Calcul de la largeur utile d'un système de deux réseaux concaves en incidence rasante

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Calcul de la largeur utile d’un système de deux réseaux concaves en incidence rasante

Pierre Jaeglé

To cite this version:

Pierre Jaeglé. Calcul de la largeur utile d’un système de deux réseaux concaves en incidence rasante.

Journal de Physique, 1963, 24 (3), pp.179-186. �10.1051/jphys:01963002403017900�. �jpa-00205446�

179.

CALCUL DE LA LARGEUR UTILE D’UN SYSTÈME DE DEUX RÉSEAUX CONCAVES EN INCIDENCE RASANTE

Par PIERRE JAEGLÉ,

Laboratoire de Chimie-Physique, Faculté des Sciences, Orsay.

Résumé. 2014 On examine la possibilité d’augmenter ^{le pouvoir de} résolution des spectrographes

à rayons X très ^mous par l’utilisation d’un système ^{de deux réseaux concaves} successifs en inci- dence rasante. On calcule la répartition des, amplitudes lumineuses dans les images fournies par

ce système ^à partir ^{d’une source} ponctuelle. ^{On en déduit la} largeur ^{utile du} système ^{et on effectue}

la comparaison ^{avec le cas} d’un seul réseau.

Abstraet.

This article investigates ^the possibility ^of increasing ^the resolving power of ultra soft

X-ray spectrographs by using ^a system ^{of two concave} gratings working ^at grazing angle. ^{The dis-} tribution ^of brightness ^{in the} images given by ^this system ^{from a} point ^{source is} calculated.

The useful width of the system is deduced and a comparison is made with the case of a single grating.

DE PHYSIQUE ^TOME 24, 1963,

’

Mack, ^{Stehn et} Edlen, ^les premiers, ^{ont étudié la}

théorie du pouvoir de résolution du réseau concave en incidence rasante [1] ; ^cette étude était rendue nécessaire par le développement ^{de la} spectro- graphie dans le domaine des rayons X ^{très mous.}

La théorie de la formation des images ^a fait par la suite l’objet ^de plusieurs ^travaux qui, pour les mêmes conditions d’utilisation, ^ont confirmé les résultats de ces auteurs [2].

Le pouvoir de résolution d’un réseau concave est limité par les aberrations. Lorsqu’on augmente

l’ouverture du faisceau incident, l’image ^donnée

par le réseau ^se modifie sous l’influence de deux effets contradictoires : l’augmentation ^{du nombre}

de traits utilisés tend à donner à l’image plus ^de finesse, ^rnais l’augmentation des aberrations tend à l’élargir. Il existe donc une ouverture optimale,

à laquelle correspond ^une largeur de la surface éclairée sur le réseau. Le pouvoir de résolution maximal est obtenu lorsqu’on ^utilise juste ^cette largeur qui, pour ^cette raison, ^est appelée largeur

utile du réseau.

Des recherclies portant principalement ^{sur l’uti-}

lisation de réseaux asphériques [3] ^{et sur l’étude}

des aberrations dans des conditions de défocalisa- tion par rapport ^au cercle de Rowland [4] ^ont

montré la possibilité d’augmenter ^{dans une cer-}

taine mesure le pouvoir de résolution. Une autre solution est suggérée ^de façon naturelle par ^une

pratique ^courante dans d’autres domaines de la

spectrographie : la diffraction multiple. ^En effet, si, ^{dans le cas des} rayons X très mous, les condi- tions particulières de réflexion ne permettent pra-

tiquement pas de provoquer plusieurs passages du faisceau sur un seul réseau, elles n’interdisent pas, par contre, d’employer des réseaux en série sous

incidence rasante.

