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Submitted on 1 Jan 1990
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IMAGERIE ULTRASONORE D’OBJETS TRIDIMENSIONNELS
P. Grassin, B. Duchene
To cite this version:
P. Grassin, B. Duchene. IMAGERIE ULTRASONORE D’OBJETS TRIDIMENSIONNELS. Journal
de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-317-C2-320. �10.1051/jphyscol:1990276�. �jpa-00230697�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n02, Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990
IMAGERIE ULTRASONORE D'OBJETS TRIDIMENSIONNELS
P. GRASSIN et B. DUCHENE
Laboratoire des Signaux et Systèmes, CNRS
-
E.S.E., F-91192Gif-sur-Yvette Cedex, France
Résumé : L'imagerie ultrasonore d'objets fluides inhomogènes dans le domaine de résonance est abordée à l'aide d'un algorithme de tomographie par diffraction. Dans une première partie nous étudions le problème direct qui consiste à calculer le champ diffracté, l'objet et l'onde incidente étant alors connus. Les champs sont déterminés à partir d'une repdsentation intégrale à l'aide de la méthode des moments, le système linéaire obtenu étant dors résolu de manière itérative. Les champs ainsi calculés sont ensuite injectés dans l'algorithme d'imagerie qui construit la carte des sources fictives induites à l'intérieur de l'objet par l'onde incidente.
Abstracf : Ultrasonic imaging of fluid inhomogeneous bodies is investigated in the resonance domain by means of a diffraction tomography algorithm. In a first part, we study the direct problem, which consists of computing the scattered field when the object and the incident wave are known. The fields are calculated from an integral formulation by means of the moment method and the linear system obtained is then solved by iterative techniques. The calculated fields are the data of the imaging algorithm which builds the map of the fictitious sources induced within the object by the incident wave.
Nous nous intéressons ici à l'imagerie ultrasonore d'objets fluides inhomogènes d'extension spatiale limitée. Les objets considérés sont plongés dans des milieux homogènes également fluides et sont insonés par une onde plane en régime harmonique. Nous nous plaçons dans le domaine de résonance où les objets présentent des inhomogénéités de taille voisine de la longueur d'onde; les phénomènes de diffraction sont donc importants. La technique d'imagerie mise en oeuvre, dite de "tomographie par diffraction", tient compte de ces phénomènes contrairement aux techniques de tomographie classique basées sur des modélisations simplifiées de l'interaction onde-objet. L'image restituée est la carte des sources fictives induites à l'intérieur de l'objet par l'onde incidente, quantités qui dépendent non seulement des paramètres acoustiques de l'objet mais également du champ. Il s'agit donc d'une technique d'imagerie qualitative, sauf si les conditions de validité de l'approximation de Born sont remplies, cadre dans lequel elle a été initialement développée [l]. Cette technique a trouvé des applications dans de nombreux domaines, en particulier en géophysique [2] et en imagerie microonde active [3]; nous l'avons, pour notre part, développée dans le cadre d'une configuration à deux dimensions d'espace, les objets considérés étant alors cylindriques, d'extension infinie, plongés dans un milieu homogène ou stratifié, et insonés par une onde plane ou une source ponctuelle [4,5].
Les images présentées ici sont reconstruites à partir de données synthétiques, ce qui explique pourquoi nous nous intéressons d'abord au problème direct où, onde incidente et objet étant connus, il s'agit de calculer le champ diffracté. Celui-ci est obtenu sous la forme d'une représentation intégrale.
L'application de la méthode des moments à cette représentation conduit, après discrétisation de l'objet en un quadrillage régulier de mailles élémentaires, à l'obtention d'un système linéaire dont le rang dépend des dimensions de l'objet étudié vis-à-vis de la longueur d'onde. Notons que la considération d'objets tridimensionnels conduit très rapidement à des systèmes de rang élevé pour la résolution desquels l'utilisation de techniques itératives et la mise au point d'algorithmes rapides devient indispensable [6].
