ELEMENTS D’ALGEBRE COMMUTATIVE

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Maˆıtrise de Math´ematiques Universit´e d’Angers

2003/04 D. Schaub

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Chapitre 5

Introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique

5.1 Alg` ebre de polynˆ omes

Définition 5.1.1 Soit A un anneau commutatif unitaire, on rappelle qu’un ensemble E est muni d’une structure de A-algèbre si E est muni de deux lois internes notées (+, ×), E × E → E telles que (E, +, ×) soit un anneau (commutatif unitaire) et une loi externe · : A × E → E telle que (E, +, ·) soit un A-module avec une propriété de compatibilité entre “multiplications” : pour tous a ∈ A, x, y ∈ E, (a · x) × y = a · (x × y) (ce qui permet d’écrire, en “oubliant” les signes axy).

Remarque : Alternativement, E est une A-alg`ebre si E est un anneau et s’il y a un homomorphisme d’anneaux unitaires f : A → E (la loi externe est alors d´efinie par ax = f (a)x).

On peut aussi donner la structure d’alg`ebre uniquement par une collection de diagrammes de fl`eches (exercice).

Définition 5.1.2 Soient E et F deux A-algèbres. Une application f : E → F est un homomorphisme de A-algèbres si f est A-linéaire et commute à la multiplication interne.

On remarquera que l’ensemble des morphismes de A-alg`ebres de E dans F est seulement un sous- ensemble de l’ensemble Hom_A(E, F ) (par exemple, f + g ne commute pas `a la multiplication interne).

Une sous-algèbre d’une A-algèbre E est un sous-ensemble F tel que les restricitions des opérations

“`a” F le munit d’une structure de A-alg`ebre.

Soit E une A-alg`ebre et (Fi)i∈I une collection de sous-alg`ebres de E, Alors l’intersection G =T

i∈IFi est encore une sous-alg`ebre de E.

Définition 5.1.3 Soit E une A-algèbre et P un sous-ensemble de E. Alors l’intersection des sous-algèbres de E contenant P est appelée sous-algèbre de E engendrée par P , notée A[P ]. On vérifie que G est la plus petite sous-algèbre de E contenant P ou encore que G = {P

finie ax¹· · · x_n| a ∈ A, x1, . . . , xn∈ P }.

Remarque : en fait, grâce à la commutativité de (E, ×), on peut regrouper les produits en affectant les x_i d’exposants.

Exemple : les anneaux de polynômes à coefficients dans un anneau A sont munis d’une structure de A-algèbre. Ainsi A[X], considéré par exemple comme l’ensemble des suites infinies (a_i)_i∈N où

51

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tous les a_i = 0 sauf un nombre fini, a une structure naturelle de A-module ((a_i) + (b_i) = (a_i+ b_i) et λ(ai) = (λai)). On peut aussi d´efinir une multiplication interne par (ai)i× (b_i)i = (ci)i o`u c_k=P

i=0^kaib_k−i et vérifier la propriété de compatibilité.

On remarque alors que : l’élément neutre de l’addition est la suite nulle, notée 0, l’élément neutre de la multiplication est la suite dont tous les termes sont 0 sauf le premier qui est 1. On définit un monomorphisme d’anneaux A → A[X] par a 7→ a × 1. Enfin, si on note X, qu’on appelle variable la suite dont tous les termes sont 0 sauf le deuxième qui vaut 1, on constate que X^k est la suite dont tous les termes sont nuls sauf le k + 1-ième qui vaut 1 et ainsi la suite (a0, a1, . . . , a_d, 0, 0, . . .) =Pd

i=0aiXⁱ, c’est l’écriture que l’on adoptera. Le nombre entier d s’appelle degré de ce polynôme. On appelle valuation du polynôme le plus petit entier ν tel que a_ν 6= 0 et a_k = 0, ∀k < ν.

On remarque que A[X] est engendrée par X puisque tous les éléments peuent s’écrire comme sommes finies du type P λ_kX^k.

On peut de même définir l’anneau de polynômes à deux variables A[X, Y ] sur A comme l’ensemble des tableaux (matrices) (aij)_i,j∈N infinis à coefficients dans A où tous les éléments sont nuls sauf un nombre fini. On définit les opérations d’une manière analogue à ci-dessus.

L’élément neutre pour l’addition est alors le tableau constitué uniquement de zéros. L’élément neutre pour la multiplication est le tableau où tous les éléments sont nuls sauf le premier qui vaut 1. On note X le tableau tel que tous les éléments sont 0 sauf l’élément a₁₀ = 1 et Y celui pour lequel tout est nul sauf a01 = 1. On constate alors que tout élément P (X, Y ) de A[X, Y ] peut s’écrire P

i,jaijXⁱY^j.

On peut remarquer qu’on peut, comme pr´ec´edemment, plonger A dans A[X, Y ], mais aussi A[X] ou A[Y ] (en effet, l’application A[X] → A[X, Y ] telle que P (X) = Pd

k=0akX^k 7→

P ijb_ijXⁱY^j telle que bij = 0 pour j 6= 0 et bi0 = ai est un monomorphisme d’alg`ebres) et que A[X, Y ] est engendr´ee par X, Y .

