Diagnostic des systèmes non linéaires - Contribution aux méthodes de découplage

Texte intégral

(1)Diagnostic des systèmes non linéaires - Contribution aux méthodes de découplage Cédric Join. To cite this version: Cédric Join. Diagnostic des systèmes non linéaires - Contribution aux méthodes de découplage. Automatique / Robotique. Université Henri Poincaré - Nancy I, 2002. Français. �tel-00003393�. HAL Id: tel-00003393 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003393 Submitted on 18 Sep 2003. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

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(227) . ' . ' 1 . . ' 1 3.  x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + Dx d(t) ΣL : yx (t) = Cx(t) T . A' B ' C. . Dx. '. Dx. 6 (d(t)). .0 1 6 . . . . 2 5 '. d(t)). . = s). . . 6 6 F. )F)5) 6 ( QIR' QIKR(). / 3. T. I)I(. )F)5) . Dx '. . .2 . I)I( .  x˜˙ (t) = A x˜ (t) + A x˜ (t) + B u(t) + D d(t) 1 11 1 12 2 1 x1 x˜˙ 2 (t) = A21 x˜1 (t) + A22 x˜2 (t) + B2 u(t). x˜(t) = (˜ xT1 (t) x˜T2 (t))T = Hx(t). . H. . I)II(. 6 6 . ) ! 2 . )F)5) . C. . . x˜1 (t). . ).  y (t) = C x˜ (t) + C x˜ (t) x1 11 1 12 2 yx2(t) = C2 x˜2 (t). I)I

(228) (.

(229) !"

(230) #

(231) . . x˜1 (t) 1 yx (t) x˜2 (t)' ) .2 / d(t) . 3  −1 x˜˙ (t) = (A − A C −1 C )˜ 2 22 21 11 12 x2 (t) + B2 u(t) + A21 C11 yx1 (t) ΣLinsensible : I)I$( yx2 (t) = C2 x˜2 (t). ' 2 . 9 S (d(t)). <. . / 3. (yx (t)) 3 1. . . ' S ( {CDx }). = (d(t)). 3 1 . ). I)I$( (˜ x2 (t)). = n − s). . 6 . d(t). 3. S 6 2 . x ˜1 (t) . x˜2 (t)(. ' ' 1 1 . 6. d(t)'. S 2 6 yx1 (t)( . 6 . . . x˜1 (t). '. S .2. L(˜ xT2 (t) yxT (t))T '. . . . . x˜1 (t) / . x˜2 (t) yx1(t)) 2. . . 0 ( ). / ' . . I)I$( . 3. xT2 (t) yxT (t))T x˜˙ 2 (t) = A22 x˜2 (t) + B2 u(t) + A21 L(˜ . −1 x˜1 (t) = L(˜ xT2 (t) yxT (t))T = C11 (yx1 (t) − C12 x˜2 (t))) 6 L 0 . I)IL(. ( . . 6) 0. . . 6 . . ' 2 6 . 6 I)

(232) )

(233) )L( . 1 . 6 QMJR(). 2 ). ))). ,#

(234)

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(237) . 3. ΣN L.  x(t) ˙ = f (x(t), u(t)) + Dx (x(t), u(t))d(t) : yx (t) = h(x(t)). I)IJ(.

(238)

(239)

(240)

(241) . (d(t)) . . . = s). = . . 6 ) . 6 / I)II(. I)IJ( 3.  x˜˙ (t) = f˜ (˜ ˜ x1 (˜ ˜2 (t), u(t)) + D x1 (t), x˜2 (t), u(t))d(t) 1 1 x1 (t), x x˜˙ 2 (t) = f˜2 (˜ x1 (t), x˜2 (t), u(t)). x˜(t) = Φd (x(t), u(t))) Φd (x(t), u(t)) . I)IM(. . 1 . 7 . 3. ∂Φd (x(t), u(t)) Dx (x(t), u(t)) = 0 ∂x(t) .6 1 . ∀(x(t), u(t))). . I)I#(. < . I)I#( + 2 )I() 2 . . . . 0 . x˜1 (t) Ψ(˜ x2 (t), •) T •. / 2 . / . / .2. . . x˜˙ 2 (t)). . 1 . ' N . ( .6 / L(˜ xT2 (t). . yxT (t))T ' . . . . . ) ' 0 . ) 4 .6 1 . . 7 . d(t). ' . ' . x˜1 (t). . x˜2 (t). / 2 /. / . . 0 ). . . 2 .. . . 0 ) . x˜1 (t) /. . . 2 / . 6 ). ))). .

