Conlusion

Dans e hapitre introdutif, nous avons rappelé le formalismelassique qui

permet de aratériser l'état de polarisation de la lumière,au moyen de la

ma-trie de polarisation

Γ

^{ou plus simplement du degré de} polarisation

P

^{. Dans le}

adre de l'imagerie polarimétrique ohérente qui onsiste à imager ertaines de

es propriétésàpartirde lalumièrerétrodiuséepar unesèneilluminéeparune

lumière laser,lephénomène de spekledû à lanatureohérente de l'élairement

utilisé va onditionner le omportement statistique de l'intensité lumineuse

en-registrée au niveau d'un apteur. Pour ette raison, nous avons ainsi rappelé la

démarhe lassiquement utilisée pour modéliser le phénomène de spekle d'un

pointde vue statistique,de mêmeque les prinipales modélisations alternatives

lorsque les hypothèseslassiques ne sont plus vériées.

Enn, nous avons introduit les prinipales méthodes d'imagerie

polarimé-trique en rappelantleur mise en ÷uvre, leurs intérêts etdéfauts prinipaux. En

equionernel'imageriededegrédepolarisationquiprésenteunpotentiel

appli-atifintéressant,larédutiondelaomplexitédessystèmesd'imageriepermetde

diminuer lesoûts, l'enombrement etlesdurées d'aquisition. Nousavons ainsi

présentélesprinipalesméthodes existantes quipermettentderéduirelenombre

d'aquisitions d'images néessaires àl'estimation du degré de polarisation.

Ce rapideétat de l'artprendra tout son sens auhapitre suivantdans lequel

nous aratériserons les performanes d'un système d'imagerie polarimétrique

fondé sur l'analyse des statistiques d'intensité d'une unique image, permettant

ainsi de réduirea minima laomplexité du dispositifd'imagerie pour la mesure

du degréde polarisation.

Estimation du degré de polarisation

à partir d'une image d'intensité

Sommaire

2.1 Prinipe de la méthode d'estimation à une image 30

2.1.1 Hypothèsesrequises etmodèlegénéral de spekle . 30

2.1.2 Relationentre

P

^{etleontrastede spekle . . . . 32}

2.1.3 Prinipe général de l'estimationde

P

^{. . . . . . . 33}

2.2 Bornes de Cramer-Rao de l'estimation . . . 34

2.2.1 BCR expliitepour unspekle d'ordre

1

^{. . . . . . 36}

2.2.2 BCR pour un spekled'ordre supérieur . . . 40

2.2.3 Conlusion . . . 42

2.3 Méthodes d'estimation . . . 43

2.3.1 Estimateurs de

β

^{au sensdesmoments . . . . . . 43}

2.3.2 Autresestimateurs pour un spekled'ordre

1

^{. . . 52}

2.3.3 Disussion surlebiaisdesméthodesproposées . . 60

2.3.4 Comparaison ave les tehniques lassiques

utili-sant plusieurs images . . . 62

2.3.5 Résultats expérimentaux surdesdonnées réelles . 66

2.3.6 Conlusionsurl'estimation de

P

^{à uneimage . . . 73}

2.4 Imagerie de degré de polarisation . . . 74

2.4.1 Sènepolarimétriquesimulée . . . 74

2.4.2 Sènepolarimétriqued'intensité onstante . . . . 80

2.4.3 Imagerieave segmentation préalable . . . 82

2.5 Analyse de la méthode pour des aquisitions à

faible ux . . . 84

2.5.1 Estimationau sens desmoments àfaible ux . . . 85

2.5.2 Eaité del'estimateur au sensdesmoments . . 89

2.5.3 Imageur polarimétrique optimal àfaible ux . . . 90

2.5.4 Conlusionsurl'estimation de

β

^{à faible ux . . . 91}

2.6 Conlusion . . . 92

Lorsqu'unobjetestélairéparuneilluminationohérente, l'imaged'intensité

formée sur un déteteur par la lumière rétrodiusée en provenane de et objet

est perturbée par un bruit de spekle. Dans ette onguration expérimentale

très simple et sans l'aide de omposant optique polarimétrique ajustable, il est

possiblesousertaineshypothèsesd'estimerledegrédepolarisationdelalumière

rétrodiusée par l'objet à partir de ette seule image d'intensité. L'objetif de

e hapitre est ainsi de aratériser théoriquement et numériquement ette

mé-thode qui permet de réduire fortement la omplexité d'un dispositif d'imagerie

polarimétrique.

