FORMES D'ÉQUILIBRE DES DISLOCATIONS HÉLICOÏDALES

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FORMES D’ÉQUILIBRE DES DISLOCATIONS

HÉLICOÏDALES

J. Grilhé

To cite this version:

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, supplément au no 7-8, Tome 27, juillet-août 1966, page C 3-183

FORMES D'ÉQUILIBRE DES DISLOCATIONS HÉLICOÏDALES

J. GRILHÉ

Centre dYEtudes Nucléaires de Fontenay-aux-Roses, France

Résumé.

-

L e calcul de l'énergie des dislocations hélicoïdales permet de déterminer leur pas d'équilibre quand la dislocation peut glisser sur son cylindre. Quand les forces exercées aux extré- mités sont nulles le rapport du pas sur le diamètre doit être égal à 1,5. Quand des forces sont appli- quées aux extrémités l'hélice se comporte comme un ressort de coefficient élastique égal à ~ b 2 . Les résultats sont appliqués dans le cas où les forces sont dues aux dislocations prolongeant l'hélice.

Abstract. - The computation of the energy of a helicoïdal dislocation allows its equilibrium pitch for glide motion to be determined. When the forces applied to its ends are zero, its pitch divided by its diameter must be equal to 1.5. When forces are applied to its ends, the helix behaves like a spring whose elastic coefficient is pb2. The results are discussed when the forces are originated by dislocations extending the helix.

1. Introduction. - Les différentes méthodes d'obser- vation directe des cristaux [l, 2, 3, 4, 121 ont mis en évidence l'existence des dislocations hélicoïdales. L'axe des hélices de diamètre 2 a et de pas 2 np, est toujours parallèle au vecteur de Burgers b.

La présence de telles dislocations dans les cristaux pose le problème de leur formation et de leur équilibre Plusieurs auteurs ont montré que ces hélices se for- maient par précipitation de défauts ponctuels sur les dislocations à caractère vis. Pour un nombre de défauts absorbés donné, les hélices les plus stables sont celles possédant le plus petit nombres de spires. On peut donc en déduire que dès le début de leur formation les hélices doivent avoir leur nombre de spires maxi- mum. Le problème de la nucléation des spires le long des dislocations vis est analogue au problème de la nucléation des boucles de trempes dans un métaltrempé. Le diamètre 2 a dépend du nombre de spires de l'hélice et du nombre N de défauts ponctuels absorbés, on a en effet la relation :

Quand les défauts ponctuels ne peuvent plus diffuser

à travers le cristal la dislocation ne peut plus montrer et le diamètre reste constant. La dislocation peut cependant glisser parallèlement à son vecteur de Burgers sur son cylindre. Son pas 2 np et sa longueur L = 2 nnp peuvent alors varier et prendre une valeur minimisant son énergie.

De Wit [6,7], en utilisant la théorie de Kroener, [8]

a calculé l'énergie d'une hélice dans les cas extrêmes p

<

a et p 9 a. Ses résultats montrent l'existence d'au

moins un minimum de l'énergie. La raison physique est la suivante :

-

quand on augmente le pas de l'hélice, la longueur, et par conséquent l'énergie de chaque spire augmente rapidement.

-

par contre quand le pas devient très petit l'énergie de répulsion entre spires successives devient très importante.

Le calcul de l'énergie d'une hélice pour toutes les valeurs possibles du pas et du diamètre va nous per- mettre de déterminer le pas 2 np d'équilibre quand la dislocation peut glisser sur son cylindre de glissement. 2. Calcul de l'énergie d'une dislocation hélicoïdale. 2 . 1 FQRMULE GÉNÉRALE. - NOUS considérons une hélice de n spires de diamètre 2 a et de pas 2 np située dans un cristal de grandes dimensions par rapport à

celles de l'hélice. Nous négligeons pour le moment les interactions de cette hélice avec les dislocations qui la continuent nécessairement à ses extrémités, ainsi qu'avec les autres dislocations possibles du cristal. Nous analyserons plus loin, par des considérations grossières de tension de ligne, le rôle possible des dislocations aux extrémités de l'hélice.

La tension de ligne T d'une hélice est pratiquement constante sauf au voisinage immédiat de ses extrémi- tés [9]. Son énergie se met donc sous la forme :

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où r est la tension de ligne de la partie centrale de l'hélice. Pour calculer cette tension de ligne, nous utilisons une méthode indiquée par Kroner [8] : l'énergie z(r, cp, z) dl est égale à la moitié de l'énergie d'intéraction de l'élément de dislocation dl avec la dislocation elle-même. L'élasticité linéaire ne permet pas de calculer l'énergie d'intéraction entre deux éléments dl et dl' quand la distance R entre ces deux éléments est inférieure à ro/2, r, étant le rayon du cœur de la dislocation. On néglige ces intéractions,

ce qui revient à négliger l'énergie de cœur.

En utilisant cette méthode, I'énergie d'une hélice de n spires, de diamètre 2 a, de pas 2 np et d'axe parallèle au vecteur de Burgers b, est donnée par la formule suivante :

P avec c = -

a

R =

Jc2

q2

+

2(1

-

cos 9 )

p et v sont le module de cisaillement et le coefficient de Poisson du cristal.

