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A mi-chemin entre analyse complexe et superanalyse
Pierre Bonneau, Anne Cumenge
To cite this version:
Pierre Bonneau, Anne Cumenge. A mi-chemin entre analyse complexe et superanalyse. Publicacions
Matemàtiques, 2012, 56 (1), pp.3-40. �10.5565/PUBLMAT_56112_01�. �hal-00497218v2�
Pierre Bonneau, Anne Cumenge
Equipe Emile Picard, Institut de Mathématiques, umr 5219 Université Paul Sabatier - 31062 Toulouse Cedex 9
pierre.bonneau@math.univ-toulouse.fr, anne.cumenge@math.univ-toulouse.fr Abstract.
In the framework of superanalysis we get a functions theory close to complex analysis, under a sui- table condition (A) on the real superalgebras in consideration (this condition is a generalization of the classical relation 1 + i
2= 0 in C ). Under the condition (A), we get an integral representation formula for the superdifferentiable functions. We deduce properties of the superdifferentiable func- tions : analyticity, a result of separated superdifferentiability, a Liouville theorem and a continuation theorem of Hartogs-Bochner type.
Keywords : superspace ; superdifferentiable function ; integral representation ; superanalysis.
30E20 - 32A26- 30G30- 35C15
0. Introduction.
L’analyse complexe s’est fortement développée au 19˚ siècle, en particulier avec les travaux de Cauchy, Riemann et Weierstrass. Les essais de généralisation en dimension supérieure conduisirent à la construction des quaternions et des octonions. Toutefois, ces nouveaux objets s’avérèrent alors un peu décevants au niveau de l’analyse. Par ailleurs, de fortes limitations à ce type de généralisations furent obtenues, entre autres par Frobenius avec une classification des algèbres associatives réelles de division de dimensions finies, ou par Bott-Milnor et Kervaire avec le résultat suivant :
Théorème ([BM], [Ke]) : L’espace vectoriel R
npossède une opération produit R -bilinéaire sans diviseur de 0 seulement pour n=1,2,4 ou 8.
Pour n=4 et 8, on retrouve, entre autres, les quaternions et les octonions.
Nous considèrerons seulement dans toute la suite des algèbres associatives. Les algèbres associatives de division étant unitaires, la condition d’intégrité dans le cas de R
2est équivalente à l’existence d’un neutre multiplicatif 1 et d’un élément i de R
2tel que 1 + i
2= 0.
Sachant qu’il est impossible de trouver en dimensions strictement supérieures à 4 des R -algèbres associatives de division, nous rechercherons des algèbres réelles (associatives) ayant de bonnes pro- priétés analytiques, c’est-à-dire dans lesquelles existe une théorie des fonctions analogue à l’analyse complexe. Nous essaierons d’étendre, en dimension supérieure à deux, le point de vue de Cauchy- Riemann sur l’analyse complexe (fonctions dérivables et représentation intégrale).
Des conditions de Cauchy-Riemann apparaissent naturellement en superanalyse (cf. [K], [R] par exemple). L’analyse sur les superespaces, dite "superanalyse", s’est développée dans les décennies
’60 et ’70, formalisant les superespaces des physiciens, espaces dans lesquels cohabitent des variables anti-commutatives avec les variables usuelles. Pour un historique et des références, nous renvoyons aux livres de F.A. Berezin [Be], A. Khrennikov [K] et A. Rogers [R].
Nos résultats sont énoncés dans le cadre des superespaces. Soulignons qu’en provenance de la super- analyse, nous utiliserons seulement les définitions de superespaces et de la superdifférentiabilité ; nos méthodes sont inspirées par celles de l’analyse complexe.
Il est à noter que, contrairement à l’analyse complexe, quaternionique ou de Clifford, nous ne disposons pas d’un opérateur de conjugaison sur les algèbres Λ = Λ
0⊕ Λ
1– où les éléments de Λ
0(resp. Λ
1) commutent (resp. anti-commutent) entre eux – et les superespaces Λ
0n× Λ
1massociés à Λ que nous considérons.
1
Nous définirons sur certains superespaces un opérateur d
′′de Cauchy-Riemann dont le noyau coïn- cidera avec l’espace des fonctions superdifférentiables (S-différentiables en abrégé).
Des conditions (A
j), j = 0, 1 sur Λ
j, à mettre en parallèle avec la relation complexe 1 + i
2= 0, s’im- posent alors de manière naturelle lorsque nous cherchons une solution fondamentale de cet opérateur d
′′. Plus précisément :
(A
0) il existe une base (e
0= 1, e
1, ..., e
p) de Λ
0vérifiant X
p k=0e
k2= 0 ,
(A
1)
il existe une base (ε
1, ..., ε
q) de Λ
1et une suite finie s
1= 1 < s
2< ... < s
r< s
r+1= q + 1 telles que, pour tout j = 1, ..., q, il existe a
j∈ Λ
0vérifiant ε
j= a
jε
sksi s
k≤ j < s
k+1, avec a
s1= a
s2= ... = a
sr= e
0et P
sk+1−1j=sk
a
j2= 0 pour tout k = 1, ..., r .
La condition (A
0) est une condition algébrique nécessaire (et suffisante) pour l’obtention d’une solution fondamentale de notre opérateur d
′′opérant sur les formes définies sur Λ
0; quant à la condition (A
1), elle est suffisante et "presque" nécessaire si l’on espère un caractère explicite pour une solution fondamentale de l’opérateur d
′′sur Λ
1.
Nous obtenons, à partir d’une solution fondamentale pour l’opérateur d
′′, une formule de représenta- tion des formes différentielles avec opérateurs intégraux à noyaux K(x, y) explicites ; et en particulier, pour les fonctions :
Théorème 0.1. On suppose les conditions (A
0) et (A
1) satisfaites par l’algèbre Λ = Λ
0⊕ Λ
1. Soit D ouvert de Λ
n0× Λ
m1borné et à frontière C
1et f fonction de classe C
1au sens de Fréchet dans D, continue sur D ainsi que df , alors pour tout x ∈ D :
f (x) = Z
∂D
f (y)K(y, x) − Z
D
d
′′f (y)
∧K(y, x) .
