1 Définition et produit en croix

1 Définition et produit en croix

Définition1

Deux grandeurs G₁ et G₂ sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelécoefficient de proportionnalité, i.e. il existek >0 tel que

G₂=k×G₁.

Exemple :Les situations de proportionnalité sont souvent représentées à l’aide d’un tableau, par exemple : Grandeur G₁ 5 11

Grandeur G2 12 24,2

On trouve le coefficient de proportionnalité en calculant le quotient des valeurs correspondantes aux grandeurs données.

Ainsi, on voit que ¹²₅ = ^24,2₁₁ = 2,2 donc G2 = 2,2G1. C’est donc un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 2,2.

Inversement, étant donné untableau de proportionnalitéincomplet, par exemple GrandeurG1 5 17

GrandeurG2 12 x La première colonne donne le coefficient de proportionnalité

k=12 5 = 2,4.

On peut donc trouver la valeur manquantexen exploitant que

x= 17×2,4 = 40,8.

Proposition1: Produit en croix

Soit le tableau de proportionnalité suivant :

GrandeurG1 a c GrandeurG₂ b x On trouve la valeur inconnuexpar produit en croix :

x= b×c a .

Démonstration

On a égalité des rapports ^a_b = _x^c = k, où k est le coefficient de proportionnalité du tableau. En multipliant l’égalité précédente parx >0 et parb >0, on obtient bien

ax=cb.

En divisant para >0, on obtient x=^bc_a.

Exemple :Dans l’exemple précédent, par produit en croix, on a bien directement x= 12×17

5 = 40,8.

2 Pourcentages

On peut utiliser un tableau de proportionnalité pour calculer un pourcentage de la façon suivante.

Pour calculer le pourcentage de la valeurapar rapport à la valeurb, on cherche le nombrexdu tableau de proportionnalité suivant correspondant à la valeur 100.

GrandeurG1 a x GrandeurG₂ b 100 Ainsi, par ce qui précède,

x=a×100

b .

Retenir : Définition1

Soientaet bdeux valeurs,a≤b.

Le pourcentage de la valeurapar rapport à la valeurb est donné par a

b ×100.

Exemple :Dans une classe de 24 élèves, on a 15 garçons. Déterminons le pourcentage que représentent les garçons dans le classe. On a le tableau de proportionnalité :

Nb. garçons 15 x Nb. total 24 100 ce qui donne

x=15×100

24 = 62,5%.

Définition2

Un pourcentage de t% traduit une proportion de ₁₀₀^t . Ainsi, appliquer un taux de t% à une quantité Q revient à calculer

Q× t 100.

Exemple :Dans un bureau de vote, il y a eu 450 votants et 40% d’entre eux ont voté pour le candidat A. Déterminons combien de voix le candidatAa obtenu. Autrement dit on cherchexdans le tableau suivant de proportionnalité.

Nb. de voix CandidatA x 40 Nb. de votants 450 100 On trouve

x= 40×450 100 = 180.

Proposition1

— Augmenter un nombre de t% revient à la multiplier par (1 +₁₀₀^p ).

— Diminuer un nombre de t% revient à la multiplier par (1−₁₀₀^p ).

Exemple :Un article qui coûtait 84 euros vient de subir une baisse de prix de 15%. Quel est son nouveau prix ? On cherche le montant (en euros) de la réduction :

Prix avant réduction 84 100 Montant de la réduction x 15

On calcule le rapport ₁₀₀¹⁵ = 0,15 doncx= 84×0,15 = 12,60. Le nouveau prix est donc l’ancien prix duquel on soustrait le montant de la réduction, i.e. 71,4 euros.

Définition3

Lorsqu’une valeurV0 évolue vers une valeurV1, son taux d’évolution est donné par la formule : t=V₁−V₀

V0

. Sit >0, l’évolution estaugmentation.

Sit <0, l’évolution est unediminution.

Exercice :La population d’une ville est passée de 27800 à 37200 entre 2019 et 2021. Calculer le taux d’évolution, en pourcentage.

3 Représentation graphique

Proposition1

Une situation de proportionnalité se représente graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère. Ré- ciproquement, si on a des points alignés avec l’origine du repère, alors cette représentation graphique illustre une situation de proportionnalité.

