Chapitre n° 3 : «Chapitre n° 3 : « Opérations sur les écrituresOpérations sur les écritures fractionnairesfractionnaires »»

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Chapitre n° 3 : «

Chapitre n° 3 : « Opérations sur les écritures Opérations sur les écritures fractionnaires

fractionnaires » »

I. Simplifications et signe d'un quotient

1/ Rappels

• La barre de fraction permet d'écrire les écritures fractionnaires ; elle symbolise le résultat d'une division. Par exemple : 5

2=2,5 ; 1 3 .

• 8

12,51 car le dénominateur est supérieur au numérateur. Par contre : 18,7 11,21 .

• On compare les écritures fractionnaires que lorsqu'ils ont le même dénominateur.

• Réduire au même dénominateur , c'est faire des transformations afin d'obtenir le même dénominateur.

A=1 31

6 A=1×2

3×21

6 « On réduit au même dénominateur » A=2

61

6 « On fait l'addition sur les numérateurs » A=3

6 Exemples

B=2 5 3

10 B=2×2

5×2 3 10 B= 4

10 3 10 B= 7

10

C=7 8–2

4 C=7

8–2×2 4×2 C=7

8–4 8 C=3

8

D= 1 14 –1

7 D= 1

14 –1×2 7×2 D= 1

14 – 2 14 D=1–2

14 D=–1

14

E=2 6–4

3 E=2

6–4×2 3×2 E=2

6–8 6 E=–6

6 E=–1

F= 2 15–1

3 F= 2

15–1×5 3×5 F= 2

15– 5 15 F=–3

15

Rappels : nombres relatifs 1/ 5–7=–2 2/ –5–8=–13 3/ 8–13=–5 4/ –129=–3 5/ 7,5–9,5=–2

6/ –1–2–3=–6 7/

8/

9/

10/

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• Simplifier une fraction : 11

33=11×1 11×3=1

3 (on obtient une fraction irréductible) 42

72= 6×7 6×12= 7

12

On rappelle que la simplification ne concerne que les fractions (numérateur et dénominateur entiers)

• Propriété fondamentale des écritures fractionnaires

On obtient des écritures fractionnaires égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

• Multiplication des écritures fractionnaires : A=7

5×15 14 A=7×3×5

5×2×7 A=3

2 Autres exemples

B=27 15×5

3 B=3×9×5

5×3×3 B=9

3 B=3

C=1 2×36

7 C=1×2×18

2×7 C=18

7

D=3 4×12

7 ×14 2 D=3×4×3×2×7

4×7×2 D=9

E=21 32×54

49 E=3×7×3×18

8×4×7×7 E=3×3×9×2

2×4×4×7 E= 81

112

F=42 25×45 F=6×7×9×5

5×5 F=42×9

5 F=378 5

2/ Règle des signes et simplifications

Propriété

On rappelle que le quotient de deux nombres de même signe est positif et que le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

Exemples –3

12=– 3

12=–3×1 3×4=– 1

4 (le signe – est devant la barre de fraction)

−4

–24= 2×2 2×2×3=1

3 –56

16=–8×7 8×2=–7

2 (on rappelle que –7

2=–3,5 )

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Règles de calcul

a et b représentent deux nombres différents de 0 . – a

– b=a b=a

b – a

b=a – b=– a

b

a

b=a b=a

b

II. Addition et soustraction

La méthode pour additionner et soustraire est la même qu'en cinquième :

• il faut transformer pour obtenir un même dénominateur, c'est à dire « réduire au même dénominateur » ;

• si on multiplie un dénominateur par un nombre, il faut automatiquement multiplier le numérateur par ce même nombre ;

• lorsqu'on a le même dénominateur, on fait l'opération sur les numérateurs ;

• on donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

La difficulté vient du fait que l'on va introduire des nombres négatifs dans les calculs.

