HAL Id: jpa-00220893
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Submitted on 1 Jan 1981
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NON-OHMIC HOPPING CONDUCTION - A TREATMENT BY DIRECTED PERCOLATION
THEORY
M. van der Meer, R. Keiper, R. Schuchardt
To cite this version:
M. van der Meer, R. Keiper, R. Schuchardt. NON-OHMIC HOPPING CONDUCTION - A TREAT-
MENT BY DIRECTED PERCOLATION THEORY. Journal de Physique Colloques, 1981, 42 (C4),
pp.C4-175-C4-178. �10.1051/jphyscol:1981436�. �jpa-00220893�
CoZZoqite C4, suppZEment au nOIO, Tome 42, octobre 1981
NON-OHMIC HOPPING CONDUCTION
-
A TREATMENT B Y D I R E C T E D PERCOLATION THEORYM. Van der Meer, R. Keiper and R. Schuchardt Dept. o f Physics, HumboZdt University, F . 17. C.
A b s t r a c t . - The h o p p i n g c u r r e n t i n d u c e d b y p h o n o n s a n d a s t r o n g e l e c t r i c f i e l d i s d i s c u s s e d o n t h e b a s i s o f t h e r a t e e q u a t i o n u s i n g t h e d i r e c t e d p e r c o l a t i o n method. E s s e n t i a l i n f o r m a t i o n s a b o u t t h e n o n - o h m i c b e h a v i o u r c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e a n a l y - s i s o f t h e v e r t e x s t a r .
S i n c e t h e famous p a p e r o f N. F. M o t t /1/ t h e p r o b l e m o f h o p p i n g c o n - d u c t i o n i n d i s o r d e r e d semiconductors i s u n d e r d i s c u s s i o n u n t i l now.
I n p e r f o r m i n g t h e h o p p i n g t r a n s p o r t t h e o r y a n i m p o r t a n t p o i n t h a s b e e n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e p e r c o l a t i o n a n a l y s i s f o r d e s c r i b i n g t h e s t o c h a s t i c b e h a v i o u r o f l o c a l i z e d e l e c t r o n s i n t e r a c t i n g w i t h p h o n o n s i n t h e p r e s e n c e o f a n e x t e r n a l e l e c t r i c f i e l d / 2 , 3/. When t h e f i e l d i s s u f f i c i e n t l y l o w t h e r e w o r k s t h e l i n e a r t h e o r y . T h e c o n d u c t i v i t y i s f i e l d i n d e p e n d e n t a n d may b e e x p r e s s e d b y t h e t w o p a r t i c l e e q u i - l i b r i u m G r e e n s f u n c t i o n o f t h e d i s o r d e r e d s y s t e m . I n t h e n o n - o h m i c r e g i o n t h e c h a r g e t r a n s p o r t h a s t o b e d i s c u s s e d u n d e r c o n d i t i o n s o f a n o n - e q u i l i b r i u m s t a r e a n d d i r e c t e d p e r c o l a t i o n . The m a c r o s c o p i c c u r r e n t d e n s i t y b e i n g t h e s e l f a v e r a g i n g q u a n t i t y i n o u r p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s /4/
a s t h e n e t p a i r c u r r e n t b e t w e e n t h e c e n t r e s i a n d j i n t h e f o u r - d i - m e n s i o n a l e n e r g y - c o o r d i n a t e s p a c e , i = ( E . ,
R . ) .
T h e e x p r e s s i o n ( 2 ) r e s u l t s f r o m t h e w e l l - k n o w n r a t e e q u a t i o n l f o r l t h e n o n - e q u i l i b r i u m d i - s t r i b u t i o n f u n c t i o n f . ( t ) o f t h e l o c a l i z e d e l e c t r o n s . I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t t u n n e l l t r a n s i t i o n s b e t w e e n t h e l o c a l i z e d s t a t e s due t o t h e a c t i o n o f t h e e l e c t r i c f i e l d a l o n e w i t h o u t p a r t i c i p a t i o n o f pho- n o n s a r e n e g l e c t e d a n d t h e M a r k o v i a n a p p r o x i m a t i o n h a s b e e n used. I n o u r t r e a t m e n ti s t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y f o r p r o c e s s e s w i t h a s s i s t a n c e o f one phonon. The p h o n o n e n s m b l e i s a s umed t o b e i n t h e e q u i l i b r i u m s t a t e . N = ( e x p
()&a -
1)". (KT)-'. The t i l d e u s e d i n t h e f o r m u l a e s ( 2 ) a n d ( 3 ) d e n o y e s t h e e l e c t r o n e n e r g y r e n o r m a l i z a - q t i o n due t o t h e i n t e r a c t i o n w i t h t h e l o c a l e l e c t r i c f i e l d pi,."
