A grand nombre de coups, la CRLB biais´ee est constante, mais inf´erieure `a la variance empirique, elle-mˆeme inf´erieure `a la CRLB non biais´ee.
Nous avons ´egalement mis en lumi`ere un seuil en nombre d’´ev´enements, sous lequel la borne de Cramer-Rao non biais´ee et la borne de Cramer-Rao obtenue au moyen de la RILL ne peuvent plus ˆetre utilis´ees comme des approximations pertinentes de la CRLB biais´ee. Ce seuil pourrait ˆetre significatif pour des ´etudes dynamiques synchronis´ees `a un signal externe. Il serait int´eressant d’avoir une pr´ediction de ce seuil, ind´ependamment de l’algorithme et de l’image utilis´ee.
Il serait tr`es utile d’investiguer plus avant si les diff´erences entre la borne de Cramer-Rao et la variance empirique – mˆeme `a grand nombre de coups – indiquent qu’il existe un meilleur algorithme de reconstruction pour les biais ´etudi´es, ou que la borne de Cramer-Rao n’est pas atteignable, auquel cas il pourrait exister un minorant plus ´elev´e.
Il est `a noter que la diff´erence entre la variance empirique et la borne de Cramer-Rao peut ´egalement ˆetre due `a l’utilisation de projecteurs l´eg`erement diff´erents lors du calcul de la matrice de Fisher et lors de la reconstruction. En effet, la matrice de Fisher a ´et´e calcul´ee en utilisant un projecteur sur une grille de blobs, tandis que les r´eponses impulsionnelles et les reconstructions ont ´et´e effectu´ees dans un espace de voxels. Le calcul de la matrice de Fisher dans un espace de voxels est susceptible de translater les courbes de Cramer-Rao vers le haut dans la figure 5.8, sans modifier la position de la variance. Cependant, la diff´erence entre la variance et la borne de Cramer-Rao biais´ee est tellement importante que nous nous attendons `a ce que l’effet de cette translation soit limit´e.
En pratique, comme on s’attend `a ce que pour des nombres finis d’´ev´enements, la borne de Cramer-Rao ne soit pas atteinte en reconstruction TEP (Aharoni et Lee, 2001), la question se pose de savoir s’il existe des minorants plus ´elev´es. Il existe plusieurs bornes susceptibles de l’ˆetre, dont la plus connue est la borne de Barankin. Marzetta (1997) a cependant montr´e que pour la reconstruction TEP, les bornes de Barankin et de Cramer-Rao sont ´egales. D’autres exemples de bornes sont donn´es dans Abel (1993), Reece et Nicholson (2005), Renaux et coll. (2007) et Todros et Tabrikian (2010).
5.3. Calcul pratique de la borne de Cramer-Rao pour des
probl`emes r´ealistes
Les probl`emes de reconstruction avec mouvement pour lesquels nous souhaitons calculer la borne de CR sont larges – c’est-`a-dire qu’ils impliquent un grand nombre de param`etres `a estimer. Ils entraˆınent donc l’inversion d’une large matrice. Par exemple, pour une image cardiaque 2D de 288×288 pixels, comportant 2 intervalles temporels et un champ de d´eplacement param´etris´e sur une grille de72×72 pixels, la matrice de Fisher contient
P×P = 98496×98496coefficients. Stock´es en nombres `a virgule flottante de 4 octets, ceci repr´esente un espace m´emoire d’environ 36 gigaoctets. De plus, comme l’inversion d’une matriceP ×P est une op´eration d’ordreO(P3), on voit qu’il y a un r´eel int´erˆet `a r´eduire la taille de la matrice de Fisher.
5.3.1. Th´eorie
Plusieurs solutions `a ce probl`eme ont d´ej`a ´et´e envisag´ees dans la litt´erature. Afin de simplifier la discussion qui suit, nous ne traitons que du cas sans mouvement.
On peut tout d’abord supposer que la matrice de Fisher est localement invariante autour du point pour lequel on souhaite connaˆıtre la borne de Cramer-Rao (Qi et Leahy, 2000). Dans ce cas, la matrice de Fisher peut ˆetre obtenue en dupliquant des versions d´ecal´ees de la colonne correspondant au voxel d’int´erˆet, ce qui revient `a d´efinir une matrice de convolution stationnaire. L’inverse de cette matrice peut donc ˆetre obtenu en calculant la transform´ee de Fourier de la colonne correspondant au voxel d’int´erˆet.
