’image reconstruite moyenne est ´egale `a la reconstruction `a partir de donn´ees non bruit´ees :

Eⁿbf f^o=EⁿHe+g f^o (3.2) =He+EⁿHf+n f^o (3.3) =He⁺HE{f| f} (3.4) =He⁺Hf, (3.5)

de telle sorte que l’image reconstruite moyenne est l’image originale filtr´ee par une matrice

NI×NI

H^resodef=He⁺H, (3.6)

qui est, en g´en´eral, diff´erente de l’identit´e. Nous appelleronsH^resolar´eponse impulsionnelle dans l’espace image et nous la d´esignerons par RI-IM. Cette r´eponse impulsionnelle inclut donc non seulement les effets physiques d´egradant la r´esolution, mais ´egalement l’influence de l’algorithme (voir sections 1.3 et 3.3).

Dans l’id´eal, un algorithme it´eratif devrait mod´eliser tous les effets physiques menant `a la d´etection des photons, d´ecrits dans l’´equation (2.29)1

H 'H^sens H^sino H^attn H^geom H^positron, (2.29↑) o`uH^positron repr´esente le parcours du positron,H^geom mod´elise les effets g´eom´etriques en l’absence d’att´enuation et de diffusion,H^attn tient compte de l’att´enuation, H^sens tient

1. une↑suivant le num´ero d’une ´equation signifie qu’il s’agit d’une ´equation pr´ec´edente recopi´ee pour faciliter la lecture.

compte de l’efficacit´e des d´etecteurs,H^sinorepr´esente le m´elange entre les lignes de r´eponse, `

a cause des effets de taille finie des d´etecteurs.

Cela peut ˆetre fait soit en estimant globalement la matrice syst`eme He au moyen d’une simulation de Monte-Carlo (Mumcuoglu et coll., 1996; Qi et coll., 1998; Lazaro et coll., 2005; Alessio et coll., 2004, 2005, 2006), soit en construisant celle-ci comme un produit de matrices, chacune approximant un facteur de (2.29) :

e

H=He^sensHe^sinoHe^attnHe^geomHe^positron, (3.7) o`uHegeom est un mod`ele num´erique efficace du projecteur g´eom´etrique.

N´eanmoins, une alternative num´eriquement plus efficace consiste `a incorporer tous les effets non g´eom´etriques non diagonaux dans une seule matrice.

Cela peut ˆetre r´ealis´edans l’espace des sinogrammes, au moyen d’un mod`eleHe^data∈ R^NJ×NJ, lar´eponse impulsionnelle dans l’espace des sinogrammes, que nous d´esignerons par RI-SI, et qui permet d’´ecrire

e

H=He^sensHe^dataHe^attnHe^geom. (3.8) La matrice He^data inclut donc les effets de H^sino et H^positron. Il s’agit d’un noyau de convolution non gaussien et spatialement variable

e

H^data(r⁰, φ⁰, z⁰, θ⁰, r, φ, z, θ), (3.9) dont la version discr´etis´ee a une taille importante. On parle alors de mod´elisation (de la matrice syst`eme) dans l’espace des donn´ees (ou des sinogrammes), ou encore simplement d’approche dans l’espace des donn´ees. L’it´eration MLEM qui en r´esulte est donn´ee par

b f_i^(k+1)=fb_i^(k)s⁻_i ¹ NJ X j=1 e H^geom_ji NJ X j00=1 e H_j^data00j gj00 PNJ j0=1H^edata j00j0 ^PNI i0=1H^egeom_j0i0 fb_i⁽0^k) , (3.10) avec si = PNJ

j=1He_ji les ´el´ements de la matrice de sensibilit´e (voir figure 3.1). Afin de simplifier l’´ecriture, nous n’avons pas tenu compte dans (3.10) des corrections additives de co¨ıncidences fortuites et diffus´ees. Nous avons ´egalement n´eglig´e les matricesHe^sens et

e

H^attn.

image projection ^m´elange

des LDR ^division

m´elange adjoint

des LDR ^{r´etroprojection}

image ^convolution

de l’image ^{projection division r´etroprojection}

convolution adjointe de l’image

Figure3.1.: Mod´elisation de r´esolution dans l’espace des donn´ees. Ordre des op´erations d´ecrites `a l’´equation (3.10).

Incorporer tous les effets non g´eom´etriques peut ´egalement ˆetre effectu´edans l’espace imageavec un mod`ele de H^reso ∈R^NI×N_I, la r´eponse impulsionnelle dans l’espace image (RI-IM), de telle sorte que

e

H=He^sensHe^attnHe^geomHe^reso. (3.11) On parle dans ce cas demod´elisation (de la matrice syst`eme) dans l’espace des images, ou encore simplement d’approche dans l’espace image. Comme illustr´e `a la figure 3.2, l’it´eration MLEM qui en r´esulte est donn´ee par

b f_i^(k+1) =fb_i^(k)s⁻_i ¹ NI X i00=1 e H^reso_ii00 NJ X j=1 e H^geom_ji00 g_j PNI i0=1He_ji^geom0 ^PNI i00=1He^reso_i0i00fb_i⁽00^k) . (3.12)

image projection ^m´elange

des LDR ^division

m´elange adjoint

des LDR ^{r´etroprojection}

image ^convolution

de l’image ^{projection division r´etroprojection}

convolution adjointe de l’image

Figure3.2.: Mod´elisation de r´esolution dans l’espace image. Ordre des op´erations d´ecrites `a l’´equation (3.12).

Pour obtenir une estimation non bruit´ee en chaque point du champ de vue de la RI-SI ou de la RI-IM, qui toutes deux varient dans l’espace, deux m´ethodes ont ´et´e explor´ees dans la litt´erature, outre les simulations de Monte-Carlo de la matrice syst`eme d´ej`a ´evoqu´ees. La premi`ere possibilit´e est de mod´eliser analytiquement certains effets, une m´ethode permettant d’estimer les RI-SI (Liang, 1994; Schmitt et coll., 1988; Rahmim et coll., 2008). En particulier, Schmitt et coll. (1988) ont d´evelopp´e une m´ethode combinant de la mod´elisation analytique et des simulations ou des mesures, et Rahmim et coll. (2008) ont mod´elis´e s´epar´ement H<sup>positron</sup> et H<sup>sino</sup>, mais pour des reconstructions 2D uniquement. La seconde possibilit´e consiste `a effectuer des mesures directes : Brix et coll. (1997), Bernardi et coll. (2003) et Rahmim et coll. (2003) ont acquis et reconstruit des lignes-sources tandis que Panin et coll. (2006), Alessio et Kinahan (2008), Sureau et coll. (2008), Sureau (2008) et Alessio et coll. (2010) ont acquis et reconstruit des points-sources. Dans un autre contexte, Lodge et coll. (2009) ont calcul´e la r´esolution sur base d’une acquisition de cylindre.

Les approches bas´ees sur les ´equations (3.8) et (3.11) ont des implications tr`es diff´erentes. Dans les pages suivantes, nous d´ecrivons les b´en´efices et les inconv´enients de chaque m´ethode, et de quelle mani`ere elles ont ´et´e utilis´ees par le pass´e pour traiter le probl`eme de l’effet de volume partiel en TEP. Le lecteur int´eress´e par le d´eveloppement de la mod´elisation de r´esolution en TEMP peut consulter l’article de revue de King et coll. (2004).