Universit´e Pierre & Marie Curie Module 2M256 Ann´ee 2016-2017 Analyse vectorielle, int´egrales multiples
Contrˆ ole continu 1 : corrig´ e
Exercice 1.—Calculer la diff´erentielle de Leibniz des expressions suivantes : a) Donner la diff´erentielle de la fonction arctan.
b) En d´eduire la diff´erentielle de arctan(√
x+ 1) ; c) Calculer la diff´erentielle dex e−x2.
Corrig´e. a) La diff´erentielle de la fonction arctan est 1+x1 2dx.
b) D’apr`es la formule de diff´erentiation des fonctions compos´ees on a :
d(arctan(√
x+ 1)) = arctan0(√
x+ 1)d(√
x+ 1) = 1
1 + (√ x+ 1)2
dx 2√
x+ 1 = dx 2(x+ 2)√
x+ 1. c) La formule du produit donne,d(x e−x2) =e−x2dx+x d(e−x2). Or par la formule de composition :
d(e−x2) =e−x2d(−x2) =−2x e−x2dx. On obtient donc : d(x e−x2) = (1−2x2)e−x2dx.
Exercice 2.—Repr´esenter graphiquement le domaine suivant, puis calculer son aire : {(x, y)|0≤x≤1 et −x≤y≤√
x}.
Corrig´e. Repr´esentation graphique :
L’aire de ce domaine est donn´ee par le calcul suivant : Z 1
0
√xdx+ Z 1
0
xdx=h
2 3x3/2i1
0+1
2x21 0= 2
3 +1 2 = 7
6.
1
Exercice 3.—
a) Calculer les primitives de la forme diff´erentielle sin ln(x)
x dx.
b) CalculerRe
1 4xln(x)dx.
c) CalculerR2 0
x2
√
x3+1dx.
Corrig´e. a) D’apr`es la formule de composition, sin ln(x)
x dx= sin(ln(x))d(ln(x)) =−cos0(ln(x))d(ln(x)) =d(−cos(ln(x))).
Les primitives recherch´ees sont donc les fonctions de la forme−cos(ln) +C, avec C ∈R. b) On fait une int´egration par partie (on d´erive ln(x) et on int`egre 4x). On obtient apr`es simpli-
fication :
Z e
1
4xln(x)dx=
2x2ln(x)e 1−
Z e
1
2x dx=e2+ 1.
c) On fait le changement de variable consistant `a poseru =x3, ce qui donne du= 3x2dx. On a alors :
Z 2
0
x2
√x3+ 1dx= 1 3
Z 8
0
√du
u+ 1 = 1 3
2√ u+ 18
0= 4 3.
2