La question ^du pouvoir ^de résolution du système

de deux réseaux, auquel ^{nous nous} sommés inté-

ressés, ^se pose sensiblement dans les mêmes termes que pour ^un réseau unique. Les effets qui jouent ^en

sens contraires sont ici l’augmentation ^{de la dis-} persion, ^d’une part ^et l’augmentation ^{des àberra-}

tions produites par l’adjonction ^du deuxième réseau,

d’autre part. ^La dispersion ^du système ^{est, en} principe, voisine de la somme des dispersions que

peut ^donner chaque réseau, ^sous réservé d’une limitation due aux conditions de réilexion. Il reste à déterminer si, ^{en tenant} compte ^des aberrations des deux réseaux, l’image donnée par le système

reste suffisamment fine pour que l’augmentation

de la dispersion ^se traduise par ^une augmentation

du pouvoir de résolution.

,

La largeur ^de l’image ^{étant une} fonctions ^de

l’ouverture du faisceau incident, ^{on est conduit à}

chercher l’ouverture optimale ou, ^en d’autres termes, ^la largeur ^{utile du} système qui ^détermine

son pouvoir de résolution maximal. Cette recherche

et la comparaison des résultats avec le cas d’un seul réseau fait l’objet ^du présent ^travail qui comporte ^deux parties : l’étude de la forme des

images données par le système des deux réseaux et les conclusions _que l’on peut ^{en tirer} pour ^la

largeur ^utile.

ÉTUDE DE ^{LA FORME}

DES IMAGES INSTRUMENTALES

Pour déterminer la largeur utile d’un réseau, Mack, ^{Stehn et Edlen} [1] ^ont établi les courbes d’éclairement de l’image de diffraction dans des conditions d’utilisation variables. En appliquant

un critère de résolution aux images ainsi obtenues ils ont étudié la variation du pouvoir ^{de résolution}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002403017900

180

dont le maximum donne la valeur optimale ^{de la} largeur ^{du réseau.} Pour étendre cette méthode au cas de deux réseaux, ^nous commencerons par cal- culer la répartition des éclairements dans les

images données par ^ce système.

Io Expressions générales.

RÉSEAU UNIQUE.

- Soit d’abord un réseau de rayon de courbure p, éclairé symétriquement par ^un faisceau monochro-

matique issu d’une source ponctuelle ^{située sur le}

cercle de Rowland. Soit _cp l’angle du rayon moyen dn faisceau avec la tangente ^{au sommet du réseau.}

Considérons le point du cercle de Rowland déter- miné par ^une direction formant l’angle Q’ > -r.12

avec la tangente ( fig.1). ^{En ce} point s’ajoutent ^des amplitudes diffractées par chaque ^{trait du} réseau ; l’amplitude provenant’ du ^{sommet du réseau} pré-

sente avec l’amplitude provenant ^d’un point situé

à une distance y du ^{sommet une} différence de phase proportionnelle y4 due à là concavité du réseau,

pour des rayons qui cheminent dans le plan dus

cercle de Rowland.

Le principe ^{du calcul de} Mack, ^{Stehn et Edlen}

consiste à effectuer l’intégration numérique qui représente ^ce phénomène. ^Il résulte du calcul de

ces auteurs que, si ^on appelle x ^la longueur ^d’onde

du rayonnement, ^{Y la} demi-largeur de la surface éclairée du réseau, ^en posant :

et

l’amplitude lumineuse, ^le long du cercle de Rot

land, ^{en un} point ^de l’image donnée par le réseau

s’exprime par :

Le terme 0ei4 introduit la variation de phase qui produit l’aberration. La variable _a, sans dimension,

définit le point considéré dans l’image, ^{Je maximum}

central étant pris ^comme origine ; ^on peut ^la

considérer comme l’abscisse du point. ^Le paramètre H, également ^sans dimension, ^est proportionnel ^à

l’ouverture du faisceau incident et -1 ^est propor-

tionnel ^{à la distance du} point d’impact d’un rayon du faisceau au sommet du réseau. Le calcul numé-

rique ^de (4) pour différentes valeurs de oc permet

d’établir la répartition d’amplitude et, par ^consé-

quent, la courbe d’éclairement qui représente l’image donnée par le réseau.