Les coordonnées d'un point de l'hélice sont données par :

y = a sin q

I

1 1 I I I I 1

0,200 0,300 4400 0,450 0,500 4600 0,700 p / a

FIG. 1. - Energie d'une hélice particulière Ho (ao = 1 000 ro, ro = 10) en fonction de c = pla.

ce qui correspond à une énergie par unité de longueur égale à :

soit à l'équilibre, z = 1,l yb2

2 . 3 CAS GÉNÉRAL.

-

On suppose que les hélices étudiées ont une longueur grande devant leur diamètre, et un diamètre grand devant le rayon de cœur r,, soit :

L = n.271pS 2 a

2.2 CAS PARTICULIER.

-

En utilisant une calcula-

D'autre part, nous connaissons l'énergie W,(c) d'une trice électronique, nous avons calculé [9, 101 l'énergie

hélice particulière Ho de no spires (no = 10) et de d'une hélice de rayon a = 1000 r,. La courbe de la

diamètre : 2 a,(a, = 1000 r,). On peut alors calculer figure 1 donne cette énergie en fonction de pla = c.

I'énergie d'une hélice quelconque en coupant l'inté- Elle présente un minimum pour plu = 0,45 0,01, ce

grale (1) donnant W en trois parties :

qui correspond à un rapport d'équilibre du pas sur le - -

diamètre égal à 2 zp/2 a E 1'4. Au voisinage de cette

W(a, n, = rl a p b 2 position d'équilibre, on peut remplacer la courbe

obtenue par une parabole. L'énergie est alors donnée par :

La seconde intégrale est égale, à un coefficient près,

(4)

FORMES D'ÉQUILIBRE DES DISLOCATIONS HÉLICO~DALES C 3

-

185

Pour calculer la première et la troisième intégrale, on utilise les développements de f (c,cp) en fonction de y, et llccp. Dans la première, cp varie entre ro/2 a J1

+

c2 et ro/2 a, J1

+

c2. La condition 2 a @ r, impose à y,

d'être toujours très inférieur à 1. On peut alors remplacer f (c, cp) par les premiers termes de son dévelop- pement en fonction de cp.

Dans la troisième intégrale cp varie entre no n et un. La condition n. 2 np 9 2 a entraîne llccp -g 1. On utilise alors le développement de f (c, cp) en fonction de llccp. Après intégration on obtient :

1 c 2 + l - v

+

---- _log

_a]

_.

₍₂₎

2(1-v)

z/l+cZ

a0

On peut prendre comme hélice particulière Ho, l'hélice de 10 spires (r, = 10) et de rayon a, = 1000 r,. L'énergie W du cas général est ainsi aisément calculée en fonction des paramètres de l'hélice. On obtient en particulier une forme analytique de l'énergie au voisinage de plu = c = 0,45 :

3. Forme d'équilibre de l'hélice.

Connaissant l'énergie de l'hélice, nous pouvons calculer le pas d'équilibre et sa stabilité, quand l'hélice peut glisser sur son cylindre. Nous considérons succes- sivement deux cas, suivant la valeur des forces exercées sur les extrémités.

3.1 CAS où LES FORCES EXERCÉES SUR LES EXTRÉMI- TES SONT NULLES.

-

Les hypothèses sont les sui-

vantes :

Le nombre de spires et le diamètre de l'hélice res- tent constants. L'hélice peut glisser sur son cylindre et les extrémités peuvent se déplacer librement parallèle- ment à Oz. On suppose de plus que ces déplacements n'entraînent pas de variations d'énergie des autres dislocations du cristal, c'est-à-dire que la force exercée par ces dislocations sur les points d'ancrage n'a pas de composante parallèle, à Oz ; c'est par exemple le cas représenté par la figure 2.

L'équilibre de la dislocation est donné par :

W étant donné par la formule (2) soit :

FIG. 2. - Force exercée par une dislocation coin. c(c2

+

1

+

V)

L'expression

( c ~

+

1)3/2 étant inférieure à I quel que soit c, on peut facilement déterminer c dans chaque cas par une méthode d'itération.

On a alors :

271pxc.

2 a

Ce rapport d'équilibre ne dépend de a et de n que logarithmiquement ; ses variations sont donc faibles tant que l'on considère des hélices de tailles raisonna- bles et l'approximation faite en développant Wo au voisinage de c = 0,45 est justifiée. Ainsi c varie de moins de 1 % quand n ou a varient du simple au double par rapport aux valeurs n = 10 et a = 1000 r, prises pour calculer W,.

(5)

Comme l'équilibre se fait toujours pour c

=

0'45, le second terme, de l'ordre de 0,7 log a/a, est négligea- ble devant le premier, égal à 14,8 d'après l'équation (3). 3.2 CAS où LES EXTRÉMITÉS DE L'HÉLICE SONT SOUMISES A UNE FORCE EXTÉRIEURE.

