A Study of Sybil Manipulations in Hedonic Games

HAL Id: hal-00995225

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Submitted on 23 May 2014

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A Study of Sybil Manipulations in Hedonic Games

Thibaut Vallée, Grégory Bonnet, Bruno Zanuttini, François Bourdon

To cite this version:

Thibaut Vallée, Grégory Bonnet, Bruno Zanuttini, François Bourdon. A Study of Sybil Manipulations

in Hedonic Games. 13th International Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems

(AAMAS 2014), 2014, Paris, France. pp.21-28. �hal-00995225�

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♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❢♦r ♠♦r❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❛❣❡♥ts ❥♦✐♥✐♥❣ ❛ ❝♦❛❧✐t✐♦♥✮✳

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❊①❛♠♣❧❡ ✸ ■❢ ❛♥ ✉♥❦♥♦✇♥ ❛❣❡♥t u ❡♥t❡rs t❤❡ ❣❛♠❡ ♦❢ ❋✐❣✳ ✶✱ t❤❡♥

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12u ≻

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13mu ≻

13 ∼

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12m . . . 123 ∼

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❣♦❛❧ ♦❢ ❛ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ❛❣❡♥t ✐♥ ❛ q✉✐t❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛♥♥❡r✳ ❆♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✻ ▲❡t G = hN, i ❜❡ ❛ ❣❛♠❡✳ ❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π ♦❢ N ✐s s❛t✐s❢❛❝t♦r②

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✳ ■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ ✐❢ m ✇❛♥ts t♦ ❥♦✐♥ ❛

❝♦❛❧✐t✐♦♥ C ✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❡q✉❛❧❧② ❤❛♣♣② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❢❛❧s❡ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❥♦✐♥s ✐t ✐♥st❡❛❞✳

❍❡♥❝❡✱ ✇❡ r❡❞❡✜♥❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r② ♣❛rt✐t✐♦♥s ❢♦r G

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, . . . , s

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✾ ▲❡t G ❜❡ ❛ ❣❛♠❡✱ a

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✉♥✐q✉❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡✱ ❛♥❞ UR

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✇♦r❦s ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ❛❣❡♥t m ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡

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Π ❛r❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r② ❢♦r ✐t✳ ❘♦✉❣❤❧②✱ m ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡s t❤❡ ❣❛♠❡ ❜② ❜❡❝♦♠✐♥❣ ❞✐s✐♥✲

t❡r❡st❡❞ ✭❛❝❝❡♣t✐♥❣ ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s✮✱ ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡ ❢❛❧s❡ ✐❞❡♥t✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ❡①✲

♣r❡ss❡s ✐ts ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ✇❤✐❧❡ ❜❡♥❡✜t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦✉❜t ✭❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✸✮✳

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦✜❧❡ ❢♦r m✱ ✇r✐tt❡♥

✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ m ✐s ✐♥❞✐✛❡r❡♥t t♦ ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s ✭C

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C

❢♦r ❛❧❧ C

, C

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[m/s] ❢♦r t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠

❜② r❡♣❧❛❝✐♥❣ m ✇✐t❤ s ✐♥ ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s✳

✸

❲❡ ❛❜✉s❡ ✇♦r❞s ❜② ✉s✐♥❣ ✏t❤❡✑✱ ❛s t❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♦t❤❡r ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞

s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s ✭❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s ✇❡ s❤♦✇ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺ t❤❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❡①❤✐❜✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧✳

✼

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✵ ▲❡t G = h{h

, . . . , h

, m}, i ❜❡ ❛ ❣❛♠❡✳ ❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛✲

♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ G ❜② m ✐s t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦♥❡ ❙②❜✐❧ ❛❣❡♥t s✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ m r❡♣♦rts t❤❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥

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❊①❛♠♣❧❡ ✻ ❋♦r t❤❡ ❣❛♠❡ ♦♥ ❋✐❣✳ ✶✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡s

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2s ≻

3s ≻

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❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ ✉♥❞❡r ✇❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡✳

❋✐rst✱ ✇❡ ❡①❛♠✐♥❡ ✉♥❞❡r ✇❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥ ❛❣❡♥t ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥

✐♥ s♦♠❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ❣❛♠❡✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ m ♥❡✈❡r ✇❛♥ts t♦ ❞♦

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❛ ♠❛❧✐❝✐♦✉s ❛❣❡♥t m ∈ N ✱ ❛♥❞ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π ❢♦r G✳ ❲r✐t❡ G

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r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ G ❜② m✱ C

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❝♦❛❧✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ Π

= Π[s → C

] ❢♦r t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢♦r G

♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ Π ✇❤❡♥

t❤❡ ❙②❜✐❧ ❛❣❡♥t s ❥♦✐♥s C

✱ ✐✳❡✳✱ Π

= Π \ {C

} ∪ {C

∪ {s}}✳

▲❡♠♠❛ ✶ ❆♥ ❤♦♥❡st ❛❣❡♥t h ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ ✐♥ Π

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t

✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ ✐♥ Π✳

Pr♦♦❢ ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ h ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ Π

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C

∪ {h} ≻

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✭✶✮ ❤♦❧❞s ❢♦r s♦♠❡ C

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✳ ◆♦✇ ❜② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✸ ✇❡ ❤❛✈❡ C

∪{h} ∼

C

∪{h}\

{s} ❛♥❞ C

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C

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C

\{s}✳

❇✉t C

\ {s} ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② C

❛♥❞ C

\ {s} ✐s ✐♥ Π✱ ❤❡♥❝❡ h ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦

C

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✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦ C

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▲❡♠♠❛ ✷ ❚❤❡ ❙②❜✐❧ ❛❣❡♥t s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ ✐♥ Π

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ m ∈ C

❤♦❧❞s✱ ♦r t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ C ∈ Π ✇✐t❤ m / ∈ C ❛♥❞ C ∪ {m} ≻

C

∪ {m}✳

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✇❡ ❤❛✈❡ C

∪ {s} ≻

C

∪ {s} ✳ ❍❡♥❝❡✱ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢

✇❡ ❤❛✈❡ m / ∈ C

❛♥❞

C

∪ {m} ≻

C

∪ {m} ✱ ✐✳❡✳✱ C

✐s ❛s ✐♥ t❤❡ ❝❧❛✐♠✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐❢ m ∈ C

❤♦❧❞s✱

t❤❡♥ s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ Π

✭❛t ❧❡❛st t♦ {s} ✮✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s C ❛s ✐♥ t❤❡

❝❧❛✐♠✱ t❤❡♥ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢

✱ s ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦ C ∪ {s} ✐♥ Π

✳ ✷

❋r♦♠ t❤❡s❡ t✇♦ ❧❡♠♠❛s ✇❡ ❡❛s✐❧② ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✶ ❆ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π

✐s st❛❜❧❡ ✐♥ G

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ✇r✐t✐♥❣ Π

= Π[s → C

]✱ m ✐s ♥♦t ✐♥ C

✱ C

∪ {m} ✐s ♠❛①✐♠❛❧❧② ♣r❡❢❡rr❡❞ ❜② m ✐♥ Π✱ ❛♥❞ ❡✐t❤❡r

✭✶✮ Π ✐s st❛❜❧❡✱ ♦r ✭✷✮ m ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ Π✳

❊①❛♠♣❧❡ ✼ ❖♥ ❋✐❣✳ ✶✱ ❢♦r C

= 1m✱ Π

= Π

[s → 1] = {1s, 23m} ✐s s❛t✐s❢❛❝✲

t♦r② ❛♥❞ Π

= Π

[s → 12] = {12s, 3m} ✐s st❛❜❧❡ ❜✉t ♥♦t s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❣✐✈❡ t❤❡ ❡①❛❝t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥

✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ♦♥ ❛ ❣❛♠❡ G✳ ❲❡ ♦♥❧② ❣✐✈❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ NS

