Solution : a) On obtient dω= f(y)g0(z)−y dz∧dy, d'où dω= 0⇐⇒f(y)g0(z) =y

Université Chouaib Doukkali Année Universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences

Département de Mathématiques El Jadida

(Responsable : Prof. Lesfari, http ://lesfari.com) SMA 6 Module : Analyse 6

(Durée de l'épreuve :1^h30⁰) Exercice 1

a) Déterminer toutes les fonctions réelles f et g, de classe C¹ telles que la1-forme diérentielleω surR³ dénie par

ω= 2xzdx+f(y)g(z)dy+

x²+y² 2

dz, soit fermée.

b) La formeω est-elle exacte ? Justier la réponse.

c) Dans le cas où ω est exacte trouver toutes les primitives de ω. Solution : a) On obtient

dω= f(y)g⁰(z)−y

dz∧dy, d'où

dω= 0⇐⇒f(y)g⁰(z) =y.

Dès lors, g⁰(z) =aetf(y) = ^y_a,(a6= 0). Donc g(z) =az+b, f(y) = y

a,(a6= 0)

b) La forme ω est exacte (il sut d'utiliser le lemme de Poincaré carR³ est étoilé et ω est fermée d'après a)).

c) On a ω=dh, d'où

∂h

∂x = 2xz,

∂h

∂y = yz+ b ay,

∂h

∂z = x²+y² 2 .

En utilisant ces trois équations, on obtient immédiatement h(x, y, z) =x²z+1

2y²z+ b

2ay²+constante, (a6= 0)

1

Exercice 2 Calculer l'intégrale curviligne

Z

C

(x²+y²)dx+ (x+y)²dy,

oùC est le bord d'un triangle D de sommets(1,1),(2,2)et(1,4). Solution : Il sut d'utiliser la formule de Green-Riemann :

Z

C

P dx+Qdy= Z Z

D

∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy, où

P(x, y) =x²+y², Q(x, y) = (x+y)², et

D={(x, y) : 1≤x≤2, x≤y≤ −2x+ 6}.

On obtient Z

C

(x²+y²)dx+ (x+y)²dy= 4.

Exercice 3

Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus : Z +∞

−∞

e^imx

1 +x²dx, m∈R

Solution : On considère les trois cas suivants :m > 0,m = 0et m <0. Pourm >0 etm <0, on calcule

Z

γ

e^imz 1 +z²dz, oùγ =C ∪[−r, r]:

2

et on fait tendrer vers l'inni. En appliquant le théorème des résidus et le lemme de Jordan, on obtient

Z +∞

−∞

e^imx

1 +x²dx=πe^−|m|, m∈R^∗

Notons que pourm= 0, c'est évident, cette intégrale est égale à π.

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