Symétrie des interactions fortes

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Symétrie des interactions fortes

C. Itzykson, M. Jacob

To cite this version:

C. Itzykson, M. Jacob. Symétrie des interactions fortes. Journal de Physique, 1965, 26 (4), pp.199-216.

�10.1051/jphys:01965002604019900�. �jpa-00205952�

199.

MISE AU POINT

SYMÉTRIE DES INTERACTIONS FORTES Par C. ITZYKSON (1) ^{et M. JACOB} (1),

Stanford Linear Accelerator Center, Stanford, ^California

Résumé. - Nous présentons les recherches récentes concernant les propriétés ^de symétrie

des interactions fortes. Les idées générales ^sont introduites d’une manière très simple ^en

débutant par ^un bref rappel ^de propriétés ^{bien connues comme} l’indépendance ^de charge ^{et la}

notion de spin isotonique, ^{et en} généralisant ^le plus possible. ^{Le modèle de} l’octet de la symétrie

unitaire est introduit après ^{une section consacrée aux} algèbres ^de Lie. Les données expérimentales, multiplets, ^{masses, sections efficaces} sont ensuite comparées ^aux prédictions de la théorie. Les

hypothèses concernant la structure des courants électromagnétique ^{et faible associés aux} parti-

cules à interactions fortes sont brièvement présentées. Nous mentionnons finalement certaines

généralisations ^{à des} symétries plus ^{vastes et en} particulier l’introduction du groupe SU6. ^Nous indiquons par ailleurs quelques ^méthodes générales permettant d’étudier les propriétés des groupes rencontrés.

Abstract. - We review recent developments ⁱⁿ strong interaction symmetries. ^{We have}

tried to emphasize ^a simple approach ^starting from very well known facts such ^as charge indepen-

dance and isotopic spin. ^{We then} present unitary symmetry ^{after a} short introduction to the

language ^{of Lie} Algebras. ^The experimental ^{data, on masses,} multiplets, scattering ^{cross sections}

are confronted with the theory. ^We briefly indicate certain hypothesis concerning the structure of

electromagnetic ^{and weak} currents of strongly interacting particles. Finally ^{we mention some} generalizations ^to higher groups and ⁱⁿ particular ^the SU6 symmetry. ^We have also tried to sketch general methods to study ^the properties of the groups involved.

LE PHYSIQUE 26, 1965,

I. Introduction.

Presenter une mise au point ^sur

un domaine de la physique ^{en plein} d6veloppement

est une tache delicate. Il est difficile de d6gager

1’essentiel et ais6 de negliger ^certains aspects qui peuvent s’av6rer int6ressants par ^{la suite.} Les succès rencontr6s par l’application ^{de la th6orie des groupes}

a l’étude des particules ^a interactions fortes suscitent

cependant A 1’heure actuelle un tel intérêt qu’un expose ^{sur ce} sujet peut etre utile meme s’il est condamn6;k parattre ^mal equilibre ^d’ici quelque ^temps.

Le nombre des particules, qu’on appelait ^encore

r6cemment elementaires, s’est demesurement ^accru dans les dernieres annees. Le fait qu’on puisse aujour-

d’hui rassembler 18 baryons ^{dans un meme} multiplet,

et dans un autre 17 mesons, donne ais6ment ^une idee des chiffres atteints depuis la decouverte des premieres particules ^etranges. II serait d6jA trop long ^{dans le}

cadre de cet expose d’en dresser ^une liste complete

et nous renvoyons le lecteur a Particle de Rosenfeld [1]

ou elles sont presentees ^en detail. L’examen des donnees ainsi accumul6es fait ressortir des regularites remarquables. ^Plusieurs particules ^{de meme} spin ^et

meme parite, ^{mais de} charge ^et d’etrangete différentes,

se presentent ^{ainsi avec des masses voisines et des}

interactions fortes similaires. Une telle famille d’etats

quantiques peut resulter d’interactions fortes admet- tant un groupe d’invariance dont chaque multiplet

(1) ^Adresse permanente : ^{Service de} Physique Theorique, saday, ^{B. P. n°} 2, Gif-sur-Yvette, Seine-et-Oise, ^France.

correspond a ^une representation irreductible [2]. ^Les particules ^{d’un meme} multiplet ^sont identiques pour les interactions qui ^{ob6issent au} groupe d’invariance mais se diff6rencient n6anmoins _par l’intermédiaire de forces qui distinguent I’ étrangeté ^{et la} charge. ^Ces

forces 6tant relativement faibles, ^{ne brisent} cependant

pas enti6rement l’unit6 du multiplet. On ramene aussi

un grand ^{nombre de} particules ^{a un} petit ^{nombre de} multiplets.

L’existence d’un groupe d’invariance est une pro-

pri6t6 extremement importante. ^Les dimensions des

representations irr6ductibles ont des valeurs bien d6termin6es. La comparaison ^avec les ensembles de

particules effectivement d6couvertes peut permettre

de d6celer ce groupe ^et de prevoir 1’existence de

nouveaux 6tats quantiques ^en compl6tant ^{des multi-} plets ^ébauchés. L’invariance des interactions fortes _par rapport ^aux transformations du groupe permet ^simul-

tanement de prevoir des relations entre les amplitudes

de reaction associ6es a toutes les particules ^d’un

meme multiplet.

La d6couverte de ^ces dernieis doit 6tre considérée

comme tout a fait remarquable. ^{Dans de nombreux}

domaines une grande symetrie ^ne peut apparaitre que dans le cadre d’un theorie ddtaill6e. L’61ectron et le meson u ^sont ainsi des particules identiques ^vis-A,vis

de toutes leurs interactions, électromagnétiques ^et faibles, ^{mais cette identite} n’apparaf t que dans le cadre de la theorie des champs. ^Une description ^{naive de leurs}

interactions les rendrait tr6s diff6rents. Pour les parti-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002604019900

cules A interactions fortes, ^ou hadrons, ^au contraire,

aucune theorie n’est encore capable ^{de rendre} compte

de fagon satisfaisante de leur dynamique, ^{mais l’iden-}

tit6 entre particules ^semble apparaitre dans le grou-

pement ^{des masses et dans la} similitude des reactions observ6es. La theorie des groupes ^a pu ainsi s’introduire

avec succ6s dans le domaine des particules ^{a interac-}

tions fortes, ^{même en} 1’absence d’une connaissance

precise de leurs interactions.