Nous déduisons de la formule de représentation des fonctions qS-différentiables (i.e. vérifiant d
′′f = 0) des propriétés de ces fonctions, comme l’harmonicité, une propriété de qS-analyticité, un théorème de Liouville, ainsi qu’un résultat de qS-différentiabilité séparée :
Théorème 0.2. : Si f est une fonction définie sur un domaine D de Λ
0n× Λ
1mà valeurs dans Λ séparément qS-différentiable sur D par rapport à chacune de ses "hypervariables" appartenant à Λ
0ou Λ
1, alors f est qS-différentiable sur D.
et un théorème de prolongement de type Hartogs :
Théorème 0.3. : Sous les conditions (A
0) et (A
1), si ∂Ω est le bord connexe d’un domaine Ω borné de Λ
0n× Λ
1m, avec n + m ≥ 2, et f une fonction qS-différentiable dans un voisinage connexe de ∂Ω, alors f se prolonge en une fonction qS-différentiable sur Ω.
Dans une première partie, nous préciserons nos notations et rappellerons les principales notions de superanalyse. Nous fournirons aussi quelques exemples de superalgèbres.
Dans la seconde partie, suivant le point de vue "riemannien" de l’analyse complexe, nous définirons un opérateur de Cauchy-Riemann dont le noyau est constitué des fonctions super-différentiables en les variables commutatives et "quasi"-super différentiables en les variables anti-commutatives.
La troisième partie sera dévolue à la recherche de représentations intégrales pour les fonctions défi- nies dans un super-espace et à valeurs dans notre algèbre. C’est dans ce paragraphe qu’apparaîtront les conditions (A
0) et (A
1), qui fourniront une superanalyse aux propriétés étonnamment voisines de l’analyse complexe. Les représentations intégrales seront alors l’outil que nous utiliserons pour étudier les propriétés des fonctions super-différentiables, ce qui fait l’objet de la quatrième partie. Dans une dernière partie, nous regroupons quelques commentaires sur les conditions algébriques (A
0) et (A
1).
L’objectif de l’article n’est pas un recensement exhaustif des propriétés des fonctions super-différentiables ; il essaie de souligner une étrange proximité, sous certaines conditions, entre l’analyse complexe et la superanalyse. Ces résultats ont été partiellement annoncés dans [BoC].
Les auteurs tiennent à remercier le referee pour ses intéressants commentaires.
1. Superespaces.
Nous noterons Λ une superalgèbre commutative réelle (en abrégé CSA), dont nous rappelons ci- dessous la définition (cf. [K] ou [R] par exemple).
Un R -espace vectoriel Z
2-gradué Λ = Λ
0L
Λ
1muni d’une fonction parité σ définie sur les élé- ments homogènes par σ(a) = 0 (resp. 1) si a ∈ Λ
0(resp. si a ∈ Λ
1) devient une superalgèbre si on le munit d’une structure d’algèbre associative unitaire dont la multiplication vérifie la propriété σ(ab) = σ(a) + σ(b) (mod. 2) pour tout couple (a, b) d’éléments homogènes.
Le supercommutateur est défini sur les éléments homogènes par [a, b} = ab − (−1)
σ(a)σ(b)ba (et pro- longé par bilinéarité). Une superalgèbre est dite commutative si pour tout couple (a, b) d’éléments homogènes [a, b} = 0.
Nous définissons le Λ
1-annihilateur comme étant
⊥Λ
1= {λ ∈ Λ : λΛ
1= 0}. Toutes les CSA consi- dérées ici seront de dimensions finies. Nous noterons (e
0, e
1, ..., e
p) une base de Λ
0(e
0est l’élément unité de Λ), (ε
1, ε
2, ..., ε
q) = (e
p+1, e
p+2, ..., e
p+q) une base de Λ
1, et définissons les coefficients de structure (d’algèbre) Γ de Λ par e
ie
j= P
p+qk=0
Γ
ki,je
kpour i, j = 0, 1, ..., p + q. On remarque que, d’après la définition d’une CSA, les coefficients Γ sont symétriques en (i, j) si i ou j ∈ {0, 1, ..., p}, anti-symétriques si i et j ∈ {p + 1, p + 2, ..., p + q}.
On appelle superespace sur la CSA Λ tout R -espace vectoriel R
n,mΛ
= Λ
n0× Λ
m1où n, m ∈ N .
Définition 1.1. Si U est un ouvert de R
n,mΛ
et F une application de U dans Λ, nous disons que F est superdifférentiable à droite (ou S-différentiable) en x ∈ U s’il existe des éléments
∂x∂Fj
(x) de Λ, j = 1, ..., n + m tels que, pour tout h ∈ R
n,mΛ
tel que x + h ∈ U , on ait F (x + h) = F (x) +
n+m
X
j=1
∂F
∂x
j(x)h
j+ o(h)
avec lim
khk7→0ko(h)kkhk= 0 où k . k est une norme sur l’espace vectoriel R
n,mΛ
. Nous remarquons que
∂x∂F1
(x), ...,
∂x∂Fn
(x) sont définis de façon unique par la condition ci-dessus, tandis que
∂x∂Fn+1(x), ...,
∂x∂Fn+m(x) sont définis modulo
⊥Λ
1. La condition de S-différentiabilité de F exprime donc le fait que F est différentiable et que sa dérivée est définie par les opérateurs de multiplication par des éléments de Λ.
Exemple 1. Si Λ
1= {0} et Λ
0= Vect (e
0, e
1) avec e
0= 1 et e
12= −e
0, les fonctions S-différentiables sont les fonctions holomorphes et la superanalyse est alors l’analyse complexe.
