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Licence Informatique ISTIC Module LOG LOG TD 5

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

LOG TD 5

Aspects syntaxiques et s´emantiques du calcul des pr´edicats Syntaxic and semantic aspects of predicate calculus

Exercice 1 (Termes en calcul des pr´edicats)

On se donne un ensemble X de variables. Pour chacune des signatures F de symboles de fonctions suivantes, donnez plusieurs ´el´ements de l’ensembleTFX des termes d´efinis sur F.

We give ourselves a setX of variables. Fo each of the signaturesF of the following function symbols, give several elements of the set TFX of terms defined on F.

1. F ={s(1)}

2. F ={f(2)}

3. F ={f(2), s(1), c(0)}

Exercice 2

On consid`ere le langage S = (F,P) o`u F ={c(0), f(1), g(2)} etP ={r(2), p(1), q(3)}.

We consider the language S = (F,P) where F = {c(0), f(1), g(2)} and P ={r(2), p(1), q(3)}.

2.1 Donnez trois termes de ce langage et utilisez les pour construire trois formules atom- iques.

Give three terms of this language and use them to build three atomic formulas.

2.2 Donnez quelques formules du premier ordre de ce langage.

Give some first order formulas of this language.

Exercice 3

On consid`ere l’ensemble de variables X ={x, y, z}et les formules suivantes : Consider the set of variables X ={x, y, z} and the following formulas :

ϕ1 = (∀x∃z f(x, z))→(∃x∀y r(x, y, z)) ϕ2 = (∀x p(x)∧ ∀x f(x))→ ∀x(p(x)∧f(x))

ϕ3 =∀x((∃x g(f(x), a)∨h(x, x))∧(∀y∃x q(x, y)∨ ∃z p(z, y)))

(2)

3.1 Donnez les langages sur lequels sont ´ecrites ces formules.

Give the languages on which these formulas are written.

3.2 Quels sont les termes et les formules atomiques apparaissant dans ces formules?

Whate are the terms and atomic formulas appearing in these formulas?

Exercice 4 (Variables libres et li´ees)

Soit S un langage du premier ordre. Pour une formule ϕ∈F OS, d´efinissez les ensembles F V O(ϕ) et BV O(ϕ) des variables libres de ϕet des variables li´ees de ϕrespectivement.

Let S be a first order language. For a formula ϕ ∈ F OS, define the sets F V O(ϕ) and BV O(ϕ) of free and bound variables ofϕrespectively.

Exercice 5

Soient les trois formules suivantes.

The following three formulas are.

ϕ1 =∀x∃zr(x, z)→ ∃x∀yr(x, z)

ϕ2 =∀xp(x)∧ ∀xq(x)→ ∀x(p(x)∧q(x))

ϕ3 =∀x((∃xp(f(x), a)∨q(x, x))∧(∀y∃xq(x, y)∨ ∃zp(z, y)))

5.1 Pour chacune des formules, d´eterminez les occurrences lie´es et libres de chaque vari- able.

For each of the formulas, determine the bound and free occurences of each variable.

5.2 Renommez les variables pour obtenir une formule ´equivalente dont aucune variable n’a `a la fois une occurrence libre et une occurrence li´ee `a la fois.

Rename the variables to obtain an equivalent formula such that no variable has both a free and a bound occurence at a time.

Exercice 6 (Substitution de variables dans les termes)

Unesubstitutionest une fonctionσ :X → TFX qui associe `a chaque variablexun termeσ(x) sur le langage. On appelle domaine de la substitution σ l’ensemble Dom(σ) des variables x telles que σ(x) 6= x. On appelle image de la substitution σ l’ensemble V Im(σ) ⊆ X des variables qui apparaissent dans un des termes σ(y). Par exemple, si σ est d´efinie par {x7→f(y), y 7→g(x, z)}1, y, x, z∈V Im(σ).

A substitution is a function σ:X → TFX that associates to each variable xa term σ(x) on the language. We calldomain of the substitution σthe setDom(σ) of variablesasuch that σ(x)6=x. We call image of the substitution σ the setV Im(σ)⊆X of variables appearing in one of the terms σ(y). For example, if σ is defined as {x 7→ f(y), y 7→ g(x, z)}2, x, y, z ∈V Im(σ).

1Cette notation indique que seulesxety sont chang´ees, doncDom(σ) ={x, y}.

2This notation indicates that onlyxandy are changed, soDom(σ) ={x, y}

(3)

6.1 On souhaite ´etendre la notion de substitution aux termes de sorte qu’`a tout terme t∈ TFX, on associe le terme tσ issu du remplacement de chacune de ses variables x par le sous-terme σ(x).

We wish to extend the notion of substitution to terms such that for all term t ∈ TFX, we associate the term tσ resulting from the replacement of each of its variables x by the sub-term σ(x).

Exemple 1 Par exemple, si σ est d´efinie par {x7→f(y), y 7→g(x, z)}, on a For example, if σ is defined as {x7→f(y), y 7→g(x, z)}, we have

f(h(x, y, z))σ =f(h(f(y), g(x, z), z))

Quel est le r´esultat de la substitution de f(h(u, y)) `a x dans le terme g(y, h(c, x)) ? What is the result of the substitution of f(h(u, y)) to x in the term g(y, h(c, x)) ?

6.2 Proposer une d´efinition de tσ par induction sur le terme t.

Propose a definition of tσ by induction on the term t.

