Compl´ement de Notes de cours

Compl´ement de Notes de cours

Math´ematiques S4, L2MPC

Michel Mehrenberger

Universit´e de Strasbourg

8 avril 2015

Table des mati`eres

1 Formules de Fr´enet 2

2 Analyse vectorielle 3

2.1 Op´erateurs en dimension2 . . . 3

2.1.1 Op´erateur scalaire→scalaire . . . 3

2.1.2 Op´erateur scalaire→vecteur . . . 3

2.1.3 Op´erateur vecteur→scalaire . . . 3

2.1.4 Formules . . . 4

2.2 Op´erateurs en dimension3 . . . 4

2.3 Formes diff´erentielles en dimension2 . . . 5

2.3.1 D´efinitions . . . 5

2.3.2 Diff´erentielle d’une forme . . . 5

2.4 Formes diff´erentielles en dimension3 . . . 6

3 Analyse vectorielle en coordonn´ees curvilignes 7

4 Introduction des coordonn´ees curvilignes 9

Chapitre 1

Formules de Fr´enet

On suppose que la courbeγest param`etre par l’abscisse curviligne, ce qui veut dire que kγ⁰(s)k= 1.

On d´efinitTle vecteur tangent unitaire par

T(s) =γ⁰(s).

On a alors

dT /ds=κN, κ≥0.

ce qui d´efinit le vecteur normalN qui est unitaire et la courbureκ.

On d´efinit ensuite le vecteur binormal

B =T∧N.

On a alors la relation (formules de Fr´enet) d

ds



 T N B



=





0 κ 0

−κ 0 τ 0 −τ 0







 T N B





La courbure est donn´ee de mani`ere g´en´erale par

κ=kγ⁰∧γ⁰⁰k/kγ⁰k³ La torsion est donn´ee par

τ = [γ⁰, γ”, γ⁰⁰⁰]/kγ⁰∧γ”k².

Chapitre 2

Analyse vectorielle

2.1 Op´erateurs en dimension 2

SoitX :U ⊂R² → R², un champ de vecteurs. On noteX = a

b

. Soitf :R² →R une fonction.

On note∇= ∂_x

∂y

2.1.1 Op´erateur scalaire→scalaire

La d´eriv´ee directionnelle est donn´ee par

df /dX=a∂_xf +b∂_yf = (X· ∇)f Le Laplacien est donn´e par

∆f =∂_x²f +∂²_yf =∇ · ∇f =∇²f 2.1.2 Op´erateur scalaire→vecteur

Le gradient est donn´e par

∇f = ∂_xf

∂yf

2.1.3 Op´erateur vecteur→scalaire

Le produit scalaire

X·Y=a˜a+b˜b, o`uY=

˜a

˜b

est un autre champ de vecteurs.

Le produit vectoriel

X∧Y =det(X,Y) =a˜b−b˜a.

La divergence

divX=∂_xa+∂_xb=∇ ·X.

Le rotationnel

rotX=∂xb−∂ya=∇ ∧X.

2.1.4 Formules

Proposition 1 On a les formules suivantes 1. ∇(f g) = (∇f)g+f∇g

2. ∇ ·(fX) = (∇f)·X+f∇ ·X 3. ∇ ∧(fX) = (∇f)∧X+f∇ ∧X 4. ∇ ∧(∇f) = 0(”rot de grad ´egal z´ero”) Proof.

1. On a∂x(f g) = (∂xf)g+f ∂xget de mˆeme,∂y(f g) = (∂yf)g+f ∂yg 2. On a∇ ·(fX) =∂_x(f a) +∂_y(f b) = (∂_xf)a+ (∂_yf)b+f ∂_xa+f ∂_yb.

3. On a∇ ∧(fX) =∂x(f b)−∂y(f a) = (∂xf)b−(∂yf)a+f ∂xb−f ∂ya.

4.∇ ∧(∇f) =∂x(∂yf)−∂y(∂xf) = 0.

2.2 Op´erateurs en dimension 3

On note cette foisX=



 a b c



.

Les op´erateurs se g´en´eralisent. La seule diff´erence est pour le produit vectoriel qui est ici un vecteur.

X∧Y=det





e1 a ˜a e₂ b ˜b e₃ c ˜c





En particulier, on a pour le rotationnel

rotX=∇ ∧X=det





e₁ ∂_x a e₂ ∂_y b e3 ∂z c





On a les mˆemes relations qu’en dimension2et on a en outre : Proposition 2 On a :∇ ·(∇ ∧X) = 0(”div de rot ´egal z´ero”).

Proof. On a∇ ·(∇ ∧X) =∂x(∂yc−∂zb) +∂y(−∂_xc+∂za) +∂z(∂xb−∂ya) = 0.