Une autre approche, introduite par Hero et coll. (1997) permet d’estimer la borne de Cramer-Rao en r´esolvant, pour un voxel particulier, le syst`eme suivant au moyen de m´ethodes de gradient, qui permettent de tirer parti du stockage des matrices sous forme creuses :
F(Θ)W =ג.,m, (5.33)
o`u l’inconnue estW, etג.,m d´esigne la m-`eme colonne de la matrice jacobienneג. La borne de CR est ensuite estim´ee comme :
(χ(Θ))mm =גT
.,mW (5.34)
Si l’on souhaite estimer la borne de Cramer-Rao pour d’autres voxels, il faut ´evaluer `a nouveau les ´equations (5.33)-(5.34).
Une autre approximation bien connue de la borne de Cramer-Rao non biais´ee tire parti de la premi`ere in´egalit´e de la relation suivante (Fessler et Rogers, 1996) :
1
Fmm
≤etmF−1em def= (χ(Θ))mm prop. 5.3≤ VarnΘbmo, (5.35)
o`uem est un vecteur unit´e dans la direction m, et permet d’utiliser F1
mm comme approxi-mation de la borne de CR sur la variance deΘbm.
Nous proposons une nouvelle m´ethode pour approximer la borne de CR sur la variance d’un estimateur non biais´e deΘm, par inversion d’une sous-matrice de la matrice de Fisher, dont les ´el´ements correspondent aux param`etres d’un voisinageN du param`etre m. Ceci est justifi´e par la proposition suivante :
Proposition 5.4
Soit la matrice de FisherF =F11F21t
F21F22 ≥0 et son inverseF˜11 F˜t 21 ˜ F21 F˜22 , o`u lesFij(resp. ˜
Fij) sont des sous-matrices deF (resp. F−1). Alors il existe la relation suivante entre les
m-`emes ´el´ements diagonaux deF11−1 et de (F−1) :
F11−1 mm≤Fe11 mm def =χ{Θm}. (5.36) Preuve.
D’apr`es le lemme 5.2, pour toutג.,m, גt .,m F11−1 0 0 0 ג.,m ≤גt .,m e F110 0 0 ג.,m. (5.37) Par ailleurs, גt .,mF−1ג.,m def =χ{Θm} ≤VarnΘbmo. (5.38) Dans le cas d’un estimateur non biais´e,ג.,m =em et (5.36) peut se d´eduire de (5.37) et (5.38).
En pratique,ג.,m est n´egligeable hors d’un voisinage Mdem. Si dans (5.37), on choisit le voisinageN tel queM ⊂ N, la relation suivante est vraie pour la borne de CR d’un estimateur biais´e : גt .,m F11−1 0 0 0 ג.,m≤גt .,m e F11 0 0 0 ג.,m =χ{Θm} ≤VarnΘbmo. (5.39) Remarquons que la relation (5.35) est un corollaire de la proposition 5.4.
La sous-matriceF11est compos´ee des ´el´ements deF correspondant aux voxels du voisinage du point pour lequel on choisit de calculer la borne de Cramer-Rao. Au plus ce voisinage est grand, au plus la matriceF11est grande. La proposition 5.4 implique alors ´egalement que, pour des voisinagesN1 ⊂. . .⊂ NN de tailles croissantes autour du pointm, la suite des estimations de la borne de Cramer-Rao sur la variance au pointm est croissante :
(FN1)−1
mm≤(FN2)−1
mm ≤. . .≤(FNN)−1
mm≤VarnΘbmo. (5.40) Toutes les bornes(FNi)mm sont donc des minorants de la variance.
En pratique, nous avons d´evelopp´e la m´ethode suivante, que nous nommeronsm´ethode des petites r´egions d’int´erˆet.
Algorithme : M´ethode des petites r´egion d’int´erˆet. 1. s´electionnerP, un point d’int´erˆet de l’image 2. d´efinirN, un voisinage n×nde P
3. calculer les ´el´ements de F correspondant au voisinage N et les stocker dans la sous-matrice FN
4. inverserFN
5. s´electionner le coefficient deFN−1 correspondant `aP.
5.3.2. ´Evaluation
Nous avons ´evalu´e le caract`ere informatif des minorants calcul´es avec la m´ethode des petites r´egions d’int´erˆet.
r´e c u p ´e ra ti o n d e la M S T D M S T D voisinage 5×5
position [voxels] (rayon de la r´egion)/(rayon du CDV)
0 0 (a) (b) (c) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -20 20 0.8 10−1 0.85 0.9 0.95 1 1
Figure5.9.: (a) Image test pour la m´ethode des petites r´egions d’int´erˆet. Le pixel (18,36) est indiqu´e par la fl`eche noire. (b) Profil au travers de l’image (courbe bleue), de la MSTD exacte (courbe olive) et de la MSTD approch´ee, estim´ee avec un voisinage 5×5 (courbe noire). (c) R´ecup´eration de la MSTD au point d’int´erˆet situ´e au centre de la r´egion consid´er´ee pour le calcul (indiqu´ee par une fl`eche sur la sous-figure (a)), en fonction du rayon de la r´egion.