Ei=Ei+Vi, Vi=
-
eF.R..
U s i n g t h e d i m e n s i o n l e s s d e n o t a t i o n s( P
Ei, 1 1Z L ~ ~ ) = ( E ~ , Ti)=xi, d - ' - l o c a l i z a t i o n r a d i u s , we assume t h e s t a t i o n a r y
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1981436
C4- 1 76 JOURNAL DE PHYSIQUE
n o n - e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n t o b e o f t h e f o r m
w i t h t h e t o t a l e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l =
I ) ( k -
V i +gyi). H e r e&pi (pi)
r e p r e s e n t s t h e c u r r e n t i n d i ! c e d c a l c ange o f h e c h e m i - c 1 p o t e n t i a l p .S i n c e t h e p a i r c u r r e n t s f l o w f r o m s i t e s w i t h h i g h e r e l e c t r o c h e m i - c a l p o t e n t i a l s t o s u c h w i t h l o w e r o n e s t h e y f o r m a n e t w o r k w i t h d i r e c t e d b o n d s . I n a g r a p h t h e o r e t i c f o r m u l a t i o n /5/ we a r e c o n c e r n e d w i t h a n i r r e g u l a r f o u r - d i m e n s i o n a l d i r e c t e d g r a p h G=(V, A ) w i t h t h e a r c s e t A=
{
~ ( i , j)I
a n d t h e s e t V o f t h e v e r t i c e s xi b e i n g i n c i d e n t w i t h A. T h e a r c s a r e d e f i n e d b yw h e r e t h e o r d e r e d p a i r ( i . j ) means t h e d i r e c t i o n f r o m i t o j. U s i n g ( 2 )
-
( 5 ) we f i n ds i n h Y2(Yi. )
exp(-fij ) c a s h Y2(&,-rPip) c o s h YZ(E
jl&pjp) I
s i n h Y2(rij) I
( 6 )r J " N
w i t h
ri
.=vi-)7j>0 a n d E . .=Ei-&.90. H e r e we p o i n t o u t t h a t a n e g l e c t i o n1 J J
o f t h e a o n d o r i e n t a t i o n i s o n l y p o g s i b l e i n t h e o h m i c r e g i o n w h e r e t h e p e r c o l a t i o n m o d e l c a n b e r e l a t e d t o a n e t w o r k w i t h f i e l d - i n d e p e n - d e n t c o n d u c t i v i t i e s . E v i d e n t l y t h e c h a r g e t r a n s f e r i n o u r s y s t e m i s r e a l i z e d a l o n g s e l f - a v o i d i n g p a t h s r ( e e ' ) b e t w e e n t h e v e r t i c e s e a n d e ' a t t h e l i m i t i n g c o n t a c t s , ( e , e ' ) € ~ ' = ~ x E ' . S i n c e t h e e l e c t r o c h e - m i c a l p o t e n t i a l d e c r e a s e s a l o n g s u c h a p a t h t h e g r a p h G i s c o v e r a b l e b y t h e u n i o n o f s e l f - a v o i d i n g p a t h s a n d d o e s n o t c o n t a i n c i r c u i t s i n t h e s t a t i o n a r y c a s e .
T h e p r o b l e m o f t h e p e r c o l a t i o n o n d i r e c t e d g r a p h s may b e d i s c u s s e d i n t w o ways. E i t h e r we a s k f o r t h e m o s t e f f e c t i v e p a t h ( f i r s t
-
p a s -s a g e p e r c o l a t i o n ) o r f o r t h e c r i t i c a l p a i r c u r r e n t I characterizing t h e m a c r o s c o p i c c u r r e n t d e n s i t y
3.
CI n t h e f o l l o w i n g we s k e t c h t h e g e n e r a l p r o c e d u r e f o r f i n d i n g Ic.
