Équidistribution galoisienne d'une classe d'isogénie de courbes elliptiques

HAL Id: hal-00407542

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Preprint submitted on 12 Jan 2010

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Équidistribution galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques

Rodolphe Richard

To cite this version:

Rodolphe Richard. Équidistribution galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques. 2006.

�hal-00407542�

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❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤✐❡ ✷✼

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

◆♦t♦♥s Γ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ♠♦❞✉❧❛✐r❡ Γ(1) := PSL(2, Z) q✉♦t✐❡♥t ❞❡ SL(2, Z) ♣❛r s♦♥

❝❡♥tr❡ { +Id; − Id }✳ ❈❡ ❣r♦✉♣❡ ❛❣✐t à ❣❛✉❝❤❡✱ ♣❛r ❤♦♠♦❣r❛♣❤✐❡s✱ s✉r ❧❡ ❞❡♠✐✲♣❧❛♥

❞❡ P♦✐♥❝❛ré H := { z ∈ C |ℑ (z) > 0 }✿

± a b c d

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❛♣♣❧✐q✉❡ τ s✉r a · τ + b c · τ + d .

❖♥ s✬✐♥tér❡ss❡ à ❧✬❡s♣❛❝❡ q✉♦t✐❡♥t Γ \ H ✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♠✉♥✐t ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬✉♥✐q✉❡

str✉❝t✉r❡ ❞❡ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❢❛✐s❛♥t ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ H → Γ \ H ✉♥ r❡✈êt❡♠❡♥t

❤♦❧♦♠♦r♣❤❡✱ r❛♠✐✜é ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡s ❞❡✉① ♣♦✐♥ts q✉❡ s♦♥t ❧❛ ❝❧❛ss❡ ❞❡ i ❡t ❝❡❧❧❡ ❞❡

❧❛ r❛❝✐♥❡ ❝✉❜✐q✉❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té (1 + i √ 3)/2✳

❈❡ r❡✈êt❡♠❡♥t s❡ ❞é❝r✐t ❛✐♥s✐✿ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠♦❞✉❧❛✐r❡ j s✉r H ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r

❧❛ sér✐❡ ❞❡ ▲❛✉r❡♥t à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❡♥t✐❡rs ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉❡ ✭❬✷✶❪✱ ❱■■✳➓✸✳✸✮

j(τ) = 1

q + 744 + 196884 · q + . . . ✱ ♦ù q = exp(2πiτ),

❞❡ r❛②♦♥ ❞❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ 1 ❡♥ q✳ ❈❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡st ✐♥✈❛r✐❛♥t❡ s♦✉s ❧✬❛❝t✐♦♥ ❞❡ Γ

❡t ✐♥❞✉✐t ✉♥ ❜✐❤♦❧♦♠♦r♣❤✐s♠❡

Γ \ H →

C .

▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ j ❢❛✐t ❛✐♥s✐ ❞❡ H ✉♥ r❡✈êt❡♠❡♥t ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡ ❞❡ C ✱ ❣❛❧♦✐s✐❡♥ ❞❡

❣r♦✉♣❡ Γ ❡t à r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ❞♦✉❜❧❡ ❛✉ ❞❡ss✉s ❞❡ j = 1728 ❡t tr✐♣❧❡ ❛✉ ❞❡ss✉s

❞❡ j = 0✳

▲✬✐♥t❡r♣rét❛t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ❡♥ t❡r♠❡s ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❡st ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉❡✿

à t♦✉t ♣♦✐♥t τ ❞❡ H ♦♥ ❛ss♦❝✐❡ ❧❡ rés❡❛✉ Z + τ Z ❞❡ C ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ t♦r❡ q✉♦✲

t✐❡♥t E

:= C/(Z+τZ) ✳ ❈❡ ❞❡r♥✐❡r ❡st ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✳ ▲❛ ❝❧❛ss❡

❞✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ E

❡st ❞ét❡r♠✐♥é❡ ♣❛r ✉♥ ♠♦❞✉❧❡✱ s♦♥ j✲✐♥✈❛r✐❛♥t j

∈ C

✭❬✷✸❪✱ ■■■✳➓✶✱ Pr♦♣✳ ✶✳✹✭❝✮✮✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ E ❞♦♥♥é❡

♣❛r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ÿ ❤♦♠♦❣è♥❡

E : Y

Z = X

+ aXZ

+ bZ

, ❛✈❡❝ a, b ∈ C ✜①és✱

✶❖♥ ❝♦♥✈✐❡♥t ❛❧♦rs ❞❡ ❝❤♦✐s✐r ❝♦♠♠❡ ♦r✐❣✐♥❡ ❞❡ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ❣r♦✉♣❡ s✉rE❧❡ ♣♦✐♥t ✓à ❧✬✐♥✜♥✐✔✱

❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❤♦♠♦❣è♥❡s[X:Y :Z] = [0 : 1 : 0]✳

✷

❛ ❝♦♠♠❡ ♠♦❞✉❧❡ j(E) = 1728(4a)

/16(4a

+ 27b

)✳ ❊♥ ❢❛✐t ❝❡t ❡①❡♠♣❧❡ ❡st

❡①❤❛✉st✐❢✿ t♦✉t❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❡st ✐s♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❞✉ t②♣❡

♣ré❝é❞❡♥t ✭❬✷✸❪✱ ■■■✳➓✸✱ Pr♦♣✳ ✸✳✶✮✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡s ❝♦✉r❜❡s E

✱ ✐❧ s✬❛❣✐t ❞❡

❧✬éq✉❛t✐♦♥

Y

Z = 4X

+ 60G

(τ)XZ

+ 140G

(τ)Z

❞♦♥t ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s✬♦❜t✐❡♥♥❡♥t à ♣❛rt✐r ❞❡s sér✐❡s ❞✬❊✐s❡♥st❡✐♥ G

❡t G

✳ ❉❡

❧❛ s♦rt❡ ❧✬✉♥✐❢♦r♠✐s❛t✐♦♥ ❞❡ E(C) s✬♦❜t✐❡♥t ✭❬✷✸❪✱ ❱■✳➓✹✱ Pr♦♣✳ ✸✳✻✮ ❛✉ ♠♦②❡♥ ❞❡

❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ℘(z; τ) ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ÿ✱ ❡t ❞❡ s❛ ❞ér✐✈é❡ ℘

(z; τ) ❡♥ ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ z✱ ♣❛r

❧❛ ❢♦r♠✉❧❡

C → E(C) z 7→ [℘(z; τ) : ℘

(z; τ) : 1].

▲❡ rés✉❧t❛t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ ❝❡ t❡①t❡ r❡❧✐❡ ❞❡✉① ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ♥❛t✉r❡❧❧❡s s✉r Γ \ H ✿

✶✳ ❉✬✉♥❡ ♣❛rt ✐❧ ❡①✐st❡ s✉r H ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❜♦ré❧✐❡♥♥❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t❡ ♣❛r ❤♦♠♦❣r❛✲

♣❤✐❡s✱ ✉♥✐q✉❡ à ✉♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♣rès✳ ❖♥ ❝❤♦✐s✐t ✉s✉❡❧❧❡♠❡♥t

❧❛ ♠❡s✉r❡ ❞❡ P♦✐♥❝❛ré✱ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠❡ ✈♦❧✉♠❡

y

· ❞x ∧ ❞y = i/ ℑ (τ)

· ❞τ ∧ ❞¯ τ .

❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t ✜♥✐❡ µ ˜ s✉r ❧❛ ❜❛s❡ ❞✉ r❡✈êt❡♠❡♥t Γ \ H ✳

❈✬❡st ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♠❛ss❡ ✜♥✐❡✿ Vol(Γ \ H) = π/3 ✭❬✷✷❪✱ ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✷✵✮✳

❖♥ ❧✉✐ ♣ré❢ér❡r❛ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ :=

µ /(π/3)✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♥♦♠♠❡r❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té

❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡

✳

✷✳ ❉✬❛✉tr❡ ♣❛rt ❧❛ ❞r♦✐t❡ ❛✣♥❡ s✉r C ❡st ✉♥❡ ✈❛r✐été ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞é✜♥✐❡ s✉r Q ✳

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ♦♥ ♣❡✉t ❝♦♥s✐❞ér❡r ❧✬❛❝t✐♦♥ à ❣❛✉❝❤❡ ❞❡ G al( C / Q ) s✉r ❧❡s j✲✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s✳ ❊①♣❧✐❝✐t❡♠❡♥t✱ ét❛♥t ❞♦♥♥é ✉♥ ❛✉t♦✲

♠♦r♣❤✐s♠❡ σ ❞❡ C ✱ s✐

j = 1728(4a)

/16(4a

+ 27b

)

❡st ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥t j ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ E ❞✬éq✉❛t✐♦♥ Y

= X

+ aX + b✱

❛❧♦rs

σ(j) = 1728(4σ(a))

/16(4σ(a)

+ 27σ(b)

)

❡st✱ q✉❛♥t à ❧✉✐✱ ❝❡❧✉✐ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ E

❞✬éq✉❛t✐♦♥ Y

= X

+σ(a)X +σ(b)✳

✷▲✬✐♠❛❣❡ ❞✐r❡❝t❡ ❞❡ ❝❡tt❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té s✉rC✱ ✐♥❞✉✐t❡ ♣❛r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥j✱ ❡st ✉♥❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té à ❞❡♥s✐té s✉rC✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♥♦t❡r❛ ❛✉ss✐µ❀ ❡❧❧❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ✈♦❧✉♠❡ à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

❛♥❛❧②t✐q✉❡s✱ s❛✉❢ ♣❡✉t✲êtr❡ ❡♥0❡t1728✳ ❈❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s✬é❝r✐✈❡♥t ❡♥ t❡r♠❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥

❤②♣❡r❣é♦♠étr✐q✉❡²F¹(₋₁^1/_/⁶₆ ¹₃^/_/⁴₄;j)✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧✬✐♥✈❡rs❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥j❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♠✉❧✲

t✐❢♦r♠❡ q✉✐ s❡ ❞é❝r✐t ❡♥ t❡r♠❡ ❞✬✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❋✉❝❤s✐❡♥♥❡ ❞✬♦r❞r❡2à ❞❡✉① ♣ô❧❡s s✉rC✱ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭❤②♣❡r❣é♦♠étr✐q✉❡✮ ❞❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ✭❬✷✼❪✮✳

✸

❚♦✉t❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ E ❛❞♠❡t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ÿ Y

= X

+aX +b ♦ù ❧✬♦♥ ❛ ❝❤♦✐s✐ a ❡t b ❞❛♥s ❧❡ s♦✉s✲❝♦r♣s Q (j(E)) ❞❡ C ✭❬✷✸❪✱ ■■■✳➓✶✱

Pr♦♣✳ ✶✳✹✮✳ ❘é❝✐♣r♦q✉❡♠❡♥t s✐ E ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

❞❛♥s ✉♥ ❝♦r♣s K✱ ❛❧♦rs j(E) ∈ K✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ét❛♥t ❞♦♥♥és ✉♥ ❝♦r♣s L

✐♥❝❧✉s ❞❛♥s C ✱ ❡t ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ E ❛❞♠❡tt❛♥t ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s à

❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛❧❣é❜r✐q✉❡s s✉r L✱ ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥t j(E) ❡st ❛❧❣é❜r✐q✉❡ s✉r L❀ ❛✉tr❡♠❡♥t

❞✐t j(E) ♥✬❛❞♠❡t q✉✬✉♥❡ ♦r❜✐t❡ ✜♥✐❡ s♦✉s ❧✬❛❝t✐♦♥ ❞❡ G al(C/L)✳ ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡

❛❧♦rs ❧✬✉♥✐q✉❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❛t♦♠✐q✉❡ s✉r C s✉♣♣♦rté❡ ♣❛r ❧✬♦r❜✐t❡ ❞❡ j(E) ❡t

✐♥✈❛r✐❛♥t❡ ♣❛r G al(C/L)❀ ♦♥ ❧❛ ♥♦t❡ δ

(j(E))✳

▲❡ rés✉❧t❛t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ ❝❡ t❡①t❡✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ Γ \ H ✱ ❛✣r♠❡ q✉❡

❞❛♥s ❝❡rt❛✐♥❡s s✐t✉❛t✐♦♥s ♦♥ r❡tr♦✉✈❡ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡ µ ❝♦♠♠❡ ❧✐♠✐t❡

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(j(E))✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t

❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✳ ❙♦✐t L ✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ ❝♦♥t❡♥✉ ❞❛♥s C ✳

➱t❛♥t ❞♦♥♥é❡ ✉♥❡ s✉✐t❡ (E

)

❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s ❞é✜♥✐❡s ♣❛r

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♠♦r♣❤❡s✱ s❛♥s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧❡①❡✱ ❡t ♠✉t✉❡❧❧❡♠❡♥t ✐s♦❣è♥❡s✱ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✲

✐té δ

(j(E

)) ❝♦♥✈❡r❣❡ ✈❡rs ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡ µ ❧♦rsq✉❡ n t❡♥❞ ✈❡rs + ∞✳

❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱ ♣♦✉r t♦✉t❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❜♦r♥é❡ f : C → R ✱ δ

(j(E

))(f ) := 1

# G al(C/L) · j(E

)

X

z∈Gal(C/L)·j(En)

f (z) → µ(f ) :=

Z

C

f ❞ µ

❧♦rsq✉❡ n → + ∞ .

