Master EADM M2 Corrigé du contrôle terminal UE 14
Jeudi 12 janvier 2012 : 10h - 12h
Exercice 1 (2 points : 0,5 fois 4)
Indiquer, en les commentant rapidement, quatre difficultés que peuvent rencontrer les élèves dans le passage 5ème /4ème sur la démonstration.
- Le statut du dessin qui change puisque les élèves doivent passer à des arguments qui n’utilisent plus la lecture sur le dessin.
- Le terme « hypothèse » qui n’a pas le même sens que dans le sens courant ou dans d’autres disciplines.
- L’emploi de « on sait que » peut induire une confusion entre hypothèse et conclusion.
- Le passage argumentation/démonstration, la confusion entre hypothèse et conclusion, le statut des théorèmes. Une démonstration répond à des exigences sur le fond et quelquefois sur la forme, cela est à distinguer d’autres types de raisonnement.
- Les élèves ne voient pas la finalité des démonstrations car, par exemple, les propriétés à démontrer sont trop évidentes sur le dessin.
- Les exigences sur la forme peuvent l’emporter sur le fond (effet de contrat didactique).
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Exercice 2 (3 points)
Le socle commun de connaissances et de compétences a été introduit en France en 2005. De quoi s’agit –il ? Quel est le but de cette introduction ?
0,75 point
Voici ce que dit le BO
« Le socle correspond à ce que nul n’est censé ignorer en fin de scolarité obligatoire sous peine de se trouver marginalisé ou handicapé. Grâce au socle, chacun pourra continuer à se former tout au long de la vie et s’adapter aux évolutions de la société. La mission première de l’Ecole est de garantir à tous les élèves la maîtrise effective de ce socle, qui constitue un engagement de la Nation envers la jeunesse. »
L’évaluation du socle se fait par compétences :
« Pour le Haut Conseil, il faut mettre l’accent sur la capacité des élèves à mobiliser leurs acquis dans des tâches et des situations complexes, à l’Ecole et dans la vie : le socle doit donc être pensé en termes de compétences. La notion de compétences figure déjà dans nos instructions officielles, en particulier pour l’enseignement des langues vivantes étrangères et le Brevet informatique et internet. »
Préciser quelques éléments de son organisation :
Comment est organisée l’évaluation qui concerne le socle commun de connaissances et de compétences ? Qui la fait, à quels moments ?
0, 75 point
Tous les professeurs de façon collégiale doivent évaluer les élèves sur des compétences. Il y a 3 moments pour l’évaluation : en fin de CE 1, fin de CM2 et fin de collège.
Quel support permet de rendre compte de cette évaluation ?
0, 5 point
C’est le livret personnel de compétences qui suit l’élève jusqu’à la fin du collège. De combien de compétences le socle est-il composé ? En indiquer quatre (les titres exacts ne sont pas exigés).
1point (4 fois 0,25)
Il y a 7 piliers de compétences.
La maîtrise de la langue française
La pratique d’une langue vivante étrangère
Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique La maîtrise des techniques usuelles de l’information et de la communication
La culture humaniste
Les compétences sociales et civiques L’autonomie et l’initiative
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Exercice 3 (3 points) 1 point par étape
Proposition d’organisation de l’enseignement de la grandeur « aire » en classe de sixième.
Trois temps dans l’organisation cet enseignement : 1) Comparer des aires.
On construit la grandeur « aire » à partir des objets géométriques.
On définit d’abord l’égalité de deux aires : deux figures ont la même aire si, en découpant une des figures, on peut reconstituer l’autre exactement.
Puis on compare les aires : le découpage permet la comparaison.
Puis on construit des figures d’aire deux fois plus grande, trois fois plus grande …, ou sa moitié …
2) Mesurer une aire.
Mesurer une aire, c’est choisir une aire unité, et être capable de dire combien de fois cette aire unité est contenue dans l’aire à mesurer.
Choix de l’aire unité : c’est en général le carré de 1m de côté, ou le carré de 1cm de côté.