L e t u s d e n o t e t h e o p e r a t i o n o f d e l e t i o n o f t h e a r c s e t ~ ~ = { I ( i , j )
1
~ ( i , j ) € ~ n I ( i , j )
< I)
b y D~IG=(V, A-AI) t h e c r i t i c a l c u r r e n t may b e e x p r e s s e d a sI c = i n f
{ I ~ ~ I G ~ c : ~
: T:bXT\ E* a @ 'a,b1
T h u s , Ic- i s t h a t v a l u e o f I f o r w h i c h t h e p e r c o l a t i o n c l u s t e r C a p p e a r s . H e r e a c l u s t e r means a m a x i m a l c u r r e n t - c o n d u c t i n g s u b g r g p h a l w a y s d e f i n e d w i t h r e s p e c t t o a s o u r c e v e r t e x q. I n g e n e r a l , a
I
I
c l u s t e r Cab w i l l b e a p a r t o f a g r a p h component Ka-Ub
c:~.
T h e r e f o r e , t h e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l u s t e r b i n d i n g c r i t e r i o n t o t h e p r o b l e m o f d i r e c t e d p e r c o l a t i o n h a s t h e f o r mH e r e t a b i s t h e t e r m i n a l v e r t e x o f a s e l f - a v o i d i n g p a t h rI r o o t e d i n I
qab w i t h Cab=U t
-
- r ~ ( q a b 8 t a b ) ' t a b ) s T a b ' I Tabn I* qab1'
T a b * IE s s e n t i a l i n f o r m a t i o n s a b o u t t h e p a t h f o r m a t i o n a n d t h e g r o w t h a n d t h e u n i f i c a t i o n o f c l u s t e r s f o r m e r b e i n g i s o l a t e d one o b t a i n s b y c o n - s i d e r i n g t h e v e r t e x s t a r f o r a f i x e d i
i si a i a i
= {
~ ( i , j )1
~ ( i j ) c ~ A ~ ( i , j ) . > I } . ( 9 b ) S o u t , I = ( o u t , I t o u t , I ) ' o u t , IO u r p r i m a r y i n t e r e s t i s i n t h e e n e r g e t i c a n d s p a c i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e o u t - a n d i n - v a l e n c e s d e p e n d i n g o n t h e p a r a m e t e r s I ,
One e x a m p l e o f s u c h a n i n v e s t i g a t i o n f o u n d b y c o m p u t e r a ~ a ; ~ ~ ~ i ~ * i s shown i n F i g . 1.
I I
E! t-I Hg ).' .,.' I<. T
. ,
5 2 It T
>.
f i e l d - d i r e c . t . i ~ : , n F i g . 1. V e r t e x s t a r f o r ( E i - v ) / l < T =
-
5 ,eF/2&I<T = 0 . 5 ,
6-p.
./I<T = 0.21 J
S u m m a r i z i n g t h e s e r e s u l t s we e m p h a s i z e t h a t
-
f o r c i ~ P t h e o u t - a n d i n - v a l e n c e s a r e m a x i m a l a n d t h e y v a n i s h f o r E i C < / 3 p s a *Ei* pr
-
i f t h e e l e c t r i c f i e l d s t r e n g t h f i s i n c r e a s e d , t h e o u t - a n d i n - v a - l e n c e s a r e a l s o i n c r e a s e d a n d t h e c r i t i c a l p a i r c u r r e n t I(F)
i n - c r e a s e s m o n o t o n o u s l y a n d n o n - l i n e a r l y , f u r t h e r m o r e , t h e s f i a c i a l p r o j e c t i o n s o f t h e o u t - a n d i n - v a l e n c e s a r e p r e f e r e n t i a l l y o r i e n - t e d i n t h e d i r e c t i o n o f t h e e l e c t r i c f i e l d , t h e c o n n e c t e d n e s s o f t h e c u r r e n t n e t w o r k i s m a x i m a l i n t h i s d i r e c t i o n , t h e p a t h s a r e s m o o t h e d a n d t h e i r mean l e n g t h d e c r e a s e s ,-
f o r i n c r e a s i n g f i e l d s t r e n g t h t h e c h a r g e t r a n s f e r i n t h e p a i r c u r - r e n t s i s p r e d o m i n a n t l y a s s i s t e d b y t h e e m i s s i o n o f p h o n o n s ,-
f o r g p , .+0 t h e r e a r i s e d i f f u s i o n c u r r e n t s o p p o s i t e t o t h e e l e c t r i cI I J
f i e l d , c o m p l i c a t i n g t h e p a t h t o p o l o g y a n d l e n g t h e n i n g t h e p a t h s . T h e c r i t i c a l ' c l u s t e r C i s e s s e n t i a l l y c h a r a c t e r i z e d b y t h e a v e r a g e d o u t - a n d i n - v a l e n c e s o f i t s v e r t i c e s ,
9
d i r d i rc , o u t n < I a : u t
, I ~ I C )
J c , i n cI)c
( 1 0 )P P