(242) . . ,) - &)") +E. Q

(243) R' 7 Q$R QMR) , . I)IJ( T d(t). Q$#R' QJMR QM$R( . ∈ Rs . . . 1 /. m'. 1 / . . ) 5 . s ( {Dx }) = s, ∀(x(t), u(t))). ) "#$% & ! i . . ' ($ ) ) * ρi i = {1, · · · , p} ! ρi = min k ∈ N | ∃j ∈ {1, · · · , m} : Lfj Lkf0 hi (x(t)) = 0, ∀x(t) ∈ V.

(244) !"

(245) #

(246) . . ) ) ρi → +∞ Lfj Lkf0 hi ≡ 0 j = 1, · · · , m k ≥ 0 + L & . , ! ,# 5. ' . ρi. . : 6 . , 1 / 7 I)L' . i. . ). 7 . 7 ). - dj (t) ) i = 1, · · · , p ! . (k) ∂yxi (t) = 0, ∀x(t) ∈ V = min k ∈ N | ∃ ∂dj (t). ) & ! . ) * d. dj ρmi . j ρmi. (k). ) yxi (t) ) k i ) ! d. j (. ρmi → +∞ . (k). ∂yxi (t) ∂dj (t). ≡ 0 k ≥ 0. 5 = . 6. dj (t). d. j ρmi. . . . i. ) & . /. /. d. ρmj. . 7 3 d. j ρdmj = i (ρmi ). 7 I)IJ(. . ∀k ∈ {1, · · · , s}. (dk (t)). I)IK(. d(t) = (d1 (t) · · · dk (t) · · · ds (t))T. . = 1). 6 6 d(t)' . / . . ) ' ' . / . / . ))) 6. .= / . . s. . = . d(t)). 5 ' ). & 3. dk1(t) dj k1 = minj (ρm ) < +∞() < k1 yxdk1 (t) yx (t)). 7 . . I)IJ( 3. ΣN L.  x(t) ˙ = f (x(t), u(t)) + Dxdk1 (x(t), u(t))dk1 (t) + Dxdk1 (x(t), u(t))dk1(t) : yx (t) = h(x(t)). I)I (.

(247)

(248)

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(250) . . . dk1(t) = d1 (t) · · · dk1−1 (t) dk1+1 (t) · · · ds (t). T . Dxdk1 (x(t), u(t)). . ) 5. Q$#R' 0 1 φdk1 (x(t), u(t)) 7 . . . 3. yxdk1 (t). .    ))  ∂  )  = n, ∀(x(t), u(t))   i( 6  ∂x  dk1  (ρm −1)   yxdk1 (t)  φdk1 (x(t), u(t)) ii( dt φdk1 (x(t), u(t)) d. . ρdmk1. 7 I)IK( T. 4 . j = k1(). 7 1 ..      x˜1 (t) = Φdk1 (x(t), u(t)) =    . (˜ x1p (t)). dk1 (t). =. ρdmk1. yxdk1 (t). . . x˜1 (t) = Φdk1 (x(t), u(t)) x˜1p1 (t).   ))   )   dk1   1 (ρ −1) =  x˜ dk1 (t) yxdmk1 (t)  pρm     − − −−− −−−−−   x˜1φd (t) φdk1 (x(t), u(t)) k1 )) ). 3.      x˜1p (t)     = −−−−−    x˜1φd (t)  k1 I)

(251) (. < +∞). & 7 ' 1 1 .

(252) 2 7 )

(253) () .

(254) 2 D D)M( 3. ΣN L.    x˜˙ 1p1 (t) = x˜1p2 (t)       x˜˙ 1p2 (t) = x˜1p3 (t)    ))    )      (t) = x˜1 dk1 (t) x˜˙ 1 d   pρm  pρmk1 −1 d dk1 ρmk1 1 ˙ : x˜ dk1 (t) = Lf h(x(t)) + LDxd Lfρm −1 h(x(t))dk1 (t) + O(dk1(t)) k1  pρ   m   − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−       x˜˙ 1 (t) = dtd φdk1 (x(t), u(t))   φdk1         yx (t) = h ◦ Φ−1 (˜ x1 (t), u(t)). I)

(255) I(.

(256) !"

