Models and estimation algorithms for nonparametric finite mixtures with conditionally independent multivariate component densities
Texte intégral
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(10) ▲✐"# ♦❢ ❋✐❣✉)❡" ✷✳✶. ❚❤❡ ❖❧❞ ❋❛✐,❤❢✉❧ ❞❛,❛/❡, ✐/ /✉❣❣❡/,✐✈❡ ♦❢ ❛ ,✇♦✲❝♦♠♣♦♥❡♥, ♠✐①,✉:❡ ♦❢ ●❛✉/✲ /✐❛♥ ❢✉♥❝,✐♦♥/✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳. ✷✳✷. ▼▼ ♣:✐♥❝✐♣❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶. ✸✳✶. ❇:❡❛/, ❈❛♥❝❡:✳. ✸✳✷. ❚❤❡ ♣❛✐:/ ♣❧♦, ♦❢ ,❤❡ ✜:/, ✶✵ ❢❡❛,✉:❡/✱ ❝♦❧♦:❡❞ ❜② ❞✐❛❣♥♦/,✐❝✳ ❚❤❡ ✺ ❝♦❧♦:❡❞ :❡❝,❛♥❣❧❡/ /❤♦✇ ❛ ❞❛,❛✲❞:✐✈❡♥ ♣♦//✐❜❧❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡/✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺. ✸✳✸. ❙I✉❛:❡ :♦♦,/ ♦❢ ▼■❙❊ ❢♦: ,❤❡ ❞❡♥/✐,✐❡/ fjℓ ♦❢ ✸ ❜❧♦❝❦/ ℓ = 1, 2, 3✱ ❢♦: ▼♦❞❡❧ ❆✱ n = 500 ❛♥❞ S = 300 :❡♣❧✐❝❛,✐♦♥/✱ ❛❞❛♣,✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤✳ ❚❤❡ ,✇♦ ❝♦❧♦:/ ❝♦::❡/♣♦♥❞ ,♦ ,❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥,/✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻. ✸✳✹. ❙I✉❛:❡ :♦♦,/ ♦❢ ▼■❙❊ ❢♦: ,❤❡ ❞❡♥/✐,✐❡/ ❛♥❞ /I✉❛:❡ :♦♦,/ ♦❢ ▼❙❊ ❢♦: ,❤❡ /❝❛❧❛: ♣❛:❛♠❡,❡: λ1 ✱ ❛♥❞ ♠❡❛♥/ ❛♥❞ ❝♦✈❛:✐❛♥❝❡/ ✭,❤❛, ❛:❡ ♥♦, ♣❛:❛♠❡,❡:/ ✐♥ ,❤❡ ♠♦❞❡❧✮✱ ❢♦: /❡✈❡:❛❧ ✈❛❧✉❡/ ♦❢ λ1 ✱ ❢♦: ▼♦❞❡❧ ❆✱ n = 500 ❛♥❞ S = 300 :❡♣❧✐❝❛,✐♦♥/✱ ❛❞❛♣,✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤ ❛♥❞ /❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤✳ ❚❤❡ ❣:❛② ❧✐♥❡ ,②♣❡/ ✐♥ ,❤❡ ❧❡❣❡♥❞ ❛:❡ ✐❞❡♥,✐❢②✐♥❣ ❞❡♥/✐,✐❡/ ❛♥❞ /❝❛❧❛: ❝:✐,❡:✐♦♥/✱ ,❤❛, ❛:❡ ♣❧♦,,❡❞ ❝♦❧♦:❡❞ ❜② ❝♦♠♣♦♥❡♥,✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾. ✸✳✺. ▼❛:❣✐♥❛❧ ❞❡♥/✐,② ❡/,✐♠❛,❡/ ❢♦: ❛ /❛♠♣❧❡ ♦❢ /✐③❡ n = 1000 ❢:♦♠ ▼♦❞❡❧ ❇✱ ✇❤❡:❡ ❝♦❧✉♠♥ l ❝♦::❡/♣♦♥❞/ ,♦ ,❤❡ ,✇♦ ♠❛:❣✐♥❛❧/ ♦❢ ,❤❡ l,❤ ❜✐✈❛:✐❛,❡ ❜❧♦❝❦✱ l = 1, 2, 3✳ ❊❛❝❤ ♣❧♦, /❤♦✇/ ,❤❡ ,:✉❡ ♠❛:❣✐♥❛❧/ ✭/♦❧✐❞ ❧✐♥❡/✮✱ ,❤❡ ♠✈♥♣❊▼ ✇✐,❤ ❛❞❛♣,✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤ ❡/,✐♠❛,❡/ ✭❞❛/❤❡❞ ❧✐♥❡/✮✱ ●❛✉//✐❛♥ ❊▼ ❡/,✐♠❛,❡/ ✭❞♦,,❡❞ ❧✐♥❡/✮✳ ❚❤❡ ✜♥❛❧ ✈❛❧✉❡/ ♦❢ ,❤❡ ❛❞❛♣,✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤/ ❛:❡ ❛❧/♦ ❣✐✈❡♥ ✉♥❞❡: ❡❛❝❤ ♣❧♦,✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵. ✸✳✻. ▲❡✈❡❧ ♣❧♦,/ ♦❢ ,❤❡ ❜✐✈❛:✐❛,❡ ♠✐①,✉:❡ ❞❡♥/✐,✐❡/ ♣❡: ❜❧♦❝❦✱ ❡/,✐♠❛,❡❞ ❜② ,❤❡ ♠✈♥♣❊▼ ✭/♦❧✐❞ ❧✐♥❡/✮ ❛♥❞ ❇❡♥❛❣❧✐❛ ❡, ❛❧✳ ❬✷✵✵✾❛❪ ✭❞❛/❤❡❞ ❧✐♥❡/✮✱ ❢♦: ▼♦❞❡❧ ❇✳ ❙❝❛,,❡:♣❧♦,/ ❛:❡ ❝♦❧♦:❡❞ ❜② ,❤❡✐: ,:✉❡ ❝❧✉/,❡: ♠❡♠❜❡:/❤✐♣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶. ✸✳✼. ❙I✉❛:❡ :♦♦,/ ♦❢ ▼■❙❊✬/ ❢♦: ,❤❡ ❞❡♥/✐,✐❡/ ❛/ ❛ ❢✉♥❝,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ /❛♠♣❧❡ /✐③❡ n✱ S = 300 :❡♣❧✐❝❛,✐♦♥/✱ ❢♦: ,❤❡ ,✇♦ ❛❧❣♦:✐,❤♠ /❡,,✐♥❣/ ❢♦: ▼♦❞❡❧ ❇ ✭,♦♣✮ ❛♥❞ ❢♦: ,❤❡ ❧❡// ♦✈❡:❧❛♣♣✐♥❣ ▼♦❞❡❧ ❇✷ ✭❜♦,,♦♠✮✿ ♠✈♥♣❊▼ ❛❞❛♣,✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤ ✭❧❡❢,✮✱ ♠✈♥♣❊▼ /❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞,❤ ✭♠✐❞❞❧❡✮ ❛♥❞ ●❛✉//✐❛♥ ❊▼ ✭:✐❣❤,✮✳ ▼■❙❊✬/ ❢♦: ❞❡♥/✐,✐❡/ ❛:❡ ♣❧♦,,❡❞ ✐♥ ❝✐:❝❧❡/ ❛♥❞ /♦❧✐❞ ❧✐♥❡/ ✭❜❧♦❝❦ ✶✮✱ ❞❛/❤❡❞ ❧✐♥❡/ ✭❜❧♦❝❦ ✷✮ ❛♥❞ ❞♦,✲❞❛/❤❡❞ ✭❜❧♦❝❦ ✸✮✳ ▼❙❊✬/ ❢♦: ,❤❡ ♣:♦♣♦:,✐♦♥ ❡/,✐♠❛,❡/ ❛:❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❞♦,,❡❞ ❧✐♥❡/✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷. ✽. ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹. ✈✐✐.
(11) ▲■❙❚ ❖❋ ❋■●❯❘❊❙ ✸✳✽ ▲❡✈❡❧ ♣❧♦23 ♦❢ 2❤❡ ❜✐✈❛9✐❛2❡ ♠✐①2✉9❡ ❞❡♥3✐2✐❡3 ♣❡9 ❜❧♦❝❦✱ ❡32✐♠❛2❡❞ ❜② 2❤❡ ♠✈♥♣❊▼ ✭3♦❧✐❞ ❧✐♥❡3✮ ❛♥❞ ❇❡♥❛❣❧✐❛ ❡2 ❛❧✳ ❬✷✵✵✾❛❪ ✭❞❛3❤❡❞ ❧✐♥❡3✮✱ ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ❈✱ n = 2000✳ ❙❝❛22❡9♣❧♦23 ❛9❡ ❝♦❧♦9❡❞ ❜② 2❤❡✐9 29✉❡ ❝❧✉32❡9 ♠❡♠❜❡93❤✐♣✳ ✳ ✳ ✻✹ ✸✳✾ P❛✐9 ♣❧♦23 ❢♦9 3❡❧❡❝2❡❞ ✏♠❡❛♥✑ ❢❡❛2✉9❡3 ❢9♦♠ 2❤❡ ❲❉❇❈ ❞❛2❛❜❛3❡❀ s1 = {1, 3, 4} ❢♦9 ❜❧♦❝❦ ✶ ✭❧❡❢2✮✱ ❛♥❞ s2 = {6, 7, 8} ❢♦9 ❜❧♦❝❦ ✷ ✭9✐❣❤2✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺ ✹✳✶ P❛✐93 ♣❧♦2 ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✹✳✷ ❚❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦9 ♦❢ 2❤❡ ❧♦❣❧✐❦ ❛♥❞ ♣3❡✉❞♦✲❧♦❣❧✐❦ 3❡Z✉❡♥❝❡ ❢♦9 ♠♦♥♦2♦♥② ♦❢ ❲❉❇❈ ❞❛2❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾ ✹✳✸ ❚❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦9 ♦❢ 2❤❡ ❧♦❣❧✐❦ ❛♥❞ ♣3❡✉❞♦✲❧♦❣❧✐❦ 3❡Z✉❡♥❝❡ ❢♦9 ♠♦♥♦2♦♥② ♦❢ ▼♦❞❡❧ ❆ ✭3❛♠♣❧❡ 3✐③❡ n = 200✮ ✉3✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼ ✭❧❡❢2✮ ❛♥❞ ♠✈♥♣▼❙▲✱ ngrid = 20✱ ✭9✐❣❤2✮ ✐♥ ✷ ❝❛3❡3✿ 3❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞2❤ ✭2♦♣✮✱ ❛❞❛♣2✐✈❡ ❜❛♥❞✇✐❞2❤ ✭❜♦22♦♠✮✳ ✽✶ ✹✳✹ ❙Z✉❛9❡ 9♦♦23 ♦❢ ▼■❙❊ ❢♦9 2❤❡ ❞❡♥3✐2✐❡3 ❛♥❞ 3Z✉❛9❡ 9♦♦23 ♦❢ ▼❙❊ ❢♦9 2❤❡ 3❝❛❧❛9 ♣❛9❛♠❡2❡9 λ1 ✱ ❛♥❞ ♦2❤❡9 3❝❛❧❛9 ♠❡❛3✉9❡3 2❤❛2 ❛9❡ ♥♦2 ♣❛9❛♠❡2❡93 ✐♥ 2❤❡ ♠♦❞❡❧ ✭♠❡❛♥3 ❛♥❞ ❝♦✈❛9✐❛♥❝❡3✮✱ ❛3 ❛ ❢✉♥❝2✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ ♣9♦♣♦92✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ ✜932 ❝♦♠♣♦♥❡♥2 