-

Les extrémités de l'hélice peuvent être ancrées à des précipités ; le déplacement des extrémités peut aussi entraîner une variation d'énergie des autres dislocations du cristal (Fig. 3, 4, 5).

par rapport à la longueur L d'équilibre sous force nulle est proportionnelle à la force :

FJG. 5.

-

Force exercée par une dislocation vis en compression.

I

FIG. 3. - Force exercée par une dislocation (cas général). En négligeant toujours le second terme de l'expression (4) on obtient :

soit en prenant : c E 0,45 :

L'hélice se comporte, sous de faibles forces, comme un ressort de coefficient élastique indépendant du nombre de spires et variant très peu avec le diamètre. Pour a voisin de 1000 r,, ce coefficient élastique est égal à 1,l pb2.

Pour des forces F' grandes [(F) > pb2/5] cette approximation élastique n'est plus valable. La figure (1) montre que l'hélice a des termes anharmoniques importants qui la rendent plus dure sous fortes com- pressions et plus molle sous forte dilatation. Le dévelop- pement de Wit montre cependant que la pente d W/ac FIG. 4. - Force exercée par une dislocation vis en traction.

tend vers l'infini aux grandes valeurs du pas et que la

_-

courbure d2 W/ac2 reste positive dans cette région. Il y a donc une position d'équilibre possible, en traction

SOUS une force appliquée F, le pas d'équilibre est _{comme en compression, pour toute valeur donnée de}

donné par : _{la force. Le signe de la courbure montre que cette}

(6)

FORMES D'ÉQUILIBRE DES DISLOCATIONS HÉLICOÏDALES

c

3

-

187 4. Influence des dislocations aux extrémités.

-

Les forces exercées sur les extrémités peuvent être dues à des dislocations faisant un angle 8 avec l'axe de l'hélice (Fig. 3). La force exercée par la dislocation le long de l'axe de l'hélice sera alors :

F =

-

apb2 cos 8

si apb2 est la tension de ligne de la dislocation (a

=

112). Il n'y aura alors équilibre possible que si les angles 8 aux deux extrémités sont égaux, ou si l'une des extrémités est bloquée par un précipité. 1) Si 8 = n/2 (Fig. 2) la dislocation exerce une force F nuiie. L'hélice prend le pas d'équilibre décrit au paragraphe 3.1.

2) Si 8 est voisin de n/2 la force F est faible. L'hélice s'allonge, d'après (6), de :

A L a

_- N -

_

cos 8 _{E -}1 cos 8

=

-

L 1,l 2

;(;

-

.

Cette approximation élastique n'est plus valable pour 8 voisin de O ou de n.

3) Si 8 est voisin de O, le pas devient très grand. En particulier, pour 8 = O, la dislocation vis à I'extré- mité est équivalente à une hélice de pas infini. D'après la remarque du paragraphe 3.2, elle se transforme, dans l'état le plus stable du système, en une hélice de pas égal (Fig. 4).

4) Si 8 est voisin de n (Fig. 5), on trouve le pas d'équilibre en résolvant l'équation (5) pour

On trouve un pas plus grand que celui de la solu- tion élastique :

5. Conclusion et comparaisons avec les résultats expérimentaux.

-

Le calcul des énergies des dislocations hélicoïdales nous a permis de déterminer leur pas d'équilibre en fonction des forces exercées aux extrémités.

Les photos de microscopie électronique ne permet- tent généralement pas de déterminer ces forces. Cepen- dant un certain nombre de configurations correspon- dant au cas 8

=

z (Fig. 5) ont été observées (Dash (12)). Le rapport 2 np/2 a est alors compris entre 0,5 et 1 ce qui est en bon accord avec la valeur calculée. Un grand nombre d'hélices ont un rapport 2np/2 a compris entre 1 et 2, ce qui laisse supposer que les forces s'exerçant sur les extrémités sont faibles. Enfin quelques hélices de pas grand devant le diamètre, ce qui correspond au cas 8 = 0, ont été aussi observées (Thomas et Whelan 131).

Remerciement. -Je suis heureux de remercier ici, Monsieur le professeur J. Friedel, qui m'a proposé ce problème et m'a constamment guidé au cours de ce travail.

Bibliographie

[l] AMELINCKX (S.) et al, Phil. Mag., 1957, 2, 355. [2] DASH (W. C.), Report of Coperstow Conference on

Growth and perfection of crystals, New York, 1958.

[37 THOMAS (G.) et WHELAN (M. J.), Phil. Mag., 1959,4,

511.

[4] LANG(A. R.), J. Appl. Phys., 1959, 30, 1748. [5] WEERTMAN (J.), Phys. Rev., 1957, 107, 1259. [6] DE WIT (R.), Phys. Rev., 1959, 116, 592. [7] DE WIT (R.), Solid State Phys., 1960, 10,249. [8] KRONER (E.), Ergeb. angew. Math., 1958, 5 .

[9] GRILHÉ (J.), Acta met., 1964, 12, 1081. [IO] GRILHÉ (J.), Thèse, Paris, 1965.