BCPST2 Sujet 1
Semaine de colle: 7 Colleur: Bacquelin
bcpst2.jimdo.com
Colles de mathématiques
Nature des intégrales de Riemann avec preuve...
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : Z +∞
0
sin(t) 1 +t2dt,
Z +∞
0
sin(t)
t dt et Z π2
0
cos(t) ln(sin(t))dt.
Exercice 1
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer que Z +∞
a
cos(x)
x dx est convergente.
2. Étudier la nature de Z +∞
0
cos(x) x dx. 3. Montrer que : Z +∞
a
cos(x) x dx=
Z +∞
1
cos(x)
x +
Z 1
a
cos(x)−1 x dx+
Z 1
a
dx x . 4. Déterminer un équivalent de a7→
Z +∞
a
cos(x)
x dx en0. Exercice 2
BCPST2 Sujet 1
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Nature des intégrales de Riemann avec preuve...
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : Z +∞
0
sin(t) 1 +t2dt,
Z +∞
0
sin(t)
t dt et Z π2
0
cos(t) ln(sin(t))dt.
Exercice 1
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer que Z +∞
a
cos(x)
x dx est convergente.
2. Étudier la nature de Z +∞
0
cos(x) x dx. 3. Montrer que : Z +∞
a
cos(x) x dx=
Z +∞
1
cos(x)
x +
Z 1
a
cos(x)−1 x dx+
Z 1
a
dx x . 4. Déterminer un équivalent de a7→
Z +∞
a
cos(x)
x dx en0. Exercice 2
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Nature des intégrales de Riemann avec preuve...
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : Z +∞
0
sin(t) 1 +t2dt,
Z +∞
0
sin(t)
t dt et Z π2
0
cos(t) ln(sin(t))dt.
Exercice 1
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer que Z +∞
a
cos(x)
x dx est convergente.
2. Étudier la nature de Z +∞
0
cos(x) x dx. 3. Montrer que : Z +∞
a
cos(x) x dx=
Z +∞
1
cos(x)
x +
Z 1
a
cos(x)−1 x dx+
Z 1
a
dx x . 4. Déterminer un équivalent de a7→
Z +∞
a
cos(x)
x dx en0. Exercice 2
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Nature des intégrales de Riemann avec preuve...
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : Z +∞
0
sin(t) 1 +t2dt,
Z +∞
0
sin(t)
t dt et Z π2
0
cos(t) ln(sin(t))dt.
Exercice 1
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer que Z +∞
a
cos(x)
x dx est convergente.
2. Étudier la nature de Z +∞
0
cos(x) x dx. 3. Montrer que : Z +∞
a
cos(x) x dx=
Z +∞
1
cos(x)
x +
Z 1
a
cos(x)−1 x dx+
Z 1
a
dx x . 4. Déterminer un équivalent de a7→
Z +∞
a
cos(x)
x dx en0. Exercice 2
BCPST2 Sujet 2
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Colles de mathématiques
Propriétés (Linéarité, croissance, intégrations par parties, changement de variable) des intégrales généralisées à réciter (en insistant sur les hypothèses supplémentaires par rap- port aux intégrales "propres") et preuve d'une de ces propriétés.
Question de cours
1. Déterminer la nature de Z +∞
0
(√4
1 +x4−x)dx. 2. Existence et calcul éventuel de Z +∞
1
arctan(x) x2 dx. Exercice 1
On dénit :f(x) = Z +∞
0
e−xtarctan(t)dt.
1. Pour quelles valeurs de x,f(x) existe ? 2. Montrer que la fonction f est décroissante.
3. Déterminer lim
x→+∞(f(x))puis un équivalent de f en+∞. Exercice 2
BCPST2 Sujet 2
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Colles de mathématiques
Propriétés (Linéarité, croissance, intégrations par parties, changement de variable) des intégrales généralisées à réciter (en insistant sur les hypothèses supplémentaires par rap- port aux intégrales "propres") et preuve d'une de ces propriétés.
Question de cours
1. Déterminer la nature de Z +∞
0
(√4
1 +x4−x)dx. 2. Existence et calcul éventuel de Z +∞
1
arctan(x) x2 dx. Exercice 1
On dénit :f(x) = Z +∞
0
e−xtarctan(t)dt.