SYSTÈME DE DEUX RÉSEAUX. - Considérons maintenant un système ^{de deux} réseaux, ^{de mêmes}

rayons de courbure ( fig. 1). ^{Un miroir} tangent ^au

cercle de Rowland et occupant ^la place ^habituelle

du porte-film reçoit ^une portion ^du spectre ^diffracté

par le premier réseau. Donnons à ce miroir un

rayon de courbure égal ^à celui des réseaux : les rayons moyens des faisceaux qu’il reçoit convergent

en un point du cercle de Rowland ; ^{c’est en ce} point

que l’on place le deuxième réseau lui même tangent

au cercle de Rowland.

FIG. 1.

La figure 1 ^{montre le} trajet ^{d’un faisceau mono-} chromatique qui, après ^{réflexion sur le} premier réseau, ^est focalisé exactement au sommet du miroir. Après ^{réflexion sur celui-ci et sur le}

deuxième réseau, le faisceau est à nouveau focalisé

sur le cercle de Rowland. Pour des longueurs ^d’onde légèrement différentes on obtiendrait sur le miroir des images décalées par rapport ^{au sommet. L’écart}

entre le miroir et le cercle de Rowland augmentant

très lentement, la focalisation après le deuxième

réseau s’effectue encore très sensiblement sur le cercle. détendue spectrale qui peut ^{subir la}

double diffraction dans ces conditions est cepen- dant limitée par le défaut de mise ^au point qui apparaît lorsqu’augmente ^{l’écart entre} l’image

intermédiaire et le sommet du miroir.

Pour le calcul de la répartiti’on d’amplitude ^dans

une image donnée par le système ^{décrit ci-dessus}

nous supposerons qu’il n’existe pas de défaut de

mise au point ; ^{en d’autres termes le sommet du}

miroir est supposé placé exactement au foyer ^du

faisceau considéré, ^dans l’espace compris ^{entre les}

réseaux. L’amplitude W(a) ^dans l’image ^donnée

par le premier ^{réseau sur le miroir} peut ^{alors être}

calculée par (4). ^De plus les conditions géométrique

d’utilisation des deux réseaux sont identiques.

NOTATIONS RELATIVES AU DEUXIÈME RÉSEAU.

Nous appellons ^{(pi et} Q1 ^les angles d’attaque ^{et de}

sortie du faisceau sur le deuxième réseau. Comme pour le premier ^{réseau nous} posons :

H1 =: Y 1/ B1 ^où Y1 ^{est la} demi-largeur ^{de la}

surface éclairée du deuxième réseau,

N1 = Yi/Bi ^où yi ^est la distance du point d’impact d’un rayon ^{au sommet} du deuxième

réseau

Nous remarquons que, pour ^un rayon donné : y

yl. D’autre part : ^Y

Y,, ^{d’où il résulte} que:

La répartition d’amplitude ^{dans une} image monochromatique donnée par le deuxième réseau,

pour ^{une source} ponctuelle ^{située sur} le cercle de

Rowland, ^{s’écrit :}

DÉFINITION DU FACTEUR DE GRANDISSEMENT. - En partant ^{du sommet de} l’image intermédiaire faisons subir un petit déplacement ^{ce, le} long ^du

cercle de Rowland, ^{à un} diaphragme définissant la

source dont l’image ^{aurait la} répartition d’ampli-

tude Wl (a1). ^Au déplacement ^{ce de la} source cor-

respond ^le déplacement ^{etl du} maximum central de son image. La relation entre ce et a1 s’obtient en

dérivant, ^à longueur ^d’onde constante, la condition habituelle des réseaux. Soient _al le pas du deuxième réseau et n1 l’ordre d’interférence ; ^la condition : donne :

comme on a d’autre part : qui ^{donne :}

on peut ^{écrire :}

En faisant le rapport ^de (2) ^{et de} (6) ^{on obtient}

donc :

Nous appellerons ^{facteur de «} grandissement ^{» le} paramètre g qui, d’après la relation précédente,

s’écrit :

Avec cette définition la relation (7) ^{se met sous}

la forme :

RÉPARTITION D’AMPLITUDE DANS L’IMAGE DON-

NÉE PAR DEUX RÉSEAUX.

