Chapitre 25 : fonctions à deux variables

BCPST Fonctions de deux variables

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES I – Régularité et représentations graphiques

Définition 1 :

On appellepavé ouvertdu plan toute partie deR²de la formeI×J, oùIetJ désignent des intervalles ouverts deR²(de la forme ]a,b[, ]a,+ ∞[, ]− ∞,a[ ouR).

On s’intéresse à une fonction f à deux variables, définie sur un pavé ouvert du plan. On cherche à préciser des propriétés de régularité (continuité, dérivabilité partielle, classe Cⁿ,...) de cette fonction, à l’image de ce qui a été fait pour les fonctions à une variable. La notion de continuité est un peu délicate à définir, car elle repose sur la notion de limite d’une fonction à deux variables. On se contente de la définition suivante, et de quelques explications graphiques :

Définition 2 :

Soitf une fonction définie sur un pavé ouvertP⊂R².

On dit que f est continuesurP si pour tout (x0,y0)∈P, on a lim

(x,y)→(x₀,y₀)f(x,y)=f(x0,y0). On note C⁰(P) l’ensemble des fonctions continues sur le pavé ouvertP.

Remarque : Remarquons d’emblée que cette définition est bien jolie (elle est d’ailleurs en tout point identique aux fonctions d’une seule variable), mais inutilisable tant que l’on n’a pas précisé ce que l’on entend par limite dans R². Ce que l’on ne fera pas de manière excessivement rigoureuse, on se contentera d’une approche graphique pour constater que le problème n’est pas simple.

Exemple 1 :

1^o) f(x,y)=x^yen (0,0).

2^o) f(x,y)=g(x)h(y) en (x0,y0)∈Pavecgethcontinues sur des intervallesI etJcontenant respectivementx0

ety0.

Tout ce qui concerne les dérivées partielles a déjà été vu précédemment. Complétons par la notion de classe C¹:

Définition 3 :

Soitf une fonction définie sur un pavé ouvertP⊂R^2.

On dit quef est declasse C¹surP sif admet des dérivées partielles surPet si ces dérivées partielles sont continues surP.

Remarque : La définition reposant à nouveau sur la notion de continuité, on n’embêtera personne dans la pra- tique pour prouver qu’une fonction est de classe C¹, les fonctions étudiées seront simples ou les résultats admis.

La représentation graphique d’une fonction de deux variables nécessite trois coordonnées, deux pour les an- técédents, une pour les images : il faut donc se placer dansR³, et on obtient une surface :

Définition 4 :

Lasurface représentatived’une fonction de deux variablesf définie sur un pavé ouvertPest la surface de l’espace définie comme l’ensemble des pointsM¡

x,y,f(x,y)¢

où (x,y) parcourtP.

Exemple 2 : f(x,y)=x²+y² 2 .

II – Dérivation d’ordre 1

Signalons à nouveau que la définition et le calcul des dérivées partielles a déjà été abordé plus tôt dans l’année.

Ces dérivées partielles conduisent à la notion de différentiabilité, qui n’est pas au programme, mais dont une application pratique doit être évoquée : l’approximation d’une fonction de deux variables au voisinage d’un point.

Pour les fonctions d’une seule variable, ceci découle de la dérivation, voire des développements limités : si f est dérivable sur un intervalleIcontenantx0, alors f(x0+h)=f(x0)+h f⁰(x0)+o0(h). On peut donc raisonnable- ment approcherf(x0+h) parf(x0)+h f⁰(x0) sihest « petit » (cela revient d’ailleurs à approcher la courbe par sa tangente).

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BCPST Fonctions de deux variables

x y

z

z= x²+y² 2

FIG. 1 –Surface représentative de la fonction f définie par f(x,y)=x²+y² 2 .

