FONCTIONS DE DEUX VARIABLES REELLES (ou plus)

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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES REELLES

(ou plus)

PLAN

1 INTRODUCTION 2

2 CONTINUITE (NON EXIGIBLE) 2

3 DERIVATION : DERIVEES PARTIELLES 3

3.1 DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 3

3.2 DIFFERENTIELLE 3

3.3 DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE (FONCTIONS DE DEUX VARIABLES) 5

4 EXTREMA LOCAUX (FONCTIONS DE DEUX VARIABLES) 5

(2)

1 Introduction

Une application f de ℝ^p dans ℝ est une fonction numérique (ou fonction réelle) des p variables x1, x2, …, xp (coordonnées d’un point M de ℝ^p) renvoyant un réel :

( )

^M

(

¹^, ²^,... ^p

)

f = f x x x

Exemples :

( )

^{x y}^, ^֏^f ^z⁼ ^{f x y}

( )

^, ⁼ ^{x y}

(

²⁺¹

) ⁽

^{x y z}^{, ,}

⁾

^֏^g ^u⁼^{g x y z}

⁽

^{, ,}

⁾

⁼^ln

(

¹^{− −}^x² ^y²⁻^z²

)

(

^{x y z}^{, ,}

)

֏^h ^w=^{h x y z}

(

^{, ,}

)

= ^x²+^y²+^z²

2 Continuité (non exigible)

On dit que la fonction f définie sur un voisinage du point A de ℝ^p est continue en A si f (M) tend vers f (A) lorsque M tend vers A. (à la différence des fonctions d’une variable, M peut cette fois emprunter une infinité de chemins pour tendre vers A !)

Soit d(A, M) une distance entre les points A et M.

f est continue au point A si à tout nombre positif ε on sait faire correspondre un nombre positif α tels que : ^d

(

^{A M}^,

)

^<^α^⇒ ^f

( ) ( )

^M ⁻^f ^A ^<^ε

Attention : une fonction continue par rapport à chacune des variables n’est pas nécessairement

continue ! (c’est le problème des chemins de M…) Considérons par exemple la fonction de deux variables suivante :

( )

^{x y}^, ֏ ^{f x y}

( )

^, ⁼ _x2^xy₊ _y2 si

( ) ( )

^{x y}^, ^≠ 0 0^, ^; ^f

( )

0 0^, ⁼0 Nous avons :

( )

^, 2

0 0 0

f x = x = pour x ≠ 0 et ^f

( )

^{0 0}^, ⁼⁰. D’où la continuité en 0 de cette expression nulle.

( )

^, 2

0 0 0

f y

= y = pour y ≠ 0 et ^f

( )

^{0 0}^, ⁼⁰. D’où la continuité en 0 de cette expression nulle.

Par contre pour tout x ≠ 0 nous avons

( )

^, ¹

f x x =2, expression qui ne se prolonge pas à 0 par continuité en (0, 0).

Cet exemple montre bien qu’on ne peut pas étudier les formes indéterminées des fonctions de plusieurs variables comme celles des fonctions d’une seule variable. La limite d’une forme indéterminée peut dépendre du chemin parcouru par le point M lorsque la distance entre A et M étudiée tend vers 0 ! Cela ne permet pas non plus de définir « en bloc » une fonction dérivée d’une fonction d’au moins deux variables. On définit ce qu’on appelle sa différentiabilité, hors programme ici, et nous nous

contenterons de travailler sur une notion moins riche mais permettant de résoudre des cas de figure précis : celle de dérivée partielle sur chaque variable.

(3)

3 Dérivation : dérivées partielles

3.1 Dérivées partielles du premier ordre

Intéressons-nous au point ^A

(

a a¹^, ²^,...,an

)

. et une variation de sa coordonnée n°k, xk, seulement.

Soit la fonction fx_k ^:xk ֏ f a a

(

1^, 2^,...,xk^,...,an

)

de la seule variable xk.

Si fxk admet une dérivée pour la valeur akde sa variable, on note : xk

( )

k

( )

^A

k

f a f x

′ = ∂

∂

obtenue en dérivant la fonction f par rapport à cette variable, en considérant toutes les autres variables comme des constantes.

