Estimation d'erreur en quantités d'intérêt dans un code de calcul industriel

Texte intégral

(1)Estimation d’erreur en quantités d’intérêt dans un code de calcul industriel Josselin Delmas, Patrice Coorevits, Pierre-Bernard Badel, Mohamed Guessasma. To cite this version: Josselin Delmas, Patrice Coorevits, Pierre-Bernard Badel, Mohamed Guessasma. Estimation d’erreur en quantités d’intérêt dans un code de calcul industriel : Mise en œuvre et résultat. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01495622�. HAL Id: hal-01495622 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01495622 Submitted on 25 Mar 2017. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. Public. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Domain.

(2) (VWLPDWLRQ G¶HUUHXU HQ TXDQWLWpV G¶LQWpUrW GDQVXQFRGHGHFDOFXOLQGXVWULHO 0LVHHQ°XYUHHWUpVXOWDWV. . -RVVHOLQ'HOPDV ²3DWULFH&RRUHYLWV ² 3LHUUH%HUQDUG%DGHO ²0RKDPHG*XHVVDVPD . * Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables, UMR EDF/CNRS 2832, 1 avenue du Général de Gaulle, F-92141 Clamart Cedex.. ** Électricité de France, Direction Recherche & Développement, Département Analyses Mécaniques et Acoustiques, 1 avenue du Général de Gaulle, F-92141 Clamart Cedex. {josselin.delmas, pierre.badel}@edf.fr. *** Laboratoire des Technologies Innovantes, EA 3899, Université de Picardie Jules Verne, 48 rue d’Ostende, F-02100 Saint-Quentin. {patrice.coorevits, mohamed.guessasma}@u-picardie.fr. . RÉSUMÉ. Des estimateurs d’erreurs locaux dits en quantités d’intérêt permettent d’obtenir directement l’erreur de discrétisation commise sur une quantité ayant un sens physique, dans une zone définie. On construit un tel estimateur à partir de l’erreur sur la solution du problème primal, celle du problème dual et un estimateur d’erreur basé sur les résidus explicites. Des exemples numériques traités par Code_Aster permettent de valider cet estimateur mais aussi d’illustrer son utilisation sur des structures industrielles. ABSTRACT. Local error estimators known as in quantities of interest enable to obtain directly the error of discretization committed on a quantity with a physical meaning, in a definite zone. Such an estimator is build starting from of the error on the solution of the primal problem, the one of the dual problem and an error estimator based on the explicit residual. Some numerical examples performed by Code_Aster allow to validate this estimator but also to illustrate its use in industrial cases. MOTS-CLÉS : erreur a posteriori, quantités d’intérêt, méthode des résidus, estimateurs explicites, élasticité linéaire, Code_Aster, structures industrielles. KEYWORDS: a posteriori error, quantities of interest, residual method, explicit estimators, linear elasticity, Code_Aster, industrial structures..

(3) qPH&ROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUH. ,QWURGXFWLRQ eOHFWULFLWp GH )UDQFH GpYHORSSH SRXU VHV EHVRLQV G LQJpQLHULH OLpH j VHV LQVWDOODWLRQV QXFOpDLUHV XQ FRGH GH FDOFXO GH PpFDQLTXH SDU pOpPHQWV ILQLV Code_Aster &RGHB$VWHU

(4) /HV EHVRLQV G pYDOXDWLRQ GHV HUUHXUV GH GLVFUpWLVDWLRQHWG DGDSWDWLRQGHPDLOODJHVORUVGHVVLPXODWLRQVVRQWLPSRUWDQWV3RXU OHV SUREOqPHV OLQpDLUHV RQ GLVWLQJXH GLIIpUHQWHVGpPDUFKHV SRXUHVWLPHU ODTXDOLWp GHODVROXWLRQpOpPHQWVILQLV /DGHYq]H