Exemple 2. (Analyse hyperbolique.) Λ
1= {0} et Λ
0= Vect (e
0, e
1) avec e
0= 1 et (e
1)
2= e
0. f = u e
0+ v e
1S-diff. ⇐⇒
∂x∂u0=
∂x∂v1et
∂x∂u1=
∂x∂v0Alors f , u et v vérifient l’équation des ondes
∂x∂2u2 0−
∂∂x2u21
= 0.
Remarque : soient ϕ et ψ fonctions de classe C
1sur R . Alors f : Λ → Λ définie par
f (xe
0+ ye
1) = [ϕ(x + y) + ψ(x − y)]e
0+ [ϕ(x + y) − ψ(x − y)]e
1est S-différentiable, mais pas plus régulière que ne le sont ϕ et ψ.
Exemple 3. Supposons Λ
1et Λ
0de dimensions 6, avec la table de multiplication suivante :
× e
0e
1e
2e
3e
4e
5ε
1ε
2ε
3ε
4ε
5ε
6e
0e
0e
1e
2e
3e
4e
5ε
1ε
2ε
3ε
4ε
5ε
6e
1e
1−e
0e
3−e
2e
5−e
4ε
2−ε
1ε
6ε
5−ε
4−ε
3e
2e
2e
30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e
3e
3−e
20 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e
4e
4e
50 0 e
2e
3ε
3ε
20 ε
3ε
60
e
5e
5−e
40 0 e
3−e
2ε
2−ε
30 ε
6−ε
30
ε
1ε
1ε
20 0 ε
3ε
20 0 0 e
2e
30
ε
2ε
2−ε
10 0 ε
2−ε
30 0 0 e
3−e
20
ε
3ε
3ε
60 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ε
4ε
4ε
50 0 ε
3ε
6−e
2−e
30 0 0 0
ε
5ε
5−ε
40 0 ε
6−ε
3−e
3e
20 0 0 0
ε
6ε
6−ε
30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
L’ensemble des nilpotents de Λ
0étant ici Vect (e
2, e
3, e
4, e
5), l’algèbre commutative Λ
0n’est pas semi-simple et donc n’est pas isomorphe à un produit d’algèbres Q
sj=1
L
j, où L
j= R ou C . 2. L’opérateur de Cauchy-Riemann en superanalyse.
Soit f une fonction d’un ouvert U de R
n,mΛ
= Λ
n0× Λ
m1dans Λ = Λ
0⊕ Λ
1; f(x) = P
pk=0
f
k(x)e
k+ P
ql=1
f
p+l(x)ε
l, où f
0, ..., f
p+qsont des fonctions réelles.
Il sera commode, comme dans [K], d’écrire x ∈ R
n,mΛ
sous la forme x = (y, θ) avec y = (y
1, . . . , y
n) ∈ Λ
n0et θ = (θ
1, . . . , θ
m) ∈ Λ
m1. Ainsi avec y
i= P
pk=0
y
ike
k∈ Λ
0et θ
j= P
ql=1
θ
ljε
l: df (x) =
X
n i=1X
p k=0∂f
∂y
ik(x)dy
ki+ X
m j=1X
q l=1∂f
∂θ
lj(x)dθ
jlSoit f S-différentiable en x (voir la définition 1.1) et h = (h
1, ..., h
n, h
′1, ..., h
′m) ∈ Λ
n0× Λ
m1; nous avons
df(x)(h) = X
ni=1
∂f
∂y
i(x)h
i+ X
m j=1∂f
∂θ
j(x)h
′j= X
ni=1
X
p k=0∂f
∂y
i(x) e
kdy
ki(h) + X
m j=1X
q l=1∂f
∂θ
j(x) ε
ldθ
lj(h) par conséquent
∀i = 1, ..., n , ∀k = 0, ..., p , ∂f
∂y
i(x)e
k= ∂f
∂y
ik(x),
∀j = 1, ..., m , ∀l = 1, ..., q , ∂f
∂θ
j(x)ε
l= ∂f
∂θ
lj(x), ou encore, puisque
∂y∂fi
(x) =
∂y∂f0 i(x) :
propriété : une fonction f Fréchet-différentiable en ses variables réelles est S-différentiable en x ∈ Λ si et seulement si
∂f
∂y
ki(x) = ∂f
∂y
i0(x)e
k, ∀i = 1, ..., n et ∀k = 1, ..., p (2.1)
( ∂f
∂θ
j1(x), ..., ∂f
∂θ
jq(x)) ∈ Λ(ε
1, ..., ε
q) := {(aε
1, ..., aε
q) , a ∈ Λ} , ∀j = 1, ..., m (2.2)
Rappelons que
∂f∂θjl
(x) est défini modulo
⊥Λ
1.
Nous sommes ainsi amenés naturellement à traiter différemment les "variables commutatives"
y
1, . . . , y
net les "variables anti-commutatives" θ
1, . . . , θ
m.
2.1. Etude dans Λ
n0. Oublions provisoirement les variables anti-commutatives et intéressons-nous aux variables y
1, ..., y
n. Et, d’abord, considérons le cas n=1.
Soit f une fonction d’un ouvert U de Λ
0dans Λ. Si y = P
pk=0
y
ke
k∈ U , alors f est S-différentiable en y si df (y) =
∂y∂f0(y) P
pk=0
e
kdy
kpuisque, pour tout k,
∂y∂fk(y) =
∂y∂f0(y)e
kcomme nous venons de le voir. Dans le cas général, nous décomposerons df (y) en une partie Λ
0-linéaire notée d
′f (y) et un reste noté d
′′f (y) :
df(y) = d
′f (y) + d
′′f (y) avec
d
′f (y) = ∂f
∂y
0(y) X
p k=0e
kdy
k,
d
′′f (y) = X
p k=1( ∂f
∂y
k(y) − e
k∂f
∂y
o(y))dy
k.