6.3 On souhaite maintenant ´etendre la notion de substitution aux formules. Toutefois, pour effectuer une substitution d’un terme `a une variable libre dans une formule, il est n´ecessaire de prendre quelques pr´ecautions, sinon, la signification de la formule peut ˆetre compl`etement modifi´ee par le ph´enom`ene de capture de variable.

We now wish to extend the notion of substitution to formulas. However to effect a substi- tution of a term to a free variable in a formula, it is necessary to take some precautions, otherwise the meaning of a formula can ve completely modified by the phenomenom of variable capture.

Exemple 2 Soit ϕ la formule avec x libre suivante : ∃y(g(y, y) =x)3. Dans la structure N avec comme domaine les entiers naturels IN o`u g est interpr´et´ee par l’addition, la signification de ϕ est claire : ϕ est “vraie pour un objet x” si et, seulement si la variable x est interpr´et´ee comme un entier est pair. Plus formellement, [[ϕ]]N = vrai si, et seulement si, ν(x) est un entier pair.

Mais si l’on remplace x pary, la formule obtenue∃y(g(y, y) =y)est une formule close qui est vraie dans la structure N. La variable x a ´et´e remplac´ee par une variable li´ee dans la formule ϕ.

Let ϕ be the following formula with x free: ∃y(g(y, y) = x)4. In the structure N with as domain the natural numbers IN where g is interpreted as the addition, the meanng of ϕ is clear: ϕ is “true of an object x” if and only if the variable x interpreted as an integer is even. More formally, [[ϕ]]N =vrai if and only if ν(x) is an even number.

3En logique, on note parfois ψ(x1, . . . , xn) pour indiquer que l’ensemble F V O(ψ) des variables libres deψest {x1, . . . , xn}. En l’occurrence, nous pourrions noterϕ(x).

4In logic, we sometimes note ψ(x1, . . . , xn) to indicate that the set F V O(ψ) of free variables of ψ is {x1, . . . , xn}. In this case, we could write ϕ(x).

(4)

But if we replace x by y, the obtained formula ∃y(g(y, y) =y) is a closed formula that is true in the structure N. the variablex has been replaced by a bound variable in the formula ϕ.

Ainsi la substitution d’un terme t`a une variable libre x dans une formuleϕest obtenue en rempla¸cant toutes les occurences libres de cette variable par le terme t, sous r´eserve que la condition suivante soit v´erifi´ee :

Pour chaque variable y apparaissant dans t, x n’a pas d’occurence libre qui se trouve dans une sous-formule de ϕ commen¸cant par une quantification ∀y ou

∃y.

Proposer une d´efinition de ϕσ par induction sur la formule ϕ∈F O.

So the substitution of a term t for a free variable x in a formula ϕ is obtained by reacing all the free occurences of this variable by the term t, provided that the following condition is satisfied:

For each variable y appearing in t, x has no free occurence in a sub-formula of ϕ starting with a quantification ∀y or ∃y.

Propose a definition of ϕσ by induction on the formula ϕ∈F O.

Les questions suivantes font appel `a la s´emantique des formules, on pourra diff´erer leur traitement apr`es avoir revu la partie du cours sur ce sujet.

The following questions make use of tge selantics of the forlulas, one can postpone their treatment after having reviewed the part of the course on this subject.

6.4 Montrer la proposition suivante : Show the following proposition :

Proposition 1 Si ϕ est une formule, x une variable libre dans ϕ, et t un terme tel que la substitution de t `a x dans ϕ soit d´efinie, alors les formules ∀xϕ → ϕ{x 7→ t} et ϕ{x7→t} → ∃xϕ sont valides.

If ϕ is a formula, x is a free variable in ϕ and t is a term such that the substitution of t to x in ϕ is defined, then the formulas ∀xϕ→ϕ{x7→t} et ϕ{x7→t} → ∃xϕ are valid.

On pourra montrer par induction sur la formule que la satisfaction de la formule ϕ{x7→t}

par la valuation ν est ´equivalente `a celle de la formule ϕ(x) par la valuation ν1 o`u ν1 est obtenue `a partir deν en donnant `a x l’interpr´etation de t pour la valuation ν.

We can show by induction on the formula that the satisfaction of the formula ϕ{x7→t} by the valuation ν is equivalent to that of the formula ϕ(x) by the valuation ν1 obtained from ν by giving to x the interpretation of t in ν.

(5)

Exercice 7

On consid`ere la signature F ={c(0), f(1)}.

Consider the signature F ={c(0), f(1)}.

7.1 Donnez trois S-structures de domaines respectifs : {1,2,3}, IN, l’ensemble des mots sur l’alphabet Σ ={a, b}.

Give three S-structures of respective domains {1,2,3}, IN, the set of words on the alphabet Σ ={a, b}.

7.2 On consid`ere deux S-structures, M1 = (D1, c1, f1) et M2 = (D2, c2, f2) avec We consider two S-structures, M1 = (D1, c1, f1) and M2 = (D2, c2, f2) with

D1 ={α, β, γ}, c1 =α, f1 = α β γ

α γ β et D2 ={1,2,3,4}, c2 = 3, f2 = 1 2 3 4 2 3 2 1 Trouver des formules : vraies dans une interpr´etation et pas dans l’autre ; vraies dans les deux interpr´etations ; fausses dans les deux interpr´etations.

Find formulas: true in one interpretation and not the other; true in both interpretations;

false in both interpretations.

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