λ1 ✱ ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ❆✱ n = 500 ❛♥❞ S = 300 9❡♣❧✐❝❛2✐♦♥3✱ 9❛♥❞♦♠ ✐♥✐2✐❛❧✐③❛2✐♦♥ ♦❢ ✷ ❛❧❣♦9✐2❤♠3✿ ♠✈♥♣▼❙▲ ✭♦♥ 2❤❡ ❧❡❢2✮ ❛♥❞ ♠✈♥♣❊▼ ✭♦♥ 2❤❡ 9✐❣❤2✮ ✐♥ 3❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞2❤ ❝❛3❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷ ✹✳✺ ❙Z✉❛9❡ 9♦♦23 ♦❢ ▼■❙❊✬3 ❢♦9 2❤❡ ❞❡♥3✐2✐❡3 ❛3 ❛ ❢✉♥❝2✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ 3❛♠♣❧❡ 3✐③❡ n✱ S = 300 9❡♣❧✐❝❛2✐♦♥3✱ ❢♦9 2❤❡ 2✇♦ ❛❧❣♦9✐2❤♠ 3❡22✐♥❣3✿ ♠✈♥♣▼❙▲ ✭❧❡❢2✮✱ ♠✈♥♣❊▼ ✭9✐❣❤2✮ ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ❇ ✐♥ 3❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞2❤ ❝❛3❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✺✳✶ ❚❤❡ ❤✐32♦❣9❛♠ ♦❢ p✲✈❛❧✉❡3 ✭2♦♣✮ ❛♥❞ 2❤❡ ❞❡♥3✐2✐❡3 ❡32✐♠❛2❡3 ♦❢ 2❤❡ ♣9♦❜✐2 29❛♥3❢♦9♠ ♦❢ p✲✈❛❧✉❡3 ✭❜♦22♦♠✮ ❣✐✈❡♥ ❜② 2❤❡ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ ❛❧❣♦9✐2❤♠✱ ♣❡9 ❝♦♦9❞✐♥❛2❡✱ ♦❢ ▼♦❞❡❧ ✷✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✽ ✺✳✷ ❊①❛♠♣❧❡ ❢9♦♠ ●❛✉33✐❛♥ ❞❛2❛✱ 3❡✈❡9❛❧ ❋❉❘ ♣❧♦23 ✐♥ ♦♥❡ ✜❣✉9❡✿ 29✉❡ ❋❉❘✱ ♠✈❋❉❘✱ ❡❛❝❤ ♦❢ r = 3 ✉♥✐✈❋❉❘ ❝♦♥29♦❧3 ✉3✐♥❣ ❢❞-.♦♦❧1✱ ❛3 ✇❡❧❧ 2❤❡ ✉♥✐✈❋❉❘ ❝♦♥29♦❧3 ❜❛3❡❞ ♦♥ 2❤❡ ♠❛①✴♠✐♥ ♦❢ 2❤❡ 9♦✇3 (pi1 , · · · , pir )❀ ▼♦❞❡❧ ✶ ✭❆✮ ❛♥❞ ▼♦❞❡❧ ✷ ✭❇✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✾ ✺✳✸ ❊①❛♠♣❧❡ ❢9♦♠ ●❛✉33✐❛♥ ❞❛2❛✱ 3❡✈❡9❛❧ ❋❉❘ ♣❧♦23 3❡♣❛9❛2❡❧②❀ 2♦♣❧❡❢2✿ ♠✈❋❉❘ ❛♥❞ 29✉❡ ❋❉❘✱ 2❤❡ ♦2❤❡9 2❤9❡❡ ♣❛♥❡❧3 ❝♦99❡3♣♦♥❞ 2♦ 2❤❡ k = 1, 2, 3 ❝♦♦9✲ ❞✐♥❛2❡3 ❢♦9 2❤❡ ♠✉❧2✐✈❛9✐❛2❡ p✲✈❛❧✉❡3✳ ■♥ ❡❛❝❤ ♣❧♦2✱ 2❤❡ ♦9❞❡9✐♥❣ ♦❢ 2❤❡ n ❝❛3❡3 ✐3 ❞✐✛❡9❡♥2❀ ▼♦❞❡❧ ✶ ✭❆✮ ❛♥❞ ▼♦❞❡❧ ✷ ✭❇✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✵ ✺✳✹ ❚❤❡ ❤✐32♦❣9❛♠ ♦❢ p✲✈❛❧✉❡3 ✭2♦♣✮ ❛♥❞ 2❤❡ ❞❡♥3✐2✐❡3 ❡32✐♠❛2❡3 ♦❢ 2❤❡ ♣9♦❜✐2 29❛♥3❢♦9♠ ♦❢ p✲✈❛❧✉❡3 ✭❜♦22♦♠✮ ❣✐✈❡♥ ❜② 2❤❡ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ ❛❧❣♦9✐2❤♠✱ ♣❡9 ❝♦♦9❞✐♥❛2❡✱ ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ✸✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✷ ✺✳✺ ❙❡✈❡9❛❧ ❋❉❘ ♣❧♦23 ✐♥ ♦♥❡ ✜❣✉9❡ ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ✸✳. ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸. ✺✳✻ ❙❡✈❡9❛❧ ❋❉❘ ♣❧♦23 3❡♣❛9❛2❡❧② ❢♦9 ▼♦❞❡❧ ✸❀ 2♦♣❧❡❢2✿ 29✉❡ ❋❉❘ ❛♥❞ ♠✈❋❉❘✱ 2❤❡ ♦2❤❡9 ❢♦✉9 ♣❛♥❡❧3 ❝♦99❡3♣♦♥❞ 2♦ 2❤❡ k = 1, 2, 3, 4 ❝♦♦9❞✐♥❛2❡3 ❢♦9 2❤❡ ♠✉❧2✐✈❛9✐❛2❡ p✲✈❛❧✉❡3✳ ■♥ ❡❛❝❤ ♣❧♦2✱ 2❤❡ ♦9❞❡9✐♥❣ ♦❢ 2❤❡ n ❝❛3❡3 ✐3 ❞✐✛❡9❡♥2✳ ✶✵✹. ✈✐✐✐.