Plus généralement, si ω est une forme différentielle définie dans U , à valeurs dans Λ, nous définissons d
′ω =
X
p k=0e
kdy
k∂ω
∂y
0:= dY ∂ω
∂y
0, d
′′ω =
X
p k=1dy
k( ∂ω
∂y
k− e
k∂ω
∂y
0).
On vérifie immédiatement que d
′2= d
′′2= 0 et donc d
′′d
′+d
′d
′′= 0. Une fonction f est S-différentiable dans U si et seulement si d
′′f = 0 dans U. On généralise aisément au cas de plusieurs "variables commutatives". Si y = (y
1, y
2..., y
n) ∈ Λ
n0avec y
i= P
pk=0
y
ike
k, on définit pour une forme différentielle ω de degré quelconque définie dans un ouvert U de Λ
n0, et à valeurs dans Λ,
d
′′ω = d
′′yω = X
n i=1X
p k=1dy
ki( ∂ω
∂y
ki− e
k∂ω
∂y
i0), (2.3)
d
′ω = X
ni=1
X
p k=0e
kdy
ik∂ω
∂y
i0:=
X
n i=1dY
i∂ω
∂y
0i.
Remarque : dans le cas de Λ
0= C , la manière traditionnelle de définir l’opérateur de Cauchy- Riemann n’est pas la même que ci-dessus, puisque l’habitude est de faire éclater df en une partie C -linéaire et une partie C -antilinéaire. Cette procédure ne peut opérer ici car nous n’avons pas, dans le cas général, d’opérateur de conjugaison. Toutefois, l’opérateur de Cauchy-Riemann habituel dans C et celui qui est défini ci-dessus ont le même noyau, l’ensemble des fonctions holomorphes. Et c’est ce qui nous importe, puisque notre objectif est l’étude des fonctions S-différentiables.
2.2. Etude dans Λ
m1. Occupons nous, maintenant, des "variables non-commutatives", et, tout d’abord, du cas d’une seule variable anti-commutative. Soit f une fonction définie dans un ouvert U de Λ
1, à valeurs dans Λ. Si θ = P
ql=1
θ
lε
l∈ U , f est S-différentiable en θ s’il existe un élément
∂f∂θ(θ) de Λ tel que, pour tout l = 1, ..., q,
∂θ∂fl(θ) =
∂f∂θ(θ)ε
l.
Mais, contrairement au cas des "variables commutatives", il n’existe, en général, aucun moyen cano-
nique pour déterminer le coefficient multiplicatif
∂f∂θ(θ) de l’application Λ
1-linéaire d
′f (θ) ; autrement
dit, il n’existe, en général, aucun moyen naturel pour décomposer df (θ) en une partie Λ
1-linéaire et
un reste. Pour conserver le maximum de souplesse dans le choix de ces projections associées de df (θ),
nous supposerons que nous disposons d’une norme k k dans Λ (norme telle que kxx
′k ≤ Ckxkkx
′k)
déduite d’un produit scalaire g.
Nous cherchons à définir un opérateur d
′′dont le noyau contient les fonctions S-différentiables.
Nous pourrions effectuer une projection orthogonale de
∂f
∂θ1
(θ), . . . ,
∂θ∂fq(θ)
sur Λ(ε
1, . . . ε
q) afin de définir d’abord d
′= d − d
′′puis d
′′, mais cela ne donne pas, en général, un opérateur d
′′vraiment explicite et, partant, il semble difficile d’obtenir ainsi une solution fondamentale explicite pour l’opé- rateur d
′′, ce qui sera l’objectif du paragraphe suivant.
d
′′est bien plus explicite si nous supposons satisfaite la condition suivante :
il existe une suite finie 1 = s
1< s
2< ... < s
r< s
r+1= q + 1 telle que ε
j= ε
ska
jsi s
k≤ j < s
k+1où a
j∈ Λ et a
s1= a
s2= ... = a
sr= e
0(2.4)
(en fait a
jest un élément de Λ
0).
Alors :
propriété : Sous la condition (2.4) sur Λ
1, une fonction f Fréchet-différentiable en θ est S-différentiable en θ ∈ Λ
1si
( ∂f
∂θ
s1(θ), . . . , ∂f
∂θ
sr(θ)) ∈ Λ(ε
s1, . . . , ε
sr)
(2.5) ∂f
∂θ
j(θ) = ∂f
∂θ
sk(θ)a
jsi s
k≤ j < s
k+1La plus utile des deux relations ci-dessus lorsque nous chercherons à donner des propriétés de régularité des fonctions S-différentiables sur un ouvert de Λ
1sera (2.5). Nous sommes donc amenés à poser
d
′′(= d
′′θ) = X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1dθ
j∂
∂θ
j− a
j∂
∂θ
sk,
et
d
′= d − d
′′= X
r k=1sk+1
X
−1 j=skdθ
ja
j∂
∂θ
skOn vérifie immédiatement que d
′2= d
′′2= 0 et d
′d
′′+ d
′′d
′= 0.
