λ nsont leszérodela

A Orthogonalité des Bessels.

Commenousl'avonsvudansnotretraitement des

séries de Fourier, surl'intervalle

[0, L]

^{, les fontions}

f _n (x) = sin(λ _n x/L)

^sont orthogonales les unes aux

autresoù

λ n = nπ

^{.Deplus,esfontionsonstituent}

unebasesuretintervalle.Les

λ n

^{sont leszérodela}

fontion

sin

^:

sin(λ _n ) = 0

^.

Les fontions de bessels

J ν

^{jouent un rle tout à}

faitsimilaireauxfontions

sin

^{.Souvent,danslespro-}

blèmesàdeuxdimensionsenoordonnéespolaire,e

sont lesfontionsde besselquisont utilisées omme

baseorthogonale. Nousallons étudier elad'un peu

plusprès.

Nous allons dorénavent supposer l'indie

ν

^xe,

son hoix dépend de la symétrie du problème étu-

dié. Soit les

ζ νn

^{les zéro suessifde la fontion}

J ν

^,

'est à dire

J _ν (ζ _νn ) = 0

^{. Pour les}

ζ _νn

^{, nous n'avons}

pas une formule aussi simple que pour les zéro des

sinus, mais nous pouvons les aluler ave autant

de préision que nous le souhaitons. Par exemple,

les premiers zéro de

J 0 (x)

^{sont donnés par}

ζ 0 n = 2.405, 5.520, 8.654, ...

0. Nous souhaitons démontrer que les fontions

g _n (x) = J _ν (ζ _νn x/L)

^sont orthogonales les une aux autres surl'intervalle

[0, L]

^{ave lepoids}

w(x) = x

^:

ˆ L

0

xg _n (x)g _m (x/L)dx = 0

Commenousnesavonspasbienintégrerlesfontions

de Bessel, nous allons nous servir de leur équation

diérentielle pourétablir ela.

1. Soit

u _α (x)

^et

u _β (x)

^{deux fontions de Bessel,}

solutions de

x ² u ^′′ _α + xu ^′ _α + (α ² x ² − ν ² )u α = 0 x ² u ^′′ _β + xu ^′ _β + (β ² x ² − ν ² )u β = 0

Multipliez la première équation par

u β /x

^{, la}

deuxième par

u α /x

^{,soustrayez l'une à l'autre et in-}

tégrezentre

0

^et

L

^.Mettezl'intégralerésultantesous laformede

I = I 1 +I 2 +I 3 = 0

^{oùvousauriezgroupé}

touslestermesquiontiennentdesdérivéesseondes

dans

I 1

^{, des dérivées premières dans}

I 2

^{et dans}

I 3

touslestermes restants.

2. En intégrant par parties

I 1

^{, montrez que le ré-}

sultatnalpour

I

^{semet souslaforme de}

x u ^′ _α u β − u ^′ _β u α

L

0 + (α ² − β ² ) ˆ L

0

xu α u β dx = 0

(1)

3. En posant

α = ζ νn /L

^et

β = ζ νm /L

^{et que}

u α = J ν (αx)

^,

u _β = J ν (βx)

^{,déduisezennlerésultat}

esomptéen 0.

4. En supposant que les fontions

J ν (ζ νn x/L)

(

n = 0, 1, ...

^{) forment une base(e qui estvrai mais}

que nous n'avons pas démontré), omment on éri-

raitledéveloppementd'unefontion quelonque sur

ettebase?Quevalent lesoeientsdeedévelop-

pement?Cettesérieesttrèsutiliséeen physique,au

mêmetitrequelesSériesdeFourier.Commepourles

Transformées de Fourier, nouspouvons faire tendre

L → ∞

,auquel asonparledetransforméedeHan- kel.

B La seonde solution

fondamentale des SL.

Considérons un système Sturm-Liouville que l'on

amis sousforme fondamentale

d

dx wαy ^′

+ γwy = λwy

⁽²⁾

où la fontion propre

y(x)

^{est assoiée à la valeur}

propre

λ

^{, la fontion}

w(x)

^{est la fontion poids de}

l'équation,et

α(x)

^et

γ (x)

^{sontlesoeientsdusys-}

tème.Noussavonsqueleséquationsde seondordre

doivent avoir deux solutions indépendantes. Soit

y 1

une solutiondu système(2).

1. Démontrer alors quelafontion

y ² = y ¹

ˆ 1

y ² 1 wα dx

onstitue l'autre solution fondamentale. Nous utili-

sons ii le symbol

´

dans le sens primitive de la

fontion.

Help:Démontrer d'abord que

wαy ^′ 2 = (wαy ^′ 1 )(y 2 /y 1 ) + 1/y 1

et en dérivant une deuxième fois, démontrer que

y ²

satisfaitl'équation (2).

2. Soitl'équation deLegendre

(1 − x ² )y ^′′ − 2xy ^′ + n(n + 1)y = 0

^{. Soit}

y 1 (x) = x

^{le polynme de Le-}

gendre assoiée à

n = 1

^{. Trouver alors l'autre solu-}

tionfondamentaledel'équationdeLegendreassoiée

à la même valeur

n

^{. [Help : une} déomposition en frationsimple failiteragrandement lahose℄.

C Klein-Gordon.

L'équation de Shrodinger est une équation non

relativiste.Lapremièretentativepourérireunever-

sionrelativisteaétédonné parKleinetGordon àla

ndesannées1920,quiontposélelagrangiensuivant

pourlafontiond'amplitude

φ(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )

^dansle

vide :

L =

3

X

i =0

ǫ _i ∂φ ^∗

∂x i

∂φ

∂x i

+ m ² φ ^∗ φ

où

m

^{est la masse, les}

x i

^{les oordonnées spatio-}

temporelle(

x 0 = t

^),

φ ^∗

^{désigneleomplexe onjugué}

de

φ

^et

ǫ ⁰ = − 1

^,

ǫ i> 0 = 1

^{.Nous avons posé}

c = 1

^et

~ = 1

^.

1. Obtenez les équations du hamp pour

φ

^et

φ ^∗

^.

Est e que es deux équations sont ompatibles?

Pour être enore plus lisible, vous pouvez à la n

remplaerles oordonnées

x 0 , x 1 , x 2 , x 3

^par

t, x, y, z

^.

2. Pouvez-vous établir une analogie entre ette

équation et elle de la dynamique relativiste las-

sique

E ² − p ² = m ²

^{? Il faudra vous souvenir des}

équivalents opératoriels d'energie et d'impulsion en

méanique quantique. Dira est parti quelques an-

nées plus tard des mêmes onsidérations, mais il a

réussiàobtenirdeséquationsdepremierdegrèspour

lafontiond'amplitude.

D Extremum et valeurs propres.

1. Supposonsquenousdisposonsd'unproduitsa-

lairedansl'espaedesfontionsréellesquel'on note

(, )

^{.Parailleurs, supposonsquenousdisposons d'un}

opérateur

L

^{hermitien pour e produit salaire. A}

quelleéquationdoitobéirlafontion

f

^quiminimise

lafontionnelle

S[f ] = (f, Lf )

ave la ontrainte

(f, f ) = 1

^{? [Help : Cherher la}

variation

δS = S[f + ǫg] − S[f ]

^{àl'ordre1enepsilon}

etlaonditionquirendette variationnullequelque

soitlafontion

g

^℄.

2. Apartirdelaquestionpréédente,pouvezvous

donnerla forme variationnelle d'un systèmeSturm-

Liouville qui ne ontient au plus que des dérivées

proemières?

3. A quelle équation doit obéir

f

^si

L

^{n'est pas}

hermitien?