Nous pouvons main- tenant traiter le problème ^{de double} diffraction

posé parle système de deux réseaux par la méthode

classique qui consiste à considérer l’image ^inter-

médiaire comme un objet ^en lumière cohérente pour le deuxième réseau. Un diaphragme ^{de lar-}

geur doc situé au point d’abscisse a reçoit l’ampli-

tude W(a). da ; le maximum central de son image

se trouve au point d’abscisse _oc,

_{g. oc} et la répar-

tition d’amplitudes ^{autour de ce} point peut

s’écrire :

où:

Uo (oc,). ^da peut ^être considéré comme la contri- bution d’un élément dx de l’image intermédiaire à

l’amplitude ^{en un} point d’abscisse _oc, de l’image

donnée par le système. ^La répartition d’amplitude

dans cette image ^{s’obtient en} ajoutant les contri- butions de tous les élément§ ^de l’image ^intermé-

diaire. L’expression générale qui permet ^{de calculer} l’amplitude ^{en un} point ^{est donc le} produit ^de

convolution -

dont ompeut ^déduire l’éclairement :

2o Calcul numérique.

^{Le domaine d’inté-} gration ^de (11) ^{doit en} principe ^être pris infini, ^car

il n’existe _pas a, priori ^{de valeur de ex} telle que, pour toute valeur supérieure, ^{on ait :} W(ot)

^{0. On sait} cependant que ^le module de W(a) ^{est maximal}

pour ^oc

0, ^{décroit en oscillant et devient très} petit lorsque lai augmente. Un domaine d’intégra-

tion fini, ^mais suffisamment grand, peut ^{donc four-}

nir une bonne approximation ^{dans le calcul numé-} rique. ^{Celui-ci aura} pour objet ^{le calcul de} l’exprest

sion :

182

où + ^{A et}

^A représentent les abscisses des

points ^{extrêmes de} l’image intermédiaire dont les contributions ^sont prises ^en considération.

On peut ^{faire ce calcul à} partir ^du développement

en série de W(«) ^et W 1 (CX1

goc) [5]. ^La série alter- née que ^l’on obtient converge lentement ; ^sa

somme ne peut ^{être calculée avec} précision, ^sans trop ^de difficultés, que pour des valeurs de _a1, A et H trop restreintes pour ^une étude complète.

Aussi les ^résultats exposés ci-dessous ont-ils été

calculés ^{par une autre méthode.}

L’expression (4) ^de l’amplitude ^{en un} point ^de l’image-donnép par ^un réseau peut ^{s’écrire :}

Nous posons :

et nou6 appellons Xl ^et Z, ^les quantités que l’on obtient ^en explicitant ^{de la même façon} W, (ocx

g«) donnée par l’expression (10). ^Nous

formons les quantités :

et

L.’amplitude ^{en un} point ^de l’image donnée par le

système ^{de deux réseaux} s’écrit alors simplement :

l’éclairement en un point d’abscisse _a1 étant :

La méthode des trapèzes permet de calculer les

intégrales X, Xl, ^{Z et} Z, ; ^avec le pas d’intégration

que nous avons utilisé l’erreur relative ^sur chaque quantité ^{a une} valeur inférieur à 10-3 ; ^ce pas variait selon les calculs et sa limite inférieure avait été fixée à H/4 ^{096 ou} H1/4 096, c’est-à-dire _{que les} intervalles sur lesquels était calculée la fonction à

intégrer pouvaient ^être subdivisés douze fois de

suite ; ^cette limite n’a été atteinte _que lorsque ^la

valeur de l’intégrale était voisine de zéro. U1 ^et U2

ont été calculées par la même métho’de ^à partir ^des

valeurs obtenues _pour X, Xl, ^{Z et} Z1; pour réduire le volume des calculs, ^{on s’est} contenté, pour ^ces

intégrales, d’imposer ^{une erreur relative inférieure}

à 10-2..