(5) %DEXVNDet al.,

(6) =LHQNLHZLF] et al.,

(7) (OOHVFRQGXLVHQWWRXWHVjO HVWLPDWLRQG XQHHUUHXUJOREDOH QRUPHL2 H1 RX VHPLH1 RX HQFRUH QRUPH HQ pQHUJLH GX GpSODFHPHQW

(8) /H FKRL[ G XQH SUpFLVLRQJOREDOHIRQGpHVXUXQHQRUPHGXGpSODFHPHQWHVWVRXYHQWGpOLFDWFDULOQ \ DSDVGHOLHQGLUHFWTXDQWLWDWLIDYHFXQHHUUHXUVXUGHVTXDQWLWpVPpFDQLTXHVORFDOHV FRQWUDLQWHVVXUXQHOLJQHRXVXUXQHVXUIDFHPD[LPXPGHVFRQWUDLQWHVHWF

(9) 3RXU\ UHPpGLHU GHV HVWLPDWHXUV G¶HUUHXUV ORFDX[ GLWV HQ TXDQWLWpV G¶LQWpUrW SHUPHWWDQW G¶DFFpGHU GLUHFWHPHQW j O¶HUUHXU FRPPLVH VXU XQH TXDQWLWp PpFDQLTXH SUpFLVH RQW pWpGpYHORSSpVHWLPSOpPHQWpVGDQVCode_Aster2QSUpVHQWHGHVWHVWVQXPpULTXHV HQ ' HW ' SHUPHWWDQW GH YDOLGHU FHW HVWLPDWHXU DLQVL TX¶XQH DSSOLFDWLRQ j XQH pWXGHLQGXVWULHOOH 3UREOqPHPRGqOHHWQRWDWLRQV 2QFRQVLGqUHXQVROLGHTXLRFFXSHXQGRPDLQHȍ∈ℜGHIURQWLqUHUpJXOLqUHȍ GHQRUPDOHVRUWDQWHQ/HFRQWRXUHVWO¶XQLRQGHGHX[SDUWLHVGLVMRLQWHVΓ8HWΓ)6XU OHFRQWRXUΓ8RQLPSRVHXQGpSODFHPHQWXGHWVXUOHFRQWRXUΓ)XQHGHQVLWpG¶HIIRUW VXUIDFLTXH)/HVROLGHHVWpODVWLTXHOLQpDLUHHWLVRWURSHVDORLGHFRPSRUWHPHQWHVW GRQQpH SDU ı = &İ R & HVW OH WHQVHXU GH +RRNH HW İ OD SDUWLH V\PpWULTXH GX JUDGLHQWGHX. )LJXUHProblème d’élasticité linéaire.. 6RLHQW a( ⋅, ⋅) XQH IRUPH ELOLQpDLUH HW l ( .) XQH IRUPH OLQpDLUH /D IRUPXODWLRQ YDULDWLRQQHOOHGHFHSUREOqPHG¶pODVWLFLWpHVWGRQQpHSDU a ( u ,v ) = l ( v ) ∀ v ∈ V . >@.

(10) (VWLPDWLRQG¶HUUHXUHQTXDQWLWpVG¶LQWpUrW. /D QRUPH HQ pQHUJLH HW OD QRUPH L2 DVVRFLpH j O¶HVSDFH V VRQW UHVSHFWLYHPHQW GpILQLHVGHODPDQLqUHVXLYDQWH v. e. =. ³. Ω. σ ( v ) : ε ( v ) dv HW v. L ( Ω ). =. ³. Ω. v ⋅ v dv . >@. 6RLW Ω h XQHSDUWLWLRQGH Ω HQ N pOpPHQWV2QFRQVWUXLWXQHVSDFHpOpPHQWV ILQLV V h ⊂ V j SDUWLU GH IRQFWLRQV FRQWLQXHV SRO\QRPLDOHV SDU PRUFHDX[ HW GH GHJUp p VXU FKDTXH pOpPHQW E /H SUREOqPH GLVFUpWLVp V¶pFULW GH OD PDQLqUH VXLYDQWH a( u h , v h ) = l ( v h ) ∀ v h ∈ V h . >@. (VWLPDWHXUVG¶HUUHXUEDVpVVXUOHVUpVLGXVG¶pTXLOLEUH. 'DQVODPpWKRGHGHVpOpPHQWVILQLVO¶DSSUR[LPDWLRQSULQFLSDOHSRUWHVXUOHV pTXDWLRQV G¶pTXLOLEUH &HV GpIDXWV G¶pTXLOLEUH VRQW UHSUpVHQWpV SDU OHV UpVLGXV TXL PHVXUHQWODQRQYpULILFDWLRQGHFHUWDLQHVSURSULpWpVGHVpTXDWLRQVGXSUREOqPH/H UpVLGXJOREDOQRWp Rhu ( v ) = l ( v ) − a( u h , v ) HVWFRQVWLWXpGXUpVLGXLQWpULHXU QRWp rE LOPHVXUHODQRQYpULILFDWLRQGHVpTXDWLRQVG¶pTXLOLEUHLQWpULHXU

