Imagerie de degré de polarisation

1.3 Introdution à l'imagerie polarimétrique

1.3.2 Imagerie de degré de polarisation

Àl'inversedesdeuxmodesd'imageriepolarimétriqueprésentési-dessuspour

lesquels lerésultat de la mesurese ompose de plusieurs (4ou 16) images

asso-iées àdesgrandeurs polarimétriquesdiérentes,une autreapprohede

l'image-rie polarimétrique onsisteà obtenir une unique image 12

qui puisse aratériser

globalementlanaturepolarimétriquedelasèneimagée,en fournissantainsiune

artographie du ontraste de polarisationde ette sène.

Commenous l'avons présentéauparagraphe 1.1.2, ledegré de polarisation 13

permet d'analyser l'état de polarisation de la lumière grâe à une unique

me-sure salaire. La aratérisationpolarimétrique des matériaux imagés sera bien

entendu moinsrihequ'ave une tehnique d'imageriede Stokes oude

Muel-ler, maislagrandefailitéd'interprétationqu'autorisel'aquisitiond'unrésultat

sous formed'uneimageunique peut intéresser de nombreuses appliations

(ima-gerie médiale, ontrle non destrutif,appliations industrielles,et.). De plus,

nous allons voir que e type d'imagerie permet dans ertains as de simplier

onsidérablementles dispositifsde mesure misen ÷uvre.

Nousrappelonsi-dessouslatehnique d'estimationstandardfondéesur

l'a-quisition de quatre mesures polarimétriques (ou 4 images), puis nous évoquons

les solutionsqui ontpu être proposées pour simplierledispositifd'imagerie en

réduisant le nombre de mesures néessaires (2 images). Cet état de l'art nous

permetainsi d'introduire lehapitre suivantdanslequel nous aratériserons les

performanesd'uneméthoded'estimationdu degrédepolarisationàpartird'une

unique image.

1.3.2.1 Estimation exate à partir de la matrie de polarisation :

De manière standard, l'estimation exate du degré de polarisation néessite

de mesurer les omposantes de la matrie de polarisation

Γ

^, ^à ^partir ^desquelles

le degré de polarisation est alulé en introduisant es valeurs mesurées dans

l'équation (1.8). En pratique pour des appliations d'imagerie, l'aquisition des

quatre imagesde Stokesévoquées préédemment est donnéessaire pour

alu-ler l'image de degré de polarisationreherhée. Cette méthode soure don des

mêmes limitationsque l'imageriede Stokes. Toutefois, ette tehnique

d'estima-tion exate permet d'évaluer degré de polarisation, quelle que soit la nature de

la surfae diusante, de la lumière inidente, et sans hypothèses sur les

araté-ristiques du bruit de spekle présent dans l'image.

1.3.2.2 Méthodes simpliées à deux mesures :

Sous ertaines hypothèses il est possible de réduire à deux le nombre

d'a-quisitions néessaires à la mesure du degré de polarisation.Nous présentons ii

deux de es tehniques : l'Imagerie de Contraste d'États Orthogonaux

(ICÉO) ou Orthogonal States Contrast Imaging (OSCI) en anglais, qui

permetde aratériser orretementla naturepolarimétrique des matériaux

pu-rement dépolarisants,et une méthode paramétrique qui permet d'obtenir la

−

C'est-à-diremesurerununiqueparamètresalaire.

−

^Parfois^appelé ^égalementdépolarisationdanslejargondel'imagerieohérente.

valeurexatedudegrédepolarisationlorsquelespekleestpleinementdéveloppé

d'ordre

1

Imagerie de Contraste d'ÉtatsOrthgonaux : Cette tehnique d'imagerie

onsiste à élairer la sène au moyen d'un faiseau ohérent 14

dont on ontrle

l'état de polarisation (en général totalement et linéairement polarisé) et à

ana-lyserlalumièrerétrodiusée danslesdeux diretions de polarisationparallèleet

orthogonale à la polarisationinidente. On aquiert ainsi, en haque pixel

k

^de

l'image, deux valeurs d'intensité

I // (k)

^et

I _⊥ (k)

^qui ^permettent^alors ^de

synthé-tiser l'imagede ontraste polarimétrique

P _iceo (k)

^,^dénie^par^la^relation^suivante

[118,57℄ :

P iceo (k) = | I _// (k) − I _⊥ (k) |

I _// (k) + I _⊥ (k) .

^(1.32)

L'ICÉO varie don entre

0

^et

1

^: ^en ^l'absene ^de biréfringene, un matériau qui ne dépolarisepas du toutlalumièreonservera latotalitéde l'énergielumineuse

dansladiretionparallèleaufaiseauinident(

P iceo = 1

⁾^tandis^que^si^la^lumière

est totalementdépolarisée,l'énergielumineusesera équitablement répartieselon

les deux diretions et dans e as

P _iceo = 0

^. ^Cette ^remarque ^dévoile ^ainsi ^des

similitudesfortes entre l'ICÉO et ledegré de polarisation.