H e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e t h e a v e r a g e o v e r a l l v e r t i c e s o f t h e c r i t i - c a l c l u s t e r . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s o f t h e m a c r o s c o p i c
C4-178 JOURNAL DE PHYSIQUE
s y s t e m r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m o f a n i s o t r o p i c , d i r e c t e d p e r c o l a t i o n o n a n i r r e g u l a r f o u r - d i m e n s i o n a l l a t t i c e . T h i s p r o b l e m h a s n o t b e e n s o l v e d a s y e t a n d t h e r e e x i s t o n l y f e w i n f o r m a t i o n s c o n - c e r n i n g d i r e c t e d p e r c o l a t i o n . I n p a r t i c u l a r , i t h o l d s
d i r d i r
c l o u t +
9
c , i n2
S c ( 1 1 )w h e r e
gc
i s t h e mean v a l e n c e o f a v e r t e x i n t h e c r i t i c a l c l u s t e r o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m o f u n d i r e c t e d p e r c o l a t i o n . F u r t h e r m o r e , o n e h a s t o n o t e t h a t t h e c r i t i c a l b e h a v i o u r f o r I-Ic h e r e b e l o n g s t o a n o t h e r u n i v e r s a l i t y c l a s s a s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g m o d e l o f u n d i - r e c t e d p e r c o l a t i o n /6/. I t i s t o e x p e c t t h a t t h e c r i t i c a l e x p o n e n t s o f s u c h m o d e l p a r a m e t e r s a s t h e p e r c o l a t i o n p r o b a b i l i t y , t h e mean c l u s t e r s i z e a n d o t h e r s y i e l d a n o n - a n a l y t i c a l b e h a v i o u r o f t h e r m o - d y n a m i c p a r a m e t e r s w e a k e r t h a n i n t h e u n d i r e c t e d c a s e . T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e c r i t i c a l p a r a m e t e r ( 1 1 ) t h e n o n - o h m i c d e p e n d e n c e o f t h e h o p p i n g c u r r e n t d e n s i t y ( 1 ) o n t h e e l e c t r i c f i e l d i s e s t i m a t e d t oJ ( F ) w e x p [-a:ir ( d 3 K N ~ ) - ~ ~ + *<<I
,
( 1 2 a )i n t h e c a s e s o f ( a ) w e a k , ( b ) i n t e r m e d i a t e a n d ( c ) s t r o n g e l e c t r i c f i e l d s
.
T h e e x D r e s s i o n s f 1 2 a - c l s h o w b o t h t h e e x ~ o n e n t i a l F ~ - a n d
be-
h a v i o u k f o r s t r o n g e r f i e l d s / 7 , 8/. T h e l a t t e r i s c o n n e c t e d w i t h t h e m e c h a n i s m o f s p o n t a n e o u s p h o n o n e m i s s i o n . T h e s a t u r a t i o n e f f e c t i n t h e c a s e o f v e r y s t r o n g e l e c t r i c f i e l d s r e s u l t s f r o m t h e a s s u m p t i o n o f a b a n d o f l o c a l i z e d s t a t e s o f t h e w i d t h A E . T h e d e n s i t y o f s t a t e s N i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t i n t h e v i c i n i t y o f t h e F e r m i l e v e l . T h e
~ g r a m e t e r s r e s u l t i n q f r o m t h e ~ e r c o l a t i o n
-
a n a l y s i s a r e o f t h e o r d e r a:ir, c:ir, d z i r m 1 a n d b : i r ~ 1 0 .O b v i o u s l y t h e f i e l d d e p e n d e n c e o f t h e c u r r e n t d e n s i t y d e p e n d s s e n s i - t i v e l y b o t h o n t h e c h o s e n m o d e l f o r t h e c u r r e n t c o n d u c t i n a h o ~ o i n a s y s t e m a n d t h e a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e n o n - e q u i l i b r i u m d i s t r i b b t i o n fi a n d t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e s W i . : C o r r e l a t i o n s i n t h e s i t e d i - s t r i b u t i o n a n d p o p u l a t i o n may e s s e n ? l a l l y i n f l u e n c e t h e n o n - o h m i c b e h a v i o u r a n d h a v e t o b e a l s o d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l /3/.
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