Comme ´evaluation pr´eliminaire, nous avons test´e cette m´ethode sur un disque uniforme de rayon13,5blobs d´efini sur une grille de 72×72 blobs (figure 5.9). Les fi ont ´et´e mis `a 1 dans l’objet et `a 1×10−3 `a l’ext´erieur.
Nous avons calcul´e l’approximation de la d´eviation standard minimum (MSTD), calcul´ee comme la racine carr´ee de la borne de Cramer-Rao, pour diff´erents points d’int´erˆet situ´es `a diff´erents endroits dans le disque, et pour diff´erentes tailles de la r´egion centr´ee sur le point d’int´erˆet. La figure 5.9 montre les valeurs non normalis´ees pour un point non centr´e situ´e en(18,36), indiqu´e par une fl`eche sur la figure 5.9 (a).
D´efinissons le coefficient de r´ecup´eration de la MSTD comme le quotient de la MSTD approch´ee – calcul´ee par la m´ethode des petites r´egions d’int´erˆet – par la MSTD exacte, calcul´ee au moyen de la matrice de Fisher compl`ete.
La figure 5.9 (c) montre la r´ecup´eration de la MSTD en fonction du rayon de la r´egion, relativement `a la taille du champ de vue. Nous observons qu’une r´ecup´eration de 94 % peut ˆetre obtenue avec une r´egion aussi petite que 6 % du champ de vue, dans ce cas, un voisinage5×5.
Comme le montre la figure 5.10 (c), ce mˆeme comportement de convergence rapide est ´egalement observ´e sur un fantˆome plus complexe.
En r´esum´e, si nous nous satisfaisons d’une pr´ecision de 94 % sur la MSTD, cette m´ethode des petites r´egions d’int´erˆet permet de r´eduire une inversion d’une matrice P2 = (72×72)2 `a l’inversion d’une matriceP2= (5×5)2, permettant ainsi de gagner un facteur 4,3×104 en espace de stockage et un facteur 8,9×106 en temps de calcul. Pour des tailles de matrices plus importantes, cette m´ethode pourrait transformer un probl`eme infaisable en un probl`eme faisable.
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 −1 0 M S T D r´e cu p ´er at io n d e la M S T D
position [voxels] (rayon de la r´egion)/(rayon du CDV)
10 10 10 20 20 30 40 40 50 60 60 70 -30 -25 -20 -15 3 4 5 6 0.8 0.85 0.95 (10,36) (36,36) (24,36) (18,36) (36,18) 0.9 1 1 1 2 8.992 .001 .2508 6.245 3.997 1.25 (a) (b) (c)
Figure5.10.: (a) Fantˆome complexe. (b) Profil horizontal passant par le centre de la figure (a) (trait bleu), profil au travers de la MSTD exacte (trait rouge) et au travers de la MSTD approch´ee au moyen d’un voisinage7×7. (c) Rapport entre la MSTD approch´ee et la MSTD exacte pour diff´erents pixels de la figure (a).
5.3.3. Discussion
Dans cette section, nous avons propos´e une mani`ere d’estimer la borne de Cramer-Rao bas´ee sur l’inversion d’une sous-matrice de la matrice de Fisher. Cettem´ethode des petites r´egions d’int´erˆet est `a la fois plus rapide et plus ´econome en m´emoire que l’inversion de la matrice de Fisher compl`ete. Elle pr´esente ´egalement l’avantage de ne pas reposer sur une hypoth`ese de stationnarit´e de la matrice de Fisher, contrairement `a la m´ethode de Qi et Leahy (2000).
Nous avons ´egalement ´evalu´e le caract`ere informatif des minorants calcul´es avec cette m´ethode. Nous avons trouv´e que des r´egions d’int´erˆet de5×5voxels suffisaient `a approcher la borne de Cramer-Rao avec une pr´ecision proche de 90 %.
La complexit´e num´erique de cette m´ethode, compar´ee aux autres m´ethodes d’approximation (Hero et coll., 1997; Qi et Leahy, 2000) reste encore `a ´etudier.
Par ailleurs, il reste `a ´etudier la sensibilit´e du r´esultat `a des non-uniformit´es de l’objet non contenues dans la petite r´egion d’int´erˆet. Un test pr´eliminaire sur un fantˆome complexe indique cependant que cette sensibilit´e pourrait ˆetre limit´ee.
Dans le futur, les approximations de la borne de CR ainsi calcul´ees au moyen de la m´ethode des petites r´egions d’int´erˆet pourraient ´egalement ˆetre compar´ees aux m´ethodes de Hero et coll. (1997) et de Qi et Leahy (2000), tant en ce qui concerne la pr´ecision num´erique des r´esultats que le temps de calcul.