On peut enfin remarquer aussi que A[X, Y ] est naturellement isomorphe, en tant que A-algèbre, à l’agèbre symétrique S_A[A²] du A-module libre de rang 2, A².

On peut bien sûr généraliser pour obtenir l’algèbre des polynômes à plusieurs variables X1, . . . , Xn et même les polynômes à un nombre infini de variables.

Définition 5.1.4 On dit qu’une A-algèbre E est de type fini s’il existe une partie finie P = {x₁, . . . , x_r} d’éléments de E telle que E = A[x₁, . . . , x_n].

Les exemples d’algèbres de polynômes à un nombre fini de variables sont des algèbres de type fini.

Proposition 5.1.1 Toute A-algèbre commutative unitaire de type fini est isomorphe à un quotient d’un anneau de polynômes par un idéal.

Preuve : Si E est une A-algèbre de type fini, soit P = {x1, . . . , xn} une partie génératrice.

Soit alors φ : A[X1, . . . , Xn] → E définie par φ est l’homomorphisme de A-algèbres qui envoie X_i 7→ x_i, i = 1, . . . , n. Par construction, φ est surjective, donc si I désigne son noyau, A[X1, . . . , Xn]/I ∼= E.

5.2 Notion d’int´ egralit´ e

Définition 5.2.1 Soit B un anneau et A un sous-anneau. On dit qu’un élément x ∈ B est entier sur A si l’une des 3 conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

(i) il existe an−1, . . . , a0 ∈ A tels que xⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ · · · + a0= 0 (qu’on appelle équation de dépendance intégrale de x sur A) ;

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5.2. NOTION D’INT ÉGRALIT É 53 (ii) A[x], la sous-algèbre de B engendrée par x, est un A-module de type fini ;

(iii) il existe un A[x]-module fid`ele qui est un A-module de type fini.

Ajoutons encore que, pour un anneau A, un A-module M est dit fid`ele si αM = 0 ⇒ α = 0.

Notons que A est un A-module fidèle. De plus, si A 6= 0, un A-module fidèle est nécessairement non réduit à 0.

Montrons que ces 3 conditions sont bien équivalentes. Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sont immédiates. En effet, une relation de dépendance intégrale de x sur A montre que A[x] est engendré par 1, x, . . . , xⁿ⁻¹ et pour la deuxième implication, il suffit de prendre comme module fidèle A[x] lui-même.

Il suffit donc de prouver (iii) ⇒ (i). Soit donc M un A[x]-module fidèle qui soit un A-module de type fini et soient u₁, . . . , u_s un système de générateurs de M sur A.

Consid´erons la multiplication par x dans EndA(M ). On a xui = Ps

j=1ajiuj, aji ∈ A, autrement ditP

jδ_ji(x − a_ji)u_j = 0. Alors , si P d´esigne la matrice P = (δ_ji(x − a_ji)), l’ensemble des relations obtenues se traduit par

P



 u₁

· · · us



= 0 (∗).

Mais, si ˜P d´esigne la matrice des cofacteurs de P , ˜P P = det(P )I, par cons´equent (∗) ⇒ det(P )



 u₁

· · · us



= 0, autrement dit det(P )u_i= 0 pour tout i = 1, . . . , s, soit encore det(P )M = 0. Comme det(P ) ∈ A et que M est fidèle sur A, on en déduit det(P ) = 0, ce qui se traduit précisément par une relation de dépendance intégrale de x sur A.

On peut g´en´eraliser cette notion au cas d’un homomorphisme d’anneaux f : A → B. Un

élément x ∈ B sera dit entier sur A si, notant J = ker(f ), x est entier sur A/J identifié au sous-anneau f (A) de B.

D´efinition 5.2.2 Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux. Alors B est entier sur A si tout x ∈ B est entier sur A.

Exemple : soit k ∈ K une extension de corps. Alors K est entier sur k ssi K est alg´ebrique sur k.

Proposition 5.2.1 Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux. L’ensemble des ´elements x ∈ B entiers sur A forme un sous-anneau B⁰ de B.

Preuve : Soient x, y ∈ B entiers sur A. Il s’agit de montrer que x ± y et xy sont alors entiers sur A. Consid´erons alors M = A[x] et N = A[y]. Alors M N contient 1 donc est fid`ele sur A.

De plus, M N est un A[x ± y]-module puisqu’on sait multiplier M N par x ± y, de même, c’est un A[xy]-module. De plus, M N est de type fini, puisque sur u₁, . . . , u_sengendre M et v₁, . . . , v_t engendre N , alors M N peut-être engendré par l’ensemble des uivj. D’où d’après la condition (iii), x ± y et xy sont entiers sur A

Proposition 5.2.2 Si B est une A-alg`ebre de type fini, enti`ere sur A, alors B est un A-module de type fini.