Dans ^ces conditions, le calcul de l’éclairement en un point, c’est-à-dire d’une valeur de I(a1), ^s’effec-

tue en un _{temps moyen} de 18 secondes sur I. B. M.

7 090.

Au cours de calculs antérieurs [6] ^{nous avions}

utilisé un pas d’intégration ^constant qui ^s’est

révélé insuffisant _pour obtenir une précision régu- lière ; notamment pour les valeurs de H supérieures

à 1, ^la précision finale était alors moins bonne.

30 Forme des images données par le système ^de

deux réseaux.

La forme des images ^{est obtenue}

en calculant une série de valeurs de l’éclairement

I(a1) dans des conditions d’utilisation du système

déterminées _par l’ouverture du faisceau incident et par la valeur du grandissement, c’est-à-dire en

dionnant à H et g des valeurs fixées dans chaque ^cas.

Pour pouvoir comparer ^entre elles les formes obte- nues, ^{nous avons} tracé les courbes d’éclairement relatif : Ir

I(«1)I(o).

EFFET DE « DIAPHRAGME ».

Le domaine d’in-

tégration qui intervient dans l’expression (12) ^est l’équivalent ^d’un diaphragme ^de largeur ^{2A vir-}

tuellement disposé ^{dans le} plan tangent ^{au cercle}

de Rowland, à l’endroit où se forme l’image ^inter-

médiaire. C’est pourquoi ^nous appellons ^{effet de}

« diaphragme » ^les modifications que l’on ^enre-

gistre ^dans l’image donnée par le système lorsque

A varie. L’étude de cet effet est surtout nécessaire pour déterminer la valeur de A à partir ^de laquelle

la forme de l’image peut ^être considérée comme

constante ; ^{c’est cette valeur} qu’il faudra utiliser pour la suite des calculs.

FIG. 2.

Sur la figure ² sont tracées les courbes d’éclai- rement relatif obtenues pour H

1, g

1, et, successivement, ^A

1,6, A

3,2, ^A

6,4,

A = 9,6. ^{Dans le} premier casinterviennent seulement les contributions du domaine entourant le sommet de l’image intermédiaire ; l’image présente ^alors

une forme très voisine de celle que donne ^un seul réseau avec la même ouverture du faisceau inci- dent. Pour A

3,2 ^{toute la} partie centrale de

l’image intermédiaire, jusqu’à ^son premier ^mini-

mum, contribue à la courbe obtenue ; ^on observe,

par rapport ^{au cas} précédent, ^{un net} élargissement

dans la partie ^{centrale et au} pied ^de l’image.

Avec A

6,4 ^on ajoute ^{encore les} amplitudes pro- venant de la partie ^de l’image intermédiaire com-

-prise ^{entre le} premier ^{et le deuxième} minimum,

c’est-à-dire que le domaine d’intégration ^couvre

maintenant deux unités de diffraction ; ^{cette fois}

la partie ^{centrale est moins} large, mais l’éclaire- ment devient plus important dans les maximums secondaires. Lorsque A continue à augmenter, ^la largeur ^{de la} partie centrale de l’image ^{ne varie} plus ^{et on} observe seulement de petites ^variations

au pied ^de l’irnage. ^{C’est ce} que ^montre la courbe obtenue pour A

9,6, c’est-à-dire avec un domai-

ne d’intégration ^couvrant trois unités de diffrac- tion.

Nous avons alors estimé qu’une valeur de A

correspondant à deux unités de diffraction donne

une approximation suffisante du phénomène complet : ^les amplitudes provenant ^des points ^de l’image intermédiaire, situés environ au delà du deuxième minimum, ^{ont donc été} négligées pour l’étude de la largeur ^{utile du} système. ^La largeur

de l’image intermédiaire dépendant ^de l’ouverture du faisceau incident, ^{la valeur} de A définie ci- dessus doit être déterminée en fonction de H.

