HAL Id: tel-00418557
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Submitted on 18 Oct 2009
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Caractérisation et extraction de l’information dans des signaux optiques polarimétriques ou issus d’états
sous-poissoniens de la lumière
Julien Fade
To cite this version:
Julien Fade. Caractérisation et extraction de l’information dans des signaux optiques polarimétriques ou issus d’états sous-poissoniens de la lumière. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Université Paul Cézanne - Aix-Marseille III, 2009. Français. �tel-00418557v2�
Universit´e Aix-Marseille III - Paul C´ezanne Ecole doctorale Physique et Sciences de la Mati`´ ere
Num´ero d’identification de la th`ese : 2009AIX30017 RBCCN : 130552102
Caract´ erisation et extraction de l’information dans des signaux
optiques polarim´ etriques ou issus d’´ etats sous-poissoniens
de la lumi` ere
TH` ESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 2 Octobre 2009 pour l’obtention du
Doctorat de l’Universit´ e Aix-Marseille III Optique, Photonique et Traitement d’Image
(sp´ecialit´e Traitement d’Image)
par
Julien FADE
Composition du jury
Rapporteurs : Andr´eFerrari(Pr., Universit´e de Nice-Sophia Antipolis) Eric´ Lantz(Pr., Universit´e de Franche-Comt´e)
Examinateurs : ClaudeFabre (Pr., Universit´e Pierre et Marie Curie Paris 6) Patrick Flandrin (DR, ´Ecole Normale Sup´erieure de Lyon)
PhilippeR´efr´egier(Pr., Directeur de th`ese, ´Ecole Centrale Marseille) MurielRoche (MdC, Co-encadrante de th`ese, ´Ecole Centrale Marseille)
Institut Fresnel — ´Equipe Physique et Traitement d’Image
Aumomentdeportersouspresselaversionnaledeemanusritdethèse,je
souhaiteadresser messinèresremeriementsàAndréFerrarietÉriLantzpour
avoir aepté de rapporter e travail de thèse. Je suis sensible à l'intérêt qu'ils
ont manifesté à l'égard de es travaux, qui transparaît dans les intéressantes
disussions sientiques que nous avons partagées.
JeremerieégalementPatrik FlandrinetClaudeFabrequim'ontfaitl'hon-
neur de partiiperà mon jury de thèse.
Jevoudraisenoreremerier haleureusementClaude FabreetNiolas Treps
pour m'avoir oert une passionnante ollaboration durant es trois années de
dotorat.Mareonnaissanes'adresse avelamêmeintensitéàMehdiAlouiniet
DanielDolquim'ontpermis d'agrémentermon manusritde préieuxrésultats
expérimentaux.
Ene qui onerne l'enadrement de ma thèse, je ommenerai− galanterie
oblige! − par remerier Muriel Rohe pour m'avoir mis le pied à l'étrier de
l'imageriepolarimétrique,poursonamialsoutienquotidien...etpoursapatiene
à relire mes manusritset mes aluls fastidieux!
Je souhaitemaintenant adresser mes plus vifs remeriements à Philippe Ré-
frégier, qui a su me onvainre, il y a bientt quatre ans, de me laner sur un
sujet sipassionantet sirihe. Grâe àses qualitéssientiques etpédagogiques,
grâe à son exigeane et sa disponibilité, je rois que Philippe prend à ÷ur et
remplitparfaitementson rle de direteur de thèsesouieux de formeraumieux
ses étudiants au métier de herheur. Je voudrais le remerier pour tout e que
j'ai pu apprendre de lui.
Je veux aussi adresser ma reonnaissane et mon amitié à tous les autres
membres de l'équipe Φ−TI (Niolas, Antoine, Frédéri, Arnaud, Mar). Je res-
terai sinèrementtouhépar l'aueil,lesoutienetl'aidequ'ilsm'onttémoignés,
par delàun simplerapportprofessionnel.Jeremerie égalementlesaniens, pré-
sents ou futurs dotorants de l'équipe (Jérme, Éri, Gemma, Jean-François,
Arnaud, Émilie,Anne-Gaëlle, Édouardet Aurélien)ave qui j'ai partagédoutes
et satisfations, astues et bugs informatiques, afés et traasseries administra-
tives!
Meri enore aux nombreux enseignants de l'Université Paul Cézanne ou de
l'ÉoleCentraleMarseillegrâeàquij'aipuvivreuneexpériened'enseignement
rihe et variée tout aulong de ette thèse. J'aiégalement une pensée pour tous
eux qui, un hiver 2008, partagèrent et défendirent l'idée que l'université n'est
pas une entreprise, et quele savoirn'est pas une marhandise.
Enn, plus personnellement, j'aimerais aussi saluer l'équipe radiophonique
des Savants de Marseille, ou mes aniens aolytes du GÉNEPI, ave qui j'ai
partagé des moments intenses àMarseille es quatre dernières années.