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Preuve : on procède par récurrence sur le nombre n de générateurs. Si B = A[x] et B est entier, c’est la condition (ii) qui assure que B est un A-module de type fini. Puis, on considère que B = A[x1, . . . , xn−1][xn]. Par hypothèse de récurrence, A[x1, . . . , xn−1] est un A-module de type fini et B est entier sur A implique que, a fortiori, B est entier sur A[x₁, . . . , x_n−1], d’où que B est un A[x₁, . . . , x_n−1]-module de type fini. Or, de manière genérale, si D ⊂ E ⊂ F est une suite d’inclusions d’algèbres, et F de type fini sur E et E de type fini sur D, alors F est de type fini sur D. Autrement dit, dans le cas considéré, B est de type fini sur A.

Proposition 5.2.3 Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux, J un id´eal de B, I un id´eal de A tel que f (I) ⊂ J , alors si B est entier sur A, B/J est entier sur A/I.

La preuve est laiss´ee en exercice.

Proposition 5.2.4 Si A → B → C est une suite d’homomorphismes d’alg`ebres, alors B entier sur A et C entier sur B implique que C est entier sur A.

Preuve : Soit x ∈ C. Alors x vérifie une relation de dépendance intégrale xⁿ+ b_n−1xⁿ⁻¹+ · · · + b₀ où b_i ∈ B. Soit B₁= A[b₀, . . . , b_n−1] ; alors B₁est un A-module de type fini d’après la proposition 5.2.2et est fidèle. Alors B1[x] qui est un B1-module de type fini, est un A-module de type fini, donc x est entier sur A.

Définition 5.2.3 Soit A un sous-anneau de B. On appelle clôture intégrale de A dans B l’ensemble des éléments de B entiers sur A. On dit que A est intégralement clos dans B, si A est

égal à sa clôture intégrale dans B.

Lorsque A est un anneau intègre. On dit que A est intégralement clos si A est intégralement clos dans son corps des fractions.

Proposition 5.2.5 Un anneau int`egre et factoriel est int´egralement clos.

La preuve est laiss´ee en exercice.

Proposition 5.2.6 Soit f : A → B tel que B est entier sur A et S une partie multiplicative de A. Alors S⁻¹f : S⁻¹A → S⁻¹B et S⁻¹B est entier sur S⁻¹A.

Preuve laiss´ee en exercice.

5.3 Le lemme de normalisation

Théorème 5.3.1 Lemme de Normalisation de Noether Soit A = k[x1, . . . , xn] une algèbre de type fini sur un corps k, alors il existe un entier m ≤ n, des éléments y1, . . . , ym ∈ A tels que

1. A soit entier sur k[y1, . . . , ym] ;

2. les y_i sont algébriquement indépendants sur k (ie. k[y₁, . . . , y_m] est isomorphe à un anneau de polynômes à m variables).

Preuve : On proc`ede par r´ecurrence sur n.

Si n = 0, il n’y a rien `a prouver car A en entier sur lui-mˆeme.

Supposons donc que A = k[X₁, . . . , X_n]/I où I est un idéal de l’anneau de polynômes k[X1, . . . , Xn]. Soit I = {0}, auquel cas il n’y a rien à prouver, on prend pour yi les xi. Sinon I 6= 0 ; autrement dit, il existe un polynôme f ∈ I tel que f (x1, . . . , xn) = 0 et, quitte à réindexer les x_i, on peut supposer que x₁ apparaˆıt effectivement dans l’expression de f .

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5.4. TH ÉOR ÈME DES Z ÉROS DE HILBERT 55 Choisissons des entiers r₂, . . . , r_net posons Z_i = X_i−X₁^rⁱ. On note z_il’image de Z_idans A. Alors l’inclusion naturelle k[x1, z2, . . . , zn] ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] est en fait une égalité et f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ f (x1, z2+ x^r₁², . . . , zn+ x^r₁ⁿ) = 0.

Développons en monômes le polynôme f (X₁, Z₂+ X₁^r², . . . , Z_n+ X₁ⁿ] = P

αa_αX₁^α¹· · · X_n^αⁿ = P

αa_αX₁^α¹(Z₂+ X₁^r²)^α²· · · (Z_n+ X₁^rⁿ)^αⁿ où α = (α₁, . . . , α_n) est un n-uplet d’entiers et a_α = 0 sauf pour un nombre finie de α. Choisissons alors r2, . . . , rn de telle sorte que les sommes α₁+ r₂α₂+ · · · + r_nα_nsoient 2 à 2 distinctes (...) pour a_α6= 0. Alors si N est un entier supérieur

`

a tous ces entiers, on peut écrire : f (X₁, Z₂+ X₁^r², . . . , Z_n+ X₁ⁿ] = a_αX₁^N + g(Z_i, X₁) où g est de degré < N en X1, ce qui précisément donne une relation de dépendance intégrale de x1 sur k[z₂, . . . , z_n], puisque a_α 6= 0 est inversible.

Par hypothèse de récurrence, il existe un entier m ≤ n − 1 et des éléments y₁, . . . , y_m ∈ k[z2, . . . , zm] tels que

1. k[z₂, . . . , z_n] est entier sur k[y₁, . . . , y_m]

2. les y_i sont alg´ebriquement ind´ependants sur k.

D’o`u k[x1, . . . , xn] = k[x1, z2, . . . , zn] est entier sur k[z2, . . . , zn] qui est lui-mˆeme entier sur k[y₁, . . . , y_m], donc k[x₁, . . . , x_n] est entier surk[y₁, . . . , y_m].

