HAL Id: hal-00576032
https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-00576032
Submitted on 11 Mar 2011
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Linear tetrahedral finite elements for thermal shock problems
Victor D. Fachinotti, Michel Bellet
To cite this version:
Victor D. Fachinotti, Michel Bellet. Linear tetrahedral finite elements for thermal shock problems.
International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, Emerald, 2006, 16 (5), pp.Pages
590-601. �10.1108/09615530610669120�. �hal-00576032�
!" !""!
!" #$ % #
& ' # ( ) &&&* +, ,+
-
. / 0 ( 1+ 2 3 4 / 3
/ # / ( 1 /
5 3 6( 7 8 9 . :
!;; %<% 8 % (
& ' # ( ) &&&, ,( 0, &&&, , (,
#$
% & $! ' 3$ # # # ( $ + $ + $
$ = * $ + + 2 ,
!$ ( )*! " (+) && ' 3$ $ * + $ 2
( $ 2 ' ++ '2 # $
( ++ '2 $ $ = $ 0 & 2 2 ( $ +
$ ,, 3$ # 2 $ + + # ' &$ $
2 0 2 $ ($ # & ++ 0 , 3$ # & =
# # ($ + $ $ 5 ' 2
* + &$ $ *+ ,
($ ' 3$ # # > ++ * # ? $ ' 2 ( +
0 2 , / & + ' $ , 3$
# + + $ $ 0 '2 + & $ 2
& ## + &$ $ & *' $ 0 0 ' ,
( " +), "%! ' 3$ # # $ $ ' $ #+ + # (
+ & 0 # $ + + $ + 2 , / ' #
( + & $ ++ ,
!+- $ 3$ $ = $ + 2 + $
&! +&! $ # #
@
. /
3$ + ++ # ' ( $ + $
+ ++ '2 0 ' , 3$ ' = + $ +
+ #$2 # ' , $
# ' $ 0 0 0 + $ # # , / + &$ & :
$ ++ # ( A = + $ # #
& 2 + '2 0 $ BB9C
@;; C D = @;;; , 3$ # # + E 2 $
2 $ ' 2 $ + & + E $ D :
@;;; ,
3$ # '2 $ # # ( $ (
&$ $ $ ' # ( , / $ 2 & $ $ # +
& $ $ = $ # 0 , 3$ 2 2 ## $ ' 2
0 2 2 $ $ 2 #, $ $ ($ $
' 2,
F = & : 3 2 @;;; = $ $ # ' + $
' $ $ = , / + $ $ = $ . #
' & ' 2 ' #$2 2 '2 $
$ , 3$ 2 # # $ ## 2 ( 2 $ 0 ( $ & 2
$ # ' '2 $ $ = (, + 2 2
# # $ $ + ( ( ' 2 ( ++ 0 2 $ ($
( $ ( # + $ 0 2 & $ # $ :
# $ $ . # ' 2 2 ' ,
# ' ( 0 + $ ' & $
& =# + ( $ & # ' & $ + & +
$ # + ( ,
3$ # # ( + $ $ = ( 0 $ 0 # 0 $
2 2 ++ '2 $ $ $ = ' * & G ((
A = B9@C A = B99C H ( $ @;; , 3$ $ *
# # $ , $ + + : ∆ $ ∆
5 +2 $ ( 0 '2
∆
@=
∆ ρ
α
&$ α + G (( A = B9@C A = B99C H (
$ @;; ,
/ # 2 $ 2 $ $ = $ 0 0 2 $ * ++ $
( ++ $ $ $ = 2 0 # ($, G & 0
# 2 ,(, $ * $ 2 $ ' $ 2 ( 2
0 $ &$ $ + $ 2* # & $
$ * # $ # # ,
H +2 $ # # $ '2 + ( $ $ $
!