❊♥ t❡r♠❡s ✐♠❛❣és✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s ♦r❜✐t❡s ❞❡ j(E

) s♦✉s G al(C/L) s✬éq✉✐❞✐str✐❜✉❡

♣♦✉r ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ ❧♦rsq✉❡ n t❡♥❞ ✈❡rs + ∞✳

❉❛♥s ❧✬é♥♦♥❝é ✶✳✶✱ ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ q✉❡ ❧❡s ❝♦✉r❜❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s ♣r♦✈✐❡♥♥❡♥t ❞✬✉♥❡

♠ê♠❡ ❝❧❛ss❡ ❞✬✐s♦❣é♥✐❡ ❡st ✐♥❞✐s♣❡♥s❛❜❧❡✳ ◆❡ ❝♦♥s✐❞ér♦♥s q✉❡ ❧❡ ❝❛s ♦ù L = Q ✳

▲❡s ♦r❜✐t❡s s♦✉s G al( ¯ Q/Q) ❞❡ ♥♦♠❜r❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥✬♦♥t ♣❛s✱ ❡♥ ❣é♥ér❛❧✱ ❧❛

♣r♦♣r✐été ❞✬éq✉✐❞✐str✐❜✉t✐♦♥ é♥♦♥❝é❡✱ ♠ê♠❡ s✐ t♦✉t ♥♦♠❜r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❡st j✲

✐♥✈❛r✐❛♥t ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡✳ ➚ t✐tr❡ ❞✬❡①❡♠♣❧❡ ❧❡s ♦r❜✐t❡s ❞❡ r❛❝✐♥❡s ❞❡

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❞❡ ♥♦♠❜r❡s r❛t✐♦♥♥❡❧s ♥❡ ♣❡✉t ❛✉ ♠✐❡✉① s✬éq✉✐❞✐str✐❜✉❡r q✉❡ ♣♦✉r ✉♥❡ ♠❛ss❡ ❞❡

❉✐r❛❝✱ ❡t ❝❡ ✉♥✐q✉❡♠❡♥t s✐ ❝❡s r❛t✐♦♥♥❡❧s ❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ❈❛✉❝❤②✳

❲✐❧❧✐❛♠ ❉✉❦❡ ❛ ♠♦♥tré ❧✬❛♥❛❧♦❣✉❡ ❞✉ rés✉❧t❛t ♣ré❝é❞❡♥t✱ ♣♦✉r ❧❡s ❝♦✉r❜❡s

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♦❞❡s s♣❡❝tr❛❧❡s ✭❜♦r♥❡s ❞❡ s♦✉s✲❝♦♥✈❡①✐té ❞❡ ❇✉r❣❡ss✱ ❞✬■✇❛♥✐❡❝✱ ❧❡s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s

❞❡ ❲❡✐❧✱ ❧❡s ❢♦r♠❡s ❞❡ ▼❛❛ÿ✮✳ ❊❧❧❡ ♣❡r♠❡t ♣❛r ❝♦♥tr❡ ❞❡ ♥❡ ♣❛s s✉♣♣♦s❡r q✉❡

❧❡s ❝♦✉r❜❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s s♦✐❡♥t ✐s♦❣è♥❡s✳

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❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✷✳ P♦✉r ✉♥❡ s✉✐t❡ (E

)

t❡❧❧❡ q✉❡ ❞❛♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡✱ ❧❡ ❞❡❣ré [L(j(E

)) : L] t❡♥❞ ✈❡rs + ∞ ❧♦rsq✉❡ n t❡♥❞ ✈❡rs + ∞✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ s✉r ✉♥

✹

❝♦r♣s K ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r Q ✜①é✱ ✐❧ ♥✬② ❛ q✉✬✉♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s C ✲✐s♦❣è♥❡s à ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❞♦♥♥é❡✱ ❝♦♠♣té❡s à C ✲✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣rès✳

❙✐ j(E

) ❡st tr❛♥s❝❡♥❞❛♥t ♣♦✉r ✉♥ ✐♥❞✐❝❡ i✱ ✐❧ ❡♥ ❡st ❞❡ ♠ê♠❡ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡

✐♥❞✐❝❡✳ P♦✉r ✉♥ t❡❧ ❝❛s

✱ ❧❡ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ s❡ ❞é❞✉✐t ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❙❤✐♠✉r❛ ❡t ❍❡❝❦❡✳

P♦✉r t♦✉t N ∈ N

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PGL(2, Z) \ PGL(2, R)✱ ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s❡ r❛♠è♥❡ à ét✉❞✐❡r ❞❡s ✓♦r❜✐t❡s ❞❡

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❞❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ♠♦❞✉❧♦ (N ) ✿ SL(2, Z ) → SL(2, Z /(N ))✳

◆♦t♦♥s E[N ] ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ N ✲t♦rs✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡

❝♦♠♣❧❡①❡✳ ❈✬❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ✐s♦♠♦r♣❤❡ à (Z/(N))

✳ ❙❡ ❞♦♥♥❡r ✉♥❡ str✉❝t✉r❡

❝♦♠♣❧èt❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N s✉r ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ E✱ ❝✬❡st ❝❤♦✐s✐r ✉♥

✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ β ❡♥tr❡ (Z/(N ))

❡t ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ E[N ] ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ N✲t♦rs✐♦♥

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, P

) = β ((1, 0), (0, 1))

❞❡ ❧❛ N ✲t♦rs✐♦♥ ❞❡ E✳

▲✬❛❝❝♦✉♣❧❡♠❡♥t ❞❡ ❲❡✐❧ ❞❡ E ❞é✜♥✐t ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❛❧t❡r♥é❡ ♥♦♥ ❞é✲

❣é♥éré❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ e

: E[N ] × E[N ] → µ

à ✈❛❧❡✉r ❞❛♥s ❧❡ ❣r♦✉♣❡ µ

❞❡s r❛❝✐♥❡s N✲✐è♠❡s ❞❡ ❧✬✉♥✐té✳ ◆♦✉s ❝♦♥✈✐❡♥❞r♦♥s ❞✬✉t✐❧✐s❡r ❧❛ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥

❞❡ ❬✶✸❪✱ ✶✽ ➓✶ ❆♣♣✳ ❈❡tt❡ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ❡st ❛✉ss✐ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❛✈❡❝ ❧❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥

❞❡ ❬✷✹❪ ✭❝❢✳ ❊①❡r❝✐❝❡ ✶✳✶✺✮✱ q✉✐ r❡♣r❡♥❞ ❧❛ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❞❡ ❬✷✷❪✳

P♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥t τ ❞❡ H ✱ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ E

= C/(Z + τZ) ♣♦rt❡ ✉♥❡

str✉❝t✉r❡ β(τ) ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N ❝❛♥♦♥✐q✉❡✿ ❡♥ ❡✛❡t ❧❛ N✲t♦rs✐♦♥ ❞❡ E

❡st ❡♥❣❡♥❞ré❡

♣❛r ❧❡s ✐♠❛❣❡s P

(τ) ❡t P

(τ) ❞❡s ❞❡✉① ♣♦✐♥ts 1/N ❡t τ /N ❞❡ C ✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t