Le but de cet article est de montrer comment l’on

peut ^{d6duire les} consequences principales d’un groupe de symetrie ^et d’illustrer, ^en pr6sentant bri6vement un

grand nombre des particules ^r6cemment decouvertes,

le mod6le de l’octet de la symetrie ^unitaire [3]. ^I1

semble a 1’heure actuelle le mieux adapt6 ^a 1’6tude des interactions fortes. De fagon ^{a ce} que ^cet expose puisse aussi servir de base pour ^la lecture de travaux r6cents consacr6s a ce sujet, nous avons rassemble

quelques résultats- importants de theorie des groupes qui sont couramment utilises. Pour donner une base intuitive a de nombreux resultats cites ^sans d6mons-

tration, ^nous commençons par ^une etude de 1’inde-

pendance ^de charge qui ^{est associee au} groupe d’inva- riance S U2. Ces resultats sont ensuite generalises ^{a des}

groupes plus ^{vastes et} la troisi6me section rassemble

quelques propri6t6s ^des algebres de Lie. Nous les illustrons par 1’exemple ^de S U 3. ^{Cette section n’a}

aucune pr6tention mathématique ^{et nous} renvoyons le lecteur soucieux d’une presentation plus complete ^à

1’excellent expose ^{de Racah} [4]. ^{Dans la} quatrieme

section ^nous d6veloppons le modele de l’octet de S U3.

Nous indiquons ^{comment les hadrons se classent en} multiplets ^de symetrie unitaire. Dans la einqui6me

section ^nous indiquons ^{comment on} peut effectivement construire les differentes representations ^d’un groupe unitaire et d6comp?ser ^{le produit de} plusieurs repre-

sentations. Ici aussi nous n’avons fait que rassembler des resultats utiles pour les sections suivantes ^et

frdquemment employes dans la litterature. Une pr6sen-

tation rigoureuse peut etre trouv6e dans le livre de

Weyl ^{« Classical} Groups D [5]. Dans la sixieme section,

nous appliquons ^la symetrie ^{unitaire a} 1’etude des reactions. La septi6me ^{section est consaer6e aux}

« formules de masse» qui relient les masses des membres d’un meme multiplet ^en supposant que les violations de la symetrie ^{sont dues a} des interactions

qui différencient les 6tats d’etrangete ^mais qui ^sont

nettement plus faibles que les interactions invariantes par S U3. ^{Le succ6s de ces formules} de masse, bien

qu’encore difficilement comprehensible, est tout a fait

remarquable. ^{La huiti6me section montre comment}

les courants électromagnétiques ^{et les courants faibles}

semblent avoir une structure tres simple ^{yis-A-vis de}

la symetrie unitaire. Nous donnons les relations entre moments magn6tiques ^{et entre masses} qui ^{en resultent.}

,8 U 3, groupe due symetrie interne, ^{est totalement} dissgci6 des propri6t6s ^des particules ^{vis-A-vis des}

transformations du groupe de Lorentz. Les particules

d’un meme multiplet ^{ont meme} spin ^{et meme} parite

et ne doivent leurs differences de masse qu’aux ^viola-

tions de la symetrie.

Il semble meme au’une propriete d’invariance plus

vaste soit uresente, ^des multiplets différents montrant des analogies ^que S U3 ^{seul ne} prevoit pas. Les ^octets et singulets de mesons vecteurs et pseudo-scalaires peuvent ainsi etre respectivement rassemblés dans un

meme multiplet d’un groupe plus large. ^{Nous montrons}

brievement dans la neuvieme section les consequences

d’une telle symétrie. Cette section est avant tout consaer6e a un d6veloppement qui ^{semble tres int6-}

ressant a l’heure actuelle ou le spin ^{est traite sur le}

meme pied que les variables internes, spin isotopique

et 6tranget6. ^Les multiplets rassemblent alors des

particules ^de spin différents. Nous essayons d’en

presenter les resultats les plus marquants ^{tout en} esquissant ^{les nombreux} probl6mes qui ^se posent

encore.

Au cours de cet expose nous avons fait grand usage de notes en bas de page. Certaines donnent quelques complements ^{sur les} propri6t6s des groupes utilises.

Le lecteur soucieux avant tout de connaitre les resultats du modele de l’octet peut les passer entierement.

D’autres rassemblent quelques propri6t6s ^des parti-

cules class6es dans les multiplets.

Nous esp6rons que ^ces quelques pages, qui ^b6n6-

ficient des r6centes confirmations de la symetrie

unitaire présentent ^un panorama ^assez complet ^de

1’etat actuel de la question [6].

II. Ind6pendance ^de charge.

^La premiere sym4-

trie interne a etre introduite en physique nuel6aire,

fut l’ind6pendance ^de charge [7]. ^{Elle trouve son} origine ^{dans la} grande ressemblance entre le proton

et le neutron, ^{dont les} propri6t6s électromagnétiques

et la 16g6re difference de ^masse paraissent n6gligeable

dans 1’etude de leurs interactions fortes. L’indepen-

dance de charge s’exprime ^tres simplement ^{dans le}

formalisme du spin isotopique ^introduit par

Heisenberg. ^Le proton ^{et le neutron sont consid6r6s}

comme deux etats d’une meme particule, ^{le nucléon,} auquel ^{on associe une} observable T3, pouvant prendre

deux valeurs (± 1/2 par exemple). ^Par analogie ,avec

le spin ^cette observable est consid6r6e comme une

composante ^d’un opérateur ^vectoriel appele spin ^isoto- pique. ^La charge Q ^et T3 ^sont relies par

Les 6tats du nucleon sont repr6sent6s par ^des

spineurs ^{dans un} espace appele espace des charges.

Proton et neutron se transforment ^{entre eux} par

« rotation » dans cet espace. Si l’on n6glige ^{les inte-}

ractions électromagnétiques ^et la difference de masse

neutron proton, ^un systeme de nuel6ons ^sans inte- raction est invariant lorsque ^l’on transforme ses

protons ^en neutrons et vice versa au cours d’une telle rotation. Son impulsion ^{et son energie restent les}

memes. Ceci est aussi vrai d’une transformation qui change proton et neutron en deux combinaisons lin6aires des ^6tats proton et neutron. Elle doit cepen- dant conserver la norme des 6tats et par consequent

etre unitaire. C’est le ^cas d’une ( rotation )) dans

l’espace ^des charges.

