1. a) Puisquea´b[7℄et´d[7℄,ilexistedeuxentiersket`vér iant
aÆbÅ7k
ÆdÅ7`
)
Æ)aÆbdÅ7(b`Ådk)
equitraduitquea´bd[7℄.
b) Ononsidèredeuxentiersaetbvér ianta´b[7℄.
SoitnunentiernatureletP(n)lapropr iété«a n
´b n
[n℄»
Comme1´1[7℄,P(0)estvraie.
Onpeutdonsupposerqu'ilexisteunentierktelqueP(k)soitvraie.
Onadona k
´b k
[7℄eta´b[7℄.Onendéduit,d'aprèslapropr iétédémontréeau1aque
a kÅ1
´b kÅ1
[7℄
equitraduitqueP(k)vraieÆ)P(kÅ1)vraie.
NousavonsdondémontréparréurrenequeP(n)estvraiepourtoutentiernatureln.
2. 2 3
Æ8´1[7℄et3 6
Æ729´1[7℄.
3. a) Commean'estpasdivisiblepar7,ilestongr uà1,2,3,4,5ou6modulo7.
Oronvér iequek 6
´1[7℄pourtoutk2{1,2,3,4,5,6},equiassurelerésultat.
b) Effetuonsladivisionde6park,lepluspetitentiernaturelnonnultelquea k
´1[7℄.
Ilexisteununiqueoupled'entiers(q,r)telsque6ÆqkÅr,ave06rÇk.
Alorsa 6
Æ
¡
a k
¢
q
¢a r
.Ora k
´1[7℄,don
¡
a k
¢
q
¢a r
´a r
[7℄.
Maisa 6
´1[7℄,donnalementa r
´1[7℄.
Puisquekestlepluspetitentiernaturelnonnultelquea k
´1[7℄etque06rÇk,onobtientquerestnulet
donquekdivise6.
Lesvaleurspossiblesdeksontalors1,2,3et6.
) Nousavonsdéjàobtenuque2estd'ordre3et3estd'ordre6.
Onvér ieaisémentque4n'estpasd'ordre1,puisque4 2
Æ16,don4n'estpasd'ordre2et4 3
Æ2 6
´1[7℄,don
4estd'ordre3.
Onvér ieque5n'estnid'ordre1,nid'ordre2,nid'ordre3:ilestdond'ordre6.
Enn6 2
Æ36Æ5£7Å1,don6estd'ordre2.
4. Onobtientsuessivement
. 2 2006
Æ
¡
2 3
¢
668
£2 2
´4[7℄
. 3 2006
Æ
¡
3 6
¢
334
£3 2
´2[7℄
. 4 2006
Æ
¡
4 3
¢
668
£4 2
´2[7℄
. 5 2006
Æ
¡
5 6
¢
334
£5 2
´4[7℄
. 6 2006
Æ
¡
6 2
¢
1003
´1[7℄
Finalement
A
2006
´ 4Å2Å2Å4Å1[7℄