Eneet,onpeutmontrerfailementquel'ICÉOs'identieaudegréde

polari-sationàonditionquelematériauimagésoitpurementdépolarisant:'est-à-dire

qu'ilmodieledegrédepolarisationdelalumièreinidentesansenhangerl'état

de polarisationprinipal.Lamatriedepolarisation

Γ

^de ^la^lumièrerétrodiusée par un tel matériau est diagonale, et les valeurs propres sont alors diretement

µ 1 = µ X

^et

µ 2 = µ Y

^.^En^remarquant^qu'en^haque^pixel

k

^de^l'image

h I // i = µ X

^et

h I _⊥ i = µ Y

^,ôn^peut^voir^failement^que^l'ICÉO^représente^dansêâsûne

estima-tiondudegrédepolarisationdéniàl'équation(1.5)par

P = (µ ₁ − µ ₂ )/(µ ₁ +µ ₂ )

Enrevanhe, silematériaun'est paspurementdépolarisant('est-à-diresile

pa-ramètre

c

^de ^la^matrie

Γ

^est^non ^nul), ^l'ICÉO^sous ^estime^la^véritable^valeur^du

degré de polarisationpuisqu'onpeut montrer [127℄,dans le as général,

P ² = P ² _iceo + 4 | c | ²

µ ² _I .

^(1.33)

L'importane de ette hypothèse est néanmoins à relativiser : des études

expé-rimentales ont révélé qu'en onguration de réexion, la surfae de la plupart

des matériaux naturels, imagés en inidene normale, se omportait omme un

dépolariseur pur [12℄. Cette hypothèse sera par ontre mise en défaut si

l'orien-tation des surfaes imagées n'est pas ontrlée,ou sil'on observe des matériaux

biréfringents.

Malgréeslimitations,l'utilisationde etyped'imagede ontraste

polarimé-trique est répandu en imagerie [138, 33, 153, 70, 87℄ ar, outre l'estimation du

degréde polarisation,ilpermetplus simplementde révéler desontrastes

polari-métriques pour un oût expérimentallimité.L'ICÉO aégalement faitl'objet de

nombreuses études pour aratériser ses propriétés statistiques[120, 59, 57℄, ses

−

^Notons^que^la^tehnique^présentéeⁱⁱêst^parfoisûtiliséeên^lumièreinohérente.T oute-fois, danslasuitedeemanusrit,l'ICÉOdésignerauniquementlatehniqueohérente.

préisions ultimes d'estimation[120, 128, 59, 121, 7℄,ouenore son apportpour

des tâhes de détetion et de segmentation d'image[56, 57℄.

Méthode d'estimation paramétrique du degré de polarisation à deux

mesures: Dansdestravauxpréliminairesàettethèse,nousavonsmontréque

lorsqu'on suppose le spekle pleinement développé d'ordre

1

^, ^le ^terme ^orretif

néessaire (f. équation préédente) pour obtenir la valeur exate

P ²

^du ^arré

du degré de polarisationà partirde lamesure

P ² _iceo

^fournie ^par ^l'ICÉO^peut^être

estimé àpartirdes deux imagesd'intensitémesurées dans lesdeux polarisations

orthogonales, même lorsque la matrie de polarisation

Γ

^n'est ^pas ^diagonale.

Ces travaux ont fait l'objet d'une publiation (référene [127℄) dans le as d'un

spekle pleinementdéveloppéd'ordre

1

^,^mais^pourraient^s'étendre ^aisément^à^un

ordre

L

^entier ^quelonque ^en ^suivant ^la^même ^démarhe.

Eneet,silehampéletriqueestdistribuéselonuneloigaussienneomplexe

irulaire (voir équation (1.17)), et si la statistique de l'intensité intégrée par

le apteur orrespond à un spekle d'ordre

1

^entier, l'interorrélation des deux intensités

I //

^et

I _⊥

^permet ^de ^aluler ^la^valeur

| c | ²

^grâe^à ^la ^relation^[127℄

h I _// I _⊥ i = µ _X µ _Y + | c | ² .