En d’autres termes, ^le Lagrangien ^{libre du} systeme

de nucleons

est invariant _par ^toute transformation _unitaire

dans la mesure ou l’on peut negliger ^la diff6rence de

masse m2 - MI (2).

Chaque transformation est representee par ^une matrice unitaire 2 x 2, ^U. Ces matrices forment un

groupe, le groupe unitaire U2. Elles realisent en fait

une representation ^a deux dimensions de ce groupe.

L’identit6 du proton ^{et du} neutron est ainsi traduite par ^une propriete d’invariance par rapport ^{a un} groupe de transformations unitaires. On pr6f6re ^exclure

de ^ce _groupe ^une transformation particulierement simple, qui ^{est la meme} pour ^le proton ^{et le} neutron,

et qui, d’apres ^la propriete d’unitarit6, ^ne peut ^etre

que ^la multiplication par ^une phase commune, ^ou transformation de jauge. Une matrice unitaire U

pouvant ^{s’ecrire :}

of Q ^{est une phase r6elle et U une} matrice unitaire unimodulaire (de determinant 1), ^{on ne considere en}

fait _que les transformations unitaires unimodu- laires (3). Ces transformations forment un groupe

appel6 S U2. L’invariance par rapport ^{aux transfor-}

mations de jauge correspond ^a la conservation du nombre. de nucl6ons. C’est ^une propriete supposee

entierement dissoci6e de l’ind6pendance ^de charge.

L’invariance par rapport ^aux transformations unitaires

unimodulaires particulieres correspondant ^{a la multi-} plication par ^deux phases opposees des ^6tats proton

et neutron entraine la conservation de la charge [8].

Elles sont repr6sent6es par les matrices du type

exp KpT’3. L’invariance par rapport a toute autre transformation de S U2 traduit l’identit6 entre proton

et neutron. C’est la symetrie ^la plus ^vaste que l’on

puisse ^observer lorsque les nucleons interagissent.

Toute symetrie r6siduelle doit en fait correspondre

a l’invariance par rapport ^{a un} sous-groupe de S U2

comme, par exemple, le groupe des rotations autour de 1’axe 3. C’est, ^{nous 1’avons vu} la seule invariance

possible lorsqu’on ^tient compte ^des propri6t6s ^électro- magn6tiques (4).

Le grand intérêt de S U 2 ^est qu’il repr6sente ^encore

un groupe d’invariance pour ^un systeme de nucleons en

interactions si l’on n6glige les forces electromagnetiques.

En d’autres termes non seulement le Lagrangien

libre (2) mais aussi les termes d’interactions sont invariants par S U2. Le processus fondamental dans 1’interaction entre nucl6ons 6tant 1’6mission et l’absorp-

tion d’un meson par ^un nucleon il est n6cessaire _que le terme correspondant

(2) Rappelons que ^cette difference de masse est de 1,293 MeV tandis que la ^masse moyenne des nucleons ^est 939 MeV.

(3) ^{11 est} clair que ^cette factorisation n’est _pas unique.

Connaissant U, %Lest ^{d6fini au} signe pres ^{dans le cas de} U2 ²

et dans le cas de Un ^{a une} racine n-ieme de 1’unite pres.

(4) SU2 ^et 03 (le groupe des rotations a trois dimensions)

ont en fait les memes propri6t6s infinitesimales (la ^meme algebre ^{de Lie comme nous le verrons} plus loin). ^{Toutes les} propri6t6s ^{bien connues du groupe des rotations a trois}

dimensions s’appliquent. SU2 ^et 03 ^se différencient cepen- dant par. ^des operations discr6tes. Une rotation de 2n

correspond ^{a la} multiplication par ¹ pour 03, par - ¹ pour

SU2. ^Les dimensions des representations ^de SU2 prennent

toutes les valeurs enti6res tandis _que celles de 03 ^ne prennent que les valeurs impaires.

se comporte ^{comme un} scalaire selon S U 2. (Dk ^{est un} champ hermitique d6crivant, ^suivant l’indice k, ^les

mesons neutres ou les combinaisons lin6aires n+ ₊ n-

de mesons charg6s. ^{Le terme} d’interaction (4) ^n’est

invariant par S U2 _que ^{si les} produits ^03C8i 4Yk peuvent

etre contractes avec Wj pour donner ^un scalaire. La combinaison retenue EOjik Ti 4)k doit donc se trans- former comme un spineur ^selon S U2 ^et pour cela 0 doit ^se transformer comme un vecteur ou comme un scalaire.

Les deux ^cas existent. Les mesons 7r forment un

vecteur de spin isotopique. ^Les trois 6tats de charge correspondent ^{aux trois} valeurs propres de T3. ^Pour

un méson 7t

On generalise (1) ^{en ecrivant}

of N repr6sente ^{Ie nombre} baryonique. ^Le meson , ^est

un scalaire de spin isotopique. L’indépendance ^de charge implique done que le terme d’interaction (4)

s’ecrit :

4$k (k ⁼ 1, 2, 3) repr6sente ^le champ ^{des mesons 7t.}

4Yo ^{celui du} meson . Les matrices de _{Pauli -ck} ^intro-

duites ^{ont la} forme ^habituelle

11 en r6sulte _que l’independance ^de charge ^entraine

des rapports bien d6finis entre le couplage des.mesons ⁿ

charges ^{et neutre mais ne dit} absolument rien sur le

rapport ^entre g ^et go.

Si Gabc désigne la ^{constante dc couplage associ6e}

au processus b ^{+ c} 4’1 a, ^{on obtient ainsi :}

De meme l’ind6pendance ^de charge ^{conduit a de}

nombreuses relations .entre les amplitudes ^{de reactions} qui peuvent etre vérifiées experimentalement. ^{Si les}

forces entre deux particules ^sont invariantes par SU2

il n’y ^a qu’une amplitude ^de diffusion pour chaque representation irreductible obtenue a. partir ^du prpduit

direct des deux representations ^{associ6es aux deux} particules. L’amplitude ^{de diffusion} depend ^en general

du spin isotopique ^total (la ^dimension çle-Ia repr6sen- tation) ^{mais ne peut} d6pendre ^{d’une de ses} compo- sante, ^{si ce} n’est pas par rintermediaire de coefficients de Clebsch-Gordan qui ^n’ont,. rien ; ^{a. voir avec. les} proprietes dynamiques.

