(1)Lois usuelles discr`etes • Loi de Bernoulli de param`etre p, 0≤p≤1

Lois usuelles discr`etes

• Loi de Bernoulli de param`etre p, 0≤p≤1.

A valeurs dans{0,1}.

P(X= 1) =p,P(X= 0) = 1−p.

E[X] =p , Var(X) =p(1−p).

• Loi Binomiale de param`etresn≥1 etp, 0≤p≤1.

A valeurs dans{0,1, . . . , n}.

P(X=k) = ⁿ_k

p^k(1−p)^n−k,0≤k≤n.

E[X] =np , Var(X) =np(1−p).

La loi binomiale compte le nombre de succ`es denexp´eriences ind´ependantes de Bernoulli de mˆeme param`etre p: X = Pn

i=1Xi avec X1, . . . Xn

ind´ependantes de loi de Bernoulli de mˆeme param`etrep.

• Loi G´eom´etrique de param`etre p, 0≤p≤1.

A valeurs dansN^∗={1,2,3. . .}.

P(X=k) = (1−p)^k−1p, k≥1.

E[X] = ¹_p , Var(X) = ^1−p_p2 . Elle mod´elise le premier instant de succ`es pour une suite d’exp´eriences ind´ependantes de Bernoulli de mˆeme param`etre p.

Elle v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire: P(X > n+k|X > k) = P(X > n), k, n≥0.

• Loi de Poisson de param`etreλ,λ >0.

A valeurs dansN={0,1,2,3. . .}.

P(X=k) =e^{−λ λ}_k!^k, k≥0.

E[X] =λ, Var(X) =λ.

La somme de variables al´eatoires de Poisson ind´ependantes de param`etres λetµest une loi de Poisson de param`etre λ+µ.

Lois usuelles continues

• Loi uniforme sur [a, b] . A valeurs dans [a, b].

densit´e: f(x) = _b−a¹ 1_[a,b](x).

E[X] = ^a+b₂ , Var(X) = ^(b−a)₁₂ ².

• Loi exponentielle de param`etre λ >0.

A valeurs dans [0,∞[.

densit´e: f(x) =λe^−λx1_[0,∞[(x).

E[X] = _λ¹ , Var(X) = _λ¹2.

Elle v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire: P(X > t+s|X > s) = P(X > s), t, s >0.

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Le minimum de 2 lois exponentielles ind´ependantes de param`etres λ etµest encore une loi exponentielle de param`etre λ+µ.

La loi exponentielle de param`etre λest en fait une loi Γ(1, λ).

La somme denlois exponentielles ind´ependantes de meme param`etre λest une loi Gamma de param`etres Γ(n, λ).

• Loi Gamma de param`etres λ >0 et k >0.

A valeurs dans [0,∞[.

densit´e: f(x) = _Γ(k)^λk e^−λxx^k−11[0,∞[(x) E[X] = ^k_λ , Var(X) = _λ^k2.

• Loi de Laplace (ou double exponentielle) de param`etreλ >0.

A valeurs dansR. densit´e: f(x) = ^λ₂e^−λ|x|. E[X] = 0 , Var(X) = _λ¹2.

Fonction caract´eristique : _x2^λ+λ^{2 2} (voir loi de Cauchy).

• Loi de Cauchy de param`etre c >0.

A valeurs dansR. densit´e: f(x) = _x2+c^{c 2}.

La somme de 2 lois de Cauchy est encore une loi de Cauchy. le param`etre est la somme des param`etres.

SiX, Y N(0,1), ind´ependantes, ^X_Y est de loiC(1).

Fonction caract´eristique : e^−c|t| (voir loi de Laplace).

• Loi gaussienne de param`etresm∈R,σ² >0.

A valeurs dansR. densit´e: f(x) = ^e

−(x−m)2 2σ2

√ 2πσ . E[X] =m , Var(X) =σ².

SiX suit la loi N(0,1) alors (aX+b) suit la loiN(b, a²).

SiX suit la loi N(m, σ²) alors ^X−m_σ suit la loi N(0,1).

SiX∼ N(mX, σ²_X) etY ∼ N(mY, σ_Y²) et siXetY sont ind´ependantes alorsX+Y suit encore une loi normale N(mX +mY, σ_X² +σ²_Y).

Fonction caract´eristiqueN(0,1) : e^−t

2 2 . Fonction caract´eristiqueN(m, σ²) : e^imte^−σ

2t2

2 .

2