(11) HWGXUpVLGXGHERUG QRWp t Γ LOUHSUpVHQWHODQRQYpULILFDWLRQGHO¶pTXLOLEUHGHERUG

(12) (QILQRQPRQWUH TX¶XQH HVWLPDWLRQ GH O¶HUUHXU GpILQLH SDU e = u − u h R e ∈ V GDQV OD QRUPH HQ pQHUJLHV¶pFULW § e e ≤ C ¨ ¦ hE rE ¨ E ©. . L (E). § + ¦ ¨¨ ¦ lΓ t Γ E © Γ⊄Γ F. . L (Γ). +. ¦ lΓ t Γ. Γ ⊂ ΓF. ·· ¸¸ L ( Γ ) ¸¸ ¹¹. . . >@. R C HVW XQH FRQVWDQWH TXL GpSHQG GX W\SH G¶pOpPHQW HW GHV GRQQpHV GX SUREOqPH E HVWO¶pOpPHQWFRXUDQWHW hE HW lΓ VRQWGHVORQJXHXUVFDUDFWpULVWLTXHVGH O¶pOpPHQW (UUHXUHQTXDQWLWpG¶LQWpUrW. /H SULQFLSDO REMHFWLI GH O¶HVWLPDWLRQ G¶HUUHXU a posteriori HVW G¶pYDOXHU XQH PHVXUHGHO¶HUUHXUWHOOHTXHODQRUPHHQpQHUJLHSDUH[HPSOH0DLVELHQVRXYHQWLO HVW GLIILFLOH GH WURXYHU XQ OLHQ HQWUH FHWWH PHVXUH HW XQH TXDQWLWp D\DQW XQ VHQV SK\VLTXH DSSHOpH TXDQWLWp G¶LQWpUrW &HWWH TXDQWLWp G¶LQWpUrW SHXW rWUH UHSUpVHQWpH SDU XQH IRQFWLRQQHOOH Q( ⋅) OLQpDLUH GpILQLH VXU O¶HVSDFH GHV IRQFWLRQV WHVWV 'HX[ H[HPSOHVVRQWSUpVHQWpVFHVIRQFWLRQQHOOHVOLQpDLUHVUHSUpVHQWHQWODPR\HQQHG¶XQH FRPSRVDQWHGXGpSODFHPHQWHWODPR\HQQHG¶XQHFRPSRVDQWHGHVFRQWUDLQWHVVXUXQ VRXVGRPDLQH ]RQHG¶LQWpUrW

(13) .