Le systeme n-nuc]éon, par exemple (triplet ^et doublet), possede ^{six 6tats de} charge. ^{11 est bien connu} cependant que le produit, 3 @ 2 ^{de S} U2 ^se decompose

en un quadruplet (spin isofopique 3/2) ^{et uh doublet} (spin isotopique 1/21. Ceci s’ecrit

11 y a ^deux amplitudes de diffusion indépendantes, correspondant ^aux valeurs-3/2 ^et 1/2 du-spin isotopique total, pour d6crire 1’ensemble des huit reactions de

.

diffusion elastique ^et d’echange ^de charge ^{entre un}

m6son 7r et un nucléon. Les relations entre les ampli-

tudes de diffusion associ6es a des 6tats de charge ^bien

ddfinie comme 7r+p -* 7C+p, 7t-P ---> 7t°n ... entrainent des in6galit6s ^entre sections efficaces différentielles qui

ont permis de v6rifier l’ind6pendance ^de charge ^dans

les collisions entre particules 616mentaires [9]. ^Ces in6galit6s peuvent ^etre g6n6ralis6es ^{a une} symetrie plus ^vaste englobant ^les particules étranges que ^nous allons presenter dans les sections suivantes.

III. Alg6bres ^{de Lie.}

^{Une 6tude un} peu plus

détaillée de S U2, ^{va nous} permettre ^de rappeler ^un

certain nombre de propri6t6s des groupes de Lie qui

seront utiles a la presentation ^{de la} symetrie ^uni-

taire [10]. ^{Dans un} espace de dimension finie ^un ope-

rateur unitaire U peut ^s’ecrire

ou H est un opérateur hermitique. ^{Si H a une trace}

nulle U est de plus unimodulaire. Une transformation infinitésimale correspond ^a l’op6rateur

les opérateurs hermitiques ^{et de trace nulle lin6ai-}

rement indépendants Hj ^{sont les} générateurs ^infini-

tésimaux du groupe.

S U 2 étant Ie groupe des matrices 2x2 unitaires et unimodulaires chaque générateur ^{est une combi-}

naison linéaire A coefficients r6els de trois matrices

hermitiques linéairement indépendantes, par exemple

les matrices de Pauli :

Pour les transformations dans 1’espace ^des charges

que ^nous consid6rons, ^on peut prendre les trois compo- santes ^« cartesiennes » du spin isotopique : T 1, T2 ^et T 3,

Ces trois operateurs ^{ont les} r6gles de commutation bien connues des composantes ^{d’un moment} cinétique

ou _{e’fk est} le symbole entibrement antisymdtrique ^à

trois indices. Les trois operateurs iT; ainsi que leurs combinaisons ^{lin6aires a} coefficients reels forment une

algebre que ^l’on appelle 1’algebre ^{de Lie du} groupe.

On entend par IA que si l’on forme le commutateur de deux elements de l’algèbre ^{on obtient encore un}

element de l’algebre. ^Le nombre d’416ments lin6ai- rement independants (ici trois) ^est appel6 ^{l’ordre r du}

groupe. Un choix particulier ^{de r} g6n6rateurs ^linéai-

rement independants ^{constitue une base.} En etendant

l’algebre ^{aux nombres} complexes ^on peut remplacer

les operateurs hermitiques T 1, T2 ^et T 3 par

Ils ob6issent aux r6gles de commutation

(10) s’6crit de façon plus g6n6rale

of r(a) (ici ± 1) ^sont les racines.

Le rang d’un groupe ^est le nombre maximal de g6n6rateurs Iinéairement independants qui ^commutent

entre eux. Dans le cas de S U2 le rang ^{est un.} A partir

de (12) ^{on obtient un} diagramme des racines ou chaque generateur ^est represente par ^un point ^{d’une droite}

dont 1’abcisse est 6gale ^{a la valeur d’un} commutateur

avec T3 ( fig. 1).

FIG. 1.

Le diagramme des racines de SU2.

Dans une représentation ^du groupe, ^{si on} applique l’op6rateur T:1: ^{a un vecteur} propre de T3 ^{avec la}

valeur propre m, ^on obtient soit 0, ^{soit un nouveau}

vecteur propre de T 3 ^{avec la valeur} m + ^{1. Ceci est}

une consequence immediate de (10). ^On peut ^cons-

truire ainsi une base pour chaque representation

irr6ductible _{du groupe.}

Pour cette base de n vecteurs independants chaque operation ^du groupe ^est representee par ^une matrice

n X n. T 3 ^est represente par ^une matrice diagonale

dont 1’ensemble des elements diagonaux, qui ^différent

l’un de 1’autre d’une unite, constitue les poids.

Les poids ^{associes a une} representation peuvent ^6tre rassembIés dans un diagramme ^des poids. ^{Dans le cas} de S U2 il y a n ⁼ 2 j + i poids ( j, j ^{- 1 ...} _{- j)}

dans chaque representation. j, ^{un nombre entier ou}

demi entier, ^{est le} spin isotopique ^{associe a la} repre-

sentation. Les trois 6tats de charge ^{d’un méson 7t}

forment une base _pour une representation ^{de dimension}

trois. Le diagramme ^des poids ^{est donne sur la} figure ^2.

FIG. 2.

Le diagramme ^des poids

de la representation ^{3 de} SU2’

Les quatre ^{6tats de} charge de l’isobare N* (la ^reso-

nance n-nucleon de 1 238 MeV et de spin 3 j2 + ) ^forment

une base pour ^une representation ^{de dimension} quatre (spin isotropique 3/2). ^Le diagramme ^des poids

est donne par la figure ^3.

FIG. 3.

Le diagramme ^des poids

de la representation ^{4 de} SU2.

Nous 6nongons maintenant comment se g6n6ra-

lisent ^ces propri6t6s pour ^un groupe simple (5) ^d’ordre (5) ^{On dira} pour ^un groupe ^de Lie connexe qu’il ^est simple ^{s’il n’a} pas de sous-groupe invariant ^non discret.