✉♥❡ r❛❝✐♥❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ζ(τ) = e

(P

(τ), P

(τ)) ❝❛♥♦♥✐q✉❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐é❡

à τ ✳ P❛r ❝❛❧❝✉❧✱ ♦♥ tr♦✉✈❡ ζ(τ) = ζ

♣♦✉r t♦✉t τ ❞❛♥s H ✭❬✶✸❪✱ ✶✽ ➓✶ ❆♣♣✳✱

♦✉ ❬✷✹❪✱ ❊①❡r❝✐❝❡ ✶✳✶✺✮✳

❖♥ ✈ér✐✜❡ q✉❡ ❞❡✉① ♣♦✐♥ts τ ❡t τ

❞❡ H ❞♦♥♥❡♥t ❧✐❡✉ à ❞❡✉① ❝♦✉r❜❡s (E

, β(τ ))

❡t (E

, β(τ

)) ❛✈❡❝ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N ✐s♦♠♦r♣❤❡s s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ τ = γ · τ

❛✈❡❝ γ ∈ Γ(N )✳ ❊♥ ❢❛✐t Γ(N ) \ H ♣❛r❛♠ètr❡ ❛✐♥s✐ t♦✉t❡s ❧❡s ❝❧❛ss❡s

❞✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ♠✉♥✐❡s ❞✬✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧èt❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉

N ❞♦♥t ❧❛ r❛❝✐♥❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❛ss♦❝✐é❡ ❡st ζ

✳ P♦✉r k ∈ Z/(N )

✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❧❡s str✉❝t✉r❡s ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ r❛❝✐♥❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❛ss♦❝✐é❡ ζ

✱ ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t✱ ❛✉ ❝❤♦✐①✱

❧❡s ❜❛s❡s ❞✉ t②♣❡ (k/N, τ /N ) ♦✉ (1/N, kτ /N )✳

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s N = 1✱ Γ(N ) \ H s✬✐❞❡♥t✐✜❡ à ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A

( C ) ❞❡s ♣♦✐♥ts ❝♦♠✲

♣❧❡①❡s ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡ ❛✣♥❡ A

✳ ❉❡ ❢❛ç♦♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡✱ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ♠♦❞✉❧❛✐r❡ Y (N)

❡st ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ✭❛✣♥❡ ❡t ❣é♦♠étr✐q✉❡♠❡♥t ❝♦♥♥❡①❡✮ s✉r Q(ζ

) q✉✐

✓♣❛r❛♠ètr❡

✔ ❧❡s ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ♠✉♥✐❡s ❞✬✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧èt❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉

N ❞♦♥t ❧❛ r❛❝✐♥❡ ❛ss♦❝✐é❡ ❡st ζ

✳ ▲✬❡s♣❛❝❡ ❛♥❛❧②t✐q✉❡ Y (N )( C ) ❢♦r♠é ❞❡ s❡s

♣♦✐♥ts ❝♦♠♣❧❡①❡s s✬✐❞❡♥t✐✜❡ ❛✐♥s✐ ❛✈❡❝ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥ Γ(N ) \ H ✳ P♦✉r N = 1✱ ♦♥ r❡tr♦✉✈❡ ❧❡ ❜✐❤♦❧♦♠♦r♣❤✐s♠❡ Γ \ H →

A

(C) ✐♥❞✉✐t ♣❛r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ j✳

▲✬❡s♣❛❝❡ Γ(N ) \ H ♣♦rt❡ ❞♦♥❝ ✉♥❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡✱ ♥♦té❡ µ✱

❛✐♥s✐ q✉✬✉♥❡ ❛❝t✐♦♥ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ G al(C/Q(ζ

))✳

✺❙tr✐❝t♦ s❡♥s✉ ✐❧ s✬❛❣✐t ❞✬✉♥ ❡s♣❛❝❡ ❞❡ ♠♦❞✉❧❡ ❣r♦ss✐❡r ♣♦✉rN= 1♦✉2✱ ❡t ✜♥ ♣♦✉rN≥3✱

❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é✳ ❖♥ ♣❡✉t ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ♣r❡♥❞r❡ ❧❛ ✜❜r❡ ❣é♥ér✐q✉❡ ❞❡s Spec(Z[1/N, ζN])✲s❝❤é♠❛s ❝♦♥str✉✐ts ❞❛♥s ❬✼❪ ♦✉ ❬✶✷❪✳

✼

▲❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ s❡ ❝♦♥str✉✐t ❝♦♠♠❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ Γ \ H ❞ét❛✐❧❧é ❡♥ ✐♥tr♦✲

❞✉❝t✐♦♥✳ ▲✬❛❝t✐♦♥ ❞❡ G al( C / Q (ζ

)) s❡ ❞é❝r✐t ❛✐♥s✐✿ ❙♦✐t σ ∈ G al( C / Q (ζ

)) ❡t s♦✐t z ∈ Y (N )(C)✳ ❆❧♦rs x ♣❡✉t êtr❡ r❡♣rés❡♥té ♣❛r ✉♥❡ ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡

❝♦♠♣❧❡①❡ E ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ÿ Y

Z = X

+ aXZ

+ bZ

❡t ♠✉♥✐❡ ❞✬✉♥❡ ❜❛s❡ (P

= [X

: Y

: Z

], P

= [X

: Y

: Z

]) ❞❡ ❧❛ N✲

t♦rs✐♦♥✳ ❉ès ❧♦rs ❧❡ ♣♦✐♥t σ(z) ❡st r❡♣rés❡♥té ♣❛r ❧❛ ❝♦✉r❜❡ E

❞♦♥♥é❡ ♣❛r Y

Z = X

+ σ(a)XZ

+ σ(b)Z

❡t ♠✉♥✐❡ ❞❡ ❧❛ ❜❛s❡ (P

= [σ(X

) : σ(Y

) : σ(Z

)], P

= [σ(X

) : σ(Y

) : σ(Z

)])✳ ❖♥ ✈ér✐✜❡ q✉✬à ❝❡tt❡ ❞❡r♥✐èr❡ ♦♥ ❛ss♦❝✐❡

❧❛ r❛❝✐♥❡ e

(P

, P

) = σ(e

(P

, P

)) = σ(ζ

) = ζ

✱ ♣✉✐sq✉❡ σ ❛❣✐t ❝♦♠♠❡

❧✬✐❞❡♥t✐té s✉r Q(ζ

)✳

❙♦✐t L ✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ ❝♦♥t❡♥✉ ❞❛♥s C ❡t ❝♦♥t❡♥❛♥t Q(ζ

)✳ ❙♦✐t z ∈ Y (N )(C) ✉♥ ♣♦✐♥t ❝♦♠♣❧❡①❡ s✉♣♣♦sé ❛❧❣é❜r✐q✉❡ s✉r L✳ ❆❧♦rs ❧✬♦r❜✐t❡ ❞❡ z s♦✉s G al( C /L) ❡st ✜♥✐❡✱ ❡t ❡st ❧❡ s✉♣♣♦rt ❞✬✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❜♦ré❧✐❡♥♥❡

❛t♦♠✐q✉❡ G al(C/L)✲✐♥✈❛r✐❛♥t❡✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♥♦t❡r❛ δ