On peut aussi remarquer que∇ ·(∇ ∧X) =det(∇,∇,X).

2.3 Formes diff´erentielles en dimension 2

2.3.1 D´efinitions

Une0-forme diff´erentielle est une fonctionf :R² →R. Une1-forme diff´erentielle est une applicationωque l’on ´ecrit

ω=P dx+Qdy, avecP etQdes fonctions.

Une2-forme diff´erentielle est une applicationΩque l’on ´ecrit Ω =F dx∧dy, o`uF est une fonction.

On a les d´efinitions :

dxetdysont des formes lin´eaires d´efinies par

dx(X) =a, dy(X) =b, en rappelant queXest un champ de vecteurs, de telle sorte que

ω(X) =P a+Qb.

dx∧dyest une forme bilin´eaire (appel´ee forme volume deR²) d´efinie par dx∧dy(X,Y) =det(X,Y) =a˜b−b˜a.

Notons quedx∧dy(X,Y)repr´esente l’aire du parall´elogramme d´elimit´e parXetY.

2.3.2 Diff´erentielle d’une forme

On diff´erencie les diff´erentielles de la mani`ere suivante : df =∂_xf dx+∂_yf dy

dω=dP ∧dx+dQ∧dy= (∂_xQ−∂_yP)dx∧dy.

dΩ = 0.

Remarquons que pour f1 : (x, y) → x, on a df1 = dx. On utilise aussi dx∧ dx = 0, dy∧dy= 0, dy∧dx=−dx∧dy.

Definition 1 Soitξunek-forme diff´erentielle. On dit queξest exacte, s’il existe une(k−1)- forme diff´erentielleχtelle que

ξ =dχ.

On dit queξest ferm´ee sidξ= 0.

Proposition 3 Toute forme diff´erentielle exacte est ferm´ee.

Proof. On a

d(df) =d(∂xf dx+∂yf dy) =d(∂xf)∧dx+d(∂yf)∧dy=∂_yx² f dy∧dx+∂_xy² f dx∧dy= 0, d’apr`es le lemme de Schwartz.

R`egles de multiplication et de diff´erentiation. Soitωunej-forme etξunek-forme.

ω∧ξest une(j+k)-forme 1∧ω=ω∧1 =ω

ω∧ξ = (−1)^jkξ∧ω dωest une(j+ 1)-forme

d(ω∧ξ) =dω∧ξ+ (−1)^jω∧dξ

2.4 Formes diff´erentielles en dimension 3

1-forme

ω =P dx+Qdy+Rdz 2-forme

Ω =F dy∧dz+Gdz∧dx+Hdx∧dy 3-forme

W =Kdx∧dy∧dz D´efinition

dx∧dy∧dz(X,Y,Z) =det(X,Y,Z)

Chapitre 3

Analyse vectorielle en coordonn´ees curvilignes

On se place dansR³.

On notexˆ₁,xˆ₂,xˆ₃,la base canonique deR³.

On la notera aussix,ˆ y,ˆ ˆz, pour ´eviter d’avoir trop d’indices.

Remarquons quexˆiest le vecteur normal `a un planxi =cte, pouri= 1,2,3.

En coordonn´ees curvilignes, on note

x₁ =x₁(η₁, η₂, η₃), x2 =x2(η1, η2, η3), x3 =x3(η1, η2, η3).

Dans le cas particulier

xi =ηi, i= 1,2,3, on retombe sur les coordonn´ees cart´esiennes.

Pour

x₁=η₁cos(η₂), x₂=η₁sin(η₂), x3=η3,

on a les coordonn´ees cylindriques.

Pour chaque famille de surfaceηi = cte, on peut associer un vecteur normal unitaire dans la direction deη_i croissante, not´eηˆ_i

On ´ecrit maintenant

r=xˆx+yˆy+zˆz.

On a alors

dr=dxˆx+dˆy+dzz,ˆ puis

dr² =dr·dr= (dx)²+ (dy)²+ (dz)². En coordonn´ees g´en´erales, on a alors

dr=∂_η1rdη₁+∂_η2rdη₂+∂_η3rdη₃,

puis

dr²=

3

X

i,j=1

∂_ηir·∂_ηjrdη_idη_j. On note

gi,j =∂ηir·∂ηjr.

Covariant/contravariant Soit b₁,b₂,b₃ une base deR³. Un vecteurv peut s’´ecrire dans cette base sous la forme

v=

3

X

k=1

v^kb_k.

Les coordonn´eesv^k, k= 1,2,3sont appel´ees coordonn´ees contrariantes du vecteurv.

La base duale (reciprocal basis)b¹,b²,b³est d´efinie par la relation bⁱ·bj =δ_jⁱ,

o`uδ_jⁱ est le symbole de Kronecker.