On généralise au cas de plusieurs "variables anti-commutatives" : Si θ = (θ
1, θ
2, ..., θ
m) ∈ Λ
m1avec θ
i= P
qj=1
θ
ijε
j, on définit pour une forme différentielle ω définie dans un ouvert U de Λ
m1,
(2.6)
d
′ω(= d
′θω) = X
m i=1X
r k=1sk+1
X
−1 j=ska
jdθ
ij∂ω
∂θ
isknoté d
′ω = X
m i=1X
r k=1dZ
k(θ
i) ∂ω
∂θ
sikd
′′ω(= d
′′θω) =
X
m i=1X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1dθ
ji( ∂ω
∂θ
ij− ∂ω
∂θ
iska
j) 2.3. Cas général. Enfin, dans le cas d’un superespace R
n,mΛ
= Λ
n0×Λ
m1sur la CSA Λ, un élément x de R
n,mΛ
est noté x = (y, θ) = (y
1, y
2, ..., y
n, θ
1, ..., θ
m) ∈ Λ
n0×Λ
m1avec y
i= P
pj=0
y
jie
jet θ
k= P
ql=1
θ
klε
l. Nous pouvons définir l’opérateur de Cauchy-Riemann d
′′dans R
n,mΛ
en posant d
′′= d
′′y+ d
′′θ, où d
′′yet d
′′θsont définis en (2.3) et (2.6) :
(2.7) d
′′=
X
n i=1X
p j=1dy
ij∂
∂y
ij− e
j∂
∂y
i0! +
X
m l=1X
r k=0sk+1
X
−1 t=sk+1dθ
tl( ∂
∂θ
tl− ∂
∂θ
slka
t).
3. Solution fondamentale de d
′′et formule de représentation intégrale.
Si D est un ouvert de R
n,mΛ
borné et à frontière lisse, si f est une forme différentielle continue dans D et de classe C
1dans D, nous cherchons une représentation intégrale de f , c’est-à-dire nous essayons d’écrire
f (x) = Z
∂D
f (u)K(u, x) − Z
D
d
′′f(u) .K (u, x) + d
′′Z
D
f (u)K(u, x) , x ∈ D
Soulignons que les formes différentielles intervenant, à coefficients à valeurs dans Λ, sont des formes en les coordonnées réelles y
ji, w
ij, i = 1, ..., n, j = 0, ..., p , θ
ℓi, τ
iℓ, i = 1, ..., m, ℓ = 1, ..., q de x = (y, θ), u = (w, τ ) ∈ Λ
0n× Λ
1m≈ R
Noù N = n(p + 1) + mq, et les intégrales sont ainsi définies sans ambiguïté.
Une telle représentation intégrale peut s’obtenir dès lors que K est à coefficients localement intégrables sur R
n,mΛ
× R
n,mΛ
et que nous avons en termes de courants d
′′K(u, x) = [∆] où [∆] est le courant d’intégration sur la diagonale ∆ = {(x, x) : x ∈ R
n,mΛ
} (voir [HP] par exemple). Un noyau K(u, x) vérifiant cette dernière égalité est appelé noyau fondamental de l’opérateur de Cauchy-Riemann d
′′. Plus précisément, soit Ψ : D × D → R
n,mΛ
définie par Ψ(u, x) = u − x. Alors [∆] = Ψ
∗([0]) où [0] est le courant d’évaluation en 0 ∈ R
n,mΛ
. Donc d
′′u,xK(u, x) = [∆] s’écrit aussi d
′′xΩ(x) = [0] si l’on pose K = Ψ
∗Ω ; chercher une formule de représentation intégrale pour d
′′appelle donc à rechercher une solution fondamentale pour l’opérateur d
′′.
3.1. Solution fondamentale de d
′′. Comme dans le paragraphe précédent, nous allons d’abord sup- poser que f est une forme en y ∈ Λ
0(donc n = 1 dans un premier temps) et fixer les variables θ ∈ Λ
m1. Dans le cas Λ
0= C , une solution fondamentale de d
′′Ω = [0] est Ω =
2iπzdz. Mais pour p > 1, notre algèbre commutative Λ
0n’est pas intègre (cf. [BM] ou le théorème de Frobenius classifiant les algèbres réelles associatives de division de dimensions finies). Nous n’avons pas non plus de conjugaison sur Λ
0comme en analyse complexe ou quaternionique, et un noyau résolvant de type Bochner-Martinelli n’est pas envisageable.
Nous devons chercher une solution fondamentale sous une autre forme.
Nous munissons Λ
0d’une norme euclidienne k k pour laquelle (e
0, ..., e
p) est une base orthonormée (avec e
0l’élément unité).
Nous sous-entendrons souvent les symbôles ∧ dans les formes différentielles et utiliserons les notations : (3.1)
dyi c = dy
0. . . dy
i−1dy
i+1. . . dy
p, et pour i < j : dy \
idy
j= dy
0. . . dy
i−1dy
i+1. . . dy
j−1dy
j+1. . . dy
pLemme 3.1. Soit Ω(y) =
kykA(y)p+koù A(y) = P
pi=0
(−1)
iA
i(y) dy c
iest une p-forme à coefficients A
i(y) à valeurs dans Λ et polynômes (en les variables réelles y
0, ..., y
p) homogènes de degré k et vérifiant d
′′Ω = 0 hors de 0. Alors
d
′′Ω = Z
kyk≤1
d
′′A
!
× [0].
Preuve : Soit ϕ ∈ C
0∞(Λ
0) une fonction test. Remarquons que pour tout i = 1, . . . , p : dy
i∧ dy d
0= 0 ; nous avons
hd
′′Ω, ϕi = (−1)
p+1hΩ, d
′′ϕi = (−1)
p+1hΩ, X
pi=1
∂ϕ
∂y
i− e
i∂ϕ
∂y
0dy
ii
= −
Z X
pi=1
A
ikyk
p+k∂ϕ
∂y
i− e
i∂ϕ
∂y
0dy
0...dy
p= − lim
ε→0
Z
kyk≥ε
X
p i=1A
ikyk
p+k∂ϕ
∂y
i− e
i∂ϕ
∂y
0dy
0...dy
p= − lim
ε→0
Z
kyk>ε
d
" X
pi=1
(−1)
iA
idy c
ikyk
p+k− A
ie
idy d
0kyk
p+kϕ
#
− (d
′′Ω)ϕ
= lim
ε→0
1 ε
p+kZ
kyk=ε
X
pi=1
A
idy c
i(−1)
i− A
ie
id dy
0ϕ
= Z
kyk=1
X
p i=1(−1)
iA
idy c
i− e
iA
id dy
0ϕ(0)
= Z
kyk≤1
X
p i=1∂A
i∂y
i− e
i∂A
i∂y
0!
dy
0...dy
p.ϕ(0) = Z
kyk≤1
d
′′A ϕ(0).
en utilisant d
′′A = d
′′( P
pi=1
A
idy c
i) pour la dernière égalité.