( '2 $ , + 0 * ++ $ BBB 0 *
++ * # ' $ $ @;;@ & $ + 2 +
2, 3$ # 0 + $ 5 # # '2 $ BBB ' $
' + ( + & $ + ( 2 $ (
+ ( ( 0 ( $ ( , + 2 $ # +
$ $ 5 + ( $ # , $ 2 @I # '
& $ & = ,
/ + $ # + $ + 2 ++ ' !I ## +
&$ $ $ + ( & + 5 2 * # + $
, 7 + ( # ' &$ 2 2
# ( # = # $ + ' & $ $ $
5 ( $ ($ 2 + $ ' $ ,
( ( $ ( + $ # 2 +
$ ' $ $ ++ ## $ 0 # & $ $
$ = ( $ ,
3$ + 2 + $ # # $ ) + $ $ = #
$ ( $ ($ ($ # $ ∆ '2 5
$ 2 ( + $ , 3$ '2 ( # * ## ( $ $ $
5 ' 0 = ( ∆ # & $ ' 2 , + 2 ∆
+ 5 2 ( + ( + $ $ 5 $ $
0 5 $ 2 ' # & $ ,(, $ $ #
' , J BB9 $ # # # ∆ # $ 2
# $ # $ 5 # ∆ <∆ , 3$ (2
2 $ $ 2 ( 0 + 2 + ($ 2 *
# ' &$ $ $ + # ,
3$ ## $ ' $ * $ 2 4 ( $ ' B ; ) $
+ + $ # # 5 $ 2 ' + :
' * * ( × * * +
*≥; *
( # *# 0 , BB9 @;;
# # 4 $ ( ' 4 $ 5 $ # ++
* *+ &$ ## $ + !I I 2
( +2 ( ' $ ( 2 . $ ' 2
++ '2 $ $ = , /+ $ # # ' * , /
$ & 2 $ 2 + ++ # ' ' ( $ + &
2 * * , / ( $ &$ $ 2
0 * 2 $ + $ ## $ '
( : 0 * ++ # ' , / $ ( $
$ # 0 + ( ( $ ( $ ( 2 $ , 3$
0 $ 7 & = BB@C D = @;;; 2 ( $ +
$ + C D = @;;; # $ + 0 $
K , G & 0 & ( $ & ++ + $ (
& 0 2 # K ,
L
2 K ' + + $ $ = ,
3$ $ + A = IA , $ # : BBB
< = @;;@ $ 0 0 # # # IA # 0 2 0
$ # ' ( !I ( , 3$ 2 ; , , $ & $
# , 3$ + $ + $ $ 5 # '
= & , 7 = $ 2# !I ( $ ' +
' "* ( $ $ ' + 0 , / $ & IA* ;
2 0 $ + $ + $ : '
( ( $ # , / $ # ( & $ $ +
# 2 0 5 $ $ # + &$ $
2 ' ' 2 ++ ( ( $ 2 + $ ++
+ + 0 ' ,
3$ # & = $ 0 ( + ( + = (
# ' $ $ $ = &$ ($
, 3$ ++ * # $ # $ $ & $ $ + J BB9
( ( $ + +2 ( $ # # $ & & $ $ #
'2 $ * $ 2 BB9C @;; $ + $
+ + $ 2 , 3$ ( + # ( . ($ +
$ A = ' 2 # ( ,
0 1/
3$ & *= & + + $ $ 5
Ω
=
∇
⋅
∇
ρ − @
&$ Ω $ 2: $ 0 ' $ # ρ $ # + $
$ $ 0 2 $ , & $ $ (2
5 & $ # ' #$ $ ( , 3$ # & ' L,@, 5
@ '. $ )
;
= ;
= !
$ + & ( ' 2 )
Γ
= L
Γ
=
⋅
∇
− "
Γ
−
=
⋅
∇
−
# ' ( $ # Γ $ $ + $ ($ Γ $ $ $ (
$ ($ Γ 0 $ 0 # & $ $ 0
"
++ C Γ Γ Γ * 0 ## ( # + $ ' 2 Γ + Ω ' ( $
0 # ( & Γ ,
2 /
3$ A = ## $ ' 2 0 # ' + '2 5
@ 2 $ 2 + + * ++ 5 $
,(, F = & : 3 2 @;;; +
= 3
− +
&$ $ 0 + = & # $ # $
0 2 $ + 0 +
∫
Ω
= ρ 9
∫
∫
ΓΩ
+
∇
⋅
∇
= B
∫
∫
∫
Γ ΓΩ
+ +
= ;
' ( $ # + & $ , 3$ + 2* # *' =&
$ ( 5 , 3$ $ # 2
= & $ # ∆ ' ' '2 0 ( $ 5
= 3
−
∆ +
−
4 / '
% = & $ $ # ' 0 + $
$ = & $ $ + + $ 2 BB9C
@;; C D : @;;; , 3$ & $ ( 0 ( 5 '2
# ( $ ++ + &
=
−
∆ +
− @
&$
−
= !