(12) ▲■❙❚ ❖❋ ❋■●❯❘❊❙ ✺✳✼ ❙✉♠♠❛0✐③❡❞ 0❡5✉❧75 ❛5 ♣❡0❝❡♥7❛❣❡5 ♦❢ 0❡❥❡❝7✐♦♥ ❢♦0 ❡❛❝❤ ✉♥✐✈❛0✐❛7❡ ❋❉❘ ❝♦♥70♦❧✳ ❊❛❝❤ ❝♦❧♦0 ❧✐♥❡ ❤❡0❡ ✐5 ♦♥❧② 7♦ ❝♦♥♥❡❝7 ❛❧❧ 7❤❡ 70❡❛7♠❡♥75 ❢♦0 ❡❛❝❤ ♦❢ ✶✵ 5❝❛✛♦❧❞5✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✽ H❛✐0♣❧♦75 ♦❢ ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛✛♦❧❞ ✶✱ ✜057 ✺ 70❡❛7✲ ♠❡♥75✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✾ ❊①❛♠♣❧❡ ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛✛♦❧❞ ✶✱ r = 5 ✜057 ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ♦❢ p✲ ✈❛❧✉❡5 ✇✐7❤ ❜❧♦❝❦ ❞❡5✐❣♥ ✭✶✱ ✷✱ ✶✱ ✸✱ ✹✮✳ ❙♦❧✐❞ ❧✐♥❡✿ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ 5♦❧✉7✐♦♥✱ ❞❛5❤ ❧✐♥❡✿ ♠✈♥♣❊▼ 5♦❧✉7✐♦♥✳ ❋✐057 ✺ ♣❛♥❡❧5✿ ♠❛0❣✐♥❛❧ ♣❧♦75❀ ❜♦77♦♠✲0✐❣❤7 ♣❛♥❡❧✿ 7❤❡ ♠✈❋❉❘ ❝♦♥70♦❧ ✉5✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ ❛❧❣♦0✐7❤♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✶✵ ❊①❛♠♣❧❡ ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛✛♦❧❞ ✶✱ r = 3 ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ♦❢ p✲✈❛❧✉❡5 ❝♦00❡5♣♦♥❞✐♥❣ 7♦ ❝♦♦0❞✐♥❛7❡ (17, 20, 21) ✇✐7❤ ❜❧♦❝❦ ❞❡5✐❣♥ ✭✶✱ ✷✱ ✸✮✳ ❙♦❧✐❞ ❧✐♥❡ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ 5♦❧✉7✐♦♥✱ ❞❛5❤ ❧✐♥❡✿✿ ♠✈♥♣❊▼ 5♦❧✉7✐♦♥✳ ❋✐057 ✸ ♣❛♥❡❧5✿ ♠❛0❣✐♥❛❧ ♣❧♦75❀ ❜♦77♦♠✲0✐❣❤7 ♣❛♥❡❧✿ 7❤❡ ♠✈❋❉❘ ❝♦♥70♦❧ ✉5✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ ❛❧❣♦0✐7❤♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✶✶ H❛✐0♣❧♦75 ♦❢ ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛✛♦❧❞ ✶✱ ✶✵ 70❡❛7♠❡♥75✿ ✶ 7♦ ✻ ❛♥❞ ✶✵ 7♦ ✶✸✳ ❚❤❡ ✼ ❝♦❧♦0❡❞ 0❡❝7❛♥❣❧❡5 5❤♦✇ ❛ ❞❛7❛✲❞0✐✈❡♥ ♣♦55✐❜❧❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡5✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✶✷ ❚❤❡ ♠❛0❣✐♥❛❧ ❞❡♥5✐7② ❡57✐♠❛7❡ ♣❧♦75 ♦❢ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛❢✲ ❢♦❧❞ ✶✱ r = 10 ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ♦❢ p✲✈❛❧✉❡5 ❝♦00❡5♣♦♥❞✐♥❣ 7♦ ❝♦♦0❞✐♥❛7❡✿ ✶ 7♦ ✻ ❛♥❞ ✶✵ 7♦ ✶✸❀ ✇✐7❤ ❜❧♦❝❦ ❞❡5✐❣♥❡❞ ❛5 ✭✶✱ ✷✱ ✶✱ ✸✱ ✹✱ ✺✱ ✺✱ ✻✱ ✼✱ ✼✮❀ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ 5♦❧✉7✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳✶✸ ❚❤❡ ♠✈❋❉❘ ❝♦♥70♦❧ ✉5✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼◆✵✶ ❛❧❣♦0✐7❤♠ ♦❢ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❢0♦♠ ♠❛✐③❡ ❞❛7❛✱ ❙❝❛✛♦❧❞ ✶✱ r = 10 ♣0♦❜✐7 70❛♥5❢♦0♠5 ♦❢ p✲✈❛❧✉❡5 ❝♦00❡5♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦✲ ♦0❞✐♥❛7❡ ✭✶✿✻✱✶✵✿✶✸✮ ✇✐7❤ ❜❧♦❝❦ ❞❡5✐❣♥❡❞ ❛5 ✭✶✱ ✷✱ ✶✱ ✸✱ ✹✱ ✺✱ ✺✱ ✻✱ ✼✱ ✼✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳. ✐①. ✶✵✻ ✶✵✼. ✶✵✽. ✶✵✾ ✶✶✵. ✶✶✵. ✶✶✶.
