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A Study of Sybil Manipulations in Hedonic Games

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Academic year: 2021

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HAL Id: hal-00995225

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00995225

Submitted on 23 May 2014

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A Study of Sybil Manipulations in Hedonic Games

Thibaut Vallée, Grégory Bonnet, Bruno Zanuttini, François Bourdon

To cite this version:

Thibaut Vallée, Grégory Bonnet, Bruno Zanuttini, François Bourdon. A Study of Sybil Manipulations

in Hedonic Games. 13th International Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems

(AAMAS 2014), 2014, Paris, France. pp.21-28. �hal-00995225�

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(6)

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(7)

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(8)

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❚❤❡ ❧❛tt❡r ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ✉♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ Π✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✾ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❣❛♠❡✱ a

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m

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t❡r❡st❡❞ ✭❛❝❝❡♣t✐♥❣ ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s✮✱ ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡ ❢❛❧s❡ ✐❞❡♥t✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ❡①✲

♣r❡ss❡s ✐ts ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ✇❤✐❧❡ ❜❡♥❡✜t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦✉❜t ✭❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✸✮✳

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦✜❧❡ ❢♦r m✱ ✇r✐tt❡♥

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1

indifm

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1

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2

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s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s ✭❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s ✇❡ s❤♦✇ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺ t❤❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❡①❤✐❜✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧✳

(9)

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✮✳

❊①❛♠♣❧❡ ✻ ❋♦r t❤❡ ❣❛♠❡ ♦♥ ❋✐❣✳ ✶✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡s

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❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ ✉♥❞❡r ✇❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡✳

❋✐rst✱ ✇❡ ❡①❛♠✐♥❡ ✉♥❞❡r ✇❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥ ❛❣❡♥t ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥

✐♥ s♦♠❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ❣❛♠❡✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ m ♥❡✈❡r ✇❛♥ts t♦ ❞♦

s♦✱ s✐♥❝❡ ✐t r❡♣♦rts ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ t♦ ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s✳ ◆♦✇ ✜① ❛ ❣❛♠❡ G = hN, i✱

❛ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ❛❣❡♥t m ∈ N ✱ ❛♥❞ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π ❢♦r G✳ ❲r✐t❡ G

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r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ G ❜② m✱ C

0

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❝♦❛❧✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ Π

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0

] ❢♦r t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢♦r G

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t❤❡ ❙②❜✐❧ ❛❣❡♥t s ❥♦✐♥s C

0

✱ ✐✳❡✳✱ Π

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0

} ∪ {C

0

∪ {s}}✳

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✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C

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✭✶✮ ❤♦❧❞s ❢♦r s♦♠❡ C

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❇✉t C

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❛♥❞ C

\ {s} ✐s ✐♥ Π✱ ❤❡♥❝❡ h ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦

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✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦ C

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▲❡♠♠❛ ✷ ❚❤❡ ❙②❜✐❧ ❛❣❡♥t s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ ✐♥ Π

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❤♦❧❞s✱ ♦r t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ C ∈ Π ✇✐t❤ m / ∈ C ❛♥❞ C ∪ {m} ≻

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0

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0

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✇❡ ❤❛✈❡ m / ∈ C

❛♥❞

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∪ {m} ≻

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0

∪ {m} ✱ ✐✳❡✳✱ C

✐s ❛s ✐♥ t❤❡ ❝❧❛✐♠✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐❢ m ∈ C

0

❤♦❧❞s✱

t❤❡♥ s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ Π

✭❛t ❧❡❛st t♦ {s} ✮✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s C ❛s ✐♥ t❤❡

❝❧❛✐♠✱ t❤❡♥ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢

s

✱ s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦ C ∪ {s} ✐♥ Π

✳ ✷

❋r♦♠ t❤❡s❡ t✇♦ ❧❡♠♠❛s ✇❡ ❡❛s✐❧② ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✶ ❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π

✐s st❛❜❧❡ ✐♥ G

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ✇r✐t✐♥❣ Π

= Π[s → C

0

]✱ m ✐s ♥♦t ✐♥ C

0

✱ C

0

∪ {m} ✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ♣r❡❢❡rr❡❞ ❜② m ✐♥ Π✱ ❛♥❞ ❡✐t❤❡r

✭✶✮ Π ✐s st❛❜❧❡✱ ♦r ✭✷✮ m ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ Π✳

❊①❛♠♣❧❡ ✼ ❖♥ ❋✐❣✳ ✶✱ ❢♦r C

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= 1m✱ Π

3

= Π

3

[s → 1] = {1s, 23m} ✐s s❛t✐s❢❛❝✲

t♦r② ❛♥❞ Π

1

= Π

1

[s → 12] = {12s, 3m} ✐s st❛❜❧❡ ❜✉t ♥♦t s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❣✐✈❡ t❤❡ ❡①❛❝t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥

✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ♦♥ ❛ ❣❛♠❡ G✳ ❲❡ ♦♥❧② ❣✐✈❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ NS