Définition 5.3.1 0n appelle m le degré de transcendance de A sur k. On peut montrer que celui-ci est égal au nombre maximal d’éléments algébriquement indépendants de A.

5.4 Th´ eor` eme des z´ eros de Hilbert

Nous allons d’abord prouver un r´esultat interm´ediaire : le Going-up theorem sous sa forme faible.

Th´eor`eme 5.4.1 Soit A → B un monomorphisme d’anneaux tel que B soit entier sur A, alors si B est un corps, A est un corps.

Preuve : clairement, si B est intègre, alors A (comme sous-anneau par exemple) est intègre. Il suffit donc de montrer que tout élément non nul de A est inversible dans A. Soit donc a ∈ A, a 6= 0. Comme a ∈ A, a ∈ B, donc 1/a ∈ B. Donc 1/a est entier sur A, autrement satisfait à une relation de dépendance intégrale

1

aⁿ + α_n−1 1

aⁿ⁻¹ + · · · + α₁1

a+ α₀ = 0.

En multipliant cette relation par aⁿ⁻¹, on obtient 1

a + α_n−1+ α_n−2a + · · · + α₁aⁿ⁻¹+ α₀aⁿ= 0, autrement dit ¹_a ∈ A.

le théorème suivant est plus souvent référencé par son nom allemand Hilbert Nullstellensatz dans la littérature, c’est le théorème des zéros de Hilbert :

Théorème 5.4.2 Soit k un corps algébriquement clos, A = k[X₁, . . . , X_n] un anneau de poly- nômes à n indéterminées. Les idéaux maximaux de A = k[X₁, . . . , X_n] sont tous de la forme (X1− a₁, . . . , Xn− a_n), ai∈ k.

Remarquons tout de suite que ce théorème est faux si k n’est pas algébriquement clos. En effet, déjà dans R[X], il existe des idéaux maxiamux qui ne sont pas de la forme (X − a) ; par exemple, l’idéal (X²+ 1) engendré par X²+ 1 (car R[X]/(X²+ 1) est en fait isomorphe à C).

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Preuve : Il est bien clair que l’idéal I engendré par X₁ − a₁, . . . , X_n− a_n est un idéal maximal, car le quotient de A par cet idéal est k comme le montre la surjection de k-algèbres

k[X1, . . . , Xn] ^//k qui envoie Xi sur ai dont le noyau est précisément l’idéal I.

Inversement, soit m un idéal maximal de A. Donc A/m = R est un corps. Du lemme de normalisation, on déduit alors l’existence d’éléments y1, . . . , ym ∈ R, m ≤ n tels que R est entier sur k[y₁, . . . , y_m] et ce dernier est isomorphe à un anneau de polynômes à m indéterminées.

Par le “Going-up”, R étant un coprs, on en déduit que k[y1, . . . , ym] est un corps, d’où que m= 0 (en effet, supposons m > 0, comme k[y1, . . . , ym] est un corps, _y¹

1 y appartient, donc peut s’´ecrire _y¹

1 = P (y1, . . . , ym), où P désigne un polynôme, autrement dit y1P (y1, . . . , ym) = 1, ce qui fournit une relation algébrique entre les yi et donc contredit leur indépendance algébrique).

Donc R = k[X₁, . . . , X_n]/m est entier (algébrique) sur k et comme k est algébriquement clos, cela signifie que la surjection π : k[X1, . . . , Xn]/m → k, définie par les images π(Xi) et envoyant 1 sur 1, est un isomorphisme, donc, en posant ai = π(Xi), on obtient que m est un idéal maximal contenant tous les X_i − a_i, donc contenant l’idéal (qui est maximal !) (X₁− a₁, . . . , X_n− a_n), d’où l’égalité.

Le théorème des zéros dit essentiellement que, pour un corps algébriquement clos, il y a bijection entre les n-uples (a1, . . . , an) ∈ kⁿ et les idéaux maximaux de k[X1, . . . , Xn].

5.5 Notion d’ensemble alg´ ebrique

On consid`ere toujours k alg´ebriquement clos.

Définition 5.5.1 Soit I un idéal de k[X1, . . . , Xn]. I peut être engendré par un nombre fini d’éléments (par noethérianité), I = (f₁, . . . , f_s). On appelle ensemble algébrique fermé défini par I, on note V (I) l’ensemble V (I) = {x ∈ kⁿ | g(x) = 0, ∀g ∈ I}.

Remarque : x ∈ V (I) ⇔ f1(x) = f2(x) = · · · = fs(x) = 0.

Soit E ⊂ kⁿ un sous-ensemble, on note

I(E) = {f ∈ k[X₁, . . . , X_n] | f (x) = 0, ∀x ∈ E}.

Proposition 5.5.1 I(E) est un id´eal de k[X₁, . . . , X_n].

Preuve : Soient f, g ∈ I(E), alors f (x) = g(x) = 0, ∀x ∈ E, d’o`u (f g)(x) = 0 et (hf )(x) = 0 pour tout h ∈ k[X₁, . . . , X_n].