(257) #

(258) T. O(dk1 (t)). . 1 . .6 . 1 . x(t)' u(t) d(t)) 1 x˜ (t)' u(t)' u(t) ˙ dk1 (t)). V / dt φdk1 (x(t), u(t))' d. ' . I)

(259) I( / / . I)II() , ' .. x˜1p (t). / 1 ' . dk1(t)) Σ1. dk1(t)). ' . 1W ' / . .2 I)

(260) I( /. . . 3. N Lr´ eduit.  x˜˙ 1 (t) = f (˜ 1 ˜1φd (t), u(t), u(t)) ˙ + Dxdk1 (˜ x1p (t), x˜1φd (t), u(t))dk1(t) dk1 xp (t), x φdk1 k1 k1 : 1 yxd (t) = hd (˜ x , u(t)) k1. k1. I)

(261)

(262) ( . yxdk1 (t). . . . yxdk1 (t). 3. T yxdk1 (t) = yx1 (t) · · · yxdk1 −1 (t) yxdk1 +1 (t) · · · yxp (t) x˜1p (t). I)

(263) $(. yxdk1 (t) ρdmk1 − 1 ) 7 2 1 fdk1 (•) Dxdk1 (•) ˜ xd (˜ / 2 1 f˜dk1 (˜ x1φd (t), u(t), u(t)) ˙ D x1φd (t), u(t)) k1 . . 7 7 . . k1. k1. / . . 0 ' . / 3. fdk1 (˜ x1p (t), x˜φdk1 (t), u(t), u(t)) ˙ =f˜dk1 (˜ x1φd (t), u(t), u(t)) ˙ k1. d. ˜ f (yxd (t), · · · , y (ρmk1 −1) (t), x˜1 (t), u(t), u(t)) ˙ +Ψ φd dk1 k1 xdk1 k1. ⇓. I)

(264) L(. ˜ f (•) = fd (•) − f˜d (•) Ψ dk1 k1 k1 ˜ xd (˜ Dxdk1 (˜ x1p (t), x ˜φdk1 (t), u(t)) =D x1φd (t), u(t)) k1 k1. d. ˜ D (yxd (t), · · · , y (ρmk1 −1) (t), x˜1 (t), u(t)) +Ψ φd xdk1 k1 xdk1 k1. ⇓. I)

(265) J(. ˜ xd (•) ˜ D (•) = Dxd (•) − D Ψ xdk1 k1 k1 & ' . 2 6 . N Lr´ eduit. :.   x˜˙ 1φd (t) =   1                     y. 0 7. I)

(266) L( I)

(267) J() ' . . 3. Σ1. . . . I)

(268)

(269) ( . 0 . f˜dk1 (˜ x1φd (t), u(t), u(t)) ˙ k1. d. ˜ f (yxd (t), · · · +Ψ dk1 k1 ˜ xd (˜ x1φd (t), u(t))dk1(t) + D k1. (ρ k1 −1) , yxdmk1 (t), x˜φdk1 (t), u(t), u(t)) ˙. . . k1. dk1. ˜ D (yxd (t), · · · , y m +Ψ xdk1 k1 xdk1 (ρ. xdk1 (t). = hdk1 (˜ x1 (t), u(t)). −1). (t), x˜1φd (t), u(t))dk1(t) k1. . I)

(270) M(.

(271)

(272)

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(274) . . 4 : 1 . . . I)I$() , ' 6 . 6 ( 6 I)

(275) )

(276) )I) 6 . .) V ' ,7' .2. . . . ). / 6P 2 O. . 0 (). i. 3. . (i − 1). . . Σi−1. N Lr´ eduit. i. d(t). . 3.   x˜˙ i−1 (t) = fdki−1 (˜ xi−1 ˜i−1 ˙  p (t), x φdki−1 (t), u(t), u(t))   φdki−1 : +Dxdki−1 (˜ xi−1 ˜i−1 p (t), x φdki−1 (t), u(t))dki−1 (t)    y (t) = h (˜ xi−1 (t), u(t)) xdki−1. . 6 . . . I)

(277) #(. dki−1. 6) ./ ' . dki−1 (t). s − i + 1 ) & dj 7 ki = minj (ρm ) < +∞( / yxdki (t)). ' . . ' . 6 . . . . I)

(278) (' . . 3.     i x˜ (t) = Φdki (x(t), u(t)) =     4 . (i − 1). 7. yxdki (t) )) ). dki. (ρ. −1). yxdmki (t) −−−−− φdki (x(t), u(t)). . .         . I)

(279) K(. .2 . 1 / . I)

(280) #( 3. Σi. N Lr´ eduit.    x˜˙ i (t) = fdki (˜ xip (t), x˜iφd (t), u(t), u(t)) ˙   φdki ki : +Dxdki (˜ xip (t), x˜iφd (t), u(t))dki(t)  ki   i yxd (t) = hd (˜ x (t), u(t)) ki. . = . ki. . / . . 0 ' . . 7 I)

(281) L( I)

(282) J((' 2 I)

(283) (). I)

(284) (. . x˜ip (t). .

(285) !"