Nousexposeronsdans unpremiertempsleprinipegénéralde etteméthode

d'estimation, puis nous déterminerons les préisions d'estimationoptimales que

l'onpeutespérerobteniraveelle-ietquinouspermettrontd'évaluerl'eaité

des diérents estimateurs proposés par la suite en setion 2.3. Nous illustrerons

ensuitelesperpetivesoertes parette méthode pour desappliations

d'image-riepolarimétrique(setion2.4)oud'imageriepolarimétriqueàfaibleux(setion

2.5)

2.1 Prinipe de la méthode d'estimation à une

image

Le prinipesur lequel est fondée la méthode étudiéedans e hapitredière

fondamentalement de l'approhe ommune aux diérentes méthodes

d'estima-tion du degré de polarisation présentées au hapitre préédent. Ces approhes

onsistent à mesurer l'intensité moyenne de la lumière rétrodiusée à travers

plusieurs (4 ou 2) ongurations d'un analyseur d'état de polarisation, 15

puis à

déduiredeesquatreoudeuxmesures lavaleurestiméedu degrédepolarisation.

Ellen'estbiensûrpasappliabledansleasoùl'on aquiertuneseuleimage.En

revanhe, nous avons déjà vu dans le hapitre préédent que la densité de

pro-babilité de l'intensité lumineuse aquise sans auun omposant polarimétrique

pouvait dépendre fortement du degré de polarisation

P

^{, par exemple lorsque le}

spekleestpleinementdéveloppéd'ordre

1

^{.Nousallonspréiserdansettesetion}

omment ette dépendane peut être mise à prot pour réaliser une estimation

du degréde polarisation.

2.1.1 Hypothèses requises et modèle général de spekle

Nousénonçonstoutd'abordleshypothèsesnéessairespourassurerlavalidité

des méthodes d'estimationdu degré de polarisationproposées dans e hapitre.

15

−

^Constituérappelons-le,parl'assoiationd'unpolariseurlinéaireet d'unelame retarda-trie.

La mise en ÷uvre de es tehniques fondées sur l'aquisition d'une seule image

d'intensité suppose en eet que lesstatistiques de spekle dérivant les

utua-tions de l'intensitélumineuse obéissent auxhypothèses suivantes :

1. En un point du déteteur, ou du plan d'observation, l'intensité

I

^peut

être dérite omme la somme de deux variables aléatoires

I ₁

^et

I ₂

^{, dont}

les valeurs moyennes valent respetivement

µ 1 = ¹⁺ ₂ ^P µ I

^et

µ 2 = ^{1 −P} ₂ µ I

^.

Cettehypothèsedéoulediretementdeladiagonalisationde lamatriede

polarisation

Γ

^{(voiréquation 1.4) dontles valeurs propresvalent}

µ 1

^et

µ 2

^.

2. Lesvariablesaléatoires

I 1

^et

I 2

^{assoiéesàesdeuxomposantes}d'intensité sontsupposéesindépendantes.Cetteonditionreposeprinipalementsur

le fait que la distribution statistique du hamp életrique sous-jaent est

supposée gaussienne.

3. Lesdensitésdeprobabilitéquidériventesdeuxvariablesaléatoires

appar-tiennentàlamêmefamilledeloismultipliatives,maisdevaleursmoyennes

µ 1

^et

µ 2

^diérentes, 'est-à-direque l'on suppose

∀ k ∈ { 1; 2 } , P I k (I k ) = 1 µ _k f I k

µ _k

,

^(2.1)

où

f (z)

^{est une densité de} probabilité (DDP) à support positif et de moyenneunitaire

h Z i = R _∞

0 zf (z)dz = 1

^{.Eneet, siunevariablealéatoire}

X

^{estdistribuéeselonuneloi}appartenantàlafamilledeloismultipliatives dériteàl'équation(2.1),alorslaDDPdetoutevariablealéatoire

