D262 – Les guirlandes en papier doré [**** à la main]
Solution
Un morceau de papier qui a la forme d’un polygone de n sommets peut être découpé en deux polygones dont le nombre total de sommets est au maximum n + 4 si la découpe se fait à travers deux côtés, soit 4 nouveaux sommets par découpe. On obtient ainsi deux polygones ayant les nombres de sommets suivants : (n + 1,3), (n,4), (n – 1,5),...
A partir d’un quadrilatère, on obtient un hendécagone en 7 découpes : 4 => (3,5), 5 =>(3,6), 6
=>(3,7),....etc...10 => (3,11), ce qui donne un hendécagone et 7 triangles.
A partir de l’un des 7 triangles, on obtient un quadrilatère et un triangle. D’où à partir d’un rectangle l’obtention d’un décagone en 1+6 = 7 découpes.
Et ainsi de suite pour l’obtention d’un ennéagone, d’un octogone, ..jusqu’au quadrilatère.
Au total 7+7+6+5+...+1 = 35 découpes qui laissent 6+6+5+..+3+2+1+1 = 28 triangles.
On vérifie que les 60 sommets des 8 polygones du quadrilatère à l’hendécagone
(4+5+6+...+11 = 60) + les 8 4= 3*28 sommets des triangles = 4*35 + 4 (feuille d’origine) = 144 sommets
Si l’on découpe la feuille d’origine en k quadrilatères avec k-1 découpes, on peut obtenir k exemplaires des polygones en 35k + k – 1 = 36k - 1 découpes.
Si plusieurs morceaux de papier peuvent être empilés les uns sur les autres, p découpes permettent d’obtenir à partir de la feuille originale 2 puis 4 puis 8 ....puis 2 p
quadrilatères.Comme il y a 8k étoiles à découper,l’entier p est tel que 2p 8k <2p1 et une (p+1)ième découpe donne les x quadrilatères supplémentaires (0x<2 ) tels que p 2 + x = p 8k. On en déduit p = [log2(8k)] avec [..] désignant la partie entière par défaut.
Sur les 8k quadrilatères ainsi obtenus, 7k sont découpés en une seule fois pour donner 7k pentagones et 7k triangles. Puis de la même manière 6k pentagones sont découpés pour donner 6k hexagones et 6k triangles,etc.... Au total p + 1 + k représente le minimum de découpes pour obtenir les 8k polygones.
En rapprochant les deux relations du nombre de découpes, on a l’équation 36k – 1 = 238 + [log2(8k)] + 1 + k ou encore 35 k = 240 + [log2(8k)]. On vérifie aisément que l’unique solution est k = 7.
Conclusion : il y a 7 étoiles par guirlande. Les morceaux de papier mis au rebut sont tous triangulaires et ils sont au nombre de 7*28 = 196