(286) #

(287) & . 6 . ) 5. T . . . d(t). . 2 ' . ΣN Linsensible . 1 . . ( {Dx }) ( {Dx }). 3. ' . = s(. s s n− ρdmki ≥ i=1. /. d(t). .  x˜˙ φ (t) = f˜d (˜ ˜ x (t), U(t)) + Ψ (Y (t), x ˜ (t), U(t)) φds f ds x φds s ds : y (t) = h (˜ x(t)) xds. I)$(. ds. Yx (t) U(t) (ρdmi − 1) 1, · · · , s( u(t)) (d(t)) = 1 . 0 / 3 T. . . yxdi (t) i ∈. ˜ • (yxd(t), · · · , y (ρm −1) (t), x˜φ (t), u(t)) Ψ d xd d. .0 . . I)$I( . . . 0 ) 2 . . ) . 1. 7 ). . . . . 6 1 6. d(t)( . 6) & . . ' . ' . . . . . 6 ). ))). . . . . M' . . . . ' . . 6 . 7 6 ) . . . 2 QMJR QJIR 1 0 1 ) 2 ) 4 Q$KR( / . ). 5 ' / 2 ) 5 & ) 4 QI$R' QILR' QI#R( / .2 . / 6 . d(t)). 2 6 . / .2 . 0 ) 5. 6' . 1 1 2 2 %) % . . ΣN L :. . Q$$R' Q$LR Q$JR(). 1 3.  m   x(t) ˙ = f0 (x(t)) + fi (x(t))ui (t) + Dx (x(t))d(t)   yx (t) = h(x(t)). i=1. I)$

(288) (.

(289)

(290)

(291)

(292) . x(t) ∈ Rn ' u(t) ∈ Rm ' d(t) ( {Dx }) = s < p, ∀x(t)). ∈ Rs. . . . {Dx }) 4. .6 . . / . . . . . . . . h(x(t))

(293) . . . 2 D(' 0 . . .(. ) . ' / . . {Dx }. m k=0. 2 7 . S. I)$$(. Dx. [fk , S i ∩ E{dh}].

(294) 2 )M('. . . 3. Dx Dx  = S S  i + i+1 . [ , ] . . . . . .  Dx    S0 =. T. ∈ Rp. . ∀i ∈ {0, · · · , m}'

(295) . fi ( ' . yx (t). . S )I( dh . 0 . 2 )I(). ! .= / 3 Dx. Si. Dx. Dx = Si+1 ⇒ S∗Dx = S i. ( {Si. Dx. . . 6 . }) = n('. ) . . .. . I)$L(. . . . S∗Dx. . . .. . . .) 1' ' 1 ' . . . . . (). .  Dx   {dh}  Q0 = Θ ∩ m Dx  Lfk Qi +   Qi+1 = Θ ∩. . . 3. . I)$J(. {dh}. k=0. & ' . QILR). 5. . . ' . . . . I)$$() . S∗Dx ' . . / .2. . 0 ). , ' 6 ) 5 & ) 4 0 . Ψ(x(t), u(t), yx (t))). 9' . 0 . ? @ ? yx (t)@' Dx Si. ∩ E{dh}). . .

(296) !"

(297) #

(298) . . .2 .. . 6 / S∗Dx , ' . . (S∗Dx )⊥. .= / . = {0}). 6 . 6 ' . / 1 = '. Φ(x(t))'. . . .. . $(). (S∗Dx )⊥ = {0}'. . ' . 6 . x˜(t) =. . I)$

(299) ( 1 3.  m   ˜ ˜ x (˜ ˙  x ˜ (t) = f (˜ x (t), x ˜ (t)) + x1 (t), x˜2 (t))ui (t) + D x1 (t), x˜2 (t))d(t) f˜i,1 (˜ 1 0,1 1 2     i=1   m    ˜ ˜ ˜  x˜˙ 2 (t) = f˜0,2 (˜ x1 (t), x˜2 (t)) − Ψ0 (˜ x2 (t), yx (t)) + x1 (t), x˜2 (t)) − Ψi (˜ x2 (t), yx (t)) ui (t) fi,2 (˜             . ˜ 0 (˜ x2 (t), yx (t)) + +Ψ. m . i=1. ˜ i (˜ Ψ x2 (t), yx (t))ui(t). i=1. ˜ x1 (t), x˜2 (t)) yx (t) =h(˜. T. ˜ 0 (˜ Ψ x2 (t), yx (t))+. m . I)$M(. ˜ i (˜ ˜ x2 (t), u(t), yx (t))) Ψ x2 (t), yx (t))ui(t) = Ψ((˜. . 0 . i=1. ' 2