Y = ^△ a X

^,

ave

a ∈ R ⁺

appartient aussi à ette famille.Danses onditions, onpeut montrer que les moments d'ordres supérieurs des omposantes d'intensité

vérient

Ensupposantes hypothèsesvériées,onpeut remarquerquelaloi

f

^fournit

diretementla formede laDDP de l'intensitétotale lorsque la lumièreest

tota-lement polarisée puisque dans e as

µ 2 = 0

^{, et don}

P I (I) = _µ ¹

P = 1

^{. La forme} partiulière de la loi

f

^{va don} onditionner la statistique de l'intensitéobservée en lumièretotalementpolarisée,et dénirainsi lemodèle de

spekle onsidéré. Par exemple, un spekle pleinementdéveloppé d'ordre

1

^sera

aratérisé par une loi

f

^unitaire exponentielle, 'est-à-dire

f (z) = exp( − z)

^.

Lorsque lalumièreest partiellementpolariséeen revanhe, ladensitéde

pro-babilité de l'intensité totale

I

^{prendra une forme diérente.} L'intensité

I

s'éri-vantd'aprèsleshypothèsespréédentes ommelasommede deux variables

aléa-toires indépendantes, on peut exprimer

P I (I)

^{omme la onvolution de}

P I 1 (I 1 )

et

P I 2 (I 2 )

^:

et enhangeantlavariabled'intégration,onobtient

h I _k ^j i = R ∞

0 (µ k ) ^j z ^j f (z) dz = (µ k ) ^j h Z ^j i

^.

On peut montreraisémentqueettedensitéde probabilitéreste biensûr dansla

familledes loismultipliatives, ependant rien ne garantit quelealul expliite

de l'intégralesoitaisé.

2.1.2 Relation entre

P

^{et le ontraste de spekle}

La manipulation de la densité de probabilité de l'intensité

I

^{sous la forme}

intégralepréédenten'estpasommode.Enrevanhe,ilestpossibled'obtenirune

aratérisationstatistiqueomplètedel'intensitélumineuse

I

^grâeàl'utilisation des umulants de la DDP

P I (I)

^{, dont nous rappelons iiladénition [110℄ :}

Dénition 2.1 Soit

Z

^{une variable aléatoire. Ses umulants, notés}

C k ^Z

^{, sont}

dénis à partir de lafontion génératrie des umulants

g(t) = ln ^△ h e ^tZ i

= X ∞ k=1

C k ^Z

t ^k

k! ,

^(2.4)

où

C k ^Z

^{désigne le umulant d'ordre}

k

^{de la variable aléatoire}

Z

^.

À ondition qu'ils puissent être dénis, les umulants d'ordre

1

^et

2

^d'une

va-riable aléatoire désignent respetivement sa valeur moyenne et sa variane. On

notera également que les umulants d'ordre

3

^et

4

^{, quand ils sont dénis, sont}

respetivement liésà la dissymétrieet à l'aplatissementde la loide probabilité,

permettant ainsi d'en aratériser laforme.

Ces grandeurs statistiquesprésentent un intérêt partiulier ii ar les

umu-lants sont des grandeurs additives pour des variables aléatoires

indépen-dantes [110℄. Puisque par hypothèse

I = I 1 + I 2

^ave

I 1

^et

I 2

indépendantes, ette propriété permetd'érire, pour tout

k ≥ 1

^,

C k ^I = C k ^{I 1} + C k ^{I 2} .

^(2.5)

Parailleurs, ommelesvariables

I ₁

^et

I ₂

^{sedéduisent d'une mêmeloide}

proba-bilité

f

^,lesumulants

C k ^{I j}

^{assoiés auxvariablesaléatoires}

I j

^,

j ∈ { 1, 2 }

^peuvent

s'exprimeren fontiondes umulants d'ordre

k

^{de laloinormalisée}

f

^,notés

κ k

^:

∀ k ≥ 1, C k ^{I 1} = (µ ₁ ) ^k κ _k ,

^et,

C k ^{I 2} = (µ ₂ ) ^k κ _k .