Méthode de mesure : pour trouver la mesure de l’aire d’une figure, il faut savoir combien de carrés unités peuvent la recouvrir, sans se chevaucher, avec la possibilité d’en découper (on utilise souvent un quadrillage).
3) Calculer une aire.
On trouve des formules pour l’aire du rectangle, puis l’aire du triangle rectangle.
On peut alors utiliser les formules pour déterminer l’aire de polygones.
On travaille aussi sur la formule de l’aire du disque.
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Exercice 4 (3, 5 points)
Voici deux activités d’introduction des nombres relatifs que l’on peut trouver dans des manuels de la classe de 5ème. Indiquer, pour chacune :
quel aspect du nombre relatif est mis en avant ;
1point (2 fois 0,5)
Pour l’activité 1, un nombre négatif est l’opposé d’un nombre positif ou bien on complète la droite graduée par les nombres négatifs symétriques par rapport à 0 des nombres positifs.
Pour l’activité 2, les nombres négatifs servent à désigner soit des étages par rapport au rez de chaussée, soit des évènements dans le temps ; on parle aussi de bilans financiers, ce qui n’est pas la même idée.
comment, à partir de chacune de ces approches, on peut introduire l’addition, puis la soustraction des nombres relatifs
1 point pour l’activité 1
(2 fois 0,5) Si vous pensez que c’est difficile, indiquer pourquoi.
1, 5 point pour l’activité 2 en précisant
les limites (3 fois 0,5)
Pour l’activité 1, on pourra introduire l’addition comme déplacement vers la droite ou vers la gauche sur la droite graduée et la soustraction comme calcul de mesures algébriques (sans utiliser ce terme qui n’est plus au programme).
Pour l’activité 2, si on part des étages, on peut aussi se déplacer mais ce support très réel ne permet pas d’imaginer de grands déplacements.
Si on part de la mesure du temps on peut introduire l’addition et la soustraction en calculant des ages ou des dates de naissance ou de décès.
Si on part des bilans, il est facile d’introduire l’addition comme bilan de bilans, la soustraction est plus difficile. Avec J-3 ou J-5, c’est beaucoup plus difficile.
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Exercice 5 (5 points)
Un enseignant envisage de proposer à une classe de troisième une « situation de recherche de problème en classe » pour travailler les compétences des élèves en résolution de problèmes. Il décide de choisir le problème P suivant : « Construire deux carrés de sorte que le deuxième ait une aire double de celle du premier ».
1. De façon générale, rappeler rapidement les différentes phases que l’on peut proposer classiquement pour réussir une situation de recherche en classe, en précisant pour chacune d’elle le rôle de l’enseignant. 1,5 points
a. Présentation de l’activité proposée. L’enseignant transmet les enjeux de la séance.
b. Présentation de l’énoncé du problème de recherche. L’enseignant s’assure de la compréhension de celui-ci par les élèves, demande une reformulation, questionne sur certains éléments
c. Temps de recherche individuelle. L’enseignant met en place et fait respecter ce temps pour que chaque élève s’approprie le problème et élabore les premiers arguments avant la confrontation lors du travail en groupe
d. Temps de recherche en groupe. L’enseignant circule auprès des groupes, prend de l’information, relance la recherche pour les groupes peu productifs.
e. Temps de présentation des résultats par les élèves. L’enseignant aide à la formulation, à la clarification des présentations.
f. Le temps précédent est complété par un temps de débat sur chaque présentation. L’enseignant gère les débats, s’assure de la rigueur de ceux-ci et met en évidence les résultats obtenus.
g. Temps d’institutionnalisation. L’enseignant fait le point sur les acquis de la recherche et les met en perspective.
2. Décrire un déroulement envisageable de la situation, s’appuyant sur ce problème P, en précisant pour chacune des phases proposées, les éventuelles difficultés que l’enseignant peut
rencontrer. 1,5 points
Les phases a. et b. ne doivent pas poser de problème même si l’enseignant doit s’assurer de la bonne compréhension de la formulation « aire double »
Les difficultés peuvent commencer dans la phase c. En effet il est possible de faire des essais sans utiliser des mesures mais ils ne sont pas si évidents que ça à produire et surtout leur validité n’est pas évidente à constater ou invalider. Il est envisageable que de nombreux élèves travaillent avec des mesures de longueurs des figures produites.