Théorème 5.5.1 (forme forte du théorème des zéros) Soit I un idéal de k[X1, . . . , Xn]. Alors I(V (I)) =

√

I = \

I⊂p premier

p = {g ∈ k[X1, . . . , Xn] | ∃` t.q. g^`∈ I}.

Preuve : On a clairement l’inclusion √

I ⊂ I(V (I)) puisque g ∈ √

I ⇒ ∃s tq. g^s ∈ I et g^s(x) = 0 ⇒ g(x) = 0 (l’anneau de polynˆomes est int`egre).

Etudions l’inclusion inverse. On veut montrer que g ∈ I(V (I)) ⇒ g ∈√

I. Soit f₁, . . . , f_` un système de générateurs de I. Considérons l’anneau k[X₁, . . . , X_n, X_n+1] et J l’idéal engendré par I et 1 − X_n+1g, ie. J = (f₁, . . . , f_`, 1 − X_n+1g).

Il y a alors 2 possibilit´es :

(1) J ⊂ m id´eal maximal de k[X1, . . . , Xn+1] (2) J = k[X₁, . . . , X_n+1].

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5.6. TOPOLOGIE SUR K^N 57 Montrons que (1) est impossible. D’après le Nullstellensatz, on sait que m peut s’écrire m = (X1− a₁, . . . , Xn− a_n, Xn+1− a_n+1). De l’inclusion J ⊂ m, on déduit alors que fi(a1, . . . , an) = 0 ∀i = 1, . . . , ` et 1 − an+1g(a1, . . . , an) = 0. Or, puisque g ∈ I(V (I)), g(a1, . . . , an) = 0, on en déduit donc 1 = 0, ce qui est absurde.

Nous nous trouvons donc dans le cas (2). On peut donc ´ecrire

(∗) 1 =

`

X

i=1

h_i(X₁, . . . , X_n+1)f_i(X₁, . . . , X_n) + h(X₁, . . . , X_n+1)(1 − X_n+1g(X₁, . . . , X_n)).

Soit alors l’homomorphisme d’anneaux k[X₁, . . . , X_n] → k(X₁, . . . , X_n+1) d´efini par X_i 7→

Xi pour tout i = 1, . . . , n et Xn+17→ 1/g.

Alors (*) devient, dans l’image, 1 = P`

i=1h_i(X₁, . . . , X_n, 1/g)f_i+ 0, autrement dit, en multipliant par une puissance suffisante de g, g^s =P`

i=1h⁰_i(X1, . . . , Xn)fi ∈ I.

Définition 5.5.2 Soit E un ensemble algébrique fermé de kⁿ, l’anneau k[X₁, . . . , X_n]/I(E) est appelé l’anneau de l’ensemble algébrique fermé E, on le note généralement A(E).

Exemples : k, kⁿ, un nombre fini de points dans kⁿ, la parbole y = x², la cubique “à cusp” y²= x³, etc ... sont des ensembles algébriques. Lorsque k est infini, alors k et kⁿ sont irréductibles, le sous-ensemble de k², V (XY ) n’est pas irréductible.

Remarque : Le théorème des zéros signifie qu’il y a une bijection, renversant les inclusions, entre les ensembles algébriques fermés et les idéaux de k[X₁, . . . , X_n] égaux à leur racine.

En effet, si J est un id´eal de k[X1, . . . , Xn] de la forme J = I(E), alors pI(E) = {f ∈ k[X1, . . . , Xn]; ∃s tq.f^s(x1, . . . , xn) = 0, ∀(x1, . . . , xn) ∈ E}, ce qui co¨ıncide avec {f ∈ k[X1, . . . , X_n]; f (x₁, . . . , x_n) = 0, ∀(x₁, . . . , x_n) ∈ E} = I(E) = J . Inversement, si J = √

J , comme

√

J = I(V (J ), J est bien l’idéal de l’ensemble algébrique fermé V (J ).

5.6 Topologie sur k

ⁿ

Proposition 5.6.1 Etant donnés des idéaux de k[X1, . . . , Xn], les faits suivants sont vérifiés : 1. J ⊂ J⁰⇒ V (J⁰) ⊂ V (J ) ⇒√

J ⊂√ J⁰ 2. T

i∈IV (Ji) = V (P

i∈IJi) 3. V (Tn

i=1Ji) =Sn

i=1V (Ji).

Preuve : Les preuves sont imm´ediates. En ce qui concerne le premier point, V (J⁰) est l’ensemble des x ∈ kⁿ tels que g(x) = 0, pour tout g ∈ J⁰; or J ´etant inclus dans J⁰, a fortiori, g(x) = 0, pour tout x ∈ J , donc x ∈ V (J ). D’autre part, f ∈ I(V (J )) si f (x) = 0 pour tout x ∈ V (J ), donc, a fortiori, f (x) = 0 pour tout x ∈ V (J⁰) ⊂ V (J ), donc f ∈ I(V (J⁰)).