Exemples A=–2

5 –5 10 A=–2×2

5×2 –5 10 A=–4

10 –5 10 A=–9

10 A=– 9

10

B= 5 11–15

22 B= 5×2

11×2–15 22 B=10

22–15 22 B=–5

22 B=– 5

22

C=14 2515

25 C=29

25

ou bien C=14

2515 25 C=29

25

D=1 7 –5 D=1

7–5 1 D=1

7–5×7 1×7 D=1

7–35 7 D=–34

7 D=–34

7

Réduire au même dénominateur dans le cas général On considère A= 1

15– 1

12 . On ne peut pas calculer car les dénominateurs sont différents. De plus, on ne peut pas obtenir 15 en multipliant 12 par un nombre entier.

Il va donc falloir agir sur les deux dénominateurs.

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Pour trouver le dénominateur commun, on écrit les multiples :

• 12, 24, 36, 48, 60, 72...

• 15, 30, 45, 60...

On a 60=12×5 et 60=15×4 . D'où les calculs suivants : A= 1

15– 1 12 A= 1×4

15×4– 1×5 12×5 A= 4

60– 5 60 A=–1

60 A=– 1

60

III. Multiplication

1/ Exemples à savoir refaire

A=−12

−14×−28 18 –12

–14 est positif, –28

18 est négatif, donc A est négatif.

A=–2×6×4×7 2×7×3×6 A=–4

3

B=24 –8×–7

55×–30 –14 B=2×12×7×5×2×3

2×4×5×11×2×7 B=4×3×3

4×11 B=9

11

2/ Règles de calcul

On considère quatre nombres non nuls : a, b, c et d. On a les égalités suivantes :

– a b ×– c

– d=– a×c b×d a

– b×– c

d =ac bd a

b× c

– d=– ac bd etc.

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IV. Quotient de fractions

1/ Activité

On cherche à calculer des expressions du genre 7 2 9 4

ou bien 5 4÷6

7 . Prenons un cas plus simple pour réfléchir...

1

2÷2 est égal à 1

4 car c'est la moitié d'une moitié. De même : 1

3÷2=1 6

On observe que l'on fait une multiplication. L'objectif est de trouver l'équivalent de 1 3÷2 sous la forme d'une multiplication de fractions.

1 3×1

2=1

6 donc 1

3÷2=1 3×1

2 De même :

4

5÷7=4 5×1

7= 4 35

Essayons de généraliser en calculant : 5

4÷6 7=5

4×7 6=35

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2/ Méthode

Propriété

a, b, c et d représentent quatre nombres non nuls.

a b÷c

d=a b×d

c=ad bc

Exemples A=–3

–5÷–21 15 A=–3

5×15 21 A=–3×5×3

5×3×7 A=–3

7

B=

–5 36 –55

18 B= 5

36×18 55 B= 5×18

18×2×5×11 B= 1

22

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V. Conduire un calcul

1/ Rappels

Dans une expression comportant des opérations et des parenthèses, on fait en priorité :

• les calculs entre parenthèses,

• les multiplications et les divisions,

• les additions et les soustractions.

2/ Exemples à savoir refaire

A=2 3×−7

5−9 5 A=–14

15 –9 5 A=–14

15 –9×3 5×3 A=–14

15 –27 15 A=–41

15

C= 3

15×



²⁰⁴ ^–¹⁴



C= 3

15×



¹⁹⁴



C= 3×19 3×5×4 C=19

20

B= 7 15− 1

15×10 7 B= 7

15–1×5×2 3×5×7 B= 7

15– 2 21

Les multiples de 15 sont : 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120...

Les multiples de 21 sont : 42, 63, 84, 105...

B= 7×7

15×7– 2×5 21×5 B= 49

105– 10 105 B= 39

105

D=5

4–



Rappels

Dans certains cas, on peut simplifier des expressions en supprimant le symbole ×.

• 5×x=5x ; x×y=xy ; 2×x8=2x8 se dit « 2 facteur de x plus 8 ».

On peut aussi supprimer le symbole  en début de ligne.

• 5–2x=5–2x ; 1 2×5

7=1 2×5

7 .

Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier avec lui-même.

• 3²=9 ; –5²=–5×–5=25=25 ; 7²=49 ; 5²=25

•



⁴⁵



²⁼⁴⁵^×⁴⁵⁼¹⁶^{25 ;}



^– ⁵⁷



²^=²⁵⁴⁹⁼²⁵⁴⁹

Exemple

^×⁷¹

A=15 2 ×7

1 A=105

2

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