Exemple :On se donne le tableau de proportionnalité :

Grandeur G1 10 20 25 Grandeur G₂ 4 8 10 On représente cette situation graphiquement :

4 Autres exemples d’applications

Dans un mouvement uniforme (régulier), la distancedparcourue par un objet en mouvement est proportionnelle au temps mis pour la parcourir. Le coefficient de proportionnalité de ces grandeurs est appelévitesse moyenne.

Définition1: Vitesse moyenne

Siddésigne la distance,t le temps mis pour la parcourir, la vitesse moyenne est donnée par v=d

t.

Son unité est le mètre par seconde (ou kilomètre par heure), notém.s⁻¹ (oukm.h⁻¹).

Exemple (Calcul d’une vitesse) :On se donne le tableau de proportionnalité faisant figurer les grandeurs temps (h) et distance (km).

Temps (h) 2 0,5 Distance (km) 150 37,5 En calculant les rapports, on obtient une vitesse

v=d t =150

2 =37,5

0,5 = 75 km/h.

Exemple (Calcul d’une distance) :Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 64km/h pendant 3h15min. Quelle distance a-t-il parcouru ?

On commence par convertir la durée du parcours en un nombre décimal d’heures : 3h15min = 3h15

60h = 3,25h.

On applique ensuite la formule

d=v×t= 64×3,25 = 208 km.

Exemple (Calcul d’une durée) :Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 80 km/h sur une distance de 272 km.

Combien de temps ce parcours lui prendra-t-il ? On applique la formule

t=d v = 272

80 = 3,4h.

On convertie en heures et minutes.

3,4h = 3h + 0,4h = 3h + (0,4×60)min = 3h24min.

5 Echelles et ratio

Sur un plan, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient permettant de passer des longueurs réelles aux longueurs du plan (dans la même unité de mesure) s’appellel’échelle du plan.

Exemple :On se donne une carte à échelle 1/5000. Cela signifie que les longueurs réelles sont 5000 fois plus grandes que celles mesurées sur le plan. Dans ce cas, un centimètre sur le plan équivaut à 5000 cm en réalité, soit 50m.

Le motratiovient de l’anglais que l’on traduit par proportion.

Définition1

Deux nombresaetbsont dans un ratio 2 :3 signifie que a 2 = b

3.

Remarque :De manière équivalente, cela signifie quea= ²₃b, ou encore que les grandeursaetbsont proportionnelles aux grandeurs 2 et 3. On peut dire queaest àb ce que 2 est à 3. Siaetb sont dans le ratio 2 :3 alors

a b =2

3.

Définition2

On dit que trois nombresa, b, csont dans le ratio 2 : 3 : 4 si a 2 = b

3 = c 4.

Remarque : Cela s’interprète comme "il faut 2 volumes deapour 3 volumes de bpour 4 volumes dec".

Exemple :Pour remplir une bétonnière, on utilise souvent le ratio suivant : 1 : 2 : 3.

Cela signifie 1 volume de ciment, 2 volumes de sable et 3 volumes de graviers. On souhaite utiliser 12m³ de gravier pour une terrasse. Quelle quantité de cimentc et de sablesfaut-il prévoir ?

? Méthode 1 : On a c

1 =s 2 =g

3, commes= 12ßm³, on a donc

c= 12

3 = 4, s= 4×2 = 8m³.

? Méthode 2 : On utilise un tableau de proportionnalité dont on cherche à remplir les cases manquantes.

Ciment 1 Sable 2 Gravier 3 12

Comme ¹²₃ = 4, on multiplie la première colonne par 4 pour trouver les données manquantes et on trouve les mêmes valeurs que précédemment.

Exemple (Echelles métriques usuelles) :Les échelles métriques usuelles utilisées en architecture sont : 1 :1000 où 1mm correspond à 1m.

1 :500 où 2mm correspond à 1m.

1 :50 où 2cm correspond à 1m (dessin de construction).

Exemple (Formats) :Les formats d’image utilisent également la notion mathématique de ratio. C’est le rapport entre la largeur et la hauteur d’un écran. En voici les plus utilisés :

4 :3, c’est le format du cinéma muet

14 :9, le format intermédiaire utilisé pour les écrans 4 :3 diffusant du 16 :9.

16 :9, le format le plus courant.