Pour le deuxi`eme point, soit x ∈ ∩i∈IV (Ji), alors x ∈ V (Ji), pour tout i, donc f (x) = 0 ∀f ∈ Ji, d’o`u pour tout f ∈P

iJi. L’inclusion inverse est imm´ediate puisque Ji ⊂P

iJi. Enfin, il suffit de montrer cette égalité pour deux idéaux, le résultat général s’en déduit par récurrence. Montrons donc que V (J1∩ J₂) = V (J1) ∪ V (J2). L’inclusion V (J1) ∪ V (J2) ⊂ V (J₁ ∩ J₂) résulte immédiatement de J₁, J₂ ⊂ J₁∪ J₂ et de 1. Pour la réciproque, supposons qu’il existe x ∈ V (J1 ∩ J₂) qui n’appartienne pas à la réunion V (J1) ∪ V (J2). Alors, il existe f1∈ J₁, f2 ∈ J₂ tels que f1(x) 6= 0, f2(x) 6= 0, d’où f1f2(x) 6= 0. Mais le produit f1f2∈ J₁∩ J₂; ce qui est contradictoire. Notons au passage que nous avons aussi montré que V (J₁ ∩ J₂) = V (J₁J₂) = V (J₁) ∪ V (J₂).

Conséquence : les ensembles algébriques fermés de kⁿforment les fermés d’une topologie appelée topologie de Zariski.

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Un ouvert de kⁿ pour la tolpologie de Zariski est donc le complémentaire d’un ensemble algébrique fermé. L’ensemble kⁿ muni de cette topologie est appelé espace affine.

Exemple : si n = 1, les ensembles algébriques sont constitués d’un nombre fini de points (l’espace des zéros d’un nombre fini de polynômes ; en réalité, puisque k[X] est principal, il suffit d’un polynôme) ; les ouverts sont donc constitués de toute la “droite” affine privée d’un nombre fini de points ; ce sont des ensembles denses dans k.

Définition 5.6.1 Un sous-ensemble non vide Y d’un espace topologique X est dit irréductible s’il n’existe pas Y₁, Y₂, deux sous-ensembles stricts, fermés dans Y , tels que Y = Y₁∪ Y₂. Exemple : k est irréductible car ses seuls fermés sont des nombres finis de points, donc toute réunion de deux tels sous-ensemble est finie, or k étant algébriquement clos est infini.

Cette d´efinition se traduit en ce qui concerne les ensembles alg´ebriques par :

Définition 5.6.2 Un sous-ensemble algébrique fermé E de kⁿ est irréductible s’il n’est pas la réunion de deux sous-ensembles algébriques stricts de E. On appelle “variété algébrique affine”

un ensemble algébrique fermé irréductible d’un kⁿ, muni de la topologie induite.

Théorème 5.6.1 Un sous-ensemble algébrique E de kⁿ est irréductible ssi l’idéal I(E) est premier. De plus, tout sous-ensemble algébrique est la réunion finie d’ensembles irréductibles.

Il nous faut tout d’abord un

Lemme 5.6.1 Soit A un anneau noethérien, alors tout idéal de A qui est intersection d’idéaux premiers est intersection finie d’idéaux premiers.

Preuve : Supposons que le résultat soit faux et considérons J maximal parmi les idéaux intersection d’idéaux premiers qui ne sont pas intersection finie. Alors, bien sûr, J n’est pas premier, donc, il existe α∈/J, β∈/J tels αβ ∈ J . Alors, si J = ∩t∈Tp_t, αβ ∈ pt pour tout t ∈ T .

Soit alors T⁰ = {t ∈ T ; α ∈ p_t} et T⁰⁰ = {t ∈ T ; β ∈ p_t}. On a T = T⁰ ∪ T⁰⁰. Soient J⁰ = ∩t∈T⁰p_tet J⁰⁰ = ∩t∈T⁰⁰p_t. Alors J = J⁰∩ J⁰⁰. Or J ⊂ J⁰, J 6= J⁰ et J ⊂ J⁰⁰, J 6= J⁰⁰, puisque α ∈ J⁰ et α∈/ ∈ J et β ∈ J⁰, β∈/J . Ce qui implique, par la propriété de maximalité de J , que J⁰ et J⁰⁰ sont tous deux intersection finie d’idéaux premiers, et par voie de conséquence, J aussi, ce qui est impossible.

Preuve du théorème : d’après le lemme précédent, il suffit de prouver que l’équivalence de E irréductible et I(E) premier. Supposons I(E) premier et E non irréductible, alors E = E⁰∪ E⁰⁰, E⁰, E⁰⁰⊂ E strictement, d’où I(E) ⊂ I(E⁰), I(E) ⊂ I(E⁰⁰) strictement aussi.

Mais, de E = E⁰∪ E⁰⁰, on d´eduit imm´ediatement, par la proposition ci-dessus, que I(E) = I(E⁰) ∩ I(E⁰⁰), donc I(E) n’est pas premier. En effet, si α ∈ I(E⁰), ∈/I(E), β ∈ I(E⁰⁰), ∈/I(E), alors αβ ∈ I(E⁰) ∩ I(E⁰⁰) = I(E).