(z)✱ s✉r Y (N )(C)✳

▲❡ rés✉❧t❛t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ ❝❡ t❡①t❡ ❡st ✉♥❡ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é♥♦♥❝é ✷✳✶ ❛✉

❝❛s ❞❡s str✉❝t✉r❡s ❝♦♠♣❧èt❡s ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N✳ ■❧ ♣❡r♠❡t✱ s✉r ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❞❡ ❘✐❡✲

♠❛♥♥ Y (N )( C )✱ ❞✬♦❜t❡♥✐r ❧❛ ♠❡s✉r❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐q✉❡ µ ❝♦♠♠❡ ❧✐♠✐t❡ étr♦✐t❡ ❞❡

♣r♦❜❛❜✐❧✐tés ❛t♦♠✐q✉❡s ❞✉ t②♣❡ δ

(z)✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t

❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✶✳ ❙♦✐t L ✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ ❝♦♥t❡♥✉ ❞❛♥s C ❡t ❝♦♥t❡♥❛♥t Q (ζ

)✳

❙♦✐t z

∈ Y (N )(C) ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ❞❡✉① à ❞❡✉① ❞✐st✐♥❝ts✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ ❧❡s z

s♦♥t r❡♣rés❡♥tés ♣❛r ❞❡s str✉❝t✉r❡s ❝♦♠♣❧èt❡s ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N s✉r ❞❡s

❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s E

❞❡✉① à ❞❡✉① ✐s♦❣è♥❡s ❡t s❛♥s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥

❝♦♠♣❧❡①❡ ❞é✜♥✐❡s ♣❛r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛❧❣é❜r✐q✉❡s s✉r L✳

❆❧♦rs δ

(z

) ❝♦♥✈❡r❣❡ ✈❡rs µ ❧♦rsq✉❡ n t❡♥❞ ✈❡rs + ∞✳

❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱ ♣♦✉r t♦✉t❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❜♦r♥é❡ f : Y (N)(C) → R ✱ δ

(f ) := 1

# G al(C/L) · z

X

z∈Gal(C/L)·z_n

f (z) → µ(f ) :=

Z

Y(N)(C)

f ❞µ

❧♦rsq✉❡ n → + ∞ .

❖♥ ❞✐r❛ q✉❡ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s ♦r❜✐t❡s ❞❡ x

s♦✉s G al( C /L) s✬éq✉✐❞✐str✐❜✉❡ ♣♦✉r

❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ✳

▲❡ t❤é♦rè♠❡ ✶✳✶ ❡st ✉♥ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❞❡ ❧✬é♥♦♥❝é ♣ré❝é❞❡♥t ♣♦✉r N = 1✱

♠♦❞✉❧♦ ❧✬✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ Y (1)(C) ≃ Γ(1) \ H →

C ✳

❙♦✐t L ¯ ❧❛ ❢❡r♠❡t✉r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞❡ L ❞❛♥s C ✳ ▲❡ ❢❛✐t q✉❡ E

s♦✐t ❞é✜♥✐❡ s✉r L ¯ éq✉✐✈❛✉t à ❝❡ q✉❡ z

❛♣♣❛rt✐❡♥♥❡ ❛✉ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ Y (N)( ¯ L) ❞❡ Y (N )(C)✳ ❈❡❧❛

r❡✈✐❡♥t ❛✉ss✐ à ❞✐r❡ q✉❡ j(E

) ∈ L✳ ▲❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐tés ¯ δ

(z

) s♦♥t ❞♦♥❝ ❜✐❡♥

❞é✜♥✐❡s✳ ❈♦♠♠❡ ❧❡s E

s♦♥t ❞❡✉① à ❞❡✉① ✐s♦❣è♥❡s✱ ✐❧ s✉✣t ♠ê♠❡ ❞❡ s✉♣♣♦s❡r q✉❡ z

♥✬❛♣♣❛rt✐❡♥t à Y (N)( ¯ L)✱ ✈♦✐r❡ q✉❡ j(E

) ∈ L✱ ✉♥✐q✉❡♠❡♥t q✉❡ ♣♦✉r ✉♥❡ ¯ s❡✉❧❡ ✈❛❧❡✉r ❞❡ ❧✬✐♥❞✐❝❡ n ✭❬✷✸❪✱ ■■■✳➓✹✮✳

✽

✸ ❆❝t✐♦♥ ❣❛❧♦✐s✐❡♥♥❡ s✉r ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞✬✐s♦❣é♥✐❡

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ♥♦✉s ❞é❝r✐✈♦♥s s♦✉s ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ♣❧✉s ❝♦♠♠♦❞❡ ❧❛ ❝❧❛ss❡ ❞✬✐s♦✲

❣é♥✐❡ ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ✭❝❢✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✮✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❞❛♥s

❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❞é✜♥✐ss❛❜❧❡ s✉r ✉♥ ❝♦r♣s L ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐✱ ♥♦✉s ❡①♣❧✐❝✐t♦♥s

❧✬❛❝t✐♦♥ ❞❡ G al( C /L) s✉r s❛ ❝❧❛ss❡ ❞✬✐s♦❣é♥✐❡ ✭Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸✮✳ ❊♥✜♥ ♥♦✉s

❡①♣❧✐❝✐t❡r♦♥s ❝♦♠♠❡♥t r❡❧✐❡r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛✉r♦♥s ♦❜t❡♥✉s ❛✈❡❝ ❧❡s

❝♦✉r❜❡s ♠♦❞✉❧❛✐r❡s ✐♥tr♦❞✉✐t❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ✭Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✻✮✳ ❈❡ s♦♥t ❞❡s

♣r♦♣r✐étés ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉❡s ❡t ❧❡ s❡✉❧ ♣♦✐♥t ❞✐✣❝✐❧❡✱ ✐❞❡♥t✐✜❡r ❧✬❛❝t✐♦♥ ❣❛❧♦✐s✐❡♥♥❡

❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❛❧❣é❜r✐q✉❡✱ s❡r❛ ❡♥ ❢❛✐t ✉♥ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡ ♦✉✈❡rt❡

❞❡ ❙❡rr❡✳

❘❛♣♣❡❧♦♥s ❜r✐è✈❡♠❡♥t q✉❡ Z ˆ ❞és✐❣♥❡ ❧❡ ❝♦♠♣❧été ❞❡ Z ♣♦✉r ❧❛ ❜❛s❡ ❞❡ ✈♦✐s✐✲

♥❛❣❡s ❞❡ 0 ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❡s ✐❞é❛✉① ♥♦♥ ♥✉❧s ❞❡ Z ✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ s❡s s♦✉s✲❣r♦✉♣❡s