(13) ▲■❙❚ ❖❋ ❋■●❯❘❊❙. ①.
(14) ▲✐"# ♦❢ ❚❛❜❧❡" ✷✳✶. ❘❡%✉❧(% ♦❢ ❊▼ ❛❧❣♦/✐(❤♠ ❢♦/ ❡①❛♠♣❧❡ ♦♥ ❊%(✐♠❛(✐♦♥ ♦❢ ♠✐①✐♥❣ ♣/♦♣♦/(✐♦♥%. ✷✳✷. ❈♦♠♠♦♥ ❙❡❝♦♥❞✲❖/❞❡/ ❑❡/♥❡❧% ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷. ✸✳✶. ❚❤❡ ❡✛❡❝( ♦❢ ❝♦//❡❧❛(✐♦♥ ρ ♦♥ ▼■❙❊ ♦❢ (❤❡ ❡%(✐♠❛(✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❡♥(❡/❡❞ ❜✐✈❛/✐❛(❡ ●❛✉%%✐❛♥ ❞❡♥%✐(② f ✇✐(❤ ✉♥✐( ✈❛/✐❛♥❝❡%✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺. ✸✳✷. H❛/❛♠❡(❡/% ❢♦/ ▼♦❞❡❧ ❆✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽. ✸✳✸. H❛/❛♠❡(❡/% ❢♦/ ▼♦❞❡❧ ❇✱ (♦❣❡(❤❡/ ✇✐(❤ (❤❡ ❛❧(❡/♥❛(✐✈❡ ♠❡❛♥ ✈❡❝(♦/% ❢♦/ (❤❡ ❡❛%✐❡/ ♠♦❞❡❧ ❇✷ ❞✐%♣❧❛②❡❞ ✐♥ ❜/❛❝❡% ✇❤❡♥ ❛♣♣/♦♣/✐❛(❡✳ ❚❤❡ ❝♦✈❛/✐❛♥❝❡ ♠❛(/✐❝❡% ✉%❡❞ ✐♥ ●❛✉%%✐❛♥ ❛♥❞ ❙(✉❞❡♥( ❞✐%(/✐❜✉(✐♦♥% ❛/❡ Σ ❡①❝❡♣( ✇❤❡♥ Σ′ ✐% %♣❡❝✐✜❡❞✳ ❆❧❧ (❤❡ ♠✉❧(✐✈❛/✐❛(❡ ❙(✉❞❡♥( ❞✐%(/✐❜✉(✐♦♥% ✐♥✈♦❧✈❡ 4 ❞❡❣/❡❡% ♦❢ ❢/❡❡❞♦♠✳ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤(% ❢♦/ (❤❡ ♠✐①(✉/❡ ✇✐(❤✐♥ ❜❧♦❝❦ ✸ ❛/❡ α = 0.87 ❛♥❞ β = 1 − α = 0.13✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵. ✸✳✹. ✶✽. ❚❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧✉%(❡/✐♥❣ ❛✈❡/❛❣❡❞ ♦✈❡/ S = 300 /❡♣❧✐❝❛(✐♦♥%✱ ❢♦/ ♠♦❞❡❧ ❇ ✉%✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼ ❛♥❞ (❤❡ ▼❆H %(/❛(❡❣②✱ ❝♦♠♣❛/❡❞ ✇✐(❤ (❤❡ k ✲♠❡❛♥% ❛❧❣♦/✐(❤♠ ❛♥❞ (❤❡ ♠❡(❤♦❞ ❣✐✈❡♥ ❜② ❇❡♥❛❣❧✐❛ ❡( ❛❧✳ ❬✷✵✵✾❛❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸. ✸✳✺. ❚❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧✉%(❡/✐♥❣ ❛✈❡/❛❣❡❞ ♦✈❡/ S = 300 /❡♣❧✐❝❛(✐♦♥% ♦❢ %✐③❡ n = 2000 ❢/♦♠ ♠♦❞❡❧ ❈✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸. ✸✳✻. ❚❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧❛%%✐✜❝❛(✐♦♥ ♦❢ (❤❡ ❲❉❇❈ ❞❛(❛ ✉%✐♥❣ ♠✈♥♣❊▼ ❛♥❞ (❤❡ ▼❆H %(/❛(❡❣②✱ ❝♦♠♣❛/❡❞ ✇✐(❤ (❤❡ k ✲♠❡❛♥% ❝❧✉%(❡/✐♥❣ %(/❛(❡❣② ❛♥❞ (❤❡ ♠❡/❣✐♥❣ ●❛✉%%✐❛♥ ♠❡(❤♦❞ ♦❢ ❍❡♥♥✐❣ ❬✷✵✶✵❪✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺. ✹✳✶. ❈♦♠♣❛/✐♥❣ (❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧❛%%✐✜❝❛(✐♦♥ ❛♥❞ (❤❡ ♣/♦♣♦/(✐♦♥ ❡%(✐♠❛(❡% ♦❢ ▼♦❞❡❧ ❆✱ ▼♦❞❡❧ ❇✱ ▼♦❞❡❧ ❈✱ %❛♠♣❧❡ %✐③❡ n = 500✱ ❚❡♥ ✜/%( ❢❡❛(✉/❡% ♦❢ ▼♦❞❡❧ ❉ ✭❜♦((♦♠✮✱ ✉%✐♥❣ ♠✈♥♣▼❙▲ ✭%❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞(❤✮ ❛♥❞ (❤❡ ▼❆H %(/❛(❡❣② ✇❤❡♥ ❝❤❛♥❣✐♥❣ (❤❡ ❣/✐❞ %✐③❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶. ✹✳✷. ✾✺ ✪ ❈♦♥✜❞❡♥❝❡ ■♥(❡/✈❛❧% ❢♦/ (❤❡ (/✉❡ ♣/♦♣♦/(✐♦♥ λ = (λ1 , λ2 ) = (0.6274, 0.3726)✱ ❜❛%❡❞ ♦♥ B = 10000 ❜♦♦(%(/❛♣ /❡♣❧✐❝❛(✐♦♥%✱ ❢♦/ (❤❡ ❲❉❇❈ ❞❛(❛ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✉%✐♥❣ (✇♦ ♠❡(❤♦❞%✿ ♠✈♥♣❊▼ ❛♥❞ ♠✈♥♣▼❙▲ ✇✐(❤ %❛♠❡ ❜❛♥❞✇✐❞(❤ ❝❛%❡✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷. ✹✳✸. ❚❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧✉%(❡/✐♥❣ ❛✈❡/❛❣❡❞ ♦✈❡/ S = 300 /❡♣❧✐❝❛(✐♦♥% ❢♦/ ❛ %❛♠♣❧❡ %✐③❡ ♦❢ n = 1000 ❢/♦♠ ▼♦❞❡❧ ❇ ❛♥❞ ❈ ✉%✐♥❣ ♠✈♥♣▼❙▲✴♠✈♥♣❊▼ ❛♥❞ (❤❡ ▼❆H %(/❛(❡❣② ❝♦♠♣❛/✐♥❣ ✇✐(❤ (❤❡ k ✲♠❡❛♥% ❝❧✉%(❡/✐♥❣ %(/❛(❡❣②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸. ✹✳✹. ❚❤❡ ✪ ♦❢ ❝♦//❡❝( ❝❧❛%%✐✜❝❛(✐♦♥ ♦❢ (❤❡ ❲❉❇❈ ❞❛(❛ ✉%✐♥❣ ♠✈♥♣▼❙▲✴♠✈♥♣❊▼ ❛♥❞ (❤❡ ▼❆H %(/❛(❡❣② ❝♦♠♣❛/✐♥❣ ✇✐(❤ (❤❡ k ✲♠❡❛♥% ❝❧✉%(❡/✐♥❣ %(/❛(❡❣②✳ ✳ ✽✸. ①✐.