(14) qPH&ROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUH. Q( v ) =. . v ω ³. x. Q( v ) =. dΩ . ω. . ω. ³σ. xx. dΩ . >@. ω. 2Q GpILQLW OH SUREOqPH GXDO FRPPH OH SUREOqPH G¶pODVWLFLWp OLQpDLUH GRQW OD VROXWLRQ ω HVW DSSHOpH IRQFWLRQ G¶LQIOXHQFH HW GRQW Q( ⋅) HVW OH FKDUJHPHQW /H SUREOqPHSULPDOHWOHSUREOqPHGXDOSHXYHQWV¶pFULUHGHODPDQLqUHVXLYDQWH a ( u , v ) = l ( v ) ∀ v ∈V ® ¯a( v ,ω ) = Q( v ). >@. 2Q GpILQLW O¶HUUHXU SULPDOH WHOOH TXH e = u − u h HW O¶HUUHXU GXDOH WHOOH TXH ε = ω − ω h 2QPRQWUH 3UXGKRPPHet al.

(15) TXHO¶RQSHXWWURXYHUXQHUHODWLRQ HQWUH O¶HUUHXU SULPDOH O¶HUUHXU GXDOH HW OH UpVLGX GX SUREOqPH SULPDO &HFL IRXUQLW XQHH[SUHVVLRQSRXUO¶HUUHXUHQTXDQWLWpG¶LQWpUrW Q ( e ) = a ( e ,ε ) . >@. ,O H[LVWH GLIIpUHQWHV VWUDWpJLHV SRXU O¶HVWLPDWLRQ G¶HUUHXU HQ TXDQWLWp G¶LQWpUrW EDVpH VXU OD QRUPH HQ pQHUJLH (Q FRQVLGpUDQW O¶H[SUHVVLRQ SUpFpGHQWH HW OH WKpRUqPH GH &DXFK\6FKZDUW] RQ PRQWUH TXH O¶HUUHXU HQ TXDQWLWp G¶LQWpUrW HVW ERUQpHSDUODQRUPHHQpQHUJLHGHO¶HUUHXUSULPDOHSRQGpUpHSDUODQRUPHHQpQHUJLH GH O¶HUUHXU GXDOH (Q JpQpUDO FH JHQUH G¶HVWLPDWHXU G¶HUUHXU HVW WURS SHVVLPLVWH HW VXUHVWLPH O¶HUUHXU 3RXU DFFpGHU j GHV ERUQHV SOXV ILQHV OD UHODWLRQ GX SDUDOOpORJUDPPHDpWpLQWURGXLWH 3UXGKRPPHet al.

(16) Q( e ) = a ( e ,ε ) =. s e + s −ε . e. −. s e − s −ε e . R s HVWXQVFDODLUHFKRLVLWHOTXH s =. ε e. e. >@. . e. 8Q HVWLPDWHXU EDVp VXU OD UHODWLRQ SUpFpGHQWH HW VXU OD PpWKRGH GHV UpVLGXV H[SOLFLWH D pWp LPSOpPHQWp GDQV Code_Aster SHUPHWWDQW DLQVL G¶DFFpGHU j XQH HVWLPDWLRQGHO¶HUUHXUHQTXDQWLWpG¶LQWpUrW 9DOLGDWLRQGHO¶HVWLPDWHXUHQTXDQWLWpG¶LQWpUrW. 3RXUMXJHUGHODTXDOLWpG¶XQHVWLPDWHXURQFDOFXOHXQLQGLFHG¶HIILFDFLWp γ TXL FDUDFWpULVHXQERQHVWLPDWHXUG¶HUUHXUV¶LOHVWSURFKHGHXQ/¶LQGLFHG¶HIILFDFLWpHVW GpILQL FRPPH OH UDSSRUW HQWUH O¶HUUHXU HVWLPpH HW O¶HUUHXU YUDLH REWHQXH SDU XQH DSSUR[LPDWLRQpOpPHQWVILQLVVXUXQPDLOODJHWUqVILQ

(17) . γ =. eestimée evraie. >@.