^(1.34)

Laméthodeparamétriqued'estimationdudegrédepolarisationproposéedansla

référene [127℄ onsiste àutiliser une fenêtre glissantede taillexée, àpartir de

laquelleonestimeloalementetempiriquementlesvaleurs

µ X

^et

µ Y

^sur^les^deux

images d'intensité aquises. Quant à l'interorrélation

h I // I _⊥ i

^, ^il ^est ^possible ^de

l'estimer empiriquement en alulant, pour une fenêtre de

M

^pixels

X M

k=1

I // (k)I _⊥ (k)

M ,

^(1.35)

qui permet grâe à la relation (1.34) d'évaluer le paramètre

| c | ²

^. ^Pour ^évaluer

enn le degré de polarisation, il sut d'insérer les valeurs estimées des trois

paramètres

µ X

µ Y

^et

| c | ²

^dans ^la ^dénition ^du ^degré^de polarisationdonnée en équation (1.8).

Dans le as de l'estimation du arré du degré de polarisation, qui sera

noté

β = ^△ P ²

^par^la^suite,^nous^avons^pu^aratériserthéoriquementetestimateur paramétriquequenousnoterons

β ˆ par

^,^et^montrer^qu'il^estasymptotiquementnon biaisé[127℄.Parailleurs,lavariane asymptotiquedeet estimateur,quel'on

note

var a ( ˆ β par )

êt^qui ^s'obtient ên ^négligeant^les ^termes ên

1/M ^k , k ≥ 2

^devant

le terme prépondérant en

1/M

^,^peut ^être ^alulée^et ^vaut

var( ˆ β par ) = 1

M

2 P ² (1 − P ² ) ² + (1 − P ² ) ² + 64 µ X µ Y | c | ² µ ⁴ _I

,

^(1.36)

où

µ I = µ X + µ Y

^désigne l'intensité totale au point onsidéré. Le détail de es aluls réalisés dans le as d'un spekle d'ordre

1

^se ^trouve ^dans ^la ^référene

[127℄.Danslehapitresuivant,nousmettrons en ÷uvreetteméthode

d'estima-tion à travers des simulationsnumériques qui nouspermettront de omparer les

performanesdesdiérentestehniqueprésentées iiave lesperformanesd'une

méthode d'estimationqui sera aratériséethéoriquementau hapitresuivant.

Notonsennqued'autrestravauxontpermisréemmentdeproposerune

mé-thode alternative pour l'estimation exate du degré de polarisation à partir de

deux images d'intensité dans le as d'un spekle pleinement développé d'ordre

un [19℄. La méthode obtenue, qui utilise un estimateur au sens du maximum

de vraisemblane, permet d'obtenir une préisionmeilleurequ'ave l'estimateur

paramétrique présenté ii,mais néessite une omplexitéalgorithmiqueplus

im-portante.

Dans le document Caractérisation et extraction de l'information dans des signaux optiques polarimétriques ou issus d'états sous-poissoniens de la lumière (Page 36-39)

1.3 Introdution à l'imagerie polarimétrique

1.3.2 Imagerie de degré de polarisation

Γ

−

−

1

k

I // (k)

I ⊥ (k)

P iceo (k)

P iceo (k) = | I // (k) − I ⊥ (k) |

I // (k) + I ⊥ (k) .

0

1

P iceo = 1

P iceo = 0

Γ

µ 1 = µ X

µ 2 = µ Y

k

h I // i = µ X

h I ⊥ i = µ Y

P = (µ 1 − µ 2 )/(µ 1 +µ 2 )

c

Γ

P 2 = P 2 iceo + 4 | c | 2

µ 2 I .

−

1

P 2

P 2 iceo

Γ

1

L

1

I //

I ⊥

| c | 2

h I // I ⊥ i = µ X µ Y + | c | 2 .

µ X

µ Y

h I // I ⊥ i

M

X M

k=1

I // (k)I ⊥ (k)

M ,

| c | 2

µ X

µ Y

| c | 2

β = △ P 2

β ˆ par

var a ( ˆ β par )

1/M k , k ≥ 2

1/M

var( ˆ β par ) = 1

M

2 P 2 (1 − P 2 ) 2 + (1 − P 2 ) 2 + 64 µ X µ Y | c | 2 µ 4 I

,

µ I = µ X + µ Y

1

I _⊥ (k)

P _iceo (k)

P iceo (k) = | I _// (k) − I _⊥ (k) |

I _// (k) + I _⊥ (k) .

P _iceo = 0

h I _⊥ i = µ Y

P = (µ ₁ − µ ₂ )/(µ ₁ +µ ₂ )

P ² = P ² _iceo + 4 | c | ²

µ ² _I .

P ²

P ² _iceo

I _⊥

| c | ²

h I _// I _⊥ i = µ _X µ _Y + | c | ² .

h I // I _⊥ i

I // (k)I _⊥ (k)

| c | ²

| c | ²

β = ^△ P ²

1/M ^k , k ≥ 2

2 P ² (1 − P ² ) ² + (1 − P ² ) ² + 64 µ X µ Y | c | ² µ ⁴ _I