& $
∫
∫
ΓΩ
+
∇
⋅
∇
= L
& ( ' # ( 0 2 '
+ +2 $ # # $ + ∆ $ + #)
∆
>
∆ ∆
∆ ∆ ≤ ∆
= +
+
"
3$ 0 + & $ + $ 0 ( 0 '2 5 " ; $
0 2 &$ ∆ ≥∆ , 3$ + $ 5 @
, ( ( $ # ## ' '2 = ( = &
0 + 5 ! ' ( $ ' $ 2 ## '
( # * ## ( $ 2 ' ++ '2 ' , 3$
−
≈
/ ( $ ( $ 2 ( + $ $ '
0 + $ # $ ( $ $ = $ $
## # '2 5 # 2,
4 . ! &! ! !& % $ % % ! *!$ !$
* + $ $ # + ∆ ( 5
# $ + + $ $ : ∆ , J BB9 # $
* ' ' + $ 2: ( $ $
$ 0 ( 0 + ∆ $ $ + $ 5 0 + $ M # ,
< ( $ 5 0 + ∆ 0 0 5 $ + + $ $ $
# # ( + $ $ = , % ( # # ∆
&$ # & $ $ ∆ $ $ # # $
2 + ( , 4 $ $ $ $ + $
∆ ( 0 + ∆ $ ++ $ 2 + $
++ # $ # ( 0 2 ( , ( $ 0 ( $ : $
,
/+ & # ' +2 # $ ( $ $ = $ $
& $ $ ( & 5 + $ & + ∆ $ ,
% 2& 2 + $ = + # 2 & # + ( ' ∆ , / & $ ( $
$ + ( ∆ ' 2 '2 0 ( 5 @ +
( ∆ $ # # $ # 0 $ + $
$, 3$ $ = $ + & ' ($ 0 +
∆ , 2 $ 2 $ ' ( ( + $ $
# ( ( ' # ,
4 0 ! 55%$ '$&" *! 5 $ " 5 & #"!*$
/ $ + 5 * #$ $ ( & $ $ #2 +
ρ
ρ +
= ∫
;
&$ $ 0 + + 5 ;≤ ≤ N; $ N $ 5
' ( 0 + + $ # $ # + $ +
+ , $ $ #2 + & 0 ++ 0 $ # 2 ρ
&$ $ + #$ $ ( ++ , % ( $ + + $ #
2 + $ = + # 2 + )
ρ ρ
ρ = +
∂
= ∂ 9
'. $ ! $ ' 2 L , / ( 5
9 2 0 & = $ + ' $ I O + +
$ + , 3$ 0 + ρ $ 2
+ < B ! 2 $ ($ 2 # ' & $
& + ( $ ( ' + # ( # ' # $
++ '2 #$ $ ( , $ ρ 2 ( : # # +
'2 7 B B B9 )
∇
= ∇
ρ B
&$ ∗ $ + 0 ∗ # ( : ' '2 (
# $ & 2 , 9 2 *& ++ 0
$ # 2 + $ ( , & $ $ 5
0 0 ( #$ $ ( ' & )
= 3
−
∆ +
− @;
&$ + $ + $ ( 5 2 5 ( # ρ '2 ρ
$ + + $ $ # 5 ,
/ 5 $ # + $ ++ * # $ $ 2
$ ' ' 0 # + ( ∆ &$ $ ( '
# , / $ ( ( #$ $ ( ρ ' 2 ( $
ρ , % $ ($ 2 0 ' & $ , / $ ∆ $ ' $
# $ $ = ++ # 2 ## , % 2 ( ++
# ∆ + * # ' $
9
$ ,
6
6 . !$ $!7 !' *! $ " " (
7 + $ * + * + 2 $
+ #
;N9;; &$ + # 2 + 0 N@"
= # , 3 ' / $ # # , 3$ # ' 2#
+ + $ 2 $ + (, H !I ( & $
+ : ∆ N @ $ + , % # ∆ N;,
# ,
3 = 3 ' /
/ $ $ ( A = ++ '2 $ $ = 0 '2