3.2 Différentielle

Si la fonction f admet des dérivées partielles pour chacune de ses variables à la coordonnée correspondante du point A, on appelle différentielle de f en A la forme :

.

₁

.

₂

... .

1 2

d d d d

_n

n

f f f

f x x x

x x x

∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂

(variation infinitésimale de la fonction, provoquée par des variations infinitésimales de ses variables) En sciences et techniques de l’ingénieur, ceci permettra de calculer la variation d’une fonction au voisinage d’un point d’équilibre. On trouvera cette notion appliquée notamment en métrologie.

Exemple graphique de la différentielle d’une fonction de deux variables :

Soit la fonction f : ^{f x y}

( )

^, ⁼^x²⁻^y²⁻^xy^{+ +}^y ¹. Graphiquement, sur [-2 ; 2] × [-2 ; 2] :

x y

-1

1 2

0

-2

0 -2

A

0,4

2

•

(4)

1) Choisissons x = –1 et demandons-nous quelles sont ici les variations de f en fonction de y seul :

(

^,

)

f −1 y = −1 y²+ + + = − +y y 1 y² 2y+2 , expression du second degré, de premier coefficient négatif. Cette expression admet donc un maximum en b

y a

− −

= = =

− 2 1

2 2 (point vert et sa tangente horizontale, sur le graphique page précédente). Ce maximum vaut ^f

(

⁻^{1 1}^,

)

^{= − + + =}^{1 2 2} ^{3 .}

2) Les dérivées partielles de f sont :

f f

x y y x

x y

∂ = − ∂ = − − +

∂ 2 ; ∂ 2 1

3) Intéressons-nous au couple (x, y) = (–1 , 0,4) donnant le point A sur la surface représentative.

Le point A a pour coordonnées (–1 , 0,4 , 2,64) puisque f (–1 , 0,4) = 2,64.

Exprimer la différentielle de la fonction en ce point.

( ) ( )

f f

x y

∂ = − − = − ∂ = − × + + =

∂ A 2 0,4 2,4 ; ∂ A 2 0,4 1 1 1,2

et la différentielle de f en ce point est : ^d^f

( )

^A ^{= −}^{2,4 d}^. ^x⁺^{1,2 d}^. ^y

Cette différentielle exprime dans des études concrètes les contributions d’une petite variation de x et d’une petite variation de y à la petite variation de f qui en découlera. Les contributions infinitésimales s’additionnent et peuvent être étudiées indépendamment l’une de l’autre.

Attention : une différentielle exprime la variation infinitésimale d’une grandeur causée par des variations infinitésimales de ses variables. Sinon, ce calcul ne donne qu’une approximation de la variation effective de la fonction f. Concrètement, plus les variations des variables sont faibles par rapport à la « courbure » de la fonction (sensibilité du taux de variation à la modification des valeurs des variables), meilleure sera cette approximation.

4) Continuons avec notre exemple : x vaut –1 et y vaut 0,4.

a. Si x augmente de 0,02 (2% de variation) et y diminue de 0,01 (2,5% de variation), alors on peut estimer de manière assez fiable la nouvelle valeur de f :

f variera de –2,4dx + 1,2dy = –2,4×0,02 + 1,2×(–0,01) = –0,06 (donc une diminution).

Le calcul exact montre que f (–1 , 0,4) = 2,64 et que f (–0,98 , 0,39) = 2,5805 soit une diminution réelle de 0,0595 assez proche de 0,06 (faible pourcentage d’erreur)

b. Si par contre x augmente de 0,5 (50% de variation) et y diminue de 0,1 (25% de variation), on ne peut faire confiance à l’expression de df pour estimer la variation de valeur.

f variera de –2,4dx + 1,2dy = –2,4×0,5 + 1,2×(–0,1) = –2,4 selon la formule de la différentielle.

Le calcul exact montre par contre que f (–1 , 0,4) = 2,64 et que f (–0,5 , 0,3) = 1,61 soit une diminution réelle de 1,03 très éloignée de 2,4 (fort pourcentage d’erreur)

(5)

3.3 Dérivées partielles du second ordre (fonctions de deux variables)

Une telle fonction peut très bien se dériver plus d’une fois.