L’examen des courbes I = IW(cx)I2 ^{nous a conduit}

à adopter les valeurs suivantes :

VARIATION ^{DE LA FORME DÈS} IMAGES AVEC

L’OUVERTURE DU FAISCEAU INCIDENT.

Comme

nous l’avons rappelé, l’augmentation de l’ouver- ture,du faisceau incident conduit à l’augmentation

du nombre de traits utilisés ^sur les réseaux, ^mais aussi à celle des aberrations. L’augmentation ^du

nombre de traits diminue la largeur de l’image ^sans changer ^{sa forme} générale. ^Les aberrations, par contre, agissent ^sur la forme de l’image ^en augmen- tant l’éclairement de son pied, ^en estompant ^les minimums, puis ^en élargissant ^la partie ^centrale.

Pour montrer cet effet nous avons tracé les courbes d’éclairement des figures 3a, ^{3b et 3c en} portant ^{en abscisse} a1 H/g. ^{La courbe en} pointillés

est la figure ^de diffraction classique ^{du réseau} plan.

Dans le mode de représentation adopté, ^{les aber-}

rations, qui ^{varient avec} l’ouverture du faisceau,

sont seules responsables des Écarts observés entre les différentes courbes.

FtG. 3a.

FIG. 3b.

Les trois séries de courbes portées ^{sur ces} figures correspondent ^aux grandissements g

0,8,

g

1,0, g

1,11. ^{Il est facile de} constater que, pour ^une valeur donnée de H, la forme de l’image dépend de g. On voit par exemple pour H

0,9,

H

1,0 ^{ou H}

1;1 que l’image ^{est d’autant} plus

184

I’’IG. 3C.

affectée _{par les} aberrations que g diminue. A ^une valeur de H correspondent ^en effet des valeurs données de Y et fi ; d’après (8) ^la décroissance de g est alors liée à celle de Pl, ^{donc à} l’augmentation

des aberrations du deuxième réseau.

COMPARAISON ^AVEC L’IMAGE INTERMÉDIAIRE.

Nous comparons maintenant l’image ^donnée par le

système de deux réseaux avec celle que l’on obtient pour ^un seul réseau. La courbe I de la figure ^{4 est la}

FIG. 4.

même que celle qui avait été obtenue _pour A

9,6 (fig. 2) ; la courbe II est du type ^{de celles} qu’ont ^calculées Mack, ^{Stehn et} Edlen ; ^elle repré-

sente l’image donnée par ^un seul réseau pour H

1. L’ouverture du faisceau incident et les

angles ^ne variant pas d’un ^cas à l’autre, la courbe II

représente également l’image intermédiaire du

système.

La comparaison ^{de ces courbes montre directe-}

ment l’effet produit ^sur l’image par l’adjonction ^du

deuxième réseau : l’élargissement ^à mi-hauteur de la courbe d’éclairement est approximativement ^de

10 % ^{et le} premier ^{minimum est moins accusé. En}

tenant compte ^de l’augmentation ^{de la} dispersion,

le système ^de deux réseaux donnerait, ^{dans ce} cas,

un pouvoir ^de résolution plus élevé que le premier

réseau seul.

LARGEUR UTILE

DU SYSTÈME ^DE DEUX RÉSEAUX

1° Critère de résolution.

L’étude du pouvoir

de résolution du système implique le choix d’un critère de résolution que l’on appliquera ^{a des}

courbes d’éclairement telles que celles des figu-

res 3a, ^{3b et 3c.} La distance minimale qui ^doit séparer ^{les sommets} des courbes d’éclairement

correspondant ^{à deux} longueurs d’onde, pour que celles-ci soient résolues, ^sera désignée par ^am.

