Sur une forme générale de l'équation d'ondes

HAL Id: jpa-00233295

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233295

Submitted on 1 Jan 1935

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur une forme générale de l’équation d’ondes

R. Zaïcoff

To cite this version:

SUR UNE FORME

GÉNÉRALE

DE

_{L’ÉQUATION}

D’ONDES

Par R. ZAICOFF.

Sommaire. 2014 On décrit les champs d’ondes par une matrice fonctionnelle satisfaisant à une _équation d’ondes à cinq dimensions du _premier ordre, équivalente à un _{système d’équations} tensorielles. On obtient en _particulier la théorie de Dirac-Whittaker.

1. - Nous

par[irons

espace euclidien à

cinq

dimensions,

cylindrique

par

rapport

à ,xe. Les

coor-données

xi,

.1,2,

x’" sont

_réelles,

i’ est

_{imaginaire (1).}

Soient alors .Ar les

_composantes

d’une matrice arbi-traire. Nous posons : -.

Pour deux matrices arbitraires X’ eL ~’’’ nous avons

la relation :

Les a,

étant!

cinq

matrices à

quatre

lignes

satisfai-sant aux conditions :

Si nous formons la matrice :

nous aurons aussi :

Nous introduirons ensuite une matrice

complexe

varia ble 1> à

_{quatre lignes, qui par les}

transformations de Lorentz du

_{quintivecteur A}

_{(’) :}

se transforme de la

_façon

suivante :

la matrice li satisfaisant aux conditions

_{(?1) :}

-.

ient iIr un invariant à 5

_dimensions;

’,, un

quin-tivecteu r ;

W). :),’1

un tenseur à 5

_dimensions,

_symétrique

gauche

par

rapport

à tous ces indices. Le nombre to-tal des

_composantes

de 4~ ; T,

est

de

_{16, égal}

à celui des éléments de la matrice $, _{Nous posons :}

(1) Les indices grecs parcourent les valeurs de i à 5, les latins - de _{1 à 4.}

(~) La rotation infinitésimale _{quintidimensionnelle :}

.rG =

w"~. := 2013 _{WG’J ; (6’)}

est aussi

admissible.

(3)

Nous avons aussi :

17 1 1.’

d’où l’on déduit inversement :

§

2.

_{L’équation}

d’ondes de M. L. de

_Broglie

_{C) :}

n’étant _{pas covariante par}

_rapport

à

₍₆₎

et

_(6’)

nous in-troduirons

_{l’équation}

d’ondes dimensions

_{(2) :}

-.

où nous a,vons

_{posé :}

On déduit de

_(2),

_(3),

_(4),

_{(9), (1~),}

les

_équations

ii 5 dimensions

_{(") :}

où l’on a introduit le tenseur

_symétrique

_gauche

par

rapport

à tous les indices

satisfaisant

aux coudi9

tions

1

’

suivant que la

permutation

impaire.

es[

_paire

ou

(1) L. DE BROCHE; C-R-, 19~4, T, 199, pp. 44.’~, 813, 1165.

(2) Covariante par rapport à ₍₆₎ et (6’). G’ et L"’ sont

constantes arlvitraires. Pour _{C’ == 1;} G" --- 0 ; on obtient t 1. A

équalions de Dirac, Voir R. _{ZAïcopp ;} Juurrial de 193 L T. 5, p. 431.

("~) Pour (,’ _-_ _{~l ; C" _~ 0,} t on obtient t les équations de

M. -BVliittaker.

Manuscrit le l.’