$ # # + !,@ $ + # + L *
+ + $ & ( ,
3 = (
$ + * # # $
α 5 = 5 2 J BB9 ' ( $ ∆ N;, L9 ,
G & 0 ( $ # ' $ # ( 0 2 # 2
+ + #$2 $ ( + ∆ N;,"LL , % '2 ( # 0 $
+ ;, + $ 0 ;,@9 , 3$ ( 0 2
# ( 5 " + $ + # 2 & $
$ $ ( 0 + ≥∆ , 7 $ $ $ 0 + ∆ ∆ $
$ + + $ 0 2 $ $ ( &$ $ ++
# $ , 3$ 2 0 ( &$ $ # $ +
# &$ $ #$2 ' ++ + $ ++
# $ ,
6 0 ( $ " 5
H & $ ( ( $ & ( @, 3$ # # +
$ # $ # 3 ' //, $ = + # 2
$ + ## ' ' & $ 5 # , 3$
2 + @ + !I , 3$ (
$ + ;,L!! $ # $ ($ @,"9 , 3$ 2#
( $ # ' # '2 $ $ = !I ## ,
3 = ( @
B
$ 0 2 ++ ++ # # + $ ++ #
0 2 ( # +2 $ # # $ ,
3 = ( $ 0 ( : $ $ 2 5 + $
' 5 2 $ 0 + ∆ 3 ' //,
3 = 3 ' //
∆ N;, 5 0 + $ + $ 2 ( + $
$ ' ( A = & $
# 2 $ ' ( # $ BL ' 0 $ #
$ ( , 3$ 0 & $ + ++ 0 2) $ (
# & $ # 0 $ ( !@; &$ ( 0 # ' 0
$ ,
/ ## 2 $ ++ * # & $ 0 $ ( + ;,"
$ ( $ + #, / $ & 2 $ 0 + ∆ + ' 2
+ ++ , % + ' ( $ ' 0
# 3 2 A = 3IA $ & $ ; ( $
# : BBB # ' ' + + ' '2 $ $ = ,
( ! $ & $ # $ ($ + $ ( , ; +
+ $ ' $ ' ( ( + N , , % ( ( ' &
++ * # 3IA ' 0 , 3$ # $ # # $
+ $ 3IA &$ $ 2 0 + $ !I ( ( $
$ & * 3IA $ ' @,"* $ $ !I $ $ ( ,
3 = ( !
4 $ + $ # ( $ ( $ ( ' & ' $
+ 2 0 ( L + $ # + @;
@ $, 3$ ($ ++ ' ' $ ++ + $ ( &$ $
2 # * $ + 3IA $ ++ $
,
3 = ( L
/
3$ ++ * # $ = # ' 0 # ' 0 0 ( $ $ =
( $ & $ $ , # $ # 0 (
$ ++ # $ & = + ( $ 2 $ 4 *
$ BB9C @;; $ $ 5 0 +
5 # , , 0 2 ( 2 $ * 2 $
;
2 J BB9 , # $ A = $ ( ;
$ # : BBBC < = @;;@ $ # $ 2 ' 2
' # , 3$ # ' #
( & $ ++ ,
8 9
3$ ## + % % # + $ + $ P
M M/ $ + + $ 4 * (
# . = & ( ,
< = , @;;@ 3$ 5 5 # ( !I,
$I 3$ Q ,
< , A, %, , B ! > +
#$ * $ ( # ' ? / J + G 3 + K , ##, 9@"*
9!@,
, , @;; >% 2 + A = + + ( & + &
& $ * ( ? / J +
$ ( ( K , "@ ##, ! *!9 ,
A = , B99 # + #$ P M ' $ 5
0 #2 2 $I 3$ %## 5 0 7 P( < ( ,
G (( , A = , B9@ > # ( ( ++ # ' ?