^(2.6)

Enintroduisantes relationsdansl'équation(2.5)eten remplaçant

µ 1

^et

µ 2

^par

leurs valeurs respetives données en équation (1.7), il est alors possible d'érire

le umulant

C k ^I

^{en fontion de} l'intensitémoyenne

µ _I

^{etdu degréde} polarisation

C k ^I = κ _k h

(µ ₁ ) ^k + (µ ₂ ) ^k i

= κ _k h

(1 + P ) ^k + (1 − P ) ^k i µ ^k _I

2 ^k .

^(2.7)

On peut alors vérier que le umulant d'ordre

1

^{, qui s'identie à la valeur}

moyenne, s'érit

C 1 ^I =

µ 1 + µ 2

= µ I

^{, ar}

κ 1

^{est toujours égal à}

1

^{puisque la loi}

f

^{est de moyenne unitaire. Le umulant d'ordre}

2

^{qui est égal à la variane de}

l'intensitévaut quant à lui

C 2 ^I = var(I) = κ 2

h (1 + P ) ² + (1 − P ) ² i µ ² _I 2 ² = κ 2

h 1 + P ² i µ ² _I

2 .

^(2.8)

Cettedernièreéquationpermetnalementdedéduirel'expressionduontraste

de spekle

C

^{pour une loi}

f

^quelonque:

C =

p var(I) µ I

= r

κ ₂ 1 + P ²

2 ,

^(2.9)

démontrantainsi queleontraste de laguredespekleest reliébijetivementà

la valeur du degré de polarisation.Le ontraste qui vaut

√ κ 2

^{pour une lumière}

totalement polarisée(

P = 1

^{)déroît en eet jusqu'à}

p

κ 2 /2

^lorsque

P = 0

^.

À valeur moyenne de l'intensité

µ I

^xée, l'augmentation du degré de polari-sation de la lumièreentraîne un aroissement de lavariane, ouautrementdit,

aroîtledésordredelastatistiqued'intensité 17

,jusqu'àatteindrelavaleur

maxi-male

sup _{P∈ [0,1]} [var(I)] = κ 2 µ ² _I

^{pour un degré de} polarisation

P = 1

^{.À intensité}

moyenne

µ I

^{xée, ona alors pour un degré de} polarisation

P

^quelonque,

var(I)

sup _{P∈ [0,1]} [var(I)] = 1 + P ²

2 < 1,

^(2.10)

montrantainsi quela quantité

(1 + P ² )/2

^{aratérisel'ordre partielde la}

statis-tiqued'intensitélumineuse.Nousverronsdanslaseonde partiede e manusrit

qu'il existe une analogie formelle entre ette quantité et le fateur de Fano

quiaratérisel'ordrepartieldes statistiquessous-poissoniennesparrapportaux

statistiques poissoniennes.

2.1.3 Prinipe général de l'estimation de

P

Lapremière méthode quisera exposée dans lasuite de e hapitrepour

esti-mer

P

^{àpartird'uneuniqueimagede speklereposesurl'existenede larelation}

bijetive que nous venons de rappeler en équation (2.9) entre la valeur de

P

^et

leontraste de spekle[119,41℄.Eneet, en supposant quel'on onnaisse

préi-sémentlemodèlede spekle quiaetel'intensitélumineuse aquisesur l'image,

il sut d'évaluer loalement le ontraste de la gure de spekle pour obtenir

une informationquantitative sur la valeur du degré de polarisationen e point.

Ce prinipen'estpas sans rappeler lestehniques d'imagerie de ontraste de

spekletrès utilisées en imageriemédialepour des mesures de véloimétriede

ux sanguinspar exemple[97, 13℄.