LE PROBLEME DIRECT :
L'objet étudié occupe un domaine i2 limité et est caractérisé par les paramètres C& (vitesse des ondes de compression) et (atténuation) dépendants des coordonnées d'espace (x=(x,y,z)). Il est plongé dans un milieu homogène D de paramètres Co et %=O, et éclairé par une onde plane en régime harmonique P O O (dont la dépendance temporelle e-lmt sera désormais omise) se propageant dans la direction kg. Les milieux considérés sont fluides et ne présentent pas de variations de densité. La pression acoustique P M satisfait alors l'équation de Helmholtz :
avec km(x) = o/Cm(x)
+
i %(x)où m=i2 si s fi, et m=O sinon. A l'aide du théorème de Green, on peut trouver une solution à cette équation sous une forme intégrale :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990276
COLLOQUE DE PHYSIQUE
où le champ P O s'exprime en fonction du champ incident Po@, des sources fictives J(x') induites à l'intérieur de l'objet, et de la fonction de Green de Sespace libre Gb-). L'équation (2) permet de calculer le champ en tout point
x
&E D) une fois connu le champ à l'intérieur de l'objet. Celui-ci peut être obtenu numériquement à l'aide de la méthode des moments qui permet de transformer l'équation intégrale (2) en un système d'équations linéaires. A cet effet, le domaine Cl occupé par l'objet est découpé en N mailles cubiques élémentaires sur lesquelles le champ et les paramètres sont supposés constants.L'application de la méthode des moments, avec une décomposition de type point-segment, conduit alors, en posant x(xi)=(kn2(xi)-k02), à l'obtention du système suivant :
où les inconnues sont les valeurs du champ au centre de chacune des N mailles élémentaires. L'intégrale de G(xj,z1) sur la cellule Ai est calculée analytiquement de façon approchée en remplaçant la cellule cubique par une cellule sphérique de même volume V=47ra3/3. Un tel système peut être inversé directement à l'aide d'un algorithme de Gauss-Jordan. Cependant, la taille des cellules élémentaires à considérer dépend de la longueur d'onde et l'on est donc rapidement conduit à l'obtention de systèmes de rang très élevé pour la résolution desquels l'utilisation de procédures itératives (développement des champs en série de Neumann ou méthode de gradient conjugué), qui évite l'étape de l'inversion, est plus appropriée. Ces méthodes nécessitent la donnée de valeurs initiales @(xi) des inconnues P b i ) à déterminer. Ces dernières seront fournies par l'approximation de Born, i.e. @(xi)=Po(xi). La formulation intégrale (2) du champ suggère qu'une solution peut être trouvée sous la forme d'une série de Neumann.
Le système (4) devient alors :
Le nombre m d'itérations nécessaire pour une "bonne" convergence de cette série, c'est-à-dire pour obtenir un écart négligeable entre la solution P et le champ P obtenu à la mième itération est d'autant plus élevé que le contraste
x
entre l'objet et le milieu hôte est grand, et, au delà d'un certain contraste le processus divergera. On peut alors avoir recours à une méthode de gradient conjugué. La solution du système (4), réécrit formellement AP=PO, est alors construite de manière itérative en minimisant une fonction coût (mesure de l'écart entre la solution P et l'itérée Pm) successivement dans des directions dm dites "A*A conjuguées", A* représentant l'opérateur adjoint de A :où le signe
-
dénote le complexe conjugué et Oij=l si i=j, Oij=û si i#j. Théaiquement, si la solution P d'un tel système existe, la série Pm convergera vers P en au plus N itérations, si N est le rang du système.En réalité, l'écart entre l'itérée Pm et la solution peut devenir négligeable au terme d'un nombre d'itérations beaucoup plus faible, ce qui permet d'obtenir rapidement une bonne solution. Notons d'autre part qu'un gain important en temps de calcul est obtenu par I'utilisation d'un algorithme de transformation de Fourier rapide pour le calcul des produits de convolution apparaissant à chaque itération.
Une fois connu le champ à l'intérieur de l'objet, le champ externe est calculé directement à l'aide de la relation (4) en plaçant &, à l'extérieur de
a.