7 & , H, , $ G 3 + K , // J $ H 2
' $ $ ##, !*B ,
J 4, BB9 # + # R 2 $ *
5 + # P $I 3$ Q
,
D = , $ , G <, , ' $ , @;;; >4 $ # 2
' & $ ( : $ * ++ ? /
3 # *% I ( + / ( 2 K , B ,
##, @!!* @L;,
7 , , B B > $ * $ ( $ 5 + + ?
7 & , H, ( D, , $ 3$ ' ##, LB* "9
( & D,
7 , , B9 ( #$ $ ( ## + +
7 & , H, F = & : 4, , ( D, ,
$ G 3 + $ # ; ##, @; *@ ! J $ H 2 S &
T =
7 & = , H, BB@ >3$ * I 2 ( + +
## * ++ # ? /% J +
# ( K , ! , ! ##, "* ;,
4 ( J, , $ ' H, , B ; / 0 + 5
0 0 ' % & T =,
$ , # : 3, BBB >% 3 2 A = $ + $ $
!I + (? # $ %## $ ( ( K ,
9 ##, "!* B,
, , BB9 > ## + $ ++ #
$ ? /% J + # ( K , B , L ##, "L* 9,
$ 3, H, G, ( , , 3 , , G ( ,*T, BBB >4 # 0
0 * ++ + : $ ? # $ %## $
( ( K , ! ##, @; *@ ",
$ 3, H, G, $ G, T, G, @;;@ >% * +
+ 0 ( $ 0 * ++ * 5 ? / J +
$ K , !B ##, !B* " ,
H ( , G, $ J,*7, @;; + ( 2 ' ( 0 2
' ( D,
F = & : 4, , 3 2 , 7, @;;; 3$ + $ * 3$ '
< & $*G 4 + ,
@
3 ' /) # # + $ * ( # ' ,
I 2 ρ 9;; =(E
!G # 2 ! ; JE =(
3$ 0 2 " HE
3 ' //) # # + $ ( + # ' ,
(
I 2 ρ L"; =(E
!G # 2 " ; JE =(
3$ 0 2 !; HE
7 $ @L ;;; JE=(
# L!@
7 5 # L"L
/ # "!L
3 # ∆ @;,!
"
I 2 ρ @;; =(E
!G # 2 ;; JE =(
3$ 0 2 !; HE
/ # 9;
3 # ∆ ! ,!
$%"
I 2 ρ 9; =(E
!G # 2 9L9," JE =(
3$ 0 2 ;,9@ HE
/ # ;
3 # ∆ L ,!
$ ( & - !
I 2 ρ ";; =(E
!G # 2 ;; JE =(
3$ 0 2 ;,!" HE
/ # "!L
3 # ∆ ;,!
! 5 !$ #! -!! * ! "$
G $ ( ++ ;;; HE
@! 5 !$ -
G $ ( ++ !; HE
@# @;
! 9/
( ) 4 * + $ $ =, 2 0 + $
# L *+ + $ $ & ,
L
( @) / ## , + ( ( # ,
Insulator
Steel ingot Casting powder
Mold
"
( !) 3 # $ ( , , *+ + $
( ' ,
L9;
LB;
";;
" ;
"@;
"!;
"L;
; @ ! L "
$ ! 5 * ! * " : *;
!* & ! % ! :< ;
9 $ "%
!$! * !"
( L) 3 # $ ( + @; + @ $ ($ , 4 $ +
( $ # ' ' & $ $ # # ++ * # $
!I , 4 $ ($ $ ' ' '2 $ # 3IA
$ @I ,
Diffusion
-split TDG Diffusion
-split TDG
Max 1459.9 Min 471.6
Max 1460.2 Min 476.6 Max 1531.4
Min 530.2
Max 1531.4 Min 548.4