Plus généralement, tous les estimateurs du degré de polarisation à partir

d'une unique image d'intensité présentés dans la suite néessitent de mesurer

loalement ertains paramètres statistiques de la densité de probabilité de

I

(moyenne, variane, ontraste,log-moment, et.). Pour réaliserette estimation

loale au niveau d'un pixel

k

^{d'une image, il faut par onséquent avoir aès}

aux valeurs des niveaux de grisdes pixelssitués dansun voisinage

V

^{du pixel}

k

^,

que nous supposerons omposé de

M

^{pixels (}

card[ V ] = M

^{). De préférene, es}

M

^{pixels devront provenir d'un voisinage} statistiquement homogène du pixel

k

^,

'est-à-direque lesintensités

{ I 1 , . . . , I M }

^doiventêtredistribuées selonlamême 17

−

^{Ilest importantii de noter que ette remarque porte uniquement sur le désordre de}

la statistiqued'intensité à

µ I

^{onstante, et non pas sur ledésordre du hamp életrique qui}

déroîtbienentendulorsqu'onpassed'unhampbidimensionnel orrespondantàunelumière

partiellementpolarisée,àunhampsalairedansleasd'unelumièretotalementpolarisée.

DDP.

Dans la suite de e hapitre, on onsidérera dans un premier temps que les

estimations sont réalisées à partir de régions statistiquement homogènes

om-posées de

M

^{pixels. Puis, dans la setion 2.4 où nous} analyserons les résultats obtenusenimageriededegré depolarisation,nousompareronsdeux façons

dis-tintesd'obtenir desvoisinageshomogènes:ilsorrespondront soitàunefenêtre

arrée de

M

^{pixels entrée sur le pixel}

k

^{, soit à une région homogène de forme}

plus omplexe,déterminéepar exemplegrâe àdesalgorithmes de segmentation

d'image en régions homogènes. Nous supposerons par ailleurs que les intensités

mesurées en haun de es pixels peuvent être onsidérées omme des variables

aléatoires indépendantes. Par onséquent, nous nous limiterons à des situations

pour lesquelles l'aire des grains de spekle est inférieure ou égale à la surfae

d'un pixel,e qui reviendraà onsidérer uniquement des statistiques de spekle

d'ordre supérieurou égal à 1.

Avant de présenter et de aratériser les diérentes méthodes d'estimation

étudiées au ours de ette thèse, nous proposons préalablement d'analyser la

préision optimale d'estimation que l'on peut espérer obtenir en utilisant une

tehnique d'estimation du degré de polarisation àpartir d'une unique image de

spekle, dans le as oùles fontions

f (z)

orrespondent à des loisgamma, 'est-à-dire pour des spekles pleinementdéveloppés.

2.2 Bornes de Cramer-Rao de l'estimation

L'estimationd'un paramètre

θ

^supposédéterministeàpartird'unéhantillon

χ = { x 1 , . . . , x M }

^{onstitué de}

M

^{mesures bruitées est un problèmelassique en}

théorie de l'estimation non bayésienne. Lorsqu'on suppose que es

M

^mesures

orrespondent à

M

réalisations indépendantes d'une variable aléatoire

X

^{, dont}

la densité de probabilité

P X (x)

^{dépend du paramètre inonnu}

θ

^{, la borne de}

Cramer-Rao (BCR) permet d'évaluer la préision optimale d'un estimateur

non biaisé de

θ

^,indépendammentde la tehnique d'estimation utilisée.Eneet, lorsqu'on onsidère un estimateur non biaisé

θ ˆ

^{du paramètre}

θ

^, 'est-à-dire tel que

h θ ˆ i = θ

^où

h·i

^dénit l'opérateur de moyenne statistique

18

par rapport à

χ

^,

la variane

var(ˆ θ)

^{de et estimateur peut être bornée} inférieurement grâe au théorème de Cramer-Rao[49℄,que nous rappelons i-dessous.

Théorème 2.1 Si

θ ˆ

^{est un estimateur non biaisé de}

θ

^{, alors}

var(ˆ θ) ≥ BCR(θ) = ^△ 1

I F (θ) ,

^(2.11)

où

BCR(θ)

^{représente la borne de Cramer-Rao pour} l'estimation de

θ

^{, et où}

I F (θ)

^désigne l'information de Fisherpour l'estimation de

θ

^.

L'information de Fisherpermetdequantierlaquantitéd'information

dispo-nibledansl'éhantillondemesure

χ

^{pourestimeraumieuxleparamètreinonnu}

θ

^{, etnous rappelons iisa dénition [49℄ :}

18

−

^{Pluspréisément}

h θ ˆ i = R ∞ 0 ... R ∞

0 θ ˆ × P X (x 1 ) × ... × P X (x M )dx 1 ...dx M

^.