(300) 2 D D)M() > . = . 0 1 .6 3. ˜ i (˜ f˜i,2 (˜ x1 (t), x˜2 (t)) − Ψ x2 (t), yx (t)) = f˘i,2 (˜ x2 (t)), ∀i ∈ {0, · · · , m}. I)$#(. . / ./ . . 0 ' 2 . . / . x˜˙ 2 (t). x˜1 (t)). 2 7 . ' I)$M( 3.  m   ˜ ˜ x (˜ ˙  x˜1 (t) =f0,1 (˜ x1 (t), x˜2 (t)) + x1 (t), x ˜2 (t))ui (t) + D x1 (t), x˜2 (t))d(t) f˜i,1 (˜     i=1  m m ˘ ˘ ˜ i (˜ ˜ ˙  Ψ x2 (t)) + x2 (t))ui (t) + Ψ0 (˜ x2 (t), yx (t)) + x2 (t), yx (t))ui (t) fi,2 (˜ x˜2 (t) =f0,2 (˜    i=1 i=1     y (t) =h(˜ ˜ x1 (t), x˜2 (t)) x I)$K( 0 ' 0 2 . 0 6 7 ) , '. x˜(t) = Φ(x(t)) . ∂φ(x(t)) (S∗Dx )⊥ ) ∂x(t). . . / . 7 . Φ(x(t)).

(301)

(302)

(303)

(304) . . .

(305) 2 7 )

(306) ( 3. . . ∂φ(x(t)) ∂x(t). . ∂Φ(x(t))   =  −−−−−  ∂x(t) D ⊥ T (S∗ x ) T. x˜2 (t). I)$ (. . 1 . / . 2 . (S∗Dx )⊥ ). 6 6 ' . . ). ))) . d(t). $ . . . . .2 . 7 . . . I / . 6 ) . . . / ) . 2. / 6 ). , / ! . 0 6 . 3 (0) (ρ −1) ˜ x2 (t), u(t), u(t), Ψ(˜ ˙ yxd (t), · · · , yxdm (t)) d. I)L(. . 3. n − ρdm ≤ (. . / . d(t)) ≤ n − 1. I)LI(. , / -! 6 . . . / . . 0 1 3. ˜ x2 (t), u(t), yx(t)) Ψ(˜. . I)L

(307) (. . / 3. 0 ≤ ((S∗Dx )⊥ ) = (. . / . d(t)) ≤ n − 1 I)L$(. T 1 . 6 1 . . . E{dh}) '. . /. 0. . / . d(t). . . . . 0 I)L( I)L

(308) (( . .

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(317) ! 6 . ). 4 0 1 ' 6 ' . . 1 ) 4 2 2 6 ) & . . S . ' . 3 7. . / . . / . 2 QJ$R' QM#R'. QKR' 7 X Q R' QMIR' QMMR) 6 . . / . . . . . ) S 7 Q

(318) M'

(319) #R' Q$$' $JR' QILR' Q$IR' QLJR QLR' / . 6 ( . . . ). S QL#R' 1 6 . .) S . Q

(320) KR' QM

(321) R) 4. .6 . 7 6 . . . . 6 ) ! 2 7 ( . . ) .2 ' . 7 6 ' . / . I)LL(' . z˜2 (t). . (S∗Dx )⊥ 7 I)$ (). ΣF N L :. . . z(t).    ˙ = z(t)       . f0 (z(t)) +. m . fi (z(t))ui (t). i=1. z2 (t), yz (t)) − Ψ0 (˜ z2 (t), yx (t))} + {Ψ0 (˜ m {Ψi (˜ z2 (t), yz (t)) − Ψi (˜ z2 (t), yx (t))} ui(t) +. I)LL(.        i=1    yz (t) = h(z(t)) . . ' . 6 . . 6 1 . . . . yz (t)( . .

(322)

(323)

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(325) . yx (t)( 3. r(t) = χ ◦ h(yx (t)) − χ ◦ h(yz (t)) 5 1 ' . (r(t)). ≥. I)LJ(. < . (w(t))( . 1 ) & . 2. . / 6 ' i( 6 ii( 3 i(. 1 : 3 . 1. = . . 2 / 2' ii( . 1. : = . 3 . . . . 1 ). 1 .0 2 2 ). 7 6 ' 2 / 6 3 S . 7' 6 . 2 2 1 ( ' S 7 . . . . ' . 7. 2 1 ) >. . . . . . . . ' 7 Q

(326) R 6 QI

(327) R( . . I)$)

(328) ) . . 6 ) . . . . 7 . = . . 7 . 1 (). !

(329)