De meme on dira d’un groupe ^{de Lie} qu’il ^est semi-simple

s’il n’a pas de sous-groupe invariant ab6lien ^non discret.

On demontre que toute algebre ^{de Lie} semi-simple ^{est une}

somme d’alg6bres simples. ^En introduisant les nombres

complexes ^ces algebres ^{ont ete} classifiees par E. Cartan et,

a peu d’exceptions pr6s, correspondent ^aux algèbres ^{de Lie}

r et de rang l. ^On peut ^{choisir dans} Falgebre ^{de Lie}

du groupe 1 générateurs qui commutent entre eux

Il est alors possible ^{de trouver r - l autres} gene-

rateurs Ea ^de fagon ^a satisfaire les relations

Ceci generalise (12) ; r(x) ^est maintenant un vecteur A I composantes. On démontre les propriétés suivantes : 1. Si rea) ^{est une racine,}

^{r(a) = r(- x) est aussi}

une racine, ^et

Ceci généralise ^{(11) et} (12).

2. ^{Si Ea et Ep sont deux} g6n6rateurs avee P 0 - ^a

et si r(y) ⁼ r(a) + r(p) ^est aussi ^{une racine}

Si r(Y) n’est pas ^une racine

Dans une base arbitraire de l’algebre ^on definit les constantes de structure par

On construit Ie tenseur m6trique

nv

qui ^n’est pas degenere pour ^une algebre simple (crit6re

de Cartan : det { g," } ^{=A 0).}

Par exemple ^{dans la base} T:I:, T s pour S U 2 gp,v ^est

egal ^a A JI

plus gdn6ralement, ^{dans la base} canonique ^des Hi et E", g",v prend ^{la forme}

oil les indices latins vont de 1 A I.

des groupes classiques, ^{lin6aire L,} orthogonal ^{0 et} symplec- tique Sp. Ces derni6res ont requ les ^noms suivants :

r

I(I + 2) At alg6bre de Lie des groupes

SL(L+ 1, )

1(21 1 Bl algèbre de Lie des groupes SL (1 ^{+ 1, C), SU, + 1}

( -{- 1) t g ^{de Lie} des groupes

SO(21 + 1, C), SO(21 + 1, R) 1(21 + 1) Q alg6bre ^de Lie des groupes

1(21 - 1) D, algèbre ^de Lie des groupes Sp(21, C), USp(21) SO(21, C), SO(2l, R)

Nous avons indiqu6 deux groupes correspondant ^a l’usage des nombres complexes ^{et reels et} choisi la forme r6elle compacte. USp(21) est le groupe unitaire symplec- tique. ^Le symbole ^S dans SL et SO rappelle ^{le fait} qu’on ^se

restreint aux transformations unimodulaires. _{Le rang de}

ces alg6bres ^{est l, leur} ordre est donn6 dans la colonne de

gauche. ^{Nous avons} rappel6 cette classification en raison du fait qu’elle ^est souvent mentionn6e dans la litt6ratu’re.

3. On peut alors d6finir le produit scalaire de deux racines par

Si r(a) ^et r(p) ^{sont deux} racines, ^on demontre alors que

est un entier m. On en deduit _par exemple que si ? ^est I’angle ^{entre les deux racines}

1/angle (p ^{ne peut ainsi} prendre que les valeurs

00, 300, 450, ^{600 et 900.} Si 9 ⁼ 600 (cos (p ⁼ 1/2,

m ⁼ m’ = 1) ^toutes les racines ont meme module.

4. Si r(a) ^et r(p) ^sont deux racines on peut ^obtenir

une nouvelle racine en prenant ^{le vecteur} sym6trique

de r(p) par rapport ^a I’hyperplan perpendiculaire ^{a r(oc).}

Le diagramme des racines du groupe S U3 ^illustre

ces propri6t6s. ^{C’est un} groupe de rang deux ; ^le diagramme des racines a donc deux dimensions ;

9 ⁼ 600. _{Il y} a deux racines au centre correspondant

au rang du groupe ^et six racines de meme module

symétriquement reparties (fig. 4). ^{Avec un choix}

convenable de base (Hi ^et H2) ^leurs composantes ^sont (1, 0), 2’ B/g (2013?)’ -o- ^{2 2 et leurs oppos6es.}

FIG. 4.

Le diagramme ^des racines de SU 3.

On voit sur la figure 4 que deux g6n6rateurs ayant des racines oppos6es ^{et une} combinaison lin6aire de

Hl ^et H2, suivant le choix fait, ^{constitue une sous-} alg6bre ^de l’algèbre obtenue. Elle correspond A ^un

sous-groupe ^de S U 3’ ^{en fait} S U2.

Les vecteurs de base d’une representation ^de S Us

sont determines par deux nombres quantiques (les

valeurs propres ^de H, et ^de H2). On deduit de (14)

que si ^on applique l’opérate.ur ^{E(1.’ a un vecteur} propre ayant pour ^valeurs propres ^{m1 et m2 on} obtient soit

un nouveau vecteur propre ayant les valeurs propres m1 + rl(a) et M2 + r2(«) soit zéro. On construit ainsi les diagrammes ^de poids (a ^deux dimensions main-

tenant) ^{associ6s aux} différentes representations.

A titre d’exemple prenons ^{les deux} representations

de dimension trois et huit (fig. ^5).

204

FIG. 5.

Le diagramme ^des poids ^des representations ^{3 et 8 de} SU3. ^{En abscisses} T., ^{en ordonn6es} 21B/3- ^Y.

11 existe ^en fait deux representations de dimension

trois, d6not6es 3 et 3, correspondant ^a des valeurs

opposees ^des poids (6). ^Les representations ^{8 et} 8, qui ^{ont le meme} diagramme ^des poids ^sont 6qui-

valentes.

