2M270 UPMC 2015–2016 Feuille 1
Contrˆ ole Continu du 24 novembre 2015
Exercice 1. Soitφ:R4→R4l’endomorphisme de R4 donn´e par la matrice
A=
2 1 0 1
4 6 −8 4 4 5 −6 5
0 0 0 2
dans la base canonique.
1. D´eterminer le polynˆome caract´eristique deA, ses valeurs propres et leur multiplicit´e alg´ebrique.
2. La matriceAest-elle trigonalisable ? Justifiez votre r´eponse.
3. D´eterminer les espaces propres de A, leur dimensions et en donner une base.
4. La matriceAest-elle diagonalisable ? Justifiez votre r´eponse.
5. Existe-ilv ∈R4 tel queφ(v)6= 0 mais φ(φ(v)) = 0? (Indication : pensez `a calculer le noyau de A2) Si oui, calculerφ(v).
6. D´eterminer une baseBdeR4 telle que la matrice deφdans la baseBsoit
α 1 0 0
0 α 0 0 0 0 β 0 0 0 0 β
avecα, β∈R.
Exercice 2. On consid`ere la permutation suivante :
σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 8 6 4 7 5 2
1. D´eterminer la d´ecomposition en cycles et la signature de σ.
2. Quel est le plus petit entiern>1tel que σn= id?
3. Expliciter l’inverseτ deσ, c’est-`a-dire la permutationτ telle queτ◦σ= id.
4. D´eterminer la d´ecomposition en cycles et la signature de τ.
Exercice 3. Pour toutn∈N∗, soit
An =
3 2 0 · · · 0
1 3 2 . .. ... 0 1 . .. . .. 0 ... . .. . .. . .. 2
0 · · · 0 1 3
∈Mn(R),
i.e. les coefficients diagonaux valent3, ceux juste en-dessous valent1, ceux juste au-dessus valent 2, et tous les autres sont nuls. On poseDn = d´et(An).
1. En d´eveloppant par rapport `a la premi`ere colonne, montrer queDn=bDn−1+cDn−2, pour deux entiers b, c∈Zque l’on d´eterminera.
On consid`ere l’espace vectorielE form´e par les suites u= (ui)i∈Nv´erifiantui=bui−1+cui−2pour touti>2, E={u= (ui)i∈N:ui =bui−1+cui−2 pour touti>2}.
On rappelle queEest un espace vectoriel de dimension2(sans besoin de le montrer).
2. Trouverλ, µ∈Rtels que les suites g´eom´etriquesu= (λi)etv= (µi)appartiennent `a E.
3. En utilisant queEest de dimension2, justifier pourquoiu,v forment une base deE.
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4. En utilisant les valeursD1= 3etD2= 7en d´eduire, en r´esolvant un syst`eme lin´eaire, une formule exacte donnant la valeur deDn pour toutn∈N∗.
5. CalculerD8 etD9.
Exercice 4. Soientn>1un nombre entier et e1, . . . , en la base canonique deCn.
Pour toute permutationσ∈Sn on consid`ere l’application lin´eaireφσ: Cn →Cn d´efinie par φσ(ei) =eσ(i) pour touti= 1, . . . , n.
1. Montrer que pour toutσ, τ ∈Sn on aφσ◦φτ =φσ◦τ. On consid`ere la permutation
σ=
1 2 3 4 · · · n−1 n
2 3 4 5 · · · n 1
.
2. ´Ecrire la matriceJ de l’application φσ (dans la base canonique). Montrer sans calculs queJn= id.
3. Soientk∈ {0, . . . , n−1} etωk=e2knπio`ui∈Cest une racine carr´ee de −1. Montrer que le vecteur
vk=
n
X
i=1
ωki−1ei
est un vecteur propre pourJ et d´eterminer la valeur propre correspondante.
(Indication : on remarqueraωnk =e2kπi= 1.)
On rappelle la formule pour le d´eterminant de Vandermonde (qu’on utilisera sans besoin de la montrer) : si a1, . . . , an sont des nombres complexes, on a
(?) d´et
1 1 · · · 1
a1 a2 · · · an a21 a22 · · · a2n ... ... ... an−11 an−12 · · · an−1n
= Y
16i<j6n
(aj−ai).
4. En utilisant(?), justifier pourquoi les vecteursvk sont lin´eairement ind´ependants.
Pour toutx0, . . . , xn−1∈Con consid`ere la matrice
C(x0, . . . , xn−1) =
n−1
X
i=0
xiJi.
5. ´Ecrire la matriceC(x0, x1, x2, x3).
6. En utilisant la question (3), montrer que, pour tout k = 0, . . . , n−1, vk est un vecteur propre de C(x0, . . . , xn−1). D´eterminer la valeur propre correspondante.
(Indication : il suffit de calculerC(x0, . . . , xn−1)vk.)
7. En utilisant que le d´eterminant est le produit des valeurs propres, calculerd´etC(x0, . . . , xn−1).
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