= ∅ ✱ s✐♥❝❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❡✐t❤❡r NS

= NS

❛♥❞ t❤❡ ❛❣❡♥t ✐s ❛❧r❡❛❞② ❢✉❧❧② s❛t✐s✜❡❞✱ ♦r ∅ (

✽

NS

( NS

❛♥❞ t❤❡ ❞❡str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✭❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✮ ✐s ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡✱

❛♥❞ ❢✉❧❧② ❡✛❡❝t✐✈❡ ✭Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❣✐✈❡♥

❛❧s♦ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ NS

6= ∅ ❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❤❡♥

✐s str✐❝t✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ | UR

|/| UR

| > | NS

|/| NS

| ❤♦❧❞s✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❆ss✉♠❡ NS

= ∅✳ ❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡

♦♥ G ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ UR

6= ∅ ❤♦❧❞s✳

Pr♦♦❢ ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ r

✱ ✐❢ t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ t❤❡♥ G

❤❛s ❛t ❧❡❛st

♦♥❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r② ♣❛rt✐t✐♦♥ Π

✳ ❲r✐t❡ Π

= Π[s → C

]✳ ❋r♦♠ ❈♦r♦❧❧❛r② ✶ ✐t

❢♦❧❧♦✇s Π ∈ NS

♦r Π ∈ UR

✳ ❙✐♥❝❡ Π

✐s s❛t✐s❢❛❝t♦r②✱ ❡✐t❤❡r C

∪ {m}

C

♦r C

C

❤♦❧❞s✳ ■♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s✱ ❢r♦♠ NS

= ∅ ✇❡ ❣❡t Π ∈ / NS

✱ ❤❡♥❝❡

Π ∈ UR

❛♥❞ ✜♥❛❧❧②✱ Π ∈ UR

✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s s❤♦✇♥ s✐♠✐❧❛r❧②✳ ✷

❊①❛♠♣❧❡ ✽ ❖♥ ❋✐❣✳ ✶✱ ❢♦r C

= 1m t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✭ NS

= ∅

❛♥❞ UR

= {Π

}✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r C

= 2m ✐t r❡s✉❧ts ✐♥ ❛ str✐❝t❧② ✇♦rs❡ s✐t✉❛t✐♦♥

❢♦r m✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛s NS

= {Π

} ❛♥❞ UR

= {Π

}✱ r

= 1/2 ❛♥❞ r

= 2/5✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ◆P✲❤❛r❞✿ ❣✐✈❡♥ ❛ ❣❛♠❡ G ✇✐t❤ ❛♥

❘■❘▲❈ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ❛ ♣❧❛②❡r m✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ C

✱ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❝♦♥✲

str✉❝t✐✈❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ♦♥ G ❢♦r m r❡❧❛t✐✈❡ t♦ C

✳

Pr♦♦❢ ❲❡ r❡❞✉❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❣❛♠❡ ✐♥ ❘■❘▲❈✱ s❛② G

✱ ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ◆❛s❤ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ❬✸❪✳

●✐✈❡♥ G

✱ ✇❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ❣❛♠❡ G ✇✐t❤ NS

= ∅✱ ❜✉t ✇✐t❤ UR

6= ∅ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

G

❤❛s ❛ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❋r♦♠ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡

♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐♥ G ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ G

❤❛s ❛ ◆❛s❤ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✳

❲r✐t❡ G

= hN

,

i ✇✐t❤ N

= {h

, . . . , h

} ✳ ❚❤❡ ❣❛♠❡ G ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢r♦♠ G

❜② ❛❞❥♦✐♥✐♥❣ t✇♦ ♥❡✇ ❛❣❡♥ts✱ h ❛♥❞ m✱ ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡

r❡❧❛t✐♦♥s✿ {h, m} ≻

{m} ✱ {h} ≻

C ❢♦r ❛❧❧ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s C 6= {h} ✱ ❛♥❞

❛s ❜✉✐❧t

❢r♦♠ (

)