IV. La classification des particules dans le module de l’oetet.

Nous avons vu qu’une propriete ^d’inva-

riance par rapport ^{a un} groupe de transformations unitaires entraine des relations entre amplitudes ^de

reaction. Pour les interactions fortes ^la manifestation la plus 6vidente d’une telle symetrie ^est cependant

1’existence de familles de particules ^{de meme} spin ^et parite ^{et de masses voisines.} Lorsque ^ces particules

ne se diff6rencient que par ^la charge ^{elles sont consi-}

dérées comme representant ^{les vecteurs} de base pour

une representation irreductible de S U2, ^{ou un} multiplet

de spin isotopique. Toutes les particules ^a interactions fortes apparaissent ^{ainsi en} multiplets. ^Par exemple

pour ^les baryons ^de spin 1/2 :

T designe ^le spinsisotopique, ^{Am 1’6cart entre les masses}

des particules ^{d’un meme multiplet dont m est la masse}

moyenne.

Pour classer ces differentcs particules, ^{Gell-Mann et} Nishijima [11] ^ont introduit le concept d’6tranget6.

Chaque multiplet correspond ^{ainsi a une meme} 6tranget6, ^cette derniere ^{6tant conserv6e au cours d’une}

reaction. Le groupe d’invariance est ainsi SU2 ^multi- pli6 par ^un groupe de jauge correspondant ^{a la conser-}

vation de ^{ce nouveau} nombre quantique ^additif.

(6) ^{3 est la} representation contragrédiente ^{de 3. En} general

les antiparticules ^se transforment selon la representation contragrediente ^de fagon ^a pouvoir construire des scalaires par contraction ^avec les particules associées à la meme

representation. ^Les diagrammes ^de poids sont invers6s.’

Si les interactions fortes de ces particules ^{ont une} symétrie plus grande, c’est-a-dire sont independantes

de charge ^{et aussi} d’etrangete, ^{on est tent6 de} placer chaque ^ensemble precedent, ^{de huit} particules, ^dans

un meme supermultiplet. Le groupe d’invariance doit etre un groupe de rang deux ^{au moins car} les 6tats de base pouvent ^etre caractérisés par les valeurs propres de T 3 ^{et de} I’ étrangeté ^{S. On} peut aussi utiliser T 3 ^et d’hypercharge ^{Y avec}

la relation de Gell-Mann-Nishijima prenant ^{la forme}

Pour garder ^le plus ^de symetrie possible ^{entre ces} particules il convient de choisir un groupe ^admettant des representations de dimension huit. S U3 possede

cette propriete. ^{C’est la} generalisation ^la plus simple

de S U2. ^Si l’on veut que les particules associ6es a une

representation de dimension huit aient des valeurs entieres d’hypercharge ^il suffit de prendre H2 6gal ^à

(2/B/3) Y. On définit simultanement HI ^comme T3, T3 ^ne prenant que des valeurs entieres et demi- enti6res. Les ,huit baryons ^{et huit mesons} pseudo-

scalaires sont ainsi associes au diagramme ^des poids

de la representation ^huit (fig. 6). D’apres (16) ^la charge ^se compte sur un axe faisant un angle ^{de 300}

avec 1’axe Y ⁼ 0.

Gell-Mann et Ne’eman [3] ^{ont avanc6} l’hypothese

que les interactions fortes ^sont itivariantes selon SU3.

Si nous reprenons ^le Lagrangien précédemment ^ecrit (2),

ceci correspond ^a 6tendre la somme aux huit baryons

et a introduire huit champs I> ^{au lieu de} quatre ^dans (4).

Nous avions considere seulement le proton ^{et le}

neutron et avions de ^ce fait introduit le groupe des transformations unitaires unimodulaires a deux dimen- sions. Pour inclure 1’etrangete ^{il est} necessaire d’avoir

au moins trois champs fondamentaux‘ (7) (un champ charge ^{et un} champ neutre’formant ^un doublet de spin isotopique ^{et un} champ étrange) ^{et la} generalisation

la plus simple consiste a choisir S U3. On associe

cependant ^les huit baryons ^{a une} representation ^huit

et non pas le proton, ^le neutron, ^{et le lambda a une} representation ^trois qui ^ne’ garantirait pas l’identit6 (7) ^On peut ^{en fait} consid6rer symboliquement ^{tous les} baryons ^{comme des 6tats lies a deux} particules ^{et une} antiparticule ^choisie.s parmi’les ^deux triplets (p, n, A) ^et

(p, n, A). ^Nous reviendrons .sur cette question ^dans la

section V.

205

FIG. 6.

L’octet des baryons 1/2+ ^et des mesons 0- dans le modèle de l’octet.

voulue entre les huit baryons. ^Ceci particularise ^la

« eightfold-way » ^{ou mod6le} de l’octet par rapport ^aux

diff6rents modelers _que l’on peut construire a partir

de S U3. ^En particulier ^{une autre} possibilite ^consiste

a associer proton, ^{neutron et lambda a une} represen-

tation de dimension trois.-C’est la base du mod6le de Sakata. I et E peuvent alors etre consid6r6s

comme membres d’une representation ^{6 contenant une}

sixieme particule d’étrangeté

^{3. C’est une classifi-}

cation qui ^aurait pu etre ^retenue si la parite ^relative

SA avait ete negative. Malgr6 de s6v6res limitations dues au fait que ^la symetrie unitaire n’est qu’impar-

faitement v6rifi6e, le modele de l’octet ^a rencontre des succes tres importants ^{au cours} des deux dernieres

ann6es, ^un grand ^nombre des particules ^récemrnent

d6couvertes peuvent ^etre rang6es en supermultiplets ^de S U3. ^{L’isobare N* de} spin isotopique 3/2, ^la premiere

resonance pion-nuel6on, ^{doit se} placer ^{au minimum-}

dans un d6cuplet ^{dont le} diagramme ^des poids ^est donne _{par la} figure ^7.

FIG. 7.

Le d6cuplet ^des baryons 3/2+.

Le Yi (1 385 MeV) ^et le It"* (1 ⁵³⁰ MeV) ^{lui sont}

associ6s leurs spin ^et parite ^{6tant aussi} 3/2 + (8). ^La

d6couverte du Q- a achev6 ce multiplet ^en apportant

a la theorie le ralliement des ind6cis. Il est fort pro- bable °que ^son spin ^{et sa} parite ^{seront aussi trouv6s} égaux ^a 3/2- (8).

(8) ^Le Y* ^{a ete d6couvert comme} resonance An. Le

rapport de branchement En est inferieur a ^{9 %, le E*}

comme resonance Z-n. Le ;Q- peut ^etre considere comme

FIG. 8.

L’octet des m6sons 1-.