θG

= ∅ ✱ s✐♥❝❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❡✐t❤❡r NS

θG

= NS

G

❛♥❞ t❤❡ ❛❣❡♥t ✐s ❛❧r❡❛❞② ❢✉❧❧② s❛t✐s✜❡❞✱ ♦r ∅ (

(10)

NS

θG

( NS

G

❛♥❞ t❤❡ ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✭❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✮ ✐s ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡✱

❛♥❞ ❢✉❧❧② ❡✛❡❝t✐✈❡ ✭Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❣✐✈❡♥

❛❧s♦ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ NS

θG

6= ∅ ❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❤❡♥

m

✐s str✐❝t✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ | UR

θG

|/| UR

G

| > | NS

θG

|/| NS

G

| ❤♦❧❞s✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❆ss✉♠❡ NS

θG

= ∅✳ ❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡

♦♥ G ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ UR

θG

6= ∅ ❤♦❧❞s✳

Pr♦♦❢ ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ r

Gθ

✱ ✐❢ t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♥ G

❤❛s ❛t ❧❡❛st

♦♥❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r② ♣❛rt✐t✐♦♥ Π

✳ ❲r✐t❡ Π

= Π[s → C

0

]✳ ❋r♦♠ ❈♦r♦❧❧❛r② ✶ ✐t

❢♦❧❧♦✇s Π ∈ NS

G

♦r Π ∈ UR

G

✳ ❙✐♥❝❡ Π

✐s s❛t✐s❢❛❝t♦r②✱ ❡✐t❤❡r C

0

∪ {m}

m

C

θ

♦r C

mΠ

m

C

θ

❤♦❧❞s✳ ■♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s✱ ❢r♦♠ NS

θG

= ∅ ✇❡ ❣❡t Π ∈ / NS

G

✱ ❤❡♥❝❡

Π ∈ UR

G

❛♥❞ ✜♥❛❧❧②✱ Π ∈ UR

θG

✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s s❤♦✇♥ s✐♠✐❧❛r❧②✳ ✷

❊①❛♠♣❧❡ ✽ ❖♥ ❋✐❣✳ ✶✱ ❢♦r C

θ

= 1m t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✭ NS

θG

= ∅

❛♥❞ UR

θG

= {Π

3

}✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r C

θ

= 2m ✐t r❡s✉❧ts ✐♥ ❛ str✐❝t❧② ✇♦rs❡ s✐t✉❛t✐♦♥

❢♦r m✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛s NS

θG

= {Π

2

} ❛♥❞ UR

θG

= {Π

3

}✱ r

θG

= 1/2 ❛♥❞ r

θG

= 2/5✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ◆P✲❤❛r❞✿ ❣✐✈❡♥ ❛ ❣❛♠❡ G ✇✐t❤ ❛♥

❘■❘▲❈ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ❛ ♣❧❛②❡r m✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ C

θ

✱ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❝♦♥✲

str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ♦♥ G ❢♦r m r❡❧❛t✐✈❡ t♦ C

θ

Pr♦♦❢ ❲❡ r❡❞✉❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❣❛♠❡ ✐♥ ❘■❘▲❈✱ s❛② G

0

✱ ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ◆❛s❤ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ❬✸❪✳

●✐✈❡♥ G

0

✱ ✇❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ❣❛♠❡ G ✇✐t❤ NS

θG

= ∅✱ ❜✉t ✇✐t❤ UR

θG

6= ∅ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

G

0

❤❛s ❛ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❋r♦♠ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐♥ G ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ G

0

❤❛s ❛ ◆❛s❤ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳

❲r✐t❡ G

0

= hN

0

,

0

i ✇✐t❤ N

0

= {h

1

, . . . , h

n

} ✳ ❚❤❡ ❣❛♠❡ G ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢r♦♠ G

0

❜② ❛❞❥♦✐♥✐♥❣ t✇♦ ♥❡✇ ❛❣❡♥ts✱ h ❛♥❞ m✱ ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡

r❡❧❛t✐♦♥s✿ {h, m} ≻

m

{m} ✱ {h} ≻

h

C ❢♦r ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s C 6= {h} ✱ ❛♥❞

i

❛s ❜✉✐❧t

❢r♦♠ (

0

)

i

✇✐t❤ ❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✷ ❛♥❞ ✸✳ ■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ h ✇❛♥ts t♦ ❜❡ ❛❧♦♥❡ ❛♥❞ m

✇❛♥ts t♦ ❥♦✐♥ h❀ ♦t❤❡r ❛❣❡♥ts ❛r❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t t♦ t❤❡♠✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❦❡❡♣ t❤❡✐r

♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❢r♦♠ G

0

✳ ❈❧❡❛r❧②✱ G ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ✐♥ t✐♠❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢

G

0

✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❧❡t C

θ

❜❡ t❤❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ {h, m}✳ ◆♦ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π ✐s st❛❜❧❡ ✐♥ G✱

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