Ainsi, grâce à ce lemme, pour obtenir une solution fondamentale pour d
′′, nous allons chercher Ω(y) =
kykA(y)p+1avec A(y) p-forme à coefficients à valeurs dans Λ et polynômes homogènes de degré 1 telle que R
kyk≤1
d
′′A soit inversible.
Nous considérons
Ω = 1 kyk
p+1X
p j=0(−1)
jd dy
jX
p k=0b
kjy
k= A kyk
p+1. où b
kj∈ Λ et x = P
pk=0
y
ke
k. Nous allons choisir les éléments b
kjde Λ de façon à obtenir d
′′Ω = 0 hors de 0.
Nous pourrons choisir librement les b
k0puisque d
′′φ(y) d dy
0= 0 sur un ouvert U ⊂ Λ
0dès que φ : U ⊂ Λ
0→ Λ est R -différentiable sur U .
Par un calcul direct : d
′′Ω =
X
p j=1b
jj− e
jb
0jkyk
p+1− (p + 1) y
je
0− y
0e
jkyk
p+3X
p k=0b
kjy
k
dy
0dy
1...dy
p.
d
′′Ω = 0 s’écrit donc X
p j=1(b
jj− e
jb
0j) − p + 1 kyk
2
X
p j=1X
p k=0y
jy
kb
kj− X
p j=1X
p k=0y
0y
ke
jb
kj
= 0
c’est-à-dire
Pp
j=1(bjj−ejb0j)−kykp+12
[
−(y0)2Ppj=1ejb0j+Ppj=1(yj)2bjj+Pp
j=1y0yj(b0j−Pp
k=1ekbjk)+P
1≤j<kyjyk(bkj+bjk)
]
=0.Il faut donc annuler le polynôme obtenu en multipliant par kyk
2le premier membre, ce qui donne :
(3.2)
b
0j= P
pk=1
e
kb
jk; j = 1, 2, ..., p b
kj+ b
jk= 0; j, k = 1, ..., p; j 6= k b
jj= − P
pk=1
e
kb
0k=
p+11P
pk=1
(b
kk− e
kb
0k); j = 1, ..., p.
Notons b = − P
pk=1
e
kb
0kla valeur commune des b
jj, j = 1, . . . , p. La première ligne de (3.2) permettra
de définir b
0jquand nous connaîtrons les b
jk. La deuxième ligne donnera b
jkquand nous connaîtrons b
kjpour j < k. Compte tenu de ces deux lignes :
b = −
X
p k=1e
kX
p l=1e
lb
kl= − X
p k,l=1e
ke
lb
kl= − X
p k=1e
k2b
kk− X
k<l
e
ke
lb
kl− X
l<k
e
ke
lb
kl= −
X
p k=1e
k2b − X
k<l
e
ke
l(b
lk+ b
kl) = −b X
p k=1e
k2. ou encore
b X
p k=0e
k2= 0.
(3.3)
Alors trois cas se présentent.
Si P
pk=0
e
k2n’a pas de diviseur de 0, nécessairement b = 0 et donc R
kxk≤1
d
′′A = 0 : nous n’avons pas de représentation intégrale.
Si P
pk=0
e
k2non nul a des diviseurs de 0, on prend pour b l’un de ces diviseurs et alors R
kxk≤1
d
′′A est non inversible : nous n’avons pas une bonne représentation intégrale.
Enfin, si Λ
0vérifie la condition (A
0) suivante :
(3.4) ( A
0) il existe une base (e
0= 1, e
1, ..., e
p) de Λ
0vérifiant X
p k=0e
k2= 0 ,
nous prenons pour b un élément inversible de Λ, par exemple b = e
0, et choisissons b
kj= 0 si j 6= k, 1 ≤ j ≤ p ; nous déduisons alors du lemme 3.1, puisque R
kxk≤1
d
′′A = (p + 1)e
0V ol(B (0, 1)) où Vol(B(0,1)) est le volume de la boule unité de Λ
0:
Ω = 1
(p + 1)V ol(B(0, 1))kyk
p+1X
p j=1(−1)
j(y
0e
j+ y
je
0) d dy
j+ X
p k=0b
k0y
kd dy
0est une solution fondamentale de d
′′dans Λ
0.
Nous allons choisir les b
k0en sorte que d
′Ω = 0, ce qui simplifiera d’une part certains calculs d’autre part la formule de représentation intégrale ; ceci conduit à b
00= e
0et b
k0= −e
ksi k ≥ 1. La forme dY = P
pk=0
e
kdy
kest en facteur dans A et nous obtenons, avec les notations (3.1) : Proposition 3.2.
Ω
0= 1
(p + 1)V ol(B (0, 1))kyk
p+1X
p j=1(−1)
j(y
0e
j+ y
je
0)(
X
p k=0e
kdy
k) \ dy
0dy
jest une solution fondamentale de d
′′dans Λ
0.
Exemples : La condition (A
0) est vérifiée dans les exemples 1 et 3. Elle ne l’est pas dans le second exemple (ce serait d’ailleurs en contradiction avec la proposition 4.3 du paragraphe 4).
La condition (A
0) sera toujours supposée vérifiée dans la suite.