Un grand meri enn à tous les amis, présents ou non à ma soutenane,
qui m'ont manifesté leur soutien ontinu au ours de mes études qui s'ahèvent
aujourd'hui par e dotorat.
Je terminerai en renouvellant mon aetion à ma famille qui m'a toujours
soutenudans mesprojetsde vie,ainsiqu'àMarie-Anneave quije partageeux-
i ave bonheurdepuis bientt quatre ans.
Introdution
I Polarisation partielle 5
Chapitre 1
Introdution à l'imagerie de degré de polarisation
1.1 Polarisationde lalumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Formalismede Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Degré de polarisationet veteur de Stokes . . . . . . . 10
1.2 Phénomène de spekle et statistiquesassoiées . . . . . . . . . 11
1.2.1 Généralités sur le phénomène de spekle . . . . . . . . 12
1.2.2 Modélisation standard du phénomène de spekle . . . . 13
1.2.3 Généralisationà d'autres types de spekle . . . . . . . 17
1.2.4 Extension auxlumières non irulaires . . . . . . . . . 21
1.3 Introdution à l'imageriepolarimétrique . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Imagerie polarimétrique ohérente. . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Imagerie de degré de polarisation . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre 2 Estimation du degré de polarisation à partir d'une image d'in- tensité 2.1 Prinipe de la méthode d'estimationà une image . . . . . . . 30
2.1.1 Hypothèsesrequises etmodèle généralde spekle . . . 30
2.1.2 Relation entre P etle ontraste de spekle . . . . . . . 32
2.1.3 Prinipegénéral de l'estimation de P . . . . . . . . . . 33
2.2 Bornes de Cramer-Raode l'estimation . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 BCR expliite pour un spekle d'ordre1 . . . . . . . . 36
2.2.2 BCR pour un spekle d'ordresupérieur . . . . . . . . . 40
2.3 Méthodes d'estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Estimateurs de β au sens des moments . . . . . . . . . 43
2.3.2 Autres estimateurs pour un spekle d'ordre1 . . . . . 52
2.3.3 Disussion sur le biais des méthodes proposées . . . . . 60
2.3.4 Comparaison ave les tehniques lassiques utilisant plusieurs images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.5 Résultats expérimentaux sur des données réelles . . . . 66
2.3.6 Conlusion sur l'estimation de P à une image . . . . . 73
2.4 Imagerie de degré de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.1 Sène polarimétrique simulée . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.2 Sène polarimétrique d'intensitéonstante . . . . . . . 80
2.4.3 Imagerie ave segmentation préalable . . . . . . . . . . 82
2.5 Analyse de laméthode pour des aquisitionsà faibleux . . . 84
2.5.1 Estimationau sens des moments àfaible ux . . . . . 85
2.5.2 Eaité de l'estimateurau sens des moments . . . . . 89
2.5.3 Imageur polarimétrique optimalà faibleux . . . . . . 90
2.5.4 Conlusion sur l'estimation de β à faibleux . . . . . 91
2.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
II États sous-poissoniens de la lumière 95 Chapitre 3 Introdution aux lumières sous-poissoniennes 3.1 Contexte physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1 Introdutionà l'optiquequantique . . . . . . . . . . . 98
3.1.2 Photodétetion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.3 Des états plus ou moinslassiques de lalumière . . 103
3.2 Modèles de proessussous-poissoniens . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.1 Caratérisation des utuations sous-poissoniennes . . 108
3.2.2 Modèle phénoménologiquetemporel. . . . . . . . . . . 112
3.2.3 Modèle de photoomptage binomial . . . . . . . . . . . 118
3.3 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Chapitre 4
Analyse de la préision d'estimation en lumière loalement
sous-poissonienne
4.2 BCR pour l'estimation de paramètre . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1 Information de Fisher dans leas général. . . . . . . . 125
4.2.2 BCRpourl'estimationdedéplaementenlumièrepois- sonienne standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2.3 BCRpourl'estimationdedéplaementenlumièresous- poissonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Estimationde déplaement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.1 Méthode petits signaux . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.2 Estimationpar interorrélationlogarithmique . . . . . 137
4.4 Résultatsde simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.1 Optimalitéde l'estimateur dˆM Vpoi . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.2 Propriétés de l'estimateurdˆM Vpoi . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.3 Robustesse des résultatsétablis . . . . . . . . . . . . . 145
4.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chapitre 5 Analyse des performanes d'une tâhe de détetion en lumière sous-poissonienne 5.1 Introdution auxproblèmes de détetion . . . . . . . . . . . . 154