Dénition 2.2 L'informationdeFisherpourl'estimationde

θ

^àpartirde

l'éhan-tillon de mesure

χ = { x 1 , . . . , x M }

^s'érit

I F (θ) = ^△ − D ∂ ²

∂θ ² [ℓ(χ; θ)] E

,

^(2.12)

où la logvraisemblane

ℓ(χ; θ) = ln ^△ L(χ; θ)

^de l'éhantillon

χ

^{est obtenue en}

alulant le logarithme de lavraisemblane

L(χ; θ) = ^△ Y M k=1

P X (x k | θ),

^(2.13)

qui représentelaprobabilitéd'observerl'éhantillon

χ

^{quand leparamètre vaut}

θ

^.

Le alulde ette borne permetdon d'évaluer l'optimalitédes méthodes

d'esti-mation utilisées : en théorie de l'estimation, on dénit usuellement l'eaité

d'une méthode d'estimation[49,118℄en alulantle rapport entre la BCR etla

variane de l'estimateur onsidéré. L'eaité est bien sûr une grandeur

om-prise entre

0

^et

1

^{etune méthode sera diteeae (eaité égale à}

1

^)lorsque

sa variane atteint lavarianeminimaleévaluée grâe àla BCR.

Pour déterminer l'eaité des méthodes d'estimation qui seront proposées

dans la suite de e hapitre, nous proposons ii d'évaluer la BCR pour

l'es-timation du degré de polarisation

P

^{à partir de la mesure d'un éhantillon}

χ = { I 1 , . . . , I M }

^{onstitué de}

M

^mesures d'intensité supposées statistique-ment indépendantesetorrespondantaux

M

^{pixelsd'un voisinagehomogène}

V

^{du point de l'image où l'on souhaite estimer le degré de} polarisation. Nous présentons iilerésultatdualulde labornede Cramer-Rao(BCR)dansleas

le plus simple d'abord, où le spekle est supposé pleinement développé d'ordre

un, puis nous montreronsomment laBCR peut être évaluée lorsque l'on

onsi-dèred'autres statistiquesdespekle,notammentdes speklesd'ordressupérieurs

tels qu'il peut en apparaître lors de l'aquisition d'une gure de spekle sur un

apteur.

Choix de la Borne de Cramer-Rao : On peut noter à e niveau que de

nombreuses alternatives existent pour raner la borne de Cramer-Rao (borne

de Bhattaharyya (voir[45℄p.396) , borne de Chapman-Robbins[18℄, borne de

Barankin [4℄, et.), notamment pour des situations de faibles rapports signal à

bruit. Néanmoins, es autres bornes sont souvent plus omplexes à mettre en

÷uvre que la BCR, e qui empêhe dans la majorité des as d'obtenir une

for-mulation expliite de es bornes, diminuant ainsi leur failité d'interprétation.

La rihesse d'interprétationdont onbénéie en utilisantla BCR est également

sensiblementdiminuéelorsqu'onadopteuneformulationbayésienneduproblème

d'estimation. En eet, le paramètre à estimer est dans e as onsidéré omme

une variable aléatoire,aratérisée par une distribution de probabilité a priori.

Lesbornesstatistiquesappliablesdanse as(bornedeCramer-Raobayésienne

(voir[156℄p.72),bornedeZiv-Zakai[167℄,et.)permettentseulementdeminorer

l'erreurquadratiqued'estimation,moyennéesur touteslesvaleursadmissiblesdu

paramètre dénies par la densité de probabilité a priori. En dépit de la grande

diversité des bornes statistiques existantdans lalittérature pour évaluer la

pré-ision optimaled'estimation, nous nous limitons dans e manusrit à utiliser la

borne de Cramer-Rao, pour sa simpliité d'une part, et son fort potentiel

d'in-terprétation d'autrepart.