• cherchons maintenant une solution fondamentale pour l’opérateur d
′′défini sur Λ
1. De façon à disposer d’une expression explicite pour d
′′, nous supposerons satisfaite la condition (2.4) ; par conséquent, nous avons :
d
′′= X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1dθ
j∂
∂θ
j− a
j∂
∂θ
sk,
Nous munissons Λ
1d’un produit scalaire en supposant que (ε
1, ..., ε
q) est une base orthonormée, notons k k la norme associée, et cherchons une solution fondamentale de la forme :
Ω = X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk(−1)
j−1dθ c
jX
ql=1
b
ljθ
lkθk
qOn calcule d
′′Ω hors de 0, et l’on note dV = dθ
1∧ ... ∧ dθ
q; comme d
′′φ(y, θ) dθ d
sk= 0 sur tout ouvert U sur lequel φ est R -différentiable, nous pourrons choisir arbitrairement les b
lsk.
d
′′Ω = 1 kθk
qX
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1b
jj− a
jb
sjkdV − q
kθk
q+2X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1θ
j− a
jθ
skX
ql=1
b
ljθ
l! dV.
donc
kθk
q+2d
′′Ω dV c = kθk
2X
r k=1sk+1−1
X
j=sk+1
b
jj− a
jb
sjk− q
− X
r k=1(θ
sk)
2sk+1
X
−1 j=sk+1a
jb
sjk+ X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1(θ
j)
2b
jj
+q X
sk<sk′
θ
skθ
sk′
sk+1
X
−1 j=sk+1a
jb
sjk′+
sk′+1−1
X
j=sk′+1
a
jb
sjk
−q h X
rk=1
X
r k′=1sk′+1−1
X
j=sk′+1
θ
skθ
j
b
sjk−
sk+1−1
X
l=sk+1
a
lb
jl
+ X
j<k j,k6=s1,...,sr
θ
jθ
k(b
kj+ b
jk) i .
La nullité de d
′′Ω hors de 0 s’écrit donc :
b
kj+ b
jk= 0 si j 6= k, j et k / ∈ {s
1, ..., s
r} b
sjk=
sk+1
X
−1 l=sk+1a
lb
jl0 =
sk+1
X
−1 j=sk+1a
jb
sjk′+
sk′+1−1
X
j=sk′+1
a
jb
sjkpour k 6= k
′X
rk=1 sk+1
X
−1 j=sk+1(b
jj− a
jb
sjk) = qb
jj= −q
sk0+1−1
X
j=sk0+1
a
jb
sjk0pour tout k
0∈ {1, ..., r}.
La troisième ligne est une conséquence des deux premières ; en effet :
sk+1
X
−1 j=sk+1a
jb
sjk′+
sk′+1−1
X
j=sk′+1
a
jb
sjk=
sk+1
X
−1 j=sk+1sk′+1−1
X
l=sk′+1
a
ja
lb
jl+
sk′+1−1
X
j=sk′+1 sk+1
X
−1 l=sk+1a
ja
lb
jl=
sk+1
X
−1 j=sk+1sk′+1−1
X
l=sk′+1
a
ja
l(b
jl+ b
lj) = 0.
D’après la quatrième ligne tous les b
jjsont égaux à une constante b ∈ Λ. Dès lors, la dernière égalité de celle-ci s’écrit, en tenant compte de la seconde ligne :
b = −
sk+1
X
−1 j,l=sk+1a
ja
lb
jl= − X
j<l
a
ja
l(b
lj+ b
jl) −
sk+1
X
−1 j=sk+1a
j2b, ∀k = 1, . . . , r c’est-à-dire :
(3.5) b
sk+1
X
−1 j=ska
j2= 0 ∀k = 1, . . . , r
La première égalité de la quatrième ligne nous conduit de même à (3.5).
On veut, tout comme dans Λ
0, que b soit un élément inversible de Λ, afin d’obtenir une bonne formule de représentation intégrale ; nous sommes ainsi amenés à imposer à Λ
1, en tenant compte de (2.4) la condition suivante :
(3.6) ( A
1)
il existe une base (ε
1, ..., ε
q) de Λ
1et une suite finie s
1= 1 < s
2< ... < s
r< s
r+1= q + 1 telles que, pour tout j = 1, ..., q, il existe a
j∈ Λ
0vérifiant ε
j= a
jε
sksi s
k≤ j < s
k+1, avec a
s1= a
s2= ... = a
sr= e
0et P
sk+1−1j=sk
a
j2= 0 pour tout k = 1, ..., r .
Dès lors que la condition (A
1) est satisfaite, nous pouvons écrire une solution fondamentale explicite pour l’opérateur d
′′sur Λ
1; par exemple, prenant b = e
0et b
kj= 0 si j 6= k , j, k ≥ 2, nous obtenons comme candidat :
(3.7) Ω = 1
q V ol(B(0, 1) kθk
qX
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1(−1)
j−1(θ
je
0+ θ
ska
j) dθ c
j+ ( X
ql=1
b
lskdθ d
skNous imposons de plus, comme dans l’étude concernant Λ
0, d
′Ω = 0, ce qui conduit à choisir pour tout k = 1, . . . , r : b
sskk= e
0; b
lsk= −a
lsi s
k< l < s
k+1; b
lsk= 0 si l < s
kou s
k+1< l.
Nous obtenons alors, avec ces choix, le noyau suivant :
(3.8) Ω
1= 1
q V ol(B(0, 1) kθk
qX
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1(−1)
j−1(θ
je
0+ θ
ska
j) (
sk+1
X
−1 ℓ=ska
ℓdθ
ℓ) \ dθ
skdθ
jPour vérifier qu’il s’agit bien d’une solution fondamentale de d
′′dans Λ
1, nous devons étudier la singularité en 0, ce qui se fait de façon identique au cas de Λ
0, à l’aide de l’analogue du lemme 3.1 (voir aussi, ci-dessous, la démonstration dans Λ
n0× Λ
m1, dont le cas présent est un cas particulier).
Exemple. Si l’on prend Λ
1= ε
1Λ
0, alors la condition (A
1) se ramène à la condition (A
0) si l’on pose ε
j= ε
1e
j−1.