Pour déterminer la largeur ^{utile du} système

nous devons étudier la variation du pouvoir ^de

résolution en fonction des modifications de l’ouver- ture du faisceau incident. Le choix d’un critère a

alors moins d’importance que pour calculer ^avec

précision ^le pouvoir ^de résolution lui-même. Nous

avons vérifié, par exemple, que, dans le ^cas d’un seul réseau, ^{on retrouve} l’ouverture optimale

H

1,18 ^{avec une} approximation ^{très satisfai-} sante, ^{en admettant} simplement que ^{am est} égal

à la largeur à mi-hauteur des courbes d’éclairement,

c’est-à-dire en appliquant ^{un critère de} résolution.

moins strict que celui de Mack, ^{Stehn et Edlen} [6].

La forme générale ^{des courbes} que ^nous obtenons pour deux réseaux ^ne présentant pas de change-

ments brusques ^et importants, nous avons utilisé la même valeur de (am pour déterminer la largeur

utile.

Toutefois, ^la comparaison ^du pouvoir ^{de réso-}

lution maximal à celui que donne ^un seul réseau doit tenir compte ^{de ce que cette valeur de oc.}

est un peu inférieure à celle que l’on admet habi- tuellement. D’après ^{les courbes de} Mack, ^{Stehn et} Edlen la distance minimale de séparation, ^au voisinage du meilleur pouvoir ^de résolution, ^est égale ^{à la} largeur de la courbe à environ 0,45 ^fois

la hauteur ^au lieu de 0,5 fois. Nous admettrons

qu’il ^{en est} de même pour ^un système ^{de deux} réseaux ; l’examen de nos courbes d’éclairement

indique alors que la valeur de ^oem correspondant ^à

la meilleure résolution doit être multipliée par

1,08. Cette correction sera appliquée ^à l’expres-

sion du pouvoir de résolution maximal.

Détermination de la largeur ^utile.

^Pou-

VOIR DE RÉSOLUTION.

Soient n et ni les ordres d’interférence après ^le premier ^et après le deuxième

réseau, a ^et ai les pas, N ^et NI les nombres de traits utilisés. Le pouvoir de résolution d’un seul réseau peut ^s’écrire [1] :

Considérant _{que nN} ^{est le} pouvoir de résolution d’un réseau plan. Mack, ^{Stehn et Edlen} appellent 7r/am. ^{la valeur} eàective .Heff _{de H pour} ^{un réseau}

concave. Cette quantité ^reste voisine de H tant que les aberrations sont faibles et elle est maximale

pour H

1,18. ^{Au maximum de Heff} correspondent

la meilleure résolution et l’ouverture optimale ^du

faisceau.

Dans le cas de deux réseaux on peut ^{mettre le} pouvoir de résolution sous une forme analogue. ^La dispersion ^du système que ^{nous avons} décrit a

pour expression :

sous réserve que les ordres utilisés, n et nI, soient de signes contraires. Si cette condition n’est pas

réalisée, l’expression précédente peut être conservée

en remplaçant le miroir intermédiaire de la figure ¹

par ^un dispositif plus complexe. ^{Il est} possible,

par exemple, d’inverser le sens d’étalement du

spectre intermédiaire le long du cercle de Rowland par réflexion ^{sur un} système ^de trois miroirs

concaves. Les courbes d’éclairement doivent alors différer sensiblement de celles que nous avons cal-

culées ; ^{aussi nos résultats} numériques ^ne s’appli- quent-ils pas à ^cette éventualité. De (13) ^{et de} (6) ^on déduit, ^en remplaçant a1 par (Xm, le pouvoir

de résolution :

La valeur effective de H, ^{au sens oiz} l’entendent

Mack, ^{Stehn et} Edlen, ^{est ici la} quantité (7ri«.) g.

Les courbes de la figure ^{5 montrent} la variation de cette quantité avec ^H pour plusieurs ^valeurs

de g. Les courbes ont la même allure générale que celle de Mack, ^{Stehn et} Edlen, ^{mais la} position ^du

maximum est variable. Pour permettre ^une compa-

raison, nous avons porté ^{sur la} figure, ^en pointillés,

les coordonnées du maximum de la courbe corres-

pondant ^{à un seul réseau.}

LARGEUR UTILE.