❛❞❞✐t✐❢s ❞✬✐♥❞✐❝❡ ✜♥✐✿ ❖♥ ❛ Z ˆ = lim

←−

Z/(N)✳ ❈✬❡st ✉♥ ❛♥♥❡❛✉ ♣r♦✜♥✐✱

❞♦♥❝ ❝♦♠♣❛❝t ❡t t♦t❛❧❡♠❡♥t ❞✐s❝♦♥t✐♥✉❀ ✐❧ ❝♦♥t✐❡♥t Z ❝♦♠♠❡ s♦✉s✲❛♥♥❡❛✉ ❞❡♥s❡✳

❖♥ t✐r❡ ❞✉ ❧❡♠♠❡ ❝❤✐♥♦✐s ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ Z ˆ = Y

p♣r❡♠✐❡r

Z

❡♥ t❡r♠❡ ❞✬❛♥♥❡❛✉①

❞✬❡♥t✐❡rs p ✲❛❞✐q✉❡s✳ ❖♥ ❢♦r♠❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ A

≃ Z ˆ ⊗

Q ❞❡s ❛❞è❧❡s ❛✉① ♣❧❛❝❡s ✜♥✐❡s✱

♦ù ❧✬♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❧❛ t♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞✐s❝rèt❡ s✉r Q ❡t Z ✳ ❈✬❡st ✉♥ ❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t

❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥st✐t✉é ❞❡s s✉✐t❡s (n

/m

)

❞❡ Y

p♣r❡♠✐❡r

Q

♥✬❛❞♠❡tt❛♥t ✉♥

❞é♥♦♠✐♥❛t❡✉r q✉❡ ♣♦✉r ❛✉ ♣❧✉s ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐ ❞✬✐♥❞✐❝❡s✳ ❊♥✜♥ A ≃ R × A

❞és✐❣♥❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❞❡s ❛❞è❧❡s✳ ■❧ ❡st ❧✉✐ ❛✉ss✐ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t ❝♦♠♣❛❝t❀ ❡♥ ♦✉tr❡ Q s❡

♣❧♦♥❣❡✱ ❞❡ ❢❛ç♦♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡✱ s✉r ✉♥ s♦✉s✲❛♥♥❡❛✉ ❞✐s❝r❡t ❡t ❝♦❝♦♠♣❛❝t ❞❡ ❝❡❧✉✐✲❝✐✳

◆♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ❧❛ ♥♦t❛t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡✱ ♦ù G ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❧✐♥é❛✐r❡

s✉r Q ♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ G(Z) ❛ ✉♥ s❡♥s✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❧♦rsq✉❡ G ❡st ✉♥ s♦✉s

❣r♦✉♣❡ ❞❡ GL(n)✿ ❖♥ ❞és✐❣♥❡r❛ ♣❛r G[N Z ] ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t G[N Z ˆ ]✮ ❧❡ ♥♦②❛✉

❞✉ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ♠♦❞✉❧♦ NZ ✭r❡s♣✳ N Z ˆ ✮ G(Z) → G(Z/NZ) ✭r❡s♣✳

G( ˆ Z) → G(Z/N Z)✮❀ ❝✬❡st ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡ G(Z) ✭r❡s♣✳ G( ˆ Z)✮ ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s

❝♦♥❣r✉❡s à ❧✬✐❞❡♥t✐té ♠♦❞✉❧♦ (N)✳

❱♦✐❝✐ ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❞❡s é♥♦♥❝és q✉❡ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞é♠♦♥tr❡r

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✳ ❙♦✐t E ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ s❛♥s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥

❝♦♠♣❧❡①❡✱ ❡t s♦✐t β : (Z/(N ))

→

E[N ] ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧èt❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N s✉r E ❞❡ r❛❝✐♥❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❛ss♦❝✐é❡ é❣❛❧❡ à ζ

✳ ❖♥ s❡ ✜①❡ é❣❛❧❡♠❡♥t✱ ♣♦✉r s✐♠♣❧✐✜❡r✱ ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ T(E) ˆ r❡❧❡✈❛♥t β✳

✶✳ ❆❧♦rs ❧❡s ❝❧❛ss❡s ❞✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s E

✐s♦✲

❣è♥❡s à E ♠✉♥✐❡s ❞✬✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧èt❡ β

❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N ❢♦r♠❡♥t ✉♥

❡♥s❡♠❜❧❡ Isog

(E) q✉✐ s✬✐❞❡♥t✐✜❡ ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t à Q

\ Isom(A

, V ˆ (E))/GL(2)[N Z], ˆ

✾

❝✬❡st✲à✲❞✐r❡✱ ét❛♥t ❞♦♥♥é q✉❡ ❧✬♦♥ s✬❡st ❝❤♦✐s✐ ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ T ˆ (E)✱ à Q

\ GL(2, A

)/GL(2)[N Z ˆ ]

♦✉ ♠ê♠❡✱ ❝♦♠♣t❡ t❡♥✉ ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ❞✬❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦rt❡✱ à Q

\ GL(2, Q)GL(2, Z)/GL(2)[N ˆ Z]. ˆ

✷✳ ❊♥ ♦✉tr❡✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ q✉✐ ❢❛✐t ❝♦rr❡s♣♦♥❞r❡ à ❧❛ ❝❧❛ss❡ ❞✉ ❝♦✉♣❧❡ (E, β

)

❧❛ r❛❝✐♥❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ N ✲✐è♠❡ ❛ss♦❝✐é❡ s✬✐❞❡♥t✐✜❡ ❛❧♦rs à ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

Q

\ GL(2, Q )GL(2, Z ˆ )/GL(2)[N Z ˆ ] −→ µ

( C ), Q

· (q · z) · GL(2)[N Z] ˆ 7−→ (ζ

)

.

✸✳ ❉és✐❣♥♦♥s ♣❛r Isog

(E) ❧❡ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ Y (N )( C ) q✉✐

s♦♥t r❡♣rés❡♥tés ♣❛r ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N ❞❡ r❛❝✐♥❡ ❛ss♦❝✐é❡ ζ

s✉r

✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ✐s♦❣è♥❡ à E✳

❆❧♦rs Isog

(E) s✬✐❞❡♥t✐✜❡ ❛✉ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ Isog

(E) ✐♥❞✉✐t ♣❛r Q

\ GL(2, Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N ˆ Z]. ˆ

◗✉❡❧q✉❡s r❡♠❛rq✉❡s ❛✈❛♥t ❞❡ ♣♦✉rs✉✐✈r❡✳ ❚♦✉t ❞✬❛❜♦r❞ ❧❡s ❛❝t✐♦♥s ❞❡s ❞❡✉①

❣r♦✉♣❡s Aut( A

) ❡t Aut( ˆ V (E)) s✉r Isom( A

, V ˆ (E)) s❡ ❢♦♥t ♣❛r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱

à ❞r♦✐t❡ ♣♦✉r Aut(A

) ❡t à ❣❛✉❝❤❡ q✉❛♥t à Aut( ˆ V (E))❀ ❝❡ s♦♥t ❞♦♥❝ ❞❡s ❛❝t✐♦♥s à ❞r♦✐t❡ ❡t à ❣❛✉❝❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t