Pour une fonction à deux variables, il s’agit maintenant de déterminer une approximation def(x0+h,y0+k) pour (h,k) « petit ». En considérant la deuxième variable comme fixée, on peut écriref(x0+h,y0+k)=f(x0,y0+ k)+h∂f

∂x(x₀,y₀+k)+hε1(h,k) avec lim

h→0ε1(h,k)=0 pour toutk. Or, la première variable étant fixée,f(x₀,y₀+k)= f(x0,y0)+k∂f

∂y(x0,y0)+kε2(k) avec lim

k→0ε2(k)=0. On obtient donc : f(x0+h,y0+k)= f(x0,y0)+k∂f

∂y(x0,y0)+ h∂f

∂x(x₀,y₀+k)+hε1(h,k)+kε2(k). Si l’on suppose que f est de classeC¹, la fonctionk 7−→ ∂f

∂x(x₀,y₀+k) est continue, donc ∂f

∂x(x0,y0+k)=∂f

∂x(x0,y0)+ε3(k) avec lim

k→0ε3(k)=0. Cela conduit finalement à f(x0+h,y0+k)= f(x0,y0)+h∂f

∂x(x0,y0)+k∂f

∂y(x0,y0)+hε1(h,k)+kε2(k)+hε3(k). Il est ensuite impossible de conclure de manière rigoureuse, faute d’avoir des définitions complètes de la négligeabilité dansR², mais on conçoit tout de même aisément que le « reste » obtenu est « négligeable » par rapport à (h,k), ce qui conduit au résultat suivant :

Propriété 1 :

Soit f une fonction de classe C¹sur un pavé ouvert P deR²contenant(x0,y0).

Une approximation de f(x0 + h,y0 + k) pour (h,k) petit est donnée par f(x0,y0)+h∂f

∂x(x0,y0)+k∂f

∂y(x0,y0).

Remarque : On retient donc que si l’on effectue une petite variation (h,k) autour de (x0,y0) pour une fonction de classe C¹, la fonction varie environ deh∂f

∂x(x₀,y₀)+k∂f

∂y(x₀,y₀). Ce qui était la meilleure approximation affine pour une fonction d’une seule variable devient la meilleure approximation par une application linéaire pour une fonction de deux variables... Et cela revient cette fois à remplacer la surface par son plan tangent en (x0,y0).

Poursuivons avec la dérivée de fonctions composées : Propriété 2 :

Soit f une fonction de classe C¹sur un pavé ouvert P deR², et x et y deux fonctions dérivables sur un intervalle I deRet telles que∀t∈I ,¡

x(t),y(t)¢

∈P . Alors la fonction t 7−→ f¡

x(t),y(t)¢

est définie et dérivable sur I , et ∀t ∈ I ,

³f¡

x(t),y(t)¢´0

=∂f

∂x

¡x(t),y(t)¢

x⁰(t)+∂f

∂y

¡x(t),y(t)¢ y⁰(t).

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BCPST Fonctions de deux variables Démonstration : Admis.

Exemple 3 : Soitf ∈C⁰(R). On définitgsurR^2parg(x,y)= Z y

0

(x−t)f(t) dt.

1^o) Montrer quegadmet des dérivées partielles, et les calculer.

2^o) On définitFen posantF(t)=g(t,t). Déterminer la dérivée deF. Cette dérivée peut être réécrite à l’aide de la notion de gradient : Définition 5 :

Soitf une fonction de classe C¹sur un pavé ouvertPdeR^{2, et (x}0,y0)∈P.

On appelle gradient de f en (x0,y0) le vecteur de R^{2 défini par :} gradf(x0,y0)=

µ∂f

∂x

¡x0,y0¢ ,∂f

∂y

¡x0,y0¢

¶ . Remarque :

– On a donc, dans les conditions de la propriété précédente, ³ f¡

x(t),y(t)¢´0

=−−−→

grad(f)¡

x(t),y(t)¢

·¡

x⁰(t) ,y⁰(t)¢ . – De plus, en revenant au problème d’approximation précédent, si la variable s’écarte d’une petite variation

−

→u =(h,k) autour de (x0,y0) et sif est de classe C¹, alorsf s’écarte de (x0,y0) d’environ−−−→

grad(f)¡ x0,y0¢

· −→u. Enfin, à l’image de ce qui a été vu pour les fonctions d’une variable, la dérivation permet de faciliter les re- cherches d’extremum :

Propriété 3 :

Soit f une fonction définie sur un pavé ouvert P deR²contenant(x0,y0)et admettant des dérivées par- tielles sur P .