Ceci se prolonge dans la phase d. Les élèves risquent soit de ne pas trouver de solution ou de résultats même partiels soit de penser avoir clos le problème en travaillant avec des mesures. La
phase de recherche en groupe peut alors est bruyante, des groupes ne trouvant rien et d’autres pensant avoir répondu rapidement.
La difficulté se reporte sur la phase e. ou l’invalidation de certains résultats est problématique, en particulier ceux utilisant ces mesures. Ceci rend aussi compliquée l’institutionnalisation qui peut avoir du mal à s’appuyer sur les productions des élèves.
3. Citer une variable didactique de la situation. 1 point
L’usage ou non par les élèves de papier quadrillé qui peut faciliter la détermination des aires L’usage ou non de la calculatrice qui peut induire le travail sur des mesures
...
A priori l’énoncé ne propose pas de figure donc les caractéristiques de cette figure potentielle ne sont pas des variables de cette situation.
4. Un autre enseignant, moins au fait des attendus d'une situation de recherche, propose également ce problème P à ces élèves. Lors de la séance, ceux-ci utilisent majoritairement leur calculatrice pour trouver la longueur du côté du carré. Ce n'est pas ce qu'attend ce professeur.
Il refuse ces productions en arguant d'un "manque de précision". Cela amène de nombreuses perturbations et une incompréhension entre les élèves et le professeur.
Quel est le concept de didactique des mathématiques qui permet de modéliser ceci ? Justifier
votre réponse. 1 point
On peut invoquer la notion de contrat didactique et les implicites que ce contrat porte souvent.
Ici l’enseignant envisage la situation dans le cadre de la géométrie déductive et n’accepte pas une autre approche. Les élèves ont résolu le problème dans le cadre de la géométrie instrumentée et ne peuvent comprendre les exigences de l’enseignant qui n’ont pas été reprécisées. Plutôt que de réfuter les productions il semble plus judicieux de les étudier et d’envisager de prolonger la recherche. La situation reste toutefois complexe, l’énoncé, comme on l’a vu en question 2. Ne facilitant pas les productions pertinentes et les validations.
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Exercice 6 (3,5 points)
1)
2 point
sOn réalise un patron de ce cône.
Soit A le point d’où part l’escargot et B son point d’arrivée ; on note S le sommet du cône.
La construction du patron montre que le chemin le plus court pour l’escargot est la ligne droite, c’est à – dire le segment [AB].
Le cône ayant un diamètre de 50 cm, son périmètre est égal à 50 cm, et ainsi l’arc AB pour longueur 25 cm.
On en déduit la mesure en degrés de l’angle ASB, puisque
25 = 360
120 , soit = 75 .
Le triangle ASB est isocèle, et si I est le milieu de [AB], le triangle ASI est rectangle, avec ASI = 37,5°.
Dans ce triangle rectangle, on a : Sin 37,5° = AI
60, soit AI = 60 Sin 37,5°.
D’où : AB = 2 AI = 120 Sin 37,5°, soit AB 73,1 cm.
La longueur de la trace laissée par l’escargot est, à un millimètre près, de 73,1 cm.
2) 1 point
L’objectif principal du professeur qui pose cet exercice est que les élèves se lancent dans un travail de recherche, et qu’ils ressentent le besoin de manipuler un cône pour découvrir divers chemins possibles. Ils peuvent alors en construire un, puis découvrir que l’outil utile ici est le patron du cône. Cette partie peut être riche si elle réalisée en groupe.
Dans la seconde partie, l’objectif du professeur est de réactiver beaucoup de notions géométriques du collège : le périmètre du cercle, la proportionnalité entre l’angle au centre et la longueur de l’arc, le calcul de la hauteur d’un triangle isocèle, la trigonométrie du triangle rectangle.
3) 0,5 point
Erreur attendue : l’élève dit que le chemin le plus court suit la demi – circonférence du cercle de base, car il n’arrive pas à avoir une vision dans l’espace de la situation ; il s’en tient à une vision plane.
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