M2 EADM 2012-2013 1
MASTER EADM M2 Corrigé Contrôle terminal de l’UE 14 (10/01/2013)
Exercice 1 (3 points)
Attention : il faut citer des types de tâches mathématiques (par exemple, prendre des informations sur un dessin n’est pas un type de tâche, c’est un moyen de faire quelque chose).
Passage de 5ème en 4ème sur le rôle et la place du dessin.
1- Deux types de tâches particulièrement classiques en 6ème/5ème 2 fois 0,5 donc 1 point - reproduire une figure donnée ;
- tracer une figure décrite ou indiquée ; - compléter une figure ;
- reconnaître un quadrilatère particulier ;
- écrire un programme de construction d’une figure donnée.
2- En 4ème,quelle nouvelle utilisation du dessin ? Pour aider à la conjecture, ou à la vérification dans les activités de preuve/démonstration : 1 point dont 0,5 pour avoir cité la démonstration comme nouvelle activité.
Deux difficultés, concernant le dessin, qui peuvent se poser aux élèves de 4ème 2 fois 0,5 donc 1point
- raisonner sur le dessin par reconnaissance de propriétés perceptive ou grâce aux instruments ; - lire des hypothèses sur le dessin ;
- raisonner sur des dessins particuliers ;
- ne pas comprendre l’utilisation des dessins à main levée.
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Exercice 2 (3,5 points)
1- Trois objectifs que l'on peut viser (1,5 point) Par exemple :
travailler la démarche mathématique (exhiber des exemples ou contre-exemples, conditions nécessaires ou suffisantes, argumentation, preuve...) ;
introduire un nouveau concept mathématique pour certaines situations ;
favoriser l'argumentation grâce au travail en groupes et aux échanges en groupe classe ;
travailler la méthodologie de recherche (s'organiser, essayer des pistes, revenir en arrière, organiser ses résultats...) ;
permettre de voir différentes procédures pour résoudre un même problème ;
valoriser et motiver les élèves en difficulté (il n'y a pas forcément de procédure « experte » disponible pour les élèves, énoncé accessible pour tous...) ;
Attention, faire travailler les élèves en groupe n'est pas un objectif en soi, c'est un moyen d'atteindre certains objectifs : participation de tous les élèves, argumentation entre pairs...
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2- Quelques avantages et inconvénients (2 points) Par exemple :
Avantages :
gain de temps pour pouvoir continuer le cours (côté professeur) ;
gain de temps pour pouvoir débattre plus longtemps sur cette méthode (au lieu de diviser le temps sur toutes les méthodes) (côté professeur).
Inconvénients :
frustration des groupes qui n'auront peut-être pas eu le temps de finir leur recherche (côté élèves) ;
frustration des élèves qui ne pourront pas présenter leurs résultats (côté élèves) ;
difficulté à s'approprier une procédure qu'on n'a pas envisagée sans pouvoir débattre de la sienne et éventuellement en voir les limites. (côté élèves) ;
difficulté (voire impossibilité) à savoir si sa propre procédure est correcte (côté élèves) ;
impossibilité d'avoir accès aux différentes procédures des différents groupes. (côté élèves) ;
risque de démotivation des élèves qui n'ont pas présenté lors d'une prochaine SR (« de toutes façons, ce qu'on fait ne comptera pas »...) ;
difficulté pour le professeur à savoir ce qui a été fait dans les différents groupes (même s'il a pu passer voir les groupes) (côté professeur) ;
le professeur n'aura pas accès à la phase d'argumentation de la plupart des élèves sur leur propre procédure (côté professeur) ;
un seul groupe ayant été choisi par le professeur, il est plus ou moins sous-entendu que leur procédure est correcte, il y a donc quasi évacuation du débat sur la validité de cette
procédure (côté apprentissage) ;
les élèves n'ayant pas accès aux différentes procédures, ils sont dans l'impossibilité de comparer celle-ci aux autres et il semble qu'il va leur être difficile d'en percevoir tous les avantages. Difficulté alors à se persuader de l'intérêt de cette procédure par rapport aux autres (côté apprentissage).
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Exercice 3 (4 points)
1. 2 points Les propriétés manquantes sont celles relatives au plan frontal, et aux fuyantes, c’est – à – dire les droites perpendiculaires au plan frontal.
Il faut ainsi ajouter les éléments suivants :
- Les éléments situés dans un plan frontal sont représentés en vrai grandeur, non déformés : les distances et les angles sur la représentation sont les mêmes que sur l’objet lui – même.
- Les droites perpendiculaires au plan frontal, appelées fuyantes, sont représentées par des droites formant un angle avec l’horizontale, appelé angle de fuite.
- La longueur des segments représentés dans la direction des fuyantes n’est pas la longueur réelle du segment : celle – ci est multipliée par un coefficient de réduction (ou coefficient de perspective).
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Il manque ainsi la donnée du plan frontal, de l’angle des fuyantes et du coefficient de réduction.
Remarque : on peut aussi dire que trois points alignés dans la réalité seront représentés par trois points alignés (mais cette propriété est déjà présente dans la conservation du
parallélisme).
2. 0,5 point La perspective cavalière est au programme de la classe de sixième. Elle est abordée à l’occasion de l’étude du parallélépipède rectangle. Ils apprennent en sixième à l’utiliser.
Ils peuvent avoir appréhendé des solides de l’espace en perspective cavalière avant la sixième.
3. 1,5 point On choisit comme plan frontal le plan PRMS, un angle de fuite de 45° et un coefficient de réduction égal à 0,5 (on peut évidemment choisir d’autres valeurs pour l’angle de fuite, comme 30°, ainsi que pour le coefficient de réduction).