Le vecteurvpeut alors aussi ˆetre exprim´e en fonction des coordonn´ees covariantes

v=

3

X

k=1

vkb^k On d´efinit

gi,j =bi·bj =gj,i, g^i,j =bⁱ·b^j =g^j,i. Proposition 4 On a les relations suivantes :

vⁱ=

3

X

k=1

g^ikvk, vi =X

k

gikv^k,

bⁱ =

3

X

j=1

g^i,jbj, bi =

3

X

j=1

gi,jb^j. ainsi que

v·bi=vi, v·bⁱ =vⁱ.

Proof. On utilise les deux expressions devet on fait le produit scalaire avecb_ioubⁱ. Le produit scalaire est donn´e par

u·v=

3

X

i=1

uⁱvi =

3

X

i=1

uivⁱ =

3

X

i,j=1

gi,juⁱv^j =

3

X

i,j=1

g^i,juivj.

Chapitre 4

Introduction des coordonn´ees curvilignes

On d´efinit d’abord

r=x¹(η¹, η², η³)e₁+x²(η¹, η², η³)e₂+x³(η¹, η², η³)e₃, avece₁,e₂,e₃la base canonique deR³.

Base covariante On d´efinit ensuite

gj = ∂r

∂η^j, j= 1,2,3.

Un vecteurvs’´ecrit alors

v=v¹g1+v²g2+v³g3,

en supposant que la famille g1,g2,g3 est une base : Les coordonn´ees v¹, v², v³ sont dites contrariantes (indices en haut), alors que la base de vecteursg₁,g₂,g₃est covariante (indices en bas).

Base contravariante On d´efinit ensuite

∆V ol=g1·(g2∧g3) =det(g1,g2,g3), puis

g¹ = 1

∆V ol(g2∧g3), et de mˆeme par permutation circulaireg²etg³. On a alors

gⁱ·gj =δ_jⁱ,

o`uδ_jⁱ est le symbole de Kronecker (vaut1, sii=jet0sinon).

Matrice jacobienne On d´efinit la matrice Jacobienne

[J] =





∂_η1x¹ ∂_η2x¹ ∂_η3x¹

∂_η¹x² ∂_η²x² ∂_η³x²

∂_η¹x³ ∂_η²x³ ∂_η³x³





On a alors

gj = [J]ej =

3

X

i=1

∂xⁱ

∂η^jei, j = 1,2,3.

Remarquons que

3

X

k=1

∂xⁱ

∂η^k

∂η^k

∂x^j =δⁱ_j, et donc

[J]⁻¹ =





∂_x¹η¹ ∂_x²η¹ ∂_x³η¹

∂_x1η² ∂_x2η² ∂_x3η²

∂_x¹η³ ∂_x²η³ ∂_x³η³





D’autre part, on a

gⁱ=

3

X

j=1

∂ηⁱ

∂x^je^j = [J^T]⁻¹e_i, puisque

gⁱ·g_j = ([J^T])⁻¹e_i·[J]e_j =e_i·[J]⁻¹[J]e_j =δ_ij. Matrice covariante On d´efinit la matrice covariante de terme

gi,j =gi·gj. On a

(g_i,j)_i,j = [J]^T[J].

On d´efinit

S =

3

X

j=1

gi,jg^j =

3

X

k=1

β_i^kgk, On a

S·g_k=g_i,k =gi·g_k, k= 1,2,3, et doncS =g_i, c’est `a dire

3

X

j=1

g_i,jg^j =g_i,

Matrice contravariante On a de mˆeme

3

X

j=1

g^i,jg_j =gⁱ, g^i,j =gⁱ·g^j

donc l’inverse de la matrice covariante est la matrice contrariante. On d´efinit g= det([J]^T[J]) =J²,

et doncJ =√ g.

Gradient Pour le gradient, on a

∂φ

∂η^j =∇φ·g_j, et donc

∇φ=

3

X

j=1

∂φ

∂η^jg^j =

3

X

j,k=1

∂φ

∂η^jg^jkg_k Divergence La divergence est donn´ee par

∇ ·v=

3

X

j=1

g^j· ∂v

∂η^j. On ´ecrit (symboles de Christoffel de premi`ere esp`ece)

∂gi

∂η^j = Γ_ij1g¹+ Γ_ij2g²+ Γ_ij3g³, ce qui donne

Γ_ijk= ∂gi

∂η^j ·g_k. Or, on a

gi = ∂r

∂ηⁱ, et donc

Γ_ijk= Γ_jik. On ´ecrit

∂g_ij

∂η^k = Γ_jki+ Γ_ikj.

∂g_jk

∂ηⁱ = Γkij+ Γjik.

∂gki

∂η^j = Γijk+ Γkji.