✳ ❊♥ ❝❡ q✉✐ ❝♦♥❝❡r♥❡ s❡❝♦♥❞ ♣♦✐♥t ❞❡ ❧❛

❝♦♥❝❧✉s✐♦♥✱ ✐❧ ❢❛✉t s❛✈♦✐r q✉❡ t♦✉t é❧é♠❡♥t g ❞❡ GL(2, A

) ♣❡✉t s❡ ♠❡ttr❡ s♦✉s

❧❛ ❢♦r♠❡ q · z ❛✈❡❝ q ∈ GL(2, Q) ❡t z ∈ GL(2, Z) ˆ ✭❬✶✶❪✱ ♣❛❣❡ ✻✻✮✳

◆♦✉s ♥♦✉s ✐♥s♣✐r♦♥s ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ ❬✼❪✱ ♣❛❣❡ ✼✺✿ ❙♦✐t k ✉♥ ❝♦r♣s ❛❧✲

❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ❝❧♦s ❞❡ ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ 0❀ s❡✉❧s ♥♦✉s ✐♠♣♦rt❡r♦♥t ❧❡s ❝❛s ♦ù k ❡st C ✱ Q ¯ ♦✉ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ❧❛ ❢❡r♠❡t✉r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞❛♥s C ❞✉ ❝♦r♣s L ❞❡ t②♣❡

✜♥✐ ❝♦♥s✐❞éré ❞❛♥s ✷✳✶✳ ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❧❛ ❝❛té❣♦r✐❡ Q ✲❧✐♥é❛✐r❡ E ℓℓ(k) ⊗ Q ❞❡s

✓❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s à ✐s♦❣é♥✐❡ ♣rès✔ s✉r k ❞é✜♥✐❡ ❛✐♥s✐✿

• ▲❡s ❝❛té❣♦r✐❡s E ℓℓ(k) ❡t E ℓℓ(k) ⊗ Q ♦♥t ❧❡s ♠ê♠❡s ♦❜❥❡ts✳ ❖♥ ♥♦t❡r❛

t♦✉t❡❢♦✐s E ⊗ Q ❧❛ ✓❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ à ✐s♦❣é♥✐❡ ♣rès✔ ✐♥❞✉✐t❡ ♣❛r E✳

• ▲❡s ✢è❝❤❡s ❞❡ E ℓℓ(k) ⊗ Q ✭❡t ❧❡✉r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✮ s♦♥t ❞♦♥♥é❡s ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡

Hom(E ⊗ Q, F ⊗ Q) := Hom(E, F ) ⊗

Q.

✻▲❛ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ♣♦✉r ❧❛ ❧❛tér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❛❝t✐♦♥s ❞❡ ❣r♦✉♣❡ ❡st ♦♣♣♦sé❡ à

❝❡❧❧❡ ❞❡s ➱❧é♠❡♥ts ❞❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❞❡ ◆✳ ❇♦✉r❜❛❦✐✿ ♥♦✉s ♥♦♠♠❡r♦♥s ✉♥ é❧é♠❡♥tgH❞❡G/H

✉♥❡ ❝❧❛ss❡ à ❞r♦✐t❡✳

✶✵

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r E ⊗ Q ❡st ✐s♦♠♦r♣❤❡ à F ⊗ Q s✐❣♥✐✜❡ q✉❡ E ❡t F s♦♥t ✐s♦❣è♥❡s✳

▲❛ ❝♦♥s✐❞ér❛t✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞✉❧❡ ❞❡ ❚❛t❡ ✐♥❞✉✐t ✉♥ ❢♦♥❝t❡✉r ❛❞❞✐t✐❢

[f : E → F ] 7→ [ ˆ T(f ) : ˆ T (E) → T ˆ (F)]

❞❡ E ℓℓ(k) ✈❡rs ❧❛ ❝❛té❣♦r✐❡ M od

❞❡s Z ˆ ♠♦❞✉❧❡s✳ ❈❡❧✉✐✲❝✐ ✐♥❞✉✐t ❛✉ss✐ ✉♥

❢♦♥❝t❡✉r [f : E ⊗ Q → F ⊗ Q] 7→ [ ˆ V (f ) : ˆ V (E ⊗ Q) → V ˆ (F ⊗ Q)] ❞❡ E ℓℓ(k) ⊗ Q

✈❡rs M od

✳ ❖♥ r❡tr♦✉✈❡ ❛❧♦rs Hom

(E, F ) ❝♦♠♠❡ ❧❡ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s

♠♦r♣❤✐s♠❡s f ∈ Hom(E ⊗ Q, F ⊗ Q) t❡❧s q✉❡ V ˆ (f )( ˆ T (E)) ⊆ T ˆ (F )✳

❙♦✐t V ˆ ✉♥ A

✲♠♦❞✉❧❡ ❧✐❜r❡ ❞❡ r❛♥❣ 2✳ ❯♥ rés❡❛✉ ❞❡ V ˆ ❞és✐❣♥❡r❛ ✐❝✐ ✉♥

s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❝♦♠♣❛❝t ♦✉✈❡rt T ˆ ❞❡ ❝❡❧✉✐✲❝✐✳ ▲❛ ❞♦♥♥é❡ ❞❡ T ˆ éq✉✐✈❛✉t à ❝❡❧❧❡

❞✬✉♥❡ GL(2, Z)✲❝❧❛ss❡ à ❞r♦✐t❡ ❞✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡s ˆ A

✲❧✐♥é❛✐r❡s ❞✉ ♣❧❛♥ A

❛✈❡❝ V ˆ ✿ à ❧❛ ❝❧❛ss❡

B ∈ Isom(A

, V ˆ )/GL(2, Z) ˆ

❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❧❡ rés❡❛✉ β( ˆ Z

)✱ ♦ù β : A

→

V ˆ ❞és✐❣♥❡ ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ ✐s♦♠♦r✲

♣❤✐s♠❡ ❞❡ ❝❧❛ss❡ B✳ ❊♥ ♦✉tr❡✱ ❧❡ ❝❤♦✐① ❞❡ ❧✬✉♥❡ ❞❡s GL(2)[N Z]✲❝❧❛ss❡s ❝♦♥t❡♥✉❡s ˆ

❞❛♥s B

C ∈ B/GL(2)[N Z ˆ ] ⊆ Isom( A

, V ˆ )/GL(2)[N Z ˆ ],

r❡✈✐❡♥t à ❝❤♦✐s✐r ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ (Z/(N))

≃ Z ˆ

⊗ Z/(N) ❛✈❡❝ ϕ( ˆ Z

) ⊗ Z/(N )✿ ❝❡❧✉✐ ✐♥❞✉✐t ♣❛r β ⊗ Z/(N )✱ ♣❡✉ ✐♠♣♦rt❡ β ∈ C✳

❖♥ ❞é✜♥✐t ❡♥s✉✐t❡ ❧❛ ❝❛té❣♦r✐❡ E ℓℓ(k)

❞❡s ❝♦✉♣❧❡s (E ⊗ Q, B)✱ ♦ù B ❡st ✉♥

rés❡❛✉ ❞❡ V ˆ (E ⊗ Q )✱ ♣♦✉r ❧❛q✉❡❧❧❡

Hom((E ⊗ Q, B), (F ⊗ Q, C)) ⊆ Hom(E ⊗ Q, F ⊗ Q)

❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r V ˆ (f )(β( ˆ Z

)) ⊆ γ( ˆ Z

)✱ ♣♦✉r β ∈ B ❡t γ ∈ C✳ ■❧ ❡st ✐♠♠é❞✐❛t q✉❡ ❧✬♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✉♥❡ ❝❛té❣♦r✐❡ éq✉✐✈❛❧❡♥t❡ à E ℓℓ(k)✱ ✉♥❡ éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ét❛♥t

❝❡❧❧❡ q✉✐ ❛ss♦❝✐❡ à ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ E ❧❡ ❝♦✉♣❧❡ (E ⊗ Q, T ˆ (E))✳ ❉❡ ♣❧✉s t♦✉t ♦❜❥❡t (E

⊗ Q, B) ❞❡ E ℓℓ(k)

t❡❧ q✉❡ E

❡st ✐s♦❣è♥❡ à E✱ ❡st ✐s♦♠♦r♣❤❡

à (E ⊗ Q, B

) ♣♦✉r ✉♥ B

❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ V ˆ (f )

B✱ ♣♦✉r f ❝❤♦✐s✐

❞❛♥s Isom(E

⊗ Q , E ⊗ Q )✳

❖♥ ❞é✜♥✐t ❡♥✜♥ ❧❡ ❣r♦✉♣♦ï❞❡ E ℓℓ

(k)✱ ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❝❛té❣♦r✐❡ ❞♦♥t ❧❡s ♦❜❥❡ts s♦♥t ❧❡s ❝♦✉♣❧❡s (E ⊗ Q, B) ♦ù B ∈ Isom( ˆ V (E), A

)/GL(2)[N Z] ˆ ❡t ❛②❛♥t

❝♦♠♠❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡s ❞❡ (E ⊗ Q , B) ✈❡rs (F ⊗ Q , C) ❧❡s ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡s f

❞❛♥s Isom(E ⊗ Q, F ⊗ Q) t❡❧s q✉❡ B = f

C✳ ▲❡ ❣r♦✉♣♦ï❞❡ E ℓℓ

(k) ❛✐♥s✐

❝♦♥str✉✐t ❡st éq✉✐✈❛❧❡♥t à ❧❛ ❝❛té❣♦r✐❡ ❢♦r♠é❡ ❞❡s ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s s✉r k ❛✈❡❝

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❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ❧♦rsq✉❡ E ♥✬❛❞♠❡t ♣❛s ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❧❡

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♣♦✐♥t ❞❡ ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✳

❙♦✐t ♠❛✐♥t❡♥❛♥t z ∈ Isog

(E) ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ E ℓℓ

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N r❡♣rés❡♥t❛♥t ❝❡tt❡ ❝❧❛ss❡✳ ❈❤♦✐s✐ss♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t β ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡

Z ˆ

✈❡rs T(E) ˆ r❡❧❡✈❛♥t ❝❡tt❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉✳ ❆❧♦rs g ❡♥✈♦✐❡ ❧❛ ❝❧❛ss❡ ❞❡

(E, β ⊗ Q : A

→

V ˆ (E)) s✉r ❝❡❧❧❡ ❞❡ (E, (β ◦ g) ⊗ Q : A

→

V ˆ (E))✳ ❉♦♥❝

❧❛ ❝❧❛ss❡ z · g✱ ♣♦✉r g ∈ GL(2, Z) ˆ ❡st r❡♣rés❡♥té❡ ♣❛r ❧❛ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉

(β ◦ g) ⊗ Z/(N ) : (Z/(N))

→

E[N ](k) s✉r E✳

◆♦t♦♥s β

= β ⊗ Z/(N) : (Z/(N ))

→

E[N ](k) ❡t g

= g ⊗ Z/(N ) : ( Z /(N ))

→

( Z /(N ))

✳ P❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ ❧❛ str✉❝t✉r❡ β

s✉r E ❛❞♠❡t ζ :=

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(β

(1, 0), β

(1, 0)) ❝♦♠♠❡ r❛❝✐♥❡ ❛ss♦❝✐é❡✳ ▲❛ str✉❝t✉r❡ (β ◦ g) ⊗ Z/(N ) q✉❛♥t à ❡❧❧❡ ❛ ♣♦✉r r❛❝✐♥❡ ❛ss♦❝✐é❡ e

(β

◦ g

(1, 0), β

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(1, 0))✱ s♦✐t é❣❛❧❡♠❡♥t ζ

✱ e

ét❛♥t ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✱ ❛❧t❡r♥é❡ à ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s µ

(k)✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t ❧❡

s❡❝♦♥❞ ♣♦✐♥t ❞❡ ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✳ ▲❡ tr♦✐s✐è♠❡ ♣♦✐♥t q✉❛♥t à ❧✉✐ ❞é❝♦✉❧❡ ❞❡

❝❡ s❡❝♦♥❞ ♣♦✐♥t✱ à ❝❡❝✐ ♣rès q✉✬✐❧ ❢❛✉t r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ GL(2, Q) · GL(2)[N Z] = ˆ GL(2, Q) · SL(2, Z)GL(2)[N ˆ Z]✱ ♦ù ♦♥ r❡❝♦♥♥❛ît ❡♥ ˆ SL(2, Z)GL(2)[N ˆ Z] ˆ ❧❡ s♦✉s✲

❣r♦✉♣❡ ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❞❡ GL(2, Z ˆ ) ❞♦♥t ❧❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❡st ❝♦♥❣r✉ à 1 ♠♦❞✉❧♦

(N )✳ ▼❛✐s ❝❡❧❛ ♣r♦✈✐❡♥t ❞✉ ❢❛✐t q✉❡ ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ SL(2, Z) ❞❡ GL(2, Q) ❛✈❡❝

SL(2, Z) ˆ ❡st ❞❡♥s❡ ❞❛♥s ❝❡ ❞❡r♥✐❡r ✭❬✶✶❪✱ ♣❛❣❡ ✻✾✮✳

❖♥ ✈❛ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❡①♣❧✐❝✐t❡r ❧❡s ♣r♦♣r✐étés ❣❛❧♦✐s✐❡♥♥❡s ❞✉ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡

Isog

(E) ❞❡ Y (N)( C )✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t ♦♥ ✈❛ ét❛❜❧✐r ❧✬é♥♦♥❝é s✉✐✈❛♥t Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸✳ ❙♦✐t L ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ ❞❡ Q(ζ

) ❝♦♥t❡♥✉❡ ❞❛♥s C ✳

❙♦✐t E ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ s❛♥s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ ♠✉♥✐❡ ❞✬✉♥❡

str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❧èt❡ β ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ N ❞❡ r❛❝✐♥❡ ❛ss♦❝✐é❡ ζ

✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ (E, β)

❛❞♠❡t ✉♥ ♠♦❞è❧❡ (E, β) →

(E

, β

) ⊗

C ✱ ♦ù E

❡st ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡

✶✷