Ainsi, l’angle rpi est égal à 45°, et pi = 0,5 PI = 3 cm.
On a : pr = PR = 4 cm et ps = PS = 7 cm.
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Exercice 4 (5 points) 1. 2,5 points
Dans un premier temps, on corrige la question posée.
P est égal à 3, donc on entre dans la boucle tant que la valeur de N ne dépasse pas 3.
N U Test Affichage
1 1 1 3 : vrai 1
2 5
4 1 + 1
2 2 3 : vrai 7
4
3 5
4 7 4 + 1
2 = 43
16 3 3 : vrai 43
16
4 5
4 43 16 + 1
2 = 247
64 4 3 : faux Les valeurs affichées sont donc successivement : 1, 7
4 et 43 16.
L’élève fait un tableau afin de bien décortiquer les différentes étapes de la boucle « Tant que » : une colonne décrit l’évolution des valeurs de la variable N, l’autre celles de la variable U. Il a acquis une bonne méthode pour « dérouler » une boucle.
Les valeurs successives calculées par l’élève pour N et U sont justes, mais elles ne sont pas rangées correctement dès le départ : en effet, il aurait dû afficher N = 1 en face de U = 1.
Il s’ensuit un décalage entre les bonnes valeurs de N et de U.
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Ainsi, quand N prend la valeur 3, il affecte à U la valeur suivante.
Cet élève maîtrise bien l’affectation.
Cet élève a bien compris le fonctionnement de la boucle « Tant que », même si son expression est ambigüe : « l’algorithme va s’arrêter de tourner qd N = 3 » ; on voit bien dans ses calculs que l’algorithme doit faire les calculs lorsque N vaut 3, mais pas quand N vaut 4.
Il fait d’ailleurs une confusion entre N et P, en disant : « l’algorithme a tourné pour P = 3 ».
Il fait une erreur au niveau de l’affichage : pour lui, l’algorithme affiche la dernière valeur de N (3), et peut – être aussi la valeur de U correspondante (mais son explication est
ambigüe). Il n’a pas vu que l’algorithme permettait d’afficher U à chaque passage dans la boucle.
2. 1,5 point Les trois modalités fondamentales de l’activité en algorithmique au lycée sont : - analyser le fonctionnement ou le but d’un algorithme existant ;
- modifier un algorithme existant pour obtenir un résultat précis ; - créer un algorithme en réponse à un problème donné.
3. 1 point Trois algorithmes utilisés à l’école primaire ou au collège : - L’algorithme de la soustraction posée de deux entiers à l’école primaire ; - L’algorithme de la multiplication posée de deux entiers à l’école primaire.
- L’algorithme de construction de la médiatrice d’un segment en 6ème. - L’algorithme permettant d’ordonner des nombres relatifs en 5ème. - L’algorithme de la multiplication de deux entiers relatifs en 4ème.
- L’algorithme d’Euclide en 3ème pour le calcul du PGCD de deux entiers ; Un algorithme exigible dans les programmes de lycée :
- L’algorithme de dichotomie pour déterminer un encadrement d’une solution d’une équation de la forme f(x) = 0 ;
- L’algorithme permettant de calculer le terme de rang n d’une suite définie par une relation de récurrence.
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Exercice 5 (4,5 points)
Décrire et analyser la méthode utilisée et sa validité 1,5 fois 3
Attention dire ce que font les élèves et non sur qu’ils auraient dû faire par une méthode experte.
Production de Célia
Elle fait fonctionner les deux programmes séparément sur le même nombre. Elle fait des essais avec des nombres entiers, en testant les deux programmes qui ne donnent pas le même nombre. Elle calcule l’écart à chaque fois et elle organise ses essais en fonction de l’écart : de 5 à 6, l’écart augmente, elle calcule alors pour 4, 3 et 1. L’écart est alors de 1. Elle essaie alors un nombre inférieur et proche de 1 : 0,75 ce qui est la réponse.
Sa méthode avec les écarts est correcte même si l’élève ne le sait pas ; elle peut aboutir assez vite
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car la solution est un nombre décimal simple. Donc sa méthode a des limites de validité dues à la forme des expressions (premier degré) et à la nature de la solution (nombre décimal simple et assez petit).
Production de Vincent
Il pose une équation correcte, chaque membre traduisant un programme de calcul. Il « simplifie » les nombres et le coefficient de x en prenant en compte ce qu’il y dans chaque membre (on peut penser qu’il barre ce qui est commun de chaque côté, comme Leila). C’est correct car les coefficients sont entiers. Il aboutit à une équation plus simple 3 = 4x qu’il résout par opération inverse. Puis il vérifie sa solution en remplaçant dans chaque programme (il revient ainsi aux programmes de calcul comme Célia)
Sa méthode est correcte, proche de la méthode experte. Il raisonne à la manière de la balance.
Production de Leila
Elle traduit le programme d’une part sans mettre de x ce qui donne « 3+8 »… un peu comme si elle traduisait le programme de calcul.
Et d’autre part par une symbolisation où les « x » sont représentés par des carrés et les nombres écrits. Elle symbolise la balance, elle simplifie en barrant de chaque côté les carrés et on soustrayant les nombres. Elle résout un peu comme Vincent mais de façon plus matérialisée.
Méthode correcte mais qui n’est valide que parce qu’on a des nombres entiers pas trop grands. Ses écritures ne sont pas mathématiquement correctes mais elles illustrent ce qui est fait.
Le 10 x2 vient de la traduction de (7+3) carrés.
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