En sommant les deux derni`eres ´equations en enlevant la premi`ere ´equation, on obtient

∂g_jk

∂ηⁱ +∂gik

∂η^j −∂gij

∂η^k = 2Γ_ijk. On ´ecrit aussi (symboles de Christoffel de seconde esp`ece)

∂g_i

∂η^j = Γ¹_ijg₁+ Γ²_ijg₂+ Γ³_ijg₃.

On a la relation

Γ^k_ij =

3

X

m=1

g^kmΓijm = 1 2

3

X

m=1

g^km

∂gjm

∂ηⁱ +∂gim

∂η^j − ∂gij

∂η^m

. On en d´eduit

3

X

i=1

Γⁱ_ij = 1 2

3

X

i,m=1

g^im

∂gjm

∂ηⁱ + ∂gim

∂η^j − ∂gij

∂η^m

= 1 2

3

X

i,m=1

g^im∂gim

∂η^j . On a aussi

∂g

∂g_ij =Gij =gg^ij, o`uG_ij est la matrice des cofacteurs de[J]^T[J].

On utilise alors

∂g

∂η^j =

3

X

i,m=1

∂g

∂g_im

∂gim

∂η^j , et donc

3

X

i=1

Γⁱ_ij = 1 2g

∂g

∂η^j = 1 J

∂J

∂η^j. On a alors, pourv=P3

i=1vⁱg_i,

∂v

∂η^j =

3

X

i=1

∂vⁱ

∂η^jgi+

3

X

i,k=1

vⁱΓ^k_ijgk. On a ensuite

∇v=

3

X

j=1

g^j ∂v

∂η^j = X

i,j,k,m

∂vⁱ

∂η^j +v^kΓⁱ_kj

g^jmg_i⊗g_m La divergence s’´ecrit

∇·v=

3

X

j=1

g^j·∂v

∂η^j =

3

X

i,j=1

g^j· ∂vⁱ

∂η^jg_i+

3

X

k=1

vⁱΓ^k_ijg_k

!

=

3

X

j=1

∂v^j

∂η^j+

3

X

j,k=1

v^kΓ^j_kj = 1 J

3

X

j=1

∂

∂η^j(J v^j).

Composantes physiques On ´ecrit

g_(i)= 1

√gii

gi, et donc

v⁽ⁱ⁾=vⁱ√ gii

Coordonn´ees cylindriques On a

r=rcos(θ)e₁+rsin(θ)e₂+ze₃, en prenantη¹ =r, η²=θ, η³ =z. La matrice jacobienne est

[J] =





cos(θ) −rsin(θ) 0 sin(θ) rcos(θ) 0

0 0 1





La matrice covariante est obtenue en prenant les produit scalaires des colonnesg_i·g_j :

[J]^T[J] =





1 0 0 0 r² 0 0 0 1





et la matrice contravariante est

([J]^T[J])⁻¹ =





1 0 0

0 r⁻² 0

0 0 1





On a alorsg^k=P3

i,j=1g^i,jgj, ce qui donne [J]⁻¹=





cos(θ) −sin(θ)/r 0 sin(θ) cos(θ)/r 0

0 0 1





On aJ =ret le gradient est donn´e par

∇φ=∂_rφg₁+∂_θφ/r²g₂+∂_zφg₃=∂_rφbr+∂_θφ/rbθ+∂_zφbz.

La divergence est donn´ee, pourv=v^(r)br+v^(θ)bθ+v^(z)bz=v^(r)g₁+v^(θ)/rg₂+v^(z)g₃:

∇ ·v= 1 r

∂r(rv^(r)) +∂θ(v^(θ)) +∂z(rv^(z))

=∂r(rv^(r))/r+∂θv^(θ)/r+∂zv^(z). A partir de la d´efinition en cart´esien On ´ecrit (par abus de notation, on omet le tilde dans f(η) =˜ f(x(η)))

∂f

∂ηⁱ =

3

X

j=1

∂x^j

∂ηⁱ

∂f

∂x^j = ([J^T]∇f)_i On a donc

∇φ= [J^T]⁻¹

3

X

j=1

∂f

∂η^jej =

3

X

j=1

∂φ

∂η^jg^j, ce qui est coh´erent avec la d´efinition pr´ec´edente.

On applique la formule pourφ=Aⁱet on prend le produit scalaire avece_i. On obtient

∇Aⁱ·e_i =

3

X

j=1

∂Aⁱ

∂η^jg^j·e_i =

3

X

j=1

g^j·∂Aⁱe_i

∂η^j On somme ensuite : pourv=P₃

i=1Aⁱe_i, on a

∇ ·v=

3

X

i=1

∂Aⁱ

∂xⁱ =

3

X

i=1

∇Aⁱ·e_i=

3

X

j=1

g^j· ∂v

∂η^j.