(15) ▲■❙❚ ❖❋ ❚❆❇▲❊❙ ✺✳✶ ✺✳✷ ✺✳✸ ✺✳✹ ✺✳✺ ✺✳✻. ✺✳✼ ✺✳✽. ✺✳✾ ✺✳✶✵ ✺✳✶✶. ✺✳✶✷. ❋♦✉. ♦✉/❝♦♠❡3 ❢.♦♠ ♠❛❦✐♥❣ ❛ ❞❡❝✐3✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚❤❡ ♣♦33✐❜❧❡ ♦✉/❝♦♠❡3 ✇❤❡♥ /❡3/✐♥❣ n ❤②♣♦/❤❡3❡3 ❢♦. H0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ✸✲❝♦♦.❞✐♥❛/❡✱ ✸✲❝♦♠♣♦♥❡♥/ ♠✐①/✉.❡ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✸✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ✹✲❝♦♦.❞✐♥❛/❡✱ ✸✲❜❧♦❝❦✱ ✸✲❝♦♠♣♦♥❡♥/ ♠✐①/✉.❡ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✸✮✳ F DR ❛♥❞ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, 2, 3 ✐♥ ❛ 3✐♥❣❧❡ 3❛♠♣❧❡ ♦❢ n = 1000 /❡3/3 ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✶✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ❆✈❡.❛❣❡ ♦❢ F DR✱ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❛♥❞ ▼❙❊ ♦♥ /❤❡ /❛.❣❡/ ❧❡✈❡❧ α ♦✈❡. ❛❧❧ /❤❡ .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, 2, 3 ✇❤❡♥ ❞♦ S = 300 .❡♣❧✐✲ ❝❛/✐♦♥3 ♦❢ n = 1000 /❡3/3✱ ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✶✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ F DR ❛♥❞ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, 2, 3 ✐♥ ❛ 3✐♥❣❧❡ 3❛♠♣❧❡ ♦❢ n = 1000 /❡3/3 ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✷✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ❆✈❡.❛❣❡ ♦❢ F DR✱ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❛♥❞ ▼❙❊ ♦♥ /❤❡ /❛.❣❡/ ❧❡✈❡❧ α ♦✈❡. ❛❧❧ /❤❡ .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, 2, 3 ✇❤❡♥ ❞♦ S = 300 .❡♣❧✐✲ ❝❛/✐♦♥3 ♦❢ n = 1000 /❡3/3 ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✷✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼♦❞❡❧ ✸✿ ❛ 3❛♠♣❧❡ ♦❢ ✹✲❝♦♦.❞✐♥❛/❡✱ ✸✲❜❧♦❝❦✱ ✸✲❝♦♠♣♦♥❡♥/ ♠✐①/✉.❡ ✇✐/❤ λ1 = 20% ❝♦♠♣♦♥❡♥/ ✶ ✭✉♥❞❡. ●❛✉33✐❛♥ ❞✐3/.✐❜✉/✐♦♥✮✱ λ2 = 35%, λ3 = 45% .❡3♣❡❝/✐✈❡❧② ❢♦. ❝♦♠♣♦♥❡♥/ ✷ ❛♥❞ ✸ ✭✉♥❞❡. H1 ✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼♦❞❡❧ ✹✿ ❛ 3❛♠♣❧❡ ♦❢ ✻✲❝♦♦.❞✐♥❛/❡✱ ✸✲❜❧♦❝❦✱ ✸✲❝♦♠♣♦♥❡♥/ ♠✐①/✉.❡ ✇✐/❤ λ1 = 20% ❝♦♠♣♦♥❡♥/ ✶ ✭✉♥❞❡. ●❛✉33✐❛♥ ❞✐3/.✐❜✉/✐♦♥✮✱ λ2 = 35%, λ3 = 45% .❡3♣❡❝/✐✈❡❧② ❢♦. ❝♦♠♣♦♥❡♥/ ✷ ❛♥❞ ✸ ✭✉♥❞❡. H1 ✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❆✈❡.❛❣❡ ♦❢ F DR✱ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❛♥❞ ▼❙❊ ♦♥ /❤❡ /❛.❣❡/ ❧❡✈❡❧ α ♦✈❡. ❛❧❧ /❤❡ .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, 2, 3, 4 ✇❤❡♥ ❞♦ S = 300 .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ♦❢ n = 1000 /❡3/3 ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✸✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❆✈❡.❛❣❡ ♦❢ F DR✱ F N/N ✉3✐♥❣ ❢❞"#♦♦❧ ❛♥❞ ▼❙❊ ♦♥ /❤❡ /❛.❣❡/ ❧❡✈❡❧ α ♦✈❡. ❛❧❧ /❤❡ .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ❢♦. ❡❛❝❤ ❝♦♦.❞✐♥❛/❡ k = 1, . . . , 6 ✇❤❡♥ ❞♦ S = 300 .❡♣❧✐❝❛/✐♦♥3 ♦❢ n = 1000 /❡3/3 ❢♦. ▼♦❞❡❧ ✹✱ ❝♦♠♣❛.✐♥❣ ✇✐/❤ ♠✈❋❉❘ 3/.❛/❡❣②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳. ①✐✐. ✽✺ ✽✻ ✾✶ ✾✷ ✾✻. ✾✼ ✾✼. ✾✽ ✶✵✶ ✶✵✷. ✶✵✸. ✶✵✹.