La condition (A
1) sera supposée satisfaite dans toute la suite.
Désormais, il reste à chercher une solution fondamentale pour d
′′défini sur un superespace R
n,mΛ
=
Λ
n0× Λ
m1. Nous supposons toujours satisfaites les conditions (A
0) et (A
1) en sorte que l’opérateur de Cauchy-Riemann sur R
n,mΛ
est défini comme en (2.7).
Nous allons utiliser les résultats précédents obtenus pour Λ
0et Λ
1. Notons (3.9)
ω(y
i) = dy
0i. . . dy
pi(= dy
i0∧ · · · ∧ dy
ip) pour i = 1, . . . , n λ(θ
i) = dθ
1i. . . dθ
qipour i = 1, . . . , m η(y
i) =
X
p j=1(−1)
j(y
i0e
j+ y
ije
0)dY
idy
1i. . . dy
ij−1dy
ij+1. . . dy
ippour i = 1, . . . , n où dY
i= P
pk=0
e
kdy
ikν(θ
i) =
X
r k=1sk+1
X
−1 j=sk+1(−1)
j−1(θ
jie
0+ θ
iska
j) dZ
k(θ
i) dθ
i1. . . dθ
sik−1dθ
sik+1. . . dθ
j−1idθ
ij+1. . . dθ
iqpour i = 1, . . . , m , où dZ
k(θ
i) = P
sk+1−1ℓ=sk
a
ℓdθ
ℓi, k = 1, . . . , r dV =
^
n j=1ω(y
i)
^
m ℓ=1λ(θ
ℓ)
Comme les formes différentielles dY
iet dZ
k(θ
i) définies dans (3.9) sont à coefficients dans Λ
0, nous avons :
dY
i∧ dY
i= 0, ∀i = 1, . . . , n et dZ
k(θ
i) ∧ dZ
k(θ
i) = 0, ∀i = 1, . . . , m , ∀k = 1, . . . , r.
Tenant compte de la condition (A
0) (cf (3.4)), nous pouvons écrire pour tout i = 1, . . . , n :
(3.10)
dη(y
i) = d
′′η(y
i) = (p + 1)e
0ω(y
i)
1
2
d||x||
2∧ η(y
i)
^
n j=1 j6=iω(y
j)
^
m ℓ=1λ(θ
ℓ) =
12d
′′yi(||x||
2) ∧ η(y
i)
^
n j=1 j6=iω(y
j)
^
m ℓ=1λ(θ
ℓ)
= (−1)
(p+1)2(i−1)||y
i||
2e
0dV
Tenant compte de (A
1) ((cf (3.6)), nous obtenons pour tout i = 1, . . . , m :
(3.11)
dν(θ
i) = d
′′ν(θ
i) = qe
0λ(θ
i) et
1
2
d||x||
2∧ ν(θ
i)
^
n j=1ω(y
i) ^
ℓ6=i
λ(θ
ℓ) =
12d
′′θi(||x||
2) ∧ ν(θ
i)
^
n j=1ω(y
i) ^
ℓ6=i
λ(θ
ℓ)
= (−1)
nq(p+1)+q2(i−1)||θ
i||
2e
0dV Posons :
Ω = ˜ A ˜
kxk
n(p+1)+qmoù
A ˜ = X
n i=1(−1)
(p+1)2 (i−1)η(y
i)
^
n j=1 j6=iω(y
j)
^
m ℓ=1λ(θ
ℓ) + X
mi=1
(−1)
nq(p+1)+q2 (i−1)ν(θ
i)
^
n j=1ω(y
j)
^
m ℓ=1ℓ6=iλ(θ
ℓ)
= X
n i=1dY
iX
p j=1(−1)
j(y
jie
0+ y
0ie
j) \ dy
i0dy
ji+
X
m i=1X
r k=1dZ
k(θ
i)
sk+1
X
−1 ℓ=sk+1(−1)
ℓ−1(θ
iℓe
0+ θ
iska
ℓ) \ dθ
iskdθ
ℓi(3.12)
où l’on a noté, en accord avec (3.9) : (3.13)
dy \
0idy
ij= ω(y
1) . . . ω(y
i−1)dy
i1. . . dy
j−1idy
j+1i...dy
ipω(y
i+1) . . . ω(y
n)λ(θ
1) . . . λ(θ
m)
dθ \
sikdθ
ℓi= ω(y
1)...ω(y
n)λ(θ
1) . . . λ(θ
i−1)dθ
i1..dθ
sik−1dθ
isk+1..dθ
ℓ−1idθ
ℓ+1i...dθ
qiλ(θ
i+1) . . . λ(θ
m) Nous déduisons des calculs (3.10) et (3.11) précédents
(3.14) d
′′A ˜ = d A ˜ = (n(p + 1) + mq)e
0dV
(3.15) d Ω = ˜ d
′′Ω = 0 ˜ hors de {0}
Il reste maintenant à étudier la singularité de Ω ˜ ; remarquons que les coefficients de Ω sont de classe C
∞hors de 0 et localement intégrables ; si ϕ = ϕ(y, θ) est une fonction C
∞à support compact sur R
n,mΛ
, alors, en notant N = n(p + 1) + mq :
hd
′′Ω, ϕi ˜ = (−1)
Nh Ω, d ˜
′′ϕi = (−1)
Nh Ω, dϕi ˜ = (−1)
Nlim
ε→0
Z
kxk≥ε
Ω ˜ ∧ dϕ
= − lim
ε→0
Z
kxk≥ε
d Ωϕ) ˜ d’après (3.15)
= lim
ε→0
1 ε
NZ
kxk=ε
Aϕ ˜
= lim
ε→0
ϕ(0) ε
NZ
kxk=ε
A ˜ car || A|| ˜ . ||x||
= lim
ε→0
ϕ(0) ε
NZ
kxk≤ε