5.1.1 Desription du problème de détetion . . . . . . . . . . 154
5.1.2 Test de détetion et ourbe COR . . . . . . . . . . . . 156
5.1.3 Probabilitéd'erreur et mesurede Cherno . . . . . . . 157
5.2 Évaluation des performanes de détetion ave la mesure de Cherno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.2.1 Contraste entre loisbinomialeset loisde Poisson . . . 159
5.2.2 Dénition d'un ritèrede gain . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3 Caratérisation de l'améliorationdes performanes de détetion165 5.3.1 Faibles ontrastes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.2 Contrastes intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.3 Forts ontrastes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4 Généralisationaux modèles sous-poissoniens non binomiaux . 171 5.4.1 Prise en ompted'un modèle non binomial . . . . . . . 171
5.4.2 Étude de la robustesse des résultats . . . . . . . . . . . 171
5.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Conlusion
Évaluation numérique de l'information de Fisher
Annexe B
Caluls annexes à la partie I
B.1 BCR pour l'estimation de P à partird'une unique image . . . 181
B.1.1 BCR en spekle pleinement développé . . . . . . . . . 181
B.1.2 BCR approhée pour des spekles d'ordres élevés . . . 187
B.2 Expression des moments entrés MIk et MNk en fontion des umulants κk de laloi normalisée f . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.2.1 Relationsentre lesumulantsCkI etles κk . . . . . . . 188
B.2.2 Relationsentre lesMIj etles κj . . . . . . . . . . . . . 189
B.2.3 Relationsentre lesMNj etles κj . . . . . . . . . . . . 189
B.3 Biais etvariane des estimateurs de β au sens des moments . 191 B.3.1 Prinipegénéral du alul . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.3.2 Appliationaux estimateurs βˆ1 etβˆ2 . . . . . . . . . . 193
B.3.3 Estimateurs de β en présene de bruit de photon . . . 196
B.4 Loid'intensitépour un spekle d'ordre1en présene de bruit de photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Annexe C Caluls annexes à la partie II C.1 Eet d'uneabsorption sur lesstatistiques de photoomptage . 203 C.1.1 Modèle d'absorptionde Bernoulli . . . . . . . . . . . . 203
C.1.2 Caratérisation du proessus absorbé . . . . . . . . . . 204
C.2 Modèle temporel de utuations sous-poissoniennes . . . . . . 205
C.2.1 Propriétés statistiques du modèle temporel . . . . . . . 205
C.2.2 Simulationnumériquedu modèletemporel . . . . . . . 208
C.3 BCR pour l'estimation de paramètre dans une image . . . . . 210
C.3.1 BCR pour l'estimation d'un déplaement . . . . . . . . 210
C.4 Estimation de déplaement d'image au sens du maximum de vraisemblane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
C.4.1 Cas de utuationsPoissoniennes . . . . . . . . . . . . 217
C.4.2 Cas de utuationsgaussiennes à variane xée . . . . 218
C.5 Équivalene de dˆM Vpoi et dˆlin pour un motif gaussien à petits déplaements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
C.6 Mesures de séparabilité entre lois binomialesetloisde Poisson 220
C.6.2 Cas des loisde Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
C.6.3 Validité de l'approximation de la mesure de Cherno
par la distane de Bhattaharyya . . . . . . . . . . . . 224
C.6.4 Limite de s∗ et s∗p aux très faiblesontrastes . . . . . . 224
C.6.5 Limite de s∗ et s∗p à ontraste maximal . . . . . . . . . 226
C.6.6 Approximation de FB(F1, τ) auxfaibles ontrastes . . 226
C.6.7 Expression approhée de FC(F1, τ)à fort ontraste . . 228
Bibliographie 231
Liste des publiations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Une oneption simpliste de la mesure physique pourrait laisser roire qu'il
est toujours possible d'améliorer la préision de mesure, à ondition de pouvoir
perfetionner à volonté le dispositif expérimental. S'il est vrai en eet qu'un
appareillagedequalitéestindispensablepoureetuerunemesureavepréision,
le développement de la méanique quantique et l'élaboration de la théorie de
l'informationdepuis ledébut du XX e
sièle ont profondément remisen question
ette vision.
D'une part, la méanique quantique a introduit la notion d'inertitude qui
limite fondamentalement la préisionave laquelle onpeut mesurer deux obser-
vablesquineommutentpasentreelles 1
.D'autrepart,ilestdésormaisadmisque
lamesured'unegrandeurphysiqueestnéessairementlerésultatd'uneestimation
réalisée à partir de données bruitées qui limitent la préision de mesure. Ainsi,
en prenant en ompte et en modélisant e bruit de mesure, le développement
de la théorie du traitement de l'information a mis à la disposition des sienti-
ques plusieursonepts puissants, permettant d'évaluer la limite théoriquedes
performanes de traitement de es données. La détermination de méthodes de
traitementoptimalesqui atteignentes limites théoriques de préisiononstitue
égalementun importantdomained'investigationdutraitementde l'information.
