Retour sur Curry-Howard On peut prendre System-F comme une logique:

Retour sur Curry-Howard

On peut prendre System-F comme une logique:

•

Correspond (presque) `a la logique classique propositionnelle

•

Qu’en est-il de la logique des pr ´edicats?

Comment dire (et prouver):

∀x, y ∈ N, x N + y = y + x

?

Stefan Monnier IFT-6172 1

Nombres naturels et addition

Nat : Type;

type Nat

| zero

| succ Nat;

_+_ : Nat → ^Nat → ^Nat;

x + y = case x

| zero ⇒ ^y

| succ n ⇒ succ (n + y);

Nombres naturels et addition de Church

Nat : Type;

Nat = (t : Type) → ^t → ^(t → ^t) → ^t;

zero = λ t (x:t) (f:t → ^t) → ^x;

succ n = λ t (x:t) (f:t → ^t) → f (n t x f);

_+_ : Nat → ^Nat → ^Nat;

x + y = x Nat y succ;

Stefan Monnier IFT-6172 3

L’ ´egalit ´e, comme un type?

Il faut d ´efinir une ´egalit ´e:

_=_ : Nat → ^Nat → ^Type;

Mais on sait que

Nat : ^Type

et

Type :

^!

Donc il faut dans

R

qqch du genre

( ^Type , , ?)

En clair: des fonctions de valeurs `a types!

Aussi connu comme: des types d ´ependents

Le calcul des constructions

CoC = System-F_ω + types d ´ependents:

({∗, }, {∗ : }, {(∗, ∗, ∗), ( , ∗, ∗), ( , , ), (∗, , )})

Encore strongly normalizing

⇒

logique coh ´erente!

Correspond `a une sorte de logique des pr ´edicats d’ordre sup ´erieur Dor ´enavant,

(x : τ

₁

) → τ

₂ n’est plus n ´ecessairement

τ

₁

→ τ

₂

Cependant

t

est encore effac¸able dans

λ(t : κ) → e

Stefan Monnier IFT-6172 5

Egalit ´e de Leibniz ´

x = y ⇔ ∀P.P (x) ⇒ P (y )

Pour le cas qui nous int ´eresse:

(x = y) = (P : Nat → ^Type) → ^{P x} → ^{P y;}

Cas de base: preuve de la r ´eflexivit ´e et commutativit ´e

refl : (x : Nat) → ^{(x = x);}

refl x = λ ^{(P : Nat} → ^Type) → λ ^{(p : P x)} → ^p;

comm : (x = y) → ^{(y = x);}

comm p = p ( λ ^{(y’ : Nat)} → (y’ = x)) (refl x);

Limites de l’encodage impr ´edicatif

Essayons de prouver:

0 6= 1

obvious? : (0 = 1) → ⊥ ^;

obvious? = λ (p : (0 = 1)) → p ( λ ^{(x : Nat)}

→ x Type Unit ( λ ^_ → ⊥ ⁾⁾ unit;

Le premier argument de

x

doit ˆetre un type, pas un kind!

Stefan Monnier IFT-6172 7

D’autres PTS

λ∗

est un PTS extr ˆeme; aussi d ´ecrit par

Type : Type λ ∗ ≡ ({∗}, {∗ : ∗}, {(∗, ∗, ∗)})

System-U⁻: System-F_ω o `u STLC est remplac ´e par System-F!

({∗, , 4}, {∗ : , : 4},

{(∗, ∗, ∗), ( , ∗, ∗), ( , , ), (4, , )})

Ni l’un ni l’autre ne sont strongly normalizing On peut y trouver un terme de type

⊥

!

Mais c’est toujours un terme qui ne termine pas!

Reality check

Pas strongly normalizing

⇒

typage non-d ´ecidable

•

Pas grave en soi

Effets de bord

⇒

casse tout (e.g readNat

"N=" =

readNat

"N="

) Preuves qui ne terminent pas

⇒

pas effac¸able!

Stefan Monnier IFT-6172 9

Impr ´edicativit ´e

Dans System-F la deuxi `eme r `egle est impr ´edicative:

Unit = (t : Type) → ^t → ^t;

unit = λ ^{(t : Type)} → λ ^{(x : t)} → ^x;

unitUnit = unit Unit;

Le quantificateur

∀

s’applique `a lui-m ˆeme!

La repr ´esentation extensionnelle de id est tr `es infinie:

•

elle associe `a chaque valeur, cette m ˆeme valeur

•

elle associe aussi id `a id

⇒

C’est une fonction infinie qui se contient elle-m ˆeme!

System-F _ω pr ´edicatif

({∗, }, {∗ : },

{(∗, ∗, ∗), ( , ∗, ), ( , , )})

Une fonction comme id vit alors dans la sorte

^:

•

On ne peut plus passer son type `a un

Λ

•

On ne peut plus la passer en argument `a une fonction

•

Cependant, on peut l’appeler exactement comme avant

•

id

Int

est une fonction normale (dans la sorte

∗

)

E.g. on peut encore faire:

id (Int → Int) (id Int)

Stefan Monnier IFT-6172 11

PTS avec univers

Eviter l’impr ´edicativit ´e excessive de´

λ∗

par stratification:

({ ^Type n | n ∈ N}, N

{ ^Type n

₁

: ^Type n

₂

| n

₂

= n

₁

+ 1},

{( ^Type n

₁

, ^Type n

₂

, ^Type n

₃

) | n

₃

=

max

(n

₁

, n

₂

)})

Pas d’impr ´edicativit ´e du tout

•

Type d’une fonction toujours “plus haut” que ses arguments Syst `eme strongly normalizing et donc logique coh ´erente

Variantes: universe inclusion, universe polymorphism