(16) ❈❤❛♣$❡& ✶ ■♥$&♦❞✉❝$✐♦♥ ♦♣✉❧❛&✐♦♥) ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧) ♠❛② ♦❢&❡♥ ❜❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥&♦ )✉❜❣2♦✉♣)✳ ❊①❛♠✐♥✐♥❣ ❛ )❛♠♣❧❡ ♦❢ ♠❡❛)✉2❡♠❡♥&) &♦ ❞✐)❝❡2♥ ❛♥❞ ❞❡)❝2✐❜❡ )✉❜❣2♦✉♣) ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧)✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ &❤❡2❡ ✐) ♥♦ ♦❜✲ )❡2✈❛❜❧❡ ✈❛2✐❛❜❧❡ &❤❛& 2❡❛❞✐❧② ✐♥❞❡①❡) ✐♥&♦ ✇❤✐❝❤ )✉❜❣2♦✉♣ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣2♦♣❡2❧② ❜❡❧♦♥❣)✱ ✐) )♦♠❡&✐♠❡) 2❡❢❡22❡❞ &♦ ❛) ✏✉♥)✉♣❡2✈✐)❡❞ ❝❧✉)&❡2✐♥❣✑ ✐♥ &❤❡ &❤❡)✐)✱ ❛♥❞ ✐♥ ❢❛❝& ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ♠❛② ❜❡ ❣❡♥❡2❛❧❧② &❤♦✉❣❤& ♦❢ ❛) ❝♦♠♣2✐)✐♥❣ &❤❡ )✉❜)❡& ♦❢ ❝❧✉)&❡2✐♥❣ ♠❡&❤♦❞) ❦♥♦✇♥ ❛) ♠♦❞❡❧✲❜❛)❡❞ ❝❧✉)&❡2✐♥❣✳ ▼♦)& ♦❢ &❤❡ ❞❡♥)✐&② ❢✉♥❝&✐♦♥) &❤❛& ❛2❡ ✉)✉❛❧❧② ❝♦♥)✐❞❡2❡❞ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ )&❛&✐)&✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧)✱ ❛2❡ ✉♥✐♠♦❞❛❧✱ &❤❛& ✐)✱ &❤❡② ❤❛✈❡ ❛& ♠♦)& ♦♥❡ ♣❡❛❦✳ ❍♦✇❡✈❡2✱ ♦❢&❡♥ ✇❡ ✇❛♥& &♦ ❜❡ ❛❜❧❡ &♦ 2❡♣2❡)❡♥& ❞❡♥)✐&✐❡) ✇✐&❤ ♠✉❧&✐♣❧❡ ♠♦❞❡)✳ ❆ ❝♦♠♠♦♥ ✇❛② &♦ ❞♦ &❤✐) ✐) &♦ ❝2❡❛&❡ ❛ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧✳ ❆ ✜♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧ ✐) ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛&✐♦♥ ♦❢ &✇♦ ♦2 ♠♦2❡ ♣2♦❜❛❜✐❧✐&② ❞❡♥)✐&② ❢✉♥❝&✐♦♥)✳ ▼✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✉)❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥) ✐♥ )&❛&✐)&✐❝❛❧ ❛♥❛❧②)✐) ❛♥❞ ♠❛❝❤✐♥❡ ❧❡❛2♥✐♥❣ )✉❝❤ ❛) ♠♦❞❡❧✐♥❣✱ ❝❧✉)&❡2✐♥❣✱ ❝❧❛))✐✜❝❛&✐♦♥ ❛♥❞ ❧❛&❡♥& ❝❧❛)) ❛♥❞ )✉2✈✐✈❛❧ ❛♥❛❧②)✐)✳ ❈♦♥)❡C✉❡♥&❧②✱ ✜♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ❛2❡ ❛ ♣♦✇❡2❢✉❧ ❛♥❞ ✢❡①✐❜❧❡ &♦♦❧ ❢♦2 ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡① ❞❛&❛✳ ❲❡ 2❡❢❡2 &♦ ❈❤❛♣&❡2 ✷✱ ❙❡❝&✐♦♥ ✷✳✶ ❢♦2 ❛♥ ♦✈❡2✈✐❡✇ ♦❢ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧)✳ ❋✐♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡) ❣✐✈❡ ❛ ✢❡①✐❜❧❡ ✇❛② &♦ ♠♦❞❡❧ ❛ ✇✐❞❡ ✈❛2✐❡&② ♦❢ 2❛♥❞♦♠ ♦❜)❡2✈❛&✐♦♥) ✭)❡❡✱ ❡✳❣✳✱▼❝▲❛❝❤❧❛♥ ❛♥❞ ❡❡❧ ❬✷✵✵✵❪✮✳ ❋✐♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ♠❛② ❜❡ ✉)❡❞ ✐♥ )✐&✉❛&✐♦♥) ❜❡②♦♥❞ &❤♦)❡ ❢♦2 ✇❤✐❝❤ ❝❧✉)&❡2✐♥❣ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧) ✐) ♦❢ ✐♥&❡2❡)&✳ ❋♦2 ♦♥❡ &❤✐♥❣✱ ✜♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ❣✐✈❡ ❞❡)❝2✐♣&✐♦♥) ♦❢ ❡♥&✐2❡ )✉❜❣2♦✉♣) ✭❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥&'✮✱ 2❛&❤❡2 &❤❛♥ ❛))✐❣♥♠❡♥&) ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧) &♦ &❤♦)❡ )✉❜❣2♦✉♣)✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❡✈❡♥ &❤❡ )✉❜❣2♦✉♣) ♠❛② ♥♦& ♥❡❝❡))❛2✐❧② ❜❡ ♦❢ ✐♥&❡2❡)&❀ )♦♠❡&✐♠❡) ✜♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ♠❡2❡❧② ♣2♦✈✐❞❡ ❛ ♠❡❛♥) ❢♦2 ❛❞❡C✉❛&❡❧② ❞❡)❝2✐❜✲ ✐♥❣ ❛ ♣❛2&✐❝✉❧❛2 ❞✐)&2✐❜✉&✐♦♥✱ )✉❝❤ ❛) &❤❡ ❞✐)&2✐❜✉&✐♦♥ ♦❢ 2❡)✐❞✉❛❧) ✐♥ ❛ ❧✐♥❡❛2 2❡❣2❡))✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✇❤❡2❡ ♦✉&❧✐❡2) ❛2❡ ♣2❡)❡♥&✳ ▼✉❝❤ ♦❢ &❤❡ &❤❡♦2② ♦❢ &❤❡)❡ ♠♦❞❡❧) ✐♥✈♦❧✈❡) &❤❡ ❛)✲ )✉♠♣&✐♦♥ &❤❛& &❤❡ )✉❜❣2♦✉♣) ❛2❡ ❞✐)&2✐❜✉&❡❞ ❛❝❝♦2❞✐♥❣ &♦ ❛ ♣❛2&✐❝✉❧❛2 ♣❛2❛♠❡&2✐❝ )❤❛♣❡ ❛♥❞ C✉✐&❡ ♦❢&❡♥ &❤✐) ♣❛2❛♠❡&2✐❝ ❢❛♠✐❧② ✐) ✉♥✐✈❛2✐❛&❡ ♦2 ♠✉❧&✐✈❛2✐❛&❡ ♥♦2♠❛❧✳ ▼✐①&✉2❡ ♠♦❞❡❧) ❛2❡ ♦❢ ♣❛2❛♠❡&2✐❝ ♦2 )❡♠✐✴♥♦♥✲♣❛2❛♠❡&2✐❝ ❢♦2♠✳ ❛2❛♠❡&2✐❝ ❛♣✲ ♣2♦❛❝❤❡) ✐♠♣♦)❡ ❛ )&2✉❝&✉2❡ ♦♥ &❤❡ ❞❛&❛ ❛♥❞ ❧✐♠✐&) &❤❡ ❝❛♣❛❝✐&② ✐♥ ✜&&✐♥❣ ♠✉❧&✐❞✐♠❡♥)✐♦♥❛❧ ❞❛&❛ ✭)❡❡ ❙❡❝&✐♦♥ ✷✳✶✳✷✮✱ ✇❤❡2❡❛) ♥♦♥✲♣❛2❛♠❡&2✐❝ ♠❡&❤♦❞) ✐♥❢❡2 &❤❡ ✉♥❞❡2❧②✐♥❣ )&2✉❝&✉2❡ ❢2♦♠ &❤❡ ❞❛&❛ ✐&)❡❧❢✳ ❚❤❡2❡ ✐) ❛ ❣2♦✇✐♥❣ ❧✐&❡2❛&✉2❡ ♦♥ ♥♦♥♣❛2❛♠❡&2✐❝ ✐❞❡♥&✐✜❝❛&✐♦♥ ♦❢ ✜✲ ♥✐&❡ ♠✐①&✉2❡)✳ ❯♥✐✈❛2✐❛&❡ ♠✐①&✉2❡) ❛2❡ ❣❡♥❡2❛❧❧② ♥♦& ✐❞❡♥&✐✜❡❞ ♥♦♥♣❛2❛♠❡&2✐❝❛❧❧② ✉♥❧❡)) ❛❞❞✐♥❣ )♦♠❡ 2❡)&2✐❝&✐♦♥) ✭❇♦2❞❡) ❡& ❛❧✳ ❬✷✵✵✻❞❪✱ ❍✉♥&❡2 ❡& ❛❧✳ ❬✷✵✵✼❪✮✳ ▼♦❞❡❧) ❛♥❞ ❛❧❣♦✲ 2✐&❤♠) ❢♦2 ♥♦♥♣❛2❛♠❡&2✐❝ ❡)&✐♠❛&✐♦♥ ♦❢ ✜♥✐&❡ ♠✉❧&✐✈❛2✐❛&❡ ♠✐①&✉2❡) ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣2♦♣♦)❡❞✱. ✶.
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