1. Pour quelles valeurs de x,f(x) existe ? 2. Montrer que la fonction f est décroissante.
3. Déterminer lim
x→+∞(f(x))puis un équivalent de f en+∞. Exercice 2
BCPST2 Sujet 2
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Propriétés (Linéarité, croissance, intégrations par parties, changement de variable) des intégrales généralisées à réciter (en insistant sur les hypothèses supplémentaires par rap- port aux intégrales "propres") et preuve d'une de ces propriétés.
Question de cours
1. Déterminer la nature de Z +∞
0
(√4
1 +x4−x)dx. 2. Existence et calcul éventuel de Z +∞
1
arctan(x) x2 dx. Exercice 1
On dénit :f(x) = Z +∞
0
e−xtarctan(t)dt.
1. Pour quelles valeurs de x,f(x) existe ? 2. Montrer que la fonction f est décroissante.
3. Déterminer lim
x→+∞(f(x))puis un équivalent de f en+∞. Exercice 2
BCPST2 Sujet 3
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Colles de mathématiques
Citer le théorème de majoration et de comparaison. En déduire la nature (avec preuve) deZ +∞
0
exp −t2
dt puis rappeler au passage la valeur de l'intégrale de Gauss.
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : 1. Z +∞
−∞
dt 1 +t2. 2. Z 1
−1
√ dt
1−t2. 3. Z +∞
−∞
e−|t|dt.
4. Z 1 0
sin(t) t dt. 5. Z 2
0
t−1 ln(t)dt. Exercice 1
Pour tout réel strictement positifx, on pose : Γ(x) =
Z +∞
0
exp(−t)tx−1dt.
1. Montrer que Γ est bien dénie.
2. Évaluer Γ(1).
3. Relier Γ(x) etΓ(x+ 1) pour tout réel strictement positif x. 4. Expliciter Γ(n) pour tout entier naturel n non nul.
5. Rappeler la valeur de Z +∞
−∞
exp
−t2 2
dt et en déduire Γ 1
2
. Exercice 2
BCPST2 Sujet 3
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Colles de mathématiques
Citer le théorème de majoration et de comparaison. En déduire la nature (avec preuve) deZ +∞
0
exp −t2
dt puis rappeler au passage la valeur de l'intégrale de Gauss.
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : 1. Z +∞
−∞
dt 1 +t2. 2. Z 1
−1
√ dt
1−t2. 3. Z +∞
−∞
e−|t|dt.
4. Z 1 0
sin(t) t dt. 5. Z 2
0
t−1 ln(t)dt. Exercice 1
Pour tout réel strictement positifx, on pose : Γ(x) =
Z +∞
0
exp(−t)tx−1dt.
1. Montrer que Γ est bien dénie.
2. Évaluer Γ(1).
3. Relier Γ(x) etΓ(x+ 1) pour tout réel strictement positif x. 4. Expliciter Γ(n) pour tout entier naturel n non nul.
5. Rappeler la valeur de Z +∞
−∞
exp
−t2 2
dt et en déduire Γ 1
2
. Exercice 2
BCPST2 Sujet 3
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Citer le théorème de majoration et de comparaison. En déduire la nature (avec preuve) deZ +∞
0
exp −t2
dt puis rappeler au passage la valeur de l'intégrale de Gauss.
Question de cours
Déterminer la nature des intégrales suivantes : 1. Z +∞
−∞
dt 1 +t2. 2. Z 1
−1
√ dt
1−t2. 3. Z +∞
−∞
e−|t|dt.
4. Z 1 0
sin(t) t dt. 5. Z 2
0
t−1 ln(t)dt. Exercice 1
Pour tout réel strictement positifx, on pose : Γ(x) =
Z +∞
0
exp(−t)tx−1dt.
1. Montrer que Γ est bien dénie.
2. Évaluer Γ(1).
3. Relier Γ(x) etΓ(x+ 1) pour tout réel strictement positif x. 4. Expliciter Γ(n) pour tout entier naturel n non nul.
5. Rappeler la valeur de Z +∞
−∞
exp
−t2 2
dt et en déduire Γ 1
2
. Exercice 2