2.2.1 Calul expliite de la BCR pour un spekle

pleine-ment développé d'ordre un

Lemodèlestandard derétrodiusionde lalumièreparune surfaediusante

proposé par J. W. Goodman permet d'obtenir la distribution de probabilité de

l'intensitélumineuse d'unegure de spekle pleinementdéveloppée d'ordre

1

^en

lumièrepartiellementpolarisée.Cetteloide probabilité,quenousavons rappelée

à l'équation (1.19) du hapitre préédent dépend lairement du paramètre

P

quenousherhonsàestimer.Ladistributionstatistiquede l'intensitélumineuse

ontiendra don une part d'information, potentiellement utile pour estimer la

valeurde

P

^àpartirde l'observationd'éhantillonsd'intensité.Cetteinformation peutêtremesurée grâeàl'informationde Fisher,àpartirde laquelleondéduira

labornede Cramer-Rao. Pour lealul de etteBCR, nousdistinguons iideux

as selon que la valeur moyenne de l'intensité

µ I

^{est onnue a priori ou qu'elle}

doit être estiméeonjointement àl'estimation du degré de polarisation.

2.2.1.1 BCR à intensité moyenne onnue

Lorsque l'intensité moyenne

µ I

^{est supposée onnue, la} vraisemblane de l'éhantillonest notée

L(χ; P )

^{et peut s'érire}

L(χ; P ) = Y M k=1

P I (I k |P ),

^(2.14)

où

P I (I)

^{est donnée à l'équation (1.19) dans le as onsidéré ii d'un spekle}

d'ordre un.

À partir de ette fontion de vraisemblane, ondémontre en annexe B.1.1.2

(voirégalementla référene [41℄)que labornede Cramer-Raopour l'estimation

de

P

^{à partir d'une unique image s'érit, dans le as du spekle pleinement}

développé d'ordre

1

^,

BCR ⁽¹⁾ _{µ I} ( P ) = − P ² (1 − P ² ) M (1 + P ² )

"

1 − 1 + P ²

2 P ² ζ(3, 1 + P 2 P )

# ₋ 1

,

^(2.15)

où l'exposant

1

^{signieque le spekle est d'ordre}

L = 1

(pleinement développé) et où l'indie

µ I

^{traduit le fait que la valeur moyenne de} l'intensité

µ I

^est

sup-posée onnue. La fontion

ζ(s, x)

^{représente la fontion Zeta de Riemann}

généralisée d'ordre

s

^{quiest dénie pour toute valeur de}

x

^vériant

k + x 6 = 0

^,

par

∀ x / k + x 6 = 0, ζ (s, x) = ^△

+ ∞

X

k=0

(k + x) ^{− s} .

^(2.16)

Bienque l'expression expliitede laBCR ne soitpas aisément interprétable,

onpeutremarqueren observantl'équation(2.15)qu'elleestlogiquement

inverse-ment proportionnelle au nombre

M

d'éhantillons utilisés pour l'estimation.De plus, savaleur est indépendantede l'intensitémoyenne

µ I

^{,e quipermet}

d'ar-mer qu'on ne peut pasaméliorerlapréisionultimed'estimationen augmentant

lapuissanelumineusedel'élairementohérentutilisé.Onmontreraàlasetion

2.5 que ela n'est plus le as lorsque les eets du bruit de photon doivent être

pris en omptepour des aquisitionsà faibleux lumineux.

On peut analyser le omportement de la BCR lorsque

P

^{varie entre}

0

^et

1

en observant lagure 2.1.a,oùlafontion

BCR ⁽¹⁾ µ I ( P )

^{,normaliséepar lenombre}

de pixels

M

^de l'éhantillon,est traée en fontionde

P

^{en trait plein}

( )

^.On

voit sur ette gure que la BCR pour l'estimation de

P

^{dépend très fortement}

de l'état de polarisation: ette borne diverge pour les faiblesvaleurs de

P

^alors

qu'elle tend vers

0

^{lorsque la lumièredevient totalement polarisée.}

BCR pour l'estimation de

β = P ²

^{: La relation (2.9) qui relie le ontraste}

BCR pour l'estimation de

β = P ²

^{: La relation (2.9) qui relie le ontraste}

Dans le document Caractérisation et extraction de l'information dans des signaux optiques polarimétriques ou issus d'états sous-poissoniens de la lumière (Page 39-200)