✇✐t❤ ❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✷ ❛♥❞ ✸✳ ■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ h ✇❛♥ts t♦ ❜❡ ❛❧♦♥❡ ❛♥❞ m

✇❛♥ts t♦ ❥♦✐♥ h❀ ♦t❤❡r ❛❣❡♥ts ❛r❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t t♦ t❤❡♠✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❦❡❡♣ t❤❡✐r

♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❢r♦♠ G

✳ ❈❧❡❛r❧②✱ G ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ✐♥ t✐♠❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢

G

✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❧❡t C

❜❡ t❤❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ {h, m}✳ ◆♦ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π ✐s st❛❜❧❡ ✐♥ G✱

❜❡❝❛✉s❡ ✐❢ h ✐s ♥♦t ✐♥ t❤❡ s✐♥❣❧❡t♦♥ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ {h}✱ t❤❡♥ ✐t ✇❛♥ts t♦ ❝❤❛♥❣❡ t♦ ✐t✱

✇❤✐❧❡ ✐❢ ✐t ✐s ✐♥ {h}✱ t❤❡♥ m ✇❛♥ts t♦ ❥♦✐♥ ✐t✳ ◆♦✇ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ st❛❜❧❡

♣❛rt✐t✐♦♥ Π

✐♥ G

✱ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ Π = Π

∪{{h}, {m}} ❢♦r G✳ ❚❤❡♥

❝❧❡❛r❧② m ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ✉♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ Π✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐♥ Π t❤❡

❛ttr❛❝t✐✈❡ ❝♦❛❧✐t✐♦♥ ❢♦r m ✐s s❛t✐s❢❛❝t♦r② ❢♦r ✐t✳ ❍❡♥❝❡ Π ∈ UR

❤♦❧❞s✳ ❉✉❛❧❧②✱

✐❢ ❛❧❧ ♣❛rt✐t✐♦♥s Π

❢♦r G

❛r❡ ✉♥st❛❜❧❡✱ t❤❡♥ ❜❡❝❛✉s❡ h

, . . . , h

❛r❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t t♦ h, m✱ ❛❧❧ ♣❛rt✐t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ h, m ♠✉st ❛❧s♦ ❜❡ ✉♥st❛❜❧❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ G ❤❛s ♥♦

st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ UR

6= ∅ ❤♦❧❞s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ G

❤❛s ❛ st❛❜❧❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛s

❞❡s✐r❡❞✳ ✷

❖❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤✐s ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦❢ ❤♦♥❡st

❛❣❡♥ts✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✇❤❡t❤❡r ✐t ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡✱ ❜❡s✐❞❡ ❜❡✐♥❣ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✲

❛❧❧② ❤❛r❞✱ r❡q✉✐r❡s t♦ ❦♥♦✇ t❤❡♠✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ s✉❝❤ ❞❡❝✐s✐♦♥ ✐s ✐♥ s♦♠❡ s❡♥s❡

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✹✳✷ ❆ ❉❡str✉❝t✐✈❡ ❙②❜✐❧ ❆tt❛❝❦

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♦♥❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r② ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ st❛❜❧❡ ❜✉t ♥♦♥s❛t✐s❢❛❝t♦r② ♣❛rt✐t✐♦♥✳

❊①❛♠♣❧❡ ✶✵ ❖♥ ❋✐❣✳ ✶✱ t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ❢♦r C

= 2m ✭Π

✐s s❛t✐s❢❛❝t♦r②✱ Π

✐s ♥♦t✱ s♦ ♦♥❧② Π

[s → ∅] = {13, 2m, s} r❡♠❛✐♥s✮✱ ❜✉t ✐t ✐s ♥♦t

❢♦r C

= 3m ✭m ✐s ❛❧r❡❛❞② ❢✉❧❧② s❛t✐s✜❡❞ ✐♥ G✮ ♥♦r ❢♦r C

= 1m ✭r

r❡♠❛✐♥s 0✮✳

✶✵