Les résultats obtenus avec cette méthode ont été validés dans le cas canonique d'une coquille sphérique, pour lequel nous disposons d'une solution analytique rigoureuse sous la forme d'une série infinie de modes de vibration. La convergence de la méthode en fonction du nombre de mailles considéré a, en particulier, été étudiée. Notons qu'à partir d'une discrétisation de 7 mailles par longueur d'onde, les valeurs calculées sont très proches de la solution analytique. D'autre part, la série de Neumann, lorsqu'elle converge (dans le cas des objets présentant un faible contraste avec le milieu environnant) donne des résultats identiques à ceux calculés par le gradientconjugué, mais pour un nombre d'itérations plus faible et pour un temps de calcul par itération deux fois moins important.
Supposons que l'onde incidente se propage selon l'axe Ox et désignons par y&) [xg=(q,y,z)]
le champ diffracté par l'objet sur un plan perpendiculaire à la direction de propagation normalisé par rapport au champ incident, et par
<ph)
la densité de sources induites également normalisée :En introduisant ces quantités dans la relation (2) et en développant la fonction Ae q e e n en un spectre angulaire d'ondes planes, on peut montrer, après quelques transformations, que et cp les transformées de Fourier de et q, respectivement à deux et à trois dimensions :
sont liées par la relation suivante :
Cette relation ne donne cependant accès au spectre des sources induites qu'en certains points du domaine spectral tels que p=p-b, décrivant une demi-sphère (Fig. 1) de rayon kg et de centre (-kg,O,O), et suppose d'autre part que le spectre correspondant aux ondes évanescentes (o(22+a32>~2) ait été négligé.
Ainsi, à partir de la mesure du champ diffracté sur un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde incidente (mesure effectuée ici en transmission), on remonte au spectre des sources induites, puis, par transformation de Fourier inverse, aux sources elles-mêmes. Celles-ci dépendent des paramètres de l'objet et permettent donc d'obtenu une représentation qualitative de ce dernier. Cependant, la connaissance très limitCe du spectre cp va gravement affecter la reconstruction obtenue. Les performances de l'algorithme d'imagerie peuvent être évaluées sur la réponse impulsionnelle spatiale représentée sur la figure 2. Au sens du critère de Rayleigh, la résolution longitudinale (selon la direction de propagation de l'onde incidente) est d'environ 1.5% (hg étant la longueur d'onde dans le milieu hôte), tandis que la résolution transversale (dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation) est d'environ hd2. Ces performances peuvent être améliorées par un meilleur remplissage du domaine spectral ce qui est obtenu par la réalisation de plusieurs vues de l'objet à fréquence et/ou incidence variable. Dans ce dernier cas, en faisant tourner autour de l'objet (autour de l'axe Oz) l'ensemble onde incidente
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plan de mesure, on obtient le spectre sur une famille de demi-sphères déduites de celle de la figure 1 par rotation (autour de a3), ce qui améliore d'autant la reconstruction (Fig. 3). Notons cependant qu'une seule vue suffit pour avoir une image de bonne qualité dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation (Fig. 4). Si cette technique d'imagerie permet de mettre en évidence le contraste entre objets de natures diffbrentes (Fig. 5 ) , en revanche, elie ne permet pas, en dehors des conditions de validité de l'approximation de Born (objet faiblement diffringent), d'accèder à des informations quantitatives sur les paramètres de l'objet, la quantité reconstmite dépendant en eff&du champ.C2-320 COLLOQUE DE PHYSIQUE
Figure 2 : La réponse impulsionnelle spatiale dans le plan de propagation (A) et dans un plan transversal
-
Cn= 1600 m/sCo= 1560 m/s c
Figure 5 : 2 objets carrés (côté = lm) de natures REFERENCES:
[Il MUELLER R.K. et al., Acoustical Imaging, 8, A.F. Metherell Ed., Plenum Press, 615-628, 1980.
[2] DEVANEY A.J., IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., GE-22, 3-13, 1984.
[3] PICHOT C. et al., IEEE Trans. Antennas Propagat., AP-33,416-425, 1985.
[4] TABBARA W. et al., Inverse Problems, 4,305-331, 1988.
[5] DUCHENE B. et al., Electromagnetic and Acoustic Scattering: Detection and Inverse Problem, C.
Bourrely et al. Ed., World Scientific, 11 1-122, 1988.
[6] LESSELIER D. et DUCHENE B., Proc. IEEE Ultrasonics Symp., Montréal, 1989, à paraître.