Les mesons vecteurs forment aussi un octet. Le

diagramme ^des poids ^est presente ^{sur la} figure ⁸ (9).

Les particules semblant isolees peuvent correspondre

a des singulets ^de S U3. ^C’est peut-etre ^{le cas du Cù,}

meson vecteur de spin isotopique ^{nul et du} fo, ^meson

de spin ^{2 et de} spin isotopique ^nul (1°). ^{C’est sans doute}

aussi le cas du Yg de 1 405 MeV (resonance ^{Mc de} spin 1/2-, ^de spin isotopique ^et d’hypercharge 0).

Nous avons cite ainsi tous les baryons ^{et les mesons} qui apparaissent ^aux energies ^les plus basses dans

un 6tat lie KE. ¹¹ se d6sint6gre ^en MX, AK ou E77 par

interactions faibles.

(9) ^{Le meson} p ^a ete d6couvert comme resonance 1t - 1t.

Sa masse est 750 MeV. Son spin isotopique ^est 6gal ^a 1,

sa G-parite ,+ ^{1. Le} m6son cp ^{a ete d6couvert comme reso-}

nance KK. Sa masse est 1020 MeV, ^son spin isotopique ⁰

et sa G-parite - ^{1. Le} rapport ^de branchement _p77 (ou 3n)

est 6gal ^{a 30} %. ^{Le meson K* a ete d6couvert comme reso-}

nance Xn. Sa masse est 888 MeV, ^son spin isotopique 1/2.

(lo) ^{Le meson w a ete d6couvert comme} resonance dans le systeme ^{3n. Sa masse est 790 MeV. Son} spin isotopique ⁰

et sa G-parite - ^1. Le p ^{a ete considere comme membre}

d’un octet et le w comme singulet. ^Les 6tats cp ^{et w} peuvent

etre cependant melanges par ^une interaction violant la

symetrie unitaire mais respectant l’indépendance ^de charge (voir ^section VII). ^{I1 est} possible ^{que le membre de I’octet}

et le singulet ^{soient en realite des} superpositions ^{des 6tats}

W et p ^observes.

Le meson f o ^{a ete d6couvert comme resonance 1t - 1t.}

Sa masse est 1 253 MeV. Son spin ^est 6gal ^{a 2. Son} spin isotopique ^est £gal £ ^{0 et sa} G-parit6 ^est positive. ^{I1 avait}

ete pr6vu ^{dans le cadre de} la theorie des poles ^de Regge

comme particule ^{associee a la} trajectoire ^de Pomeranchuk [12]. I1 devrait de ce fait, ^{etre un} scalaire vis-a-vis de la

symetrie ^unitaire.

206

chacune des voies consid6r6es (spin isotopique, hyper- charge, ^nombre baryonique). De nombreux autres 6tats ont ete decouverts a plus ^haute energie ^sans qu’il ^{soit encore} possible ^de remplir ^{de nouveaux} multiplets. L’attribution des nombres quantiques ^est

encore ind6cise et certaines voies encore trop ^mal

observ6es pour qu’il ^soit possible de conclure.

La symetrie ^{unitaire ne donne} cependant ^aucune

relation entre membres de representations différentes.

Une representation peut correspondre ^{a des} particules

effectivement observ6es sans qu’une ^{autre soit realisee.}

11 ne fait pas de doute que la troisi6me ^resonance N* (1 ⁶⁸⁸ MeV) ^du systeme vu-nucleon ait un spin 5/2+. ^Son spin isotopique ^est 1/2. ^{Il est} n6cessaire de I’associer au moins A un octet. On prevoit ^{dans ce}

cas trois nouveaux hyperons, ^deux d’hypercharge 0,

et un d’hypercharge

¹ (fig. 5) ^avec les nombres

quantiques 5/2 + . Deux candidats sont le Yi ^de

I 815 MeV et le E* de 1 810 MeV [1].

V. Représentations des groupes sUn. - ^La fagon

dont nous avons assemble les particules ^{dans les}

différents multiplets ^de S U3 constitue le modele de l’octet. Nous pouvons ^noter cependant ^{un fait remar-} quable. ^{Nous avons} laiss6 de cote un certain nombre de representations ^{de basse} dimension. L’omission la

plus ^{notable est celle de la} representation trois. Comme

nous allons le voir on serait conduit a donnei aux parti-

cules appartenant ^{a ces} representations ^des charges ^et hypercharges fractionnaires. Ces particules peuvent cependant exister, 1 ’une d’entre elles etant stable [13].

Malheureusement jusqu’ici ^aucune indication experi-

mentale ne permet de deceler leur presence. ^{Les diff6-}

rentes particules pourraient etre d6crites comme das 6tats lies en termes de trois champs fondamentaux qi baptises ^« quarks ^{)). Par} exemple ^{les mesons seraient}

des 6tats lies quark-antiquark qi qi. ^{Ceci est} possible

en vertu de la decomposition ^du produit ^des repr6sen-

tations :

que ^nous allons justifier ^{dans ce} qui ^suit.

Les baryons correspondent ^{a la} representation ^8.

Il aurait été souhaitable de les trouver dans les _sys- t6mes qi qi qk de fagon ^{a attribuer aux} quarks ^{le meme}

nombre baryonique ^{1 et} d’apres la relation de Gell-

Mann-Nishijima ^des charges ^et hypercharges ^enti6res.

Cependant ^comme

la representation ^huit n’apparait pas dans ^cette

decomposition. ^Elle apparait par ^{contre dans celle} du prodiiit qi qi qk

De ce fait les quarks doivent avoir le nombre

baryonique 1/3. ^Des charges ^et hypercharges ^entieres

etant attribuees a l’octet, ^les quarks ^ne peuvent ^exister qu’avec ^des charges ^et hypercharges fractionnaires.

Leur diagramme ^des poids ^est represente par la figure ^5.

En fait, que les quarks ^{existent ou non, ils} permettent

de construire des representations pour S U 3 (mais ^aussi

pour SU.) ^{dont les vecteurs de} base, ^definis par leurs

propri6t6s de transformations peuvent ^{etre identifi6s}

aux particules ^{d’un meme} supermultiplet. Nous allons

montrer ^{comment on} peut les utiliser pour ^construire ou d6composer ^le produit ^{de deux} representations.