(18) (VWLPDWLRQG¶HUUHXUHQTXDQWLWpVG¶LQWpUrW. 'H WHOV FDOFXOV RQW pWp HIIHFWXpV VXU XQ FURLVLOORQ HQ WUDFWLRQ ELGLUHFWLRQQHOOH SRXU OHV TXDQWLWpV G¶LQWpUrW ©FRPSRVDQWH GX GpSODFHPHQWª HW ©FRPSRVDQWH GHV FRQWUDLQWHVªIRXUQLVVDQWGHVUpVXOWDWVVDWLVIDLVDQWV. )LJXUH D HW E Carte d’erreur pour la quantité d’intérêt « moyenne de la composante ux du déplacement » après un raffinement (à gauche) et quelques résultats d’indice d’efficacité pour différentes quantité d’intérêt en 2D (à droite). $SSOLFDWLRQjXQHpWXGHLQGXVWULHOOH. 8QH[HPSOHGHO¶XWLOLVDWLRQG¶HVWLPDWHXUVG¶HUUHXUVHQTXDQWLWpVG¶LQWpUrWVXUXQH pWXGHLQGXVWULHOOHSHUPHWG¶LOOXVWUHUOHVGpYHORSSHPHQWVUpDOLVpVGDQVCode_Aster. )LJXUHDHWE C.A.O. d’un douzième du caisson à bornes (à gauche) et détail de la borne de sortie (à droite).. ,OV¶DJLWG¶XQFDLVVRQGHVRUWLHGHERUQHVG¶DOWHUQDWHXUGRQWRQYHXWFRQQDvWUHOH FRPSRUWHPHQWHQWHUPHGHFRQWUDLQWHVpTXLYDOHQWHV.

(19) qPH&ROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUH. . . )LJXUH D HW E Cartes d’erreur pour la quantité d’intérêt « moyenne de la composante σxx des contraintes » (à gauche) et valeur absolue de l’erreur pour la même quantité d’intérêt (à droite). &RQFOXVLRQVHWSHUVSHFWLYHV. 8Q HVWLPDWHXU G¶HUUHXU ORFDO GLW HQ TXDQWLWpV G¶LQWpUrW D pWp LPSOpPHQWp GDQV Code_Aster /HV ERQQHV SHUIRUPDQFHV GH FHWWH DSSURFKH RQW pWp PRQWUpHV SDU OH FDOFXOG¶LQGLFHVG¶HIILFDFLWpHQ'HWHQ'(QILQRQPRQWUHOHVUpVXOWDWVREWHQXV ORUVG¶XQHpWXGHVXUXQHVWUXFWXUHLQGXVWULHOOH 8QHpWXGHGHWHOVHVWLPDWHXUVHQSUpVHQFHGHVLQJXODULWpHVWHQYLVDJpHDLQVLTXH OHXUXWLOLVDWLRQGDQVXQSURFHVVXVGHUHPDLOODJH %LEOLRJUDSKLH %DEXVND,5KHLQEROGW:&©$SRVWHULRULHUURUHVWLPDWHVIRUWKHILQLWHHOHPHQWPHWKRGª Int. J. Numer. Methods Eng.YROS %HFNHU%5DQQDFKHU5©$QRSWLPDOFRQWURODSSURDFKDSRVWHULRULHUURUHVWLPDWLRQLQILQLWH HOHPHQWPHWKRGVªActa NumericaYROS &RGHB$VWHU©6LWHRIILFLHOGH&RGHB$VWHUªZZZFRGHDVWHURUJ /DGHYq]H3&RPSDUDLVRQGHPRGqOHVGHPLOLHX[FRQWLQXV7KqVHG (WDW8QLYHUVLWp3LHUUHHW 0DULH&XULH)UDQFH 3UXGKRPPH 6 2GHQ -7 ©2Q JRDORULHQWHG HUURU HVWLPDWLRQ IRU HOOLSWLF SUREOHPV $SSOLFDWLRQ WR WKH FRQWURO RI SRLQWZLVH HUURUVª Comput. Methods Appl. Mech. Eng. YROS =LHQNLHZLF]2&=KX-=©$VLPSOHHUURUHVWLPDWRUDQGDGDSWLYHSURFHGXUHIRUSUDFWLFDO HQJLQHHULQJDQDO\VLVªInt. J. Numer. Methods Eng.YROS±.

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