L'utilisationroissantede es onepts dans tous les domaines de lasiene n'a
donriende surprenant:ilestrarede nosjoursquel'ontented'améliorerunap-
pareillagede mesureoûteuxsans avoirétudiéaupréalable leslimitesthéoriques
de préisionassoiées aux mesures eetuées.
Danse manusrit, nous suivons ette démarhe pour l'analyse de deux pro-
blèmesoptiques :ladéterminationdu degréde polarisationàpartir d'uneimage
d'intensité et l'apport des états sous-poissoniens de l'intensité lumineuse pour
améliorer les préisions ultimes pour l'estimation de paramètre en imagerie et
pour un problème de détetion. En partiulier, nous illustrons omment l'étude
des bornes statistiques issues de la théorie de l'information peut onstituer un
outilintéressantpouranalyserlesperformanesdetraitementassoiéesauxdeux
problèmes physiques étudiés dans ette thèse.
Objetifs de la thèse
Nous nous intéressons dans e manusrit à deux phénomènes optiques pour
lesquelsl'inuenedu bruitestimportante. Danslepremieras,noussouhaitons
analyserommentunearatérisationpréisedubruitde mesurepeutpermettre
de simplierlessystèmes expérimentaux pour l'estimationdu degré de polarisa-
tion en imagerieohérente etnousétudions quelle est laperte en préisionsubie
1−Ils'agitlàdelafameuserelationd'inertitudedeHeisenberg.
tons de quantier omment laomplexiationdes systèmes expérimentaux qui
parviennentàgénérer des bruitssous-poissoniens permetd'aroîtrelapréision
des mesures.
Cemanusrit dethèse est donomposé de deuxparties assoiées àes deux
situations physiques diérentes. Les objetifs propres à es deux études sont
détaillés i-dessous.
Polarisation partielle de la lumière : Lorsqu'un objet est illuminépar un
élairement ohérent, l'image d'intensité formée sur un déteteur aptant
lalumièrerétrodiuséepar etobjetest perturbée parun bruitde spekle.
Lorsque la lumière rétrodiusée est partiellement polarisée, la modélisa-
tion statistiquede l'intensitéde l'image onduitdans e as à des densités
de probabilité n'appartenant pas à la famille des lois exponentielles, et la
forme de es lois dépend du degré de polarisation de la lumière. En ana-
lysant le omportement statistique des éhantillons d'intensité provenant
d'une unique image de spekle aquise sous élairement ohérent, il est
don possible d'estimer le degréde polarisationde la lumièrerétrodiusée
par la sène imagée.
L'objetif de la première partie de e manusrit sera de aratériser les
performanes d'une telle méthode d'estimation du degré de polarisation
à une image, qui permet de simplier fortement les sytèmes d'imagerie
de degré de polarisation. En déterminant une borne sur la variane mi-
nimale d'une telle méthode, nous pourrons évaluer et omparer la qualité
de diérents estimateurs. Nous analyserons également théoriquement et
par simulationnumériquelaperteen préisionsubielorsque lestehniques
lassiques d'estimation du degré de polarisationsont remplaées par ette
méthodefondée sur l'aquisitiond'uneimaged'intensité.Cetteétudenous
permettra de disuter le ompromis entre la simpliation du système de
mesure polarimétrique etla diminutionde la préisiond'estimation.
Étatssous-poissoniensdelalumière:Grâeaudéveloppementdel'optique
quantiqueetauxintensesreherhes menéesdans e domaineauoursdes
dernièresdéennies,ilestdésormaispossibledegénérerexpérimentalement
des états quantiques non standard de la lumière présentant un niveau de
bruitinférieuraubruitdephotonstandard(bruitdePoisson).Detels états
présententun grandintérêtpourontribueràl'améliorationde lapréision
des mesures optiques maisils restentàl'heure atuellediileset oûteux
à produire.
Dans la seonde partie de e manusrit, notreobjetif sera de aratériser
l'apport de ette rédution du bruit quantique pour améliorer les perfor-
manesoptimalesde traitement,lorsqu'onremplaeun faiseaupoissonien
standard par une lumière présentant des utuations sous-poissoniennes.
Nous onsidérerons dans un premier temps leas de l'estimation d'un pa-
ramètredansuneimage(telqu'unetranslation,ouunerotation).Nousuti-
liserons deux modèles de lumières sous-poissoniennes grâe auxquels nous
tenteronsdeompléterdesrésultatsétablispréédemmentdansleadrede
l'estimation de très faiblesdéplaements [28, 29℄, ave un modèle de bruit
sous-poissonien plus simple et valable uniquement pour de très hauts ni-
veaux d'intensité.Pluspréisement,nousanalyseronsleomportementdes