Si f admet un extremum en(x0,y0), alors ∂f

∂x(x0,y0)=∂f

∂y(x0,y0)=0.

Démonstration : Il suffit de fixer l’une des deux variables, et de répéter cela deux fois.

Remarque :

– Comme pour les fonctions à une variable, la propriété ne fournit qu’une condition nécessaire, qui n’est pas forcément suffisante.

– On en déduit qu’en un extremum, avec les conditions de la propriété, le gradient est nul.

Exemple 4 : f(x,y)=x²+y²−3x+2ysurR^2.

Application : retour sur la méthode des moindres carrés.

Rappelons le contexte : on dispose d’une série statistique double notée (xi,yi)1≤i≤n, d’effectif totaln.xet y sont les moyennes respectives, etsx etsy les écart-types respectifs (on supposesx6=0). On cherche à déterminer la droite la plus proche du nuage de points, c’est-à-dire celle qui minimise les carrés des écarts entre les points du nuage et la droite. On noteNi(xi,axi+b) les points de la droiteDcherchée, d’équationy=ax+b: il s’agit donc de minimiser 1

n

n

X

i=1

MiN_i². Cela revient à trouver les réelsaetbminimisant la quantitéf(a,b)= 1 n

n

X

i=1

¡yi−(axi+b)¢2

. Cette fonction admet clairement des dérivées partielles surR, les dérivées en (a,b) s’écrivant :

∂f

∂a(a,b)=1 n

n

X

i=1

h

−2xi¡

yi−(axi+b)¢i et∂f

∂b(a,b)=1 n

n

X

i=1

h

−¡

yi−(axi+b)¢i

. Le gradient s’annule en (a,b) ssi :









 a1

n

n

X

i=1

x²_i+b1 n

n

X

i=1

xi= 1 n

n

X

i=1

xiyi

a1 n

n

X

i=1

xi +b = 1 n

n

X

i=1

yi

⇐⇒

½ a(s²_x+x²)+bx=sx y+x y

ax +b =y

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BCPST Fonctions de deux variables Le déterminant de ce système vaut∆=(s²_x+x²)−x²=s²_x6=0 donc le système admet une solution unique s’écrivant :





















 a=

¯

¯

¯

¯

sx y+x y x

y 1

¯

¯

¯

¯

s²_x =s_{x y}+x y−x y s²_x =s_{x y}

s²_x

b=

¯

¯

¯

¯

s²_x+x² sx y+x y

x y

¯

¯

¯

¯

s²_x =s²_xy+x²y−s_{x y}x−x²y

s²_x =y−s_{x y}x

s²_x =y−ax On retrouve ainsi le résultat du chapitre de statistiques.

III – Dérivation d’ordre 2

Les dérivées partielles d’une fonction de deux variables étant elles-mêmes des fonctions de deux variables, rien n’empêche (sauf la profonde lassitude...) de les dériver, ce qui permet de définir des dérivées d’ordre 2 :

Définition 6 :

Soit f une fonction définie sur un pavé ouvertP deR²contenant (x0,y0) et admettant des dérivées partielles surP.

Si ∂f

∂x et ∂f

∂y admettent des dérivées partielles en (x0,y0), on dit que f admet desdérivées partielles d’ordre deuxen (x0,y0), et on les note :

∂²f

∂x²(x0,y0)= ∂

∂x µ∂f

∂x

¶

(x0,y0) , ∂²f

∂y∂x(x0,y0)= ∂

∂y µ∂f

∂x

¶

(x0,y0) , ∂²f

∂x∂y(x0,y0)= ∂

∂x µ∂f

∂y

¶

(x0,y0) et

∂²f

∂y²(x0,y0)= ∂

∂y µ∂f

∂y

¶

(x0,y0) .

Exemple 5 : f(x,y)=y+cos(x²y).

Théorème 1 :

(théorème de Schwarz)

Soit f une fonction définie sur un pavé ouvert P deR^2contenant(x0,y0), admettant des dérivées par- tielles d’ordre deux sur P , et telles que ces dérivées partielles d’ordre 2 soient continues en(x0,y0).

Alors ∂²f

∂y∂x(x0,y0)= ∂²f

∂x∂y(x0,y0).

Démonstration : Admis.

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