Par exemple, pour une fonction f de deux variables x et y :

Ses deux dérivées partielles « premières » sont _x f et _y f

f f

x y

∂ ∂

′= ′=

∂ ∂

et ses quatre dérivées partielles secondes sont :

x y

f f

x y

∂ ∂

′′ = ′′ =

∂ ∂

2 2

2 , 2 ,

2 xy

f

f f x

y x y

∂

 

∂∂  ∂

′′ = =

∂ ∂ ∂ et

2 yx

f

y f

f x y x

∂ 

∂∂  ∂

′′ = =

∂ ∂ ∂

Théorème de Schwarz : sous réserve de continuité C²,

2 2

f f

x y y x

∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

Notations de Monge : _x ; _y ; 2 ; _xy ; 2

x y

p= f′ q= f′ r= f′′ s= f′′ t= f′′

4 Extrema locaux (fonctions de deux variables)

Définition : Soit f de classe C² sur un ouvert O de ℝ² et (a, b) ∈O. tel que en ce point p = q = 0.

Alors le point (a, b) est dit stationnaire.

Théorème : Soit f de classe C² sur un ouvert O de ℝ² et (a, b) un point stationnaire de f.

Si, en ce point, rt − s² > 0 , alors f y admet un extremum relatif.

La fonction admet un maximum si r < 0 (et donc t < 0) et un minimum si r > 0 (et donc t > 0) Si, en ce point, rt − s² < 0 , alors f n’y admet pas d’extremum relatif.

Il s’agit d’un « point col » (ou « point selle »)

Si, en ce point, rt − s² = 0 , alors la présence d’un extremum est indéterminée (il faudrait analyser les dérivées d’ordres supérieurs à 2 pour trancher entre un sommet ou un col).

5) Reprenons la fonction d’expression ^{f x y}

( )

^, ⁼^x²⁻^y²⁻^xy^{+ +}^y ¹ pour déterminer les coordonnées a et b du/des point(s) où p = q = 0, puis calculer rt − s² en ce(s) point(s), et conclure.

( )

. /

/

0 2 2 5

2 ; 2 1

2 2 1 0

0 1 5

x y

p y

f f

p x y q y x

x x

q x

x y

=  = =

 

∂ ∂

= = − = = − − +  ⇔ ⇔

− − + =

= =

∂ ∂   

La fonction f admet un unique point stationnaire : (1/5 , 2/5).

Dérivées secondes : p 2 ; q 2 ; q p 1.

r t s

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂

= = = = − = = = −

∂ ∂ ∂ ∂ (ces quantités sont des

constantes, ce qui est un cas particulier).

Au point (1/5 , 2/5) – comme en tout autre, rt− = −s² 5. Il s’agit d’un point col.

(6)

Autre exemple : Donner le minimum de la fonction f d’expression ^{f x y}

( )

^, ⁼^{xy x}

(

^{+ −}^y ¹

)

( )

^, ² ²

f x y =x y+xy −xy

.

/ /

2 2 0 0 ou 2 1 0

2 ; 2

0 0 ou 2 1 0

0 0 1 2 1 0 1 3

ou ou ou

0 1 0 2 1 0 1 3

p y x y

f f

p xy y y q yx x x

q x y x

x y

y y y x y y

x x x y x x

= = + − =

 

∂ ∂

= = + − = = + −  ⇔

= = + − =

∂ ∂  

= = = + − = =

    

⇔    ⇔

= = = + − = =

    

La fonction f admet quatre points stationnaires.

Dérivées secondes : p 2 ; q 2 ; q p 2 2 1.

r y t x s x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂

= = = = = = = + −

∂ ∂ ∂ ∂

Au point (0 , 0), rt− = −s² 1. Il s’agit d’un point col.

Au point (1/3 , 1/3),

2

2 1 1 1 1

2 2

3 3 3 3

rt s  

− = × × × −  =

  , positif. Ce point est un sommet, et comme r et t sont positifs, la fonction f admet un minimum en ce point.

Ce minimum vaut ,

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 27

f      −

= × + × − × =

     

     