Les quarks ^servent d’espace ^{de base a la} repr6sen-

tation fondamentale du groupe que ^nous consid6rons et les dtats a p quarks correspondent ^aux repre-

sentations produits no n@

n, p fois. ^Nous considerons p especes ^de quarks ^{d9 sorte} que les vecteurs de base de cette representation ^de S Un ^{sont :}

Si nous formons des combinaisons ayant ^certains types ^de symetrie lorsqu’on permute ^ces quarks ^entre

eux, les sous-espaces ainsi obtenus sont invariants par S Un. ^{Ceci est clair si on} remarque que ^ces permu- tations commutent avec les transformations de SUn.

De fait toutes les representations irr6ductibles de S U fa peuvent ^etre obtenues de cette maniere, ^{a condition}

de trouver des 6tats ayant ^les propri6t6s ^de symetrie

«les plus ^{elevees »} [5]. ^{On montre} que ^ces sym6tries peuvent ^etre d6crites par des «tableaux de Young ».

Les instructions sont les suivantes. On construit un

tableau de _p ^cases dispos6es ^en lignes ^de longueur

non croissante

On range alors les quarks ^{dans ces cases,} puis ^l’on procede dans l’ordre a une symetrisation suivant les

lignes ^{suivie d’une} antisymetrisation suivant les colonnes. Par exemple pour le tableau

l - l

on obtient

4

ou N est un facteur de normalisation aisement calcu- lable. On remarque que 1’etat resultant ^est bien anti-

sym6trique ^dans 1’6change de % et ( mais n’est plus sym6trique ^dans 1’6change de § ^et 7). La representation

est symbolis6e par le tableau de Young dessiné. Remar- quons que ^comme les 6tats d’un quark ^{sont au nombre}

de n les tableaux ne peuvent ^avoir plus ^{de n} lignes.

Les colonnes a n cases peuvent d’ailleurs etre ray6es

car la partie antisymétrique correspondante ^{de 1’etat}

est simplement multipliée par l’unit6 ^{au cours} d’une transformation de SU. ^en raison de l’unimodularite des transformations. La dimension des representations

s’obtient en proc6dant ^{comme suit.}

Soit X1 ^{le nombre de cases dans la} premiere ligne X, ^{dans la seconde et} ainsi de suite ^avec Às ^{= 0.}

Posons

et

207 La dimension est donn6e par la formule [5]

L’application ^{de cette formule au} diagramme

pour S U3 ^donne la dimension 8. Cette representation

correspond A ^l’octet.

Au lieu de d6crire les 6tats a l’aide de quarks ^comme

ci-dessus ^on peut aussi bien utiliser des tenseurs

Tij, ^{..., I} ayant ^la propriete ^de symetrie indiquee

sur le tableau de Young. Nous remarquons que ^ces

rbgles générales admettent deux cas particuliers ^inte-

ressants.

Toute d’abord pour S U2, les tableaux n’ont qu’une ligne ^et correspondent ^{donc a des tenseurs} sym6triques.

Ce fait est bien _{connu ;} ^on obtient toutes les repre-

sentations de S U2 en sym6trisant ^les produits ^de representations de dimension 2. Du fait que ^nous consid6rons S Un ^{et non} Un, ^nous disposons ^d’un

tenseur invariant A n indices a savoir le symbole ^tota-

lement antisymetrique E’ltit... ^Il permet de passer des representations ^{de S Un a} leurs contragrddientes.

Dans le cas de S U2 ^{cela a} pour consequence que ^toutes les représentations ^sont 6quivalentes ^{a leurs contra-} gr6dientes (11). ^{Dans le cas de} S U 3 ^{ceci ne conduit} qu’a

la simplification suivante. Consid6rons ^un tableau de

Young pour S U3. ^Il n’y ^a que deux lignes. ^{Dans le}

tenseur correspondant groupons par deux, ^{les indices} apparaissant dans la meme colonne. On obtient

Formons :

11 r6sulte de la definition de T que 13 jouit ^des propri6t6s suivantes :

i) ^{b est invariant dans toute} permutation ^des

indices .i, ^et des indices 1 s6par6ment.

ii) ^{Les traces :}

sont toutes nulles.

iii) ^{Si les indices i se} transforment suivant ’B1 ^les indices 1 se transforment suivant la transformation

complexe conjugu6e ’B1. ^{En d’autres termes au cours}

d’une transformation unitaire unimodulaire

(11) On sait en effet que les particules ^et leurs transfor- m6es par G-parité ^se transforment de la meme fagon par rotation dans 1’espace ^des charges [9].

Ainsi pour l’octet de S U. ^{on obtient un tenseur} -0, avec I ti ^{= 0.}

Dans le cas general ^la discussion de la reduction du produit ^{de deux} representations ^de S Un ^{se ram6ne}

au probIème ^{suivant. On forme le} produit ^{de deux}

tenseurs

ayant ^{chacun des} propri6t6s ^de symetrie indiqu6es

par ^un tableau de Young. ^On cherche alors des combi- naisons de ces produits qui poss6dent ^des propri6t6s

de sym6tries relatives ^a 1’ensemble des indices i et j.

Dans le ^cas des dimensions peu 6lev6es la solution s’obtient pratiquement par simple inspection.

Illustrons cette m6thode dans le ^cas du produit 808

de S U 3. Nous formons les produits L) Mf ^{de deux}

tenseurs tels que

Nous pouvons ^en extraire un scalaire

deux talseurs correspondant ^{a la} representation 8,

Un tenseur correspondant ^{a la} representation ¹⁰

et un a la representation ¹⁰

Enfin ^{un tenseur} correspondant ^{a la} representation

Ceci correspond ^{a la} decomposition :

qui ^{nous sera} utile par la suite. Les ^autres d6compo-

sitions que ^{nous avons} 6crites s’obtiennent de fagon analogue. ^{Faisons une} derniere remarque ^concernant la nomenclature. Pour designer ^une representation

de S Un nous avons utilise la dimension. Lorsqu’il risque ^{de se} produire ^des confusions on forme n - 1

quantites not6es PI’ ..., P.-I’ relatives ^au meme

tableau de Young. p, ^est le nombre de colonnes du

tableau qui ^ne contiennent qu’une ^case, p2 le ^nombre