Nous avons mesuré sur ces

courbes les valeurs Hu de .H pour lesquelles ^on

observe le maximum et qui, par conséquent,

donnent la meilleure résolution. Ces valeurs sont les suivantes, ^l’erreur portant ^{sur la deuxième}

décimale :

L’examen des cas où g tendrait ^vers l’infini ou

zéro permet ^de préciser l’allure de la variation de Hu. Dans les deux _cas, en effet, ^les aberrations de l’un des réseaux deviennent négligeables ^devant

celles de l’autre, ^car les variations de g ^{sont com-} mandées par celles de B ^{et de} B1. L’ouverture opti-

male est alors déterminée _par celui des deux réseaux dont les aberrations sont importantes. Supposons

d’abord que g tende vers zéro ; les aberrations du

premier ^réseau deviennent négligeables par rap-

port à celles du deuxième ; à la limite l’ouverture

optimale ^{est la même} que pour ^un seul réseau ; ^on

a alors Hlu

1,18 et, par conséquent, d’après (9),

Hu

0. Inversement lorsque g tend vers l’infini,

les aberrations du deuxième réseau sont négli-

FiG. 5. ^{FiG. 6.}

186

geables ^{et Hu admet comme limite} 1,18. ^Ces limites, jointes ^{aux valeurs} calculées, permettent ^{de tracer}

la courbe qui représente les variations de Hu ^en fonction de g (fig. 6).

Il est facile de déduire de cette courbe un abaque

donnant la demi-largeur ^utile Y’u ^du système ^de

deux réseaux en fonction des quantités 3 ^et 31.

Les courbes de la figure 7, ^où le millimètre est pris

comme unité, fournissent Y ^{en fonction} de B 1

pour cinq valeurs de B. Ces courbes remplacent ^la relation Yu

1,18. B trouvée par Mack, ^{Stehn et}

Edlen dans le cas d’un seul réseau.

FIG. 7.

POUVOIR DE RÉSOLUTION MAXIMAL. - En modi- fiant l’expression (1.4), ^le pouvoir de résolution maximal du système peut ^{s’écrire :}

avec :

Les courbes de la figure ⁵ fournissent _pour le coefficient k des valeurs numériques qui, ^{en tenant} compte du facteur de correction 1,08 appliqué ^à

«m, sont les suivantes :

où l’erreur porte ^sur la deuxième déc imale.

Pour un seul réseau Mack, ^{Stehn et} Edlen obte- naient -

Avec les approximations que ^{nous avons} faites

on peut conclure que le coefficient k ^est peu modifié

quand ^on passe de ^un à deux réseaux, sauf pour les valeurs de g inférieures à 1. Il ^reste la diminu- tion de la largeur ^utile donnée par les courbes de la

figure 7. Le calcul numérique ^de (8) ^montre que le

grandissement, ^en pratique, ^{s’écarte assez} peu de l’unité. D’après ^{nos courbes Hu et Vu sont alors}

réduits approximativement de 5 % à 15 % p àr

rapport ^{au cas d’un seul réseau.} Il semble que ^cet effet puisse ^{rester faible devant celui de sens} contraire, que produit l’apparition, ^dans (14), ^du

facteur 1 n/ la ⁺ ln, / la1 ^{à la} place ^de n ja. ^{Le mon-} tage expérimental qui permettra de vérifier ces

résultats est en cours de réalisation.

Ce travail a bénéficié de l’aide du Laboratoire de Calcul Numérique du C. N. R. S. dont je ^remercie

les chercheurs qui m’ont aidé à mener à bien les calculs numériques. J’exprime ^ma gratitude ^à

Mlle Y. Cauchois qui ^{a mis à ma} disposition ^tous

les moyens nécessaires ^à la réalisation de ce travail.

Manuscrit reçu le ²⁷ septembre ^1962.

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