Réciproquement, supposons que I(E) n’est pas premier, alors I(E) =pI(E) est l’intersection des idéaux premiers qui contiennent I(E), d’où est intersection finie de tels idéaux. Ecrivons, I(E) = ∩^`_i=1p_i, ` ≥ 2, où l’on suppose ` minimal. Alors, d’après la porposition ci-dessus, E =

∪V (p_i). Mais, si E⁰ = V (∩_i6=jp_i) et E⁰⁰ = V (p_i), on a E = E⁰ ∪ E⁰⁰, alors que E 6= E⁰, E⁰⁰, par minimalit´e de `. Donc, E n’est pas irr´eductible.

Définition 5.6.3 Un espace topologique X est dit noethérien s’il satisfait à la condition de chaˆıne descendante pour les fermés, c’est-à-dire : toute suite décroissante Y1 ⊇ Y₂ ⊇ . . . de fermés est stationnaire ie. il existe un entier r tel que Y_r= Y_r+1 = . . ..

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5.7. VARI ÉT ÉS PROJECTIVES 59 Exemple : kⁿest un espace topologique noethérien, car si Y₁ ⊇ Y₂⊇ . . . est une suite décroissante defermés, il lui correspond une suite croissante d’idéaux I(Y1) ⊆ I(Y2) ⊆ . . . de k[X1, . . . , Xn] qui stationne puisque k[X1, . . . , Xn] est un anneau noethérien.

On peut démontrer (en TD), d’une manière assez voisine du théorème ci-dessus, un résultat analogue sur les espaces topologiques :

Proposition 5.6.2 Dans un espace topologique noethérien X, tout sous-ensemble fermé non vide Y peut s’exprimer comme réunion finie Y = Y₁∪ Y₂∪ · · · ∪ Y_r de fermés irréductibles. Si on suppose de plus que Yj⊂/Yi si i 6= j, alors les Yi sont uniques. On les appelle “composantes irréductibles de Y ”.

On retrouve ainsi le résultat précédent comme corollaire, avec en plus l’unicité.

Définition 5.6.4 La dimension d’un espace topologique X est le plus grand entier n tel qu’il existe une chaˆıne Z₀ ⊂ Z₁ ⊂ · · · ⊂ Z_n d’ensembles fermés irréductibles distincts de X. La dimension d’une variété affine sera sa dimension en tant qu’espace topologique.

Définition 5.6.5 Dans un anneau A, la hauteur d’un idéal premier p est le plus grand entier n tel qu’il existe une chaˆıne d’idéaux premiers distincts p0 ⊂ p₁ ⊂ · · · ⊂ p_n. La dimension (de Krull) d’un anneau A est la borne supérieure des hauteurs de tous ses idéaux premiers.

Exemple : On peut montrer que la dimension de k[X1, . . . , Xn] est n (voir Serre, Matsumura, Atiyah-McDonald, etc...).

5.7 Vari´ et´ es projectives

Soit toujours k un corps algébriquement clos. On définit Pⁿ_k comme l’ensemble des classes d’équivalences de n + 1-uplets (a0, . . . , an) pour la relation (a0, . . . , an) ∼= (λa0, . . . , λan), pour tout λ ∈ k, λ 6= 0. Un point P de Pⁿ_k est donc représenté par un n + 1-uplet (a₀, . . . , a_n), qui est un système de coordonnées homogènes de P .

Soit S = k[X0, . . . , Xn] ; c’est un anneau gradué par le degré total. Si f est un polynôme homogène de degré d, alors f (λa0, . . . , λan) = λ^df (a0, . . . , an), pour tout λ ∈ k, λ 6= 0. On peut donc considérer les sous-ensembles de Pⁿ_k de la forme Z(f ) = {P ∈ Pⁿ_k; f (P ) = 0}, et, plus généralement, Z(T ) = {P ∈ Pⁿ_k; f (P ) = 0 ∀f ∈ T } où T est un ensemble de polynômes homogènes. En particulier, si I est un idéal homogène, il peut être engendré par des polynômes homogènes (en nombre fini) f₁, . . . , f_s et on peut définir Z(I) = {P ∈ Pⁿ_k; f_i(P ) = 0, i = 1, . . . , s}.

Définition 5.7.1 Un sous-ensemble Y ⊂ Pⁿ_k est un ensemble algébrique s’il existe un ensemble de polynômes homogènes T tel que Y = Z(T ).

On a des résultats analogues à ceux de la section précédente qui permettent de faire des ensembles algébriques des fermés d’une topologie appellée topologie de Zariski de Pⁿ_k.

Définition 5.7.2 Une variété algébrique projective est un ensemble algébrique irréductible d’un Pⁿ_k muni de la topologie induite par la topologie de Zariski.

Si Y ⊂ Pⁿ_k est un sous-ensemble, l’idéal homogène associé à Y est {f ∈ S; f est homogène et f (P ) = 0 ∀P ∈ Y } et si Y est un ensemble algébrique, on définit l’anneau des coordonnées homogènes de Y comme S(Y ) = S/I(Y ).

Remarque : On peut recouvrir Pⁿ_k par n ouverts affines et, par suite, toute variété algébrique de Pⁿ_k peut être recouverte par des variétés affines.

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5.8 Morphismes

Définition 5.8.1 Soient V ⊂ kⁿ et W ⊂ k^m deux variétés algébriques affines et φ : V → W une application pouvant être écrite φ = (φ₁, . . . , φ_n) où φ_i : V → k. On dit que φ est régulière (ou un morphisme) si les φ_i sont polynomiales.

Proposition 5.8.1 Soit φ : V → W un morphisme. Alors ˜φ : A(W ) → A(V ) d´efinie par φ(f ) = f ◦ φ est un homomorphisme de k-alg`˜ ebres.

La preuve en est imm´ediate.

Pour effectuer le calcul de ˜φ, on peut procéder de la manière suivante. On a A(W ) = k[Y1, . . . , Ym]/I(W ) et A(V ) = k[X1, . . . , Xn]/I(V ). Notons ηi : W ⊂ k^m la i-ème fonction coordonnée W → k. Alors ˜φ(η_i) = φ_i. Or les φ_i sont des restrictions à V de polynômes P_i(X₁, . . . , X_n), alors ˜φ est défini par

φ :˜ k[Y1, . . . , Ym]/I(W ) → k[X₁, . . . , Xn]/I(V )

Y_i 7→ P_i .

De plus, si φ(x) = y, on vérifie aussitôt que ˜φ⁻¹(mx) = my où mx= {f ∈ A(V )|f (x) = 0}

(= I({x})) est un id´eal maximal de k[X1, . . . , Xn] (et de mˆeme en y).

Proposition 5.8.2 L’application Hom(V, W ) → Hom_k(A(W ), A(V )) donn´ee par φ 7→ ˜φ est bijective.

Preuve : Cette application est injective. Si φ, ψ : V → W sont deux applications r´eguli`eres telles que ˜φ = ˜ψ, alors, comme on le voit sur leurs composantes, φ = ψ (en effet : φ_i = ˜φ(η_i) = ˜ψ(η_i) = ψ_i).

Pour la surjectivité, soit θ : A(W ) → A(V ) un homomorphisme de k-algèbres. Posons φi= θ(y_i) ∈ A(V ). Soit F (Y₁, . . . , Y_m) ∈ I(W ) et x ∈ V , alors F (φ(x)) = F (θ(y₁), . . . , θ(y_m))(x) = θ(F (y₁, . . . , y_m)). Or F (y₁, . . . , y_m) est l’image dans le quotient A(W ) du polynôme F (Y₁, . . . , Y_m).

Or cet élément est nul, donc φ est à valeurs dans W et θ = ˜φ.

Théorème 5.8.1 Supposons k algébriquement clos. Il y a une équivalence de catégories entre la catégorie des k-algèbres de type fini réduites munis des homomorphismes de k-algèbres et la catégorie des ensembles algébriques affines munis des applications régulières.

Preuve : Une k-algèbre A de type fini est isomorphe à k[X1, . . . , Xn]/I et comme A est réduite, I =√

I. Si V = V (I), on a alors I(V ) =√

I = I par le nullstellensatz, et donc A(V ) ∼= A.

D´efinition 5.8.2 Soit φ : V → W un morphisme. Alors φ est un isomorphisme ssi φ est bijectif et φ⁻¹ est un morphisme.

Corollaire 5.8.1 Soit φ : V → W un morphisme. Alors φ est un isomorphisme ssi ˜φ est un isomorphisme de k-alg`ebres ; ce qu’on peut ´ecrire V ∼= W ssi A(V ) ∼= A(W ).

Exemples : 1. La parabole P = V (Y − X²) est isomorphe à une droite. L’application V → D définie par (x, x²) 7→ x est un morphisme dont l’inverse est x 7→ (x, x²). Mais, on a aussi A(V ) = k[X, Y ]/(Y − X²) ∼= k[T ] = A(D) où X 7→ T, Y 7→ T².

2. Au contraire, la cubique C = V (Y² − X³) n’est pas isomorphe `a une droite ; en effet A(C) = k[X, Y ]/(Y²− X³) ∼= k[T, T²] ⊂ k[T ] et n’est donc pas isomorphe `a un k[Z].

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Bibliographie

[1] S. LANG, Alg`ebre, Addison-Wesley.

[2] M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Publishing.

[3] R. GODEMENT, Cours d’Alg`ebre, Herrmann

[4] H. MATSUMURA, Commutative Algebra, Benjamin.

[5] N. BOURBAKI, Alg`ebre

[6] S. MAC LANE, G. BIRKHOFF, Algèbre 2, les Grands Théorèmes, Gauthier-Villars.

[7] J.P. SERRE, Repr´esentation lin´eaire des groupes finis.

[8] FULTON, HARRIS, Representations, Springer.

[9] O. ZARISKI, P. SAMUEL, Commutative Algebra, Van Nostrand.

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Table des mati` eres

5 Introduction à la géométrie algébrique 51

5.1 Alg`ebre de polynˆomes . . . 51

5.2 Notion d’int´egralit´e. . . 52

5.3 Le lemme de normalisation . . . 54

5.4 Théorème des zéros de Hilbert . . . 55

5.5 Notion d’ensemble alg´ebrique . . . 56

5.6 Topologie sur kⁿ . . . 57

5.7 Vari´et´